Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование равновесий Нэша на сетевом рынке из двух симметричных олигополии Курно 14
1.1 Общая модель рынка 14
1.2. Модель двухузлового рынка с аффинными функциями спроса 29
1.3. Модель рынка с неодинаковыми издержками производителей 37
Глава 2 Структура множества равновесий Нэша на двухузловом аукционе Курно в зависимости от параметров модели 46
2.1. Случай с нулевыми потерями и одинаковой скоростью убывания спроса на рынках 48
Глава 3 Сравнительный анализ аукционов Курно и Викри 57
3.1. Необходимые определения и предшествующие результаты 57
3.2. Симметричная олигополия 62
3.3. Рынок с одним крупным производителем и группой мелких 66
3 4. Рынок с двумя группами однородных производителей 75
3.5. Численное сравнение исходов аукционов Курно и Викри 93
Заключение 103
Список литературы 105
- Модель двухузлового рынка с аффинными функциями спроса
- Случай с нулевыми потерями и одинаковой скоростью убывания спроса на рынках
- Рынок с одним крупным производителем и группой мелких
- Численное сравнение исходов аукционов Курно и Викри
Введение к работе
Рынки однородных товаров, к которым относятся металлы, энергоресурсы, электроэнергия и др., играют важнейшую роль в современной экономике. Интерес к их исследованию связан с тем, что в течение последних 30 лет в разных странах активно развиваются рынки электроэнергии и газа. Конкурентный сектор на рынке электроэнергии существует в России с 2003 г. На сегодняшний день по конкурентным ценам продается более 50% потребляемой в России электроэнергии, а к 2011 г., согласно планам правительства, цены будут полностью дерегулированы.
Оптовые рынки упомянутых товаров, как правило, являются олигополиями, т.е. рынками, на которых действует небольшое количество фирм — продавцов. Каждая из фирм на таком рынке обладает рыночной властью, т.е. способна своими действиями влиять на рыночную цену. Важная практическая задача — организовать рынок таким образом, чтобы не допустить большого отклонения цены от значения, оптимального с точки зрения суммарного выигрыша участников рынка. Такое значение реализуется в состоянии конкурентного равновесия (см. (Walras, 1874), (Debreu, 1954)). В связи с этим особый интерес представляет изучение моделей аукционов однородного товара, то есть возможных форм организации такого рынка. В каждом случае аукцион описывают как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. В качестве модели поведения участников аукциона обычно рассматривают равновесие по Нэшу соответствующей игры.
В существующей литературе ((Amir, 1996), (Amir, Lambson, 2000), (Ausubel, Cramton, 2004), (Bertrand, 1883), (Edgeworth, 1925), (Allen, Hellwig, 1986), (Vives, 1986), (Васин, 2005) и др.) исследованы свойства различных аукционов (Курно, Викри, Бертрана-Эджворта, единой цены) и получены методы расчета равновесий Нэша в
4 соответствующих теоретико-игровых моделях. Однако для многих рынков однородных товаров важную роль играет сетевая структура связей производителей, и потребителей, ограничения пропускной способности линий и потери или затраты при транспортировке. Для сетевых рынков в условиях совершенной конкуренции получены достаточно полные результаты относительно расчета состояния конкурентного равновесия (см. (Hogan, 1995), (Давидсон и др., 2004)). Однако задача расчета равновесий Нэша и анализа их свойств для сетевых рынков — олигополии не решена даже в простейшем случае: для рынка с двумя узлами.
Простейший вариант аукциона однородного товара — аукцион Курно. Для этого аукциона в (Васин, 2005) установлена связь с аукционом единой цены, который широко используется на практике. В общем виде модель двухузлового аукциона Курно рассмотрена в (Васин, 2005). Предполагается, что два рынка соединены линией передачи, по которой с одного рынка на другой можно перебросить объем q товара, не превышающий О. Линия передачи имеет заданный коэффициент Я потерь товара при переброске. Выявлены 3 возможных типа равновесий Нэша для данной модели:
Тип а) — равновесие с нулевым перетоком (
Тип Ь) — равновесие с положительным перетоком товара между рынками при неактивном ограничении пропускной способности линии передачи (0 < q < О);
Тип с) — равновесие с максимально допустимым перетоком товара между рынками
(q = Q).
Для модели двухузлового аукциона Курно в (Васин, 2005) в общем виде сформулированы методы расчета равновесий Нэша, однако они предполагают ряд существенных допущений, а также неудобны для анализа конкретных рынков, поскольку их использование связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос существования и единственности равновесий. В диссертации
5 рассматривается двухузловой аукцион Курно в предположении одинаковых предельных издержек производителей в каждом из узлов. Для этого аукциона в диссертации решаются вопросы о существовании и структуре множества равновесий Нэша, разрабатываются методы расчета равновесий.
