Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Изучение структуры распределений функционалов, заданных на траекториях случайньк функций (короче, стохастических фцпкщіонамб ) является одним из интересных и Еажньос вопросов теории вероятностей. Потребность в разнообразной информации о распределениях стохастических функционалов ощущается во многих ее разделах: в области предельных теорем , математической статистике и других. До недавнего времении в этом направлении существовали лишь разрозненные результаты, относящиеся, как правило, к функционалам специального вида. Такое положение объяснялось тем, что традиционный метод характеристических функций в данном круге задач далеко не всегда оказывается эффективным. Заметный прогресс, произошедший за последние із лет, стал возможен благодаря появлению и развитию новых методов, некоторые из которых рассматриваются в этой диссертации. С их помощью удалось достаточно подробно исследовать такие фундаментальные свойства распределений функционалов, как абсолютная непрервность, существование плотности с определенными свойствами ' (ограниченность, фиксированная степень гладкости ), поведение больших уклонений. В данной работе внимание сосредоточено на таких методах анализа распределений, которые предъявляют лшимамлние требования к изучаемым функционалам и тем не менее позволяют делать достаточные для многих' приложений выводы об их свойствах. (Разумеется, наряду с такими существуют и более мощный методы,например,- исчисление Налля-?,ена или метод дифференциальных операторов , дакхцие более сильные следствия при более ограничительных предположениях).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит
a) в нахождении общих достаточных условий абсолютной
лепрерывкости распределений стохастических функционалов ;
б) б построении оценок плотностей распределений стохастических функционалов, в том числе нахождении достаточных условий для ограниченности плотности;
b) в исследовании локальных и асимптотических свойств
распределения максимума гауссовской случайной функции общего
вида , в том числе изучение соответствующих малых и большие
уклонений ;
г) в распространении функционального закона повторного логарифма и его обобщений на возможно более широкий класс топологий.
НЕТОЛИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В основе проводимого в главе і
изучения локальных свойств распределения стохастического
функционала лежит метод расслоений. Расслоение
вероятностной меры - это конструкция, предназначенная дліі изучения распределений функционалов от случайной функции (или бесконечномерного случайного вектора) с помощью формулы полной вероятности. . Общая схема построений такова. Распределение случайной функции рассматривается как борелевская мера Рт заданная на топологическом пространстве
и і элементами которого являются выборочные функции (реализации) с.ф. Пусть <р < (^.) -» iRm,&m) - измеримый функционал со значениями в евклидовом пространстве Rm. Изучение его распределения - меры Р<р~* ( определенной на
б-алгебре *" проводится в три этапа.
На первом этапе подбирается такое разбиение Г пространства я, чтобы можно было легко изучать условные
меры СР^.уеЯ/Г}. Для этого элементы разбиения выбираются * виде множеств простой геометрической структуры - прямых линий, лучей, отрезков, гладких кривых, многомерных плоскостей и т.д. Будем называть эти элементы с.югаш. Их всегда подбирают таким образом, чтобы вдоль каждого слоя функционал Ф -был гладкой функцией, и его производная не вырождалась.
На втором этапе изучается отображение условных мер р., функционалом Ф- Соответствующая конечномерная задача хорошо изучена Итог второго этапа - информация об условных распределениях руЧ~1 , которые являются образами мер р^ при отображении <р -
На третьем этапе оценивается фактормера Рр . и с помощью формулы полной вероятности
Рф'*{) = J p^_1t> Рг<сф Ж/Г
информация, добытая на втором этапе, перерабатывается в информацию о мере Ptf1-
Основная идея метода расслоений - использование для анализа распределения функционала разбиения вероятностного пространства на конечномерные множества - впервые появилась в работе Ю.А.Давыдова в сеязи с его исследованиями по сильной сходимости в принципе инвариантности. Постепенно стало ясно, что основным свойством, которое эксплуатируется в методе, является наличие допустимых преобразований у распределения . исследуемого процесса. Это наблюдение позволило расширить круг изучаемых процессов, вовлекая к него сначала гауссовские процессы сравнительно общего вида (в том числе - в работах автора п ,'>])f затим невырожденные
диффузионные процессы ( Н.В. Смородина ) и процессы с независимыми приращениями ( с*. 5 з , см.