Другая актуальная проблема -— изучение возможных альтернатив аукциону единой цены. Недостатком аукциона единой цены является то, что на нем создаются благоприятные условия для реализации продавцами рыночной власти. В результате отклонение исхода Курно от конкурентного равновесия (по Вальрасу) может быть довольно велико, что неблагоприятно для конечных потребителей.
Эмпирические исследования показывают, что производители с целью поднять рыночные цены подают заявки, не соответствующие истинным затратам. (Borenstein, Bushnell, 1999) изучали границы изменения цен в Калифорнии и оценивали предельные издержки, исходя из объемов производства, загрузки производственных мощностей и объема импорта. Они показали, что в 1998 году цены превышали конкуретные на 15%. На российском оптовом рынке электроэнергии в последние годы средняя оптовая цена превышает цену конкурентного равновесия на 50-70% (по оценкам экспертов).
В качестве альтернативы аукциону Курно в диссертации рассматривается аукцион Викри с резервными ценами (Vickrey, 1961; Ausubel, Cramton, 2004). На таком аукционе цена и объемы выпуска определяются так же, как на стандартном аукционе единой цены, однако оплата товара, приобретаемого у некоторого производителя, происходит по резервным ценам, рассчитываемым на основе функции спроса и заявок других компаний. Преимуществом этого аукциона является достижение максимального суммарного выигрыша участников (производителей и потребителей) при индивидуально рациональном поведении, соответствующем равновесию Нэша в доминирующих стратегиях.
Преимущество аукциона Викри не абсолютно, и существуют ситуации, в которых аукцион Курно дает лучшую цену с точки зрения конечных потребителей, нежели аукцион Викри. Проведение сравнительного анализа этих аукционов позволяет определить оптимальную форму аукциона в зависимости от параметров реального рынка.
Цель настоящей диссертационной работы — разработка методов расчета равновесий Нэша для теоретико-игровых моделей некоторых рынков однородного товара; изучение вопросов существования и эффективности этих равновесий в смысле цен для конечных потребителей.
Задачи работы:
Уточнить и упростить имеющиеся критерии существования равновесия Нэша и методы его расчета для некоторых типичных вариантов структуры двухузлового аукциона Курно.
Рассмотреть вопросы сосуществования равновесий различных типов и описать структуру множества равновесий Нэша для двухузлового аукциона Курно в зависимости от параметров.
Аналитически решить задачу сравнения исходов аукционов Курно и Викри для ряда типичных вариантов структуры одноузлового рынка.
Новизна полученных результатов состоит в следующем.
Для двухузлового аукциона Курно в общем виде получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Нэша всех типов.
Для двухузлового аукциона Курно, на котором в каждом из узлов действуют одинаковые фирмы (т.н. симметричная олигополия) с постоянными предельными издержками, удалось свести задачу расчета равновесия Нэша к простой системе линейных и квадратичных уравнений и неравенств, допускающей наглядную геометрическую интерпретаци ю.
7 В дополнительном предположении малых потерь товара при передаче изучена
структура множества равновесий Курно и определены все возможные комбинации
сосуществования равновесий различных типов в этой модели.
Для одноузлового рынка аналитически решена задача расчета и сравнения исходов
аукционов Курно и Викри для типичных вариантов структуры рынка:
симметричная олигополия;
рынок с одной крупной компанией и группой мелких;
рынок с двумя группами однородных производителей.