Ключевым инструментом исследования во второй и третьей главах оказывается свойство выпуклости гауссовской меры, выраженное, в частности, неравенством Эрхарда. Безвременная смерть А.Эрхарда, вероятно, задержала осознание математическим сообществом замечательной силы его результата. Настоящая работа призвана отчасти восполнить это упущение. Наряду с выпуклостью, важную методологическую роль в исследовании свойств гауссовских распределений и соответствующих функционалов играет изоперилетрическое неравенство К.Бсрелля, В.Н.Судакова и B.C. Цирельсона.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА В главе і развит новый метод изучения свойств распределений стохастических функционалов на базе имеющейся информации о запасе допустимых преобразований распределения исходной случайной функции. При помощи этого метода подучены достаточные условия аосолютной непрерывности и ограниченности плотности для широкого класса функционалов от процессов с независимыми приращениями и бесконечномерных устойчивых векторов.
Глава 11 содержит анализ локальных свойств распределения максимума гауссовской с.ф. общего вида .
В ней устанавливается связь между осцилляцией с.ф. и такими характеристиками максимума, как точка отрыва и большие уклонения, найдены необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределения максимума, получены ощзнки плотности и достаточные условия ее ограниченности, найдено простое соотношение между плотностью и вероятностями больших уклонений максимума. Для исследования малых уклонений введена новая геометрическая характеристика случайной функции - прогностическая емкость - и изучена ее взаимосвязь с классическими колмогоровскими поперечниками. Глава 111 включает вопросы , связанные с исследованием вероятностей больших уклонений . гауссовской "случайной функции. В ней развиты два новых подхода к этой задаче. Первый из них основан на применении обобщенного преобразования Лапласа, в терминах которого удается выразить точную асимптотику больших уклонений. С его помощью найдены точные асимптотики больших уклонений для достаточно широкого класса гауссовских мер и процессов. Некоторые из этих асимптотик обнаруживают неизвестный ранее тип поведения С в частности, содержат периодические компоненты ). Другой подход предназначен для исследования больших уклонений для'случая, когда изучаемый функционал является гладким и критическое направление, "ответственное" за большие уклонения, единственно. Для этого случая получена универсальная формула асимптотики больших уклонений, содержащая в качестве частных случаев целый ряд ранее полученных результатов других авторов. Наконец, в этой главе рассматриваются топологические аспекты функционального закона повторного логарифма, в форме Шграссена. Получены
- a -
новые версии этого закона и некоторых его обобщений, справедливые для целого класса топологий, более сильных, чем традиционно используемая равномерная топология.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты дают информацию о локальных и асимптотических характеристиках Еесьма широкого класса стохастических функционалов. Они могут быть использованы для оценки скорости сходимости в предельных теоремах теории вероятностей, в статистических методах, основанных на rayccoBqKoft аппроксимации и оценках больших уклонений, а также для обоснования функциональных законов типа повторного логарифма при анализе эмпирических функций распределения.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались . на семинарах ло теории вероятностей и математической статистике в ЛОМИ АН СССР (ПОМИ РАН), Ленинградском (Санкт-Петербургском), Московском, Вильнюсском , йенском (Германия) университетах , в университетах Париж-5 и Париж-11 (Франция), на пі, iv, v международных Вильнюсских конференциях (1981, 1985, 1989) , на iv и vi советско-японских симпозиумах по теории вероятности (Тбилиси, 1982; Киев, 1990), на xvm школе - коллоквиуме по теории вероятностей и математической статистике (Бакуриани, 1985), ш Европейском' коллоквиуме по анализу и теории вероятностей (Париж, І992).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 22 работы автора, список основных is работ приводится в конце автореферата.
- ч -
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и трех глав . Список литературы содержит 271 наименование. Общий объем работы 327 машинописных страниц.