Модель двухузлового рынка с аффинными функциями спроса
Рассмотрим модель двухузлового рынка с аффинными функциями спроса. В каждом из узлов / = 1,2 рынка действует конечный набор Д фирм-продавцов в количестве mi с одинаковыми постоянными предельными издержками ct. Максимальный объем выработки товара каждым производителем не ограничен. Узлы рынка соединены линией передачи с пропускной способностью Q и коэффициентом потерь Я. Поведение потребителей описывается линейными функциями спроса Д (/») = max Д -dtp,o\ . Оговоримся, что здесь и далее мы действуем в общих предположениях, полагая, в частности, что объемы производства и потребления товара в каждом узле рынка положительны. Строго это описывается двумя следующими условиями: В случае изолированных рынков для каждой фирмы а є Д., / = 1,2, исходя из условий первого порядка (1.1.7)-(1.1.8), функция предложения Курно имеет вид: Пользуясь условием баланса (1.1.9), мы получаем следующую формулу, по которой рассчитывается цена Курно на каждом из изолированных рынков: Утверждение 1.4. В общих предположениях (1.2.1) необходимым и достаточным условием существования локального равновесия типа а) является выполнение неравенства Доказательство следует из определения (1.1.6) локального равновесия типа а) с учетом (1.2.3). Из уравнения (1.1.20) определим цены р для данного случая: Следуя утверждению 1.1, рассмотрим случай р p Q. Локальное равновесие а) будет устойчиво к отклонениям производителей, если для любого производителя яг, є Ах его прибыль на объединенном рынке при цене р будет меньше его прибыли на изолированном рынке при цене р\, т.е.: Подставляя в это неравенство (1.2.3) и (1.2.4) для / = 1, мы получим первую систему первой совокупности, указанной в формулировке теоремы 1.1. Для случая /? p Q необходимо сравнить прибыль производителя ах при предложении Vі "и цене рх с его прибылью в локальном равновесии. В данном случае іЛ е v Q = Dx{pQ\-(mx -\)ур -cx)dx +0. Сравнивая соответствующие выигрыши, мы приходим к следующему неравенству: Используя условие баланса (1.1.9), данное неравенство можно свести к виду: Далее, раскрывая скобки, получаем:
Проводя симметричные рассуждения для производителя из А , мы получим вторую совокупность неравенств, указанную в формулировке теоремы. Прибыль производителей рынка / в равновесии а) определяется следующим образом: При объединенном рынке мы имеем дело со «сложными» функциями остаточного спроса для каждого производителя, учитывающими переброску товара с одного узла на другой. Пусть с рынка 1 на рынок 2 перебрасывается объем qX2 товара (0 qX2 O). Функции предложения Курно в этом случае (обозначим их через 512 (/?) и S 12 (р) для производителей 1-го и 2-го рынка соответственно) определяются из условий первого порядка (1.1.11)-(1.1.14) с учетом функций спроса для объединенного рынка: Slcu (р) = max {О, О - с,) (dx + A2d2)}, S2 12 (р) = max {о, (р - с2) [dx /Я2 + d2)]. Цена Курно на 1-м рынке определяется из равенства спроса и фактического предложения mxS n (Д ) = (Д ) + Я (D2 (ЯД ) - m2S2-u (ЯД )): Цена Курно на 2-м рынке может быть найдена из условия р2 = Лрх. Как и ранее, объемы выпуска товара на обоих рынках предполагаются ненулевыми: р, с,, D\p) 0, где і = 1, 2. (1.2.6) Переданный с рынка 1 на рынок 2 объем qX2 определяется выражением: qX2 = Z(D2(Apx)-m2S2 u(Apx)) = AD2+ -(dx + A2d2)-(m2(dx + A2d2) +X2d2)px. (і.2.7) Утверждение 1.5. В общих предположениях (1.2.6) необходимым и достаточным усювием существования локального равновесия Ьх ) является выполнение неравенства согласно (1.2.5). Условие существования локального равновесия Ь2 х) описывается симметричным неравенством. Доказательство следует из определения (1.1.10) локального равновесия Ьх 2) с учетом (1.2.7). Как уже говорилось ранее, при типичных малых значениях коэффициента потерь равновесия Нэша на рынке с потерями могут быть аппроксимированы равновесиями аналогичного рынка без потерь, поэтому далее необходимые и достаточные условия существования равновесий Курно типов Ъ и с приводятся в предположении X 1. ґ v Доказательство. Рассмотрим локальное равновесие bx 2. Следуя утверждению 1.2, определим цены Д, / = 1,2, из уравнения: Локальное равновесие 61- 2 будет устойчиво к отклонениям производителей, если выполнены оба следующих условия: 1) для любого производителя аг є А2 его прибыль на объединенном рынке при цене Д2 будет больше его прибыли на рынке с активным ограничением пропускной способности при цене Д,, т.е.: любого производителя а; є Л, его прибыль на объединенном рынке при цене Д будет больше его прибыли на рынке с обратным направлением перетока (с узла 2 в узел 1) и активным ограничением пропускной способности при цене рх : [mx +m2 + 1)( +d2) Проводя симметричные рассуждения для локального равновесия Л, ,, мы придем к тем же самым неравенствам (что происходит в силу их симметричности). Прибыль производителей в равновесии й, 2) определяется следующим образом: =( - 00= (dx +d2), V f Д +D2 + {с2т2 -сх (т2 +1))( , +с/2) (тх+т2 + 1)( +d2) Д + D2 + [схтх -с2 (тх +1))(dx +d2) (dx+d2). Р =(Д-С2) 2(Д) = (mx + m2 +1)( +d2)
Наконец, при активном ограничении пропускной способности линии (qx2 =0) функции предложения Курно для производителей 1-го и 2-го рынков снова имеют вид (1.2.2), как это следует из условий первого порядка (1.1.16)-(1.1.17). Пользуясь уравнениями баланса (1.1.18)-(1.1.19), получим следующие формулы расчета цен Курно на рынках в равновесии с, ,): Dx+Q+mxdxcx = D2-Q/X + m2d2c2 dx(wx+l) 2 d2{m2+\) Как и ранее, мы действуем в предположениях Д с, и Д (Д ) 0. (1.2.8) (1.2.9) Утверждение 1.6.5 общих предположениях (1.2.9) локальное равновесие с, 2) существует тогда и только тогда, когда выполнено неравенство D2-Q/A, + m2d2c2 Dx+0 + тх dx сх d2 (т2 +1) dx (?пх +1) Условие существования локального равновесия с2 х) описывается симметричным неравенством. Доказательство следует из определения (1.1.15) локального равновесия сх 2) с учетом (1.2.8). Определим цену р2 из уравнения (1.1.25) с учетом условий баланса (1.1.18)— (1.1.19): Р2 = ; _ A + dxc2 - (Д - q Цт, + Д + J2c2 - ( Д - с2) /, (иі2 -1) _ J, Д + 2d2p2 + flfe 2( і, + d2) 2(Jj+J2) .(1.2.10) и цену р% из уравнения (1.1.27) с учетом (1.1.18): РЇ = "(А -WI(A CIM -С?) = A -- d (1.2.11) ч "1 Теорема 1.3. Пусть Х = \. Тогда локальное равновесие с1_ 2 является равновесием Нэша в том и только том случае, если выполнена совокупность: 1"2 dxpx +2d p , + dxc, 2(dl+dz) Px 2Q ((A c2)d, +2(p2 -c2)d2)jl + dl/d2 2(p2 -c2)(dx +d2), 2(c/, +d2) d/ d]p]+2d2p2+dlc2 _2Q Pi f . 2Q cU 1 rf, - 20 K - 2Q P2-P1+-dx j Необходимое и достаточное условие существования равновесия с, описывается совокупностью систем симметричных неравенств. Доказательство. Следуя утверждению 1.3, рассмотрим случай р2 р2 . В этом случае локальное равновесие с, 2) будет устойчиво к отклонениям производителей, если для всех производителей рынка 2 прибыль по цене р2 будет меньше, чем та, которую они получают по цене р2 в локальном равновесии с, 2), т.е.: 2 (Д-с2) (dx+d2) (p2-c2)2d2 С учетом (1.2.8) и (1.2.10), после раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых данное неравенство преобразуется к 2-му неравенству 1-й системы, указанной в ГУ л формулировке теоремы. 1-е неравенство 1-й системы представляет собой условие р2 р2 , переписанное с учетом (1.2.10) и (1.2.11). В случае /?, р2 производитель а2 є А± может попытаться продать объем v"lQ по цене р2 . Условие невыгодности такой ситуации по сравнению с локальным равновесием описывается следующим неравенством: (D2(tfy(m2-\)(p2-c2)d2+Q -c2) (p2-c2)2d2. С учетом условий баланса (1.1.18)-(1.1.19) данное неравенство преобразуется к виду: cL Прибыль производителей в равновесии е,_ 2) определяется следующим образом
Случай с нулевыми потерями и одинаковой скоростью убывания спроса на рынках
Для того чтобы проиллюстрировать полученные условия существования равновесий Курно, рассмотрим следующий частный случай двухузлового рынка с аффинными функциями спроса. Пусть линия передачи между рынками функционирует без потерь (Л = 1) и функции спроса на обоих рынках наклонены одинаково (dx =d2- d0). Тогда мы можем ввести новые переменные, которые дадут возможность наглядно изобразить области существования равновесий Ъ и с на координатной плоскости. Введем следующие обозначения: 49 Экономический смысл переменных 1\ и h2 — уровень спроса на рынках 1 и 2 в точке, соответствующей предельным издержкам производителей рынка 1. Н обозначает изменение спроса при переходе от цены с, к цене с2. В трех новых переменных мы имеем трехмерное пространство, поэтому, чтобы построить все области на плоскости, будем считать третью переменную — Н — фиксированным параметром. Равновесия типа а в данном случае в общих предположениях не существует. Запишем условия существования локального равновесия Ъх 2 в виде системы:
Разрешая уравнения систем (2.1.3) относительно рх, получим следующие условия существования локального равновесия, равносильные предыдущим: (2.1.4) 1-+2 Запишем аналогичные условия существования локального равновесия с. #(A) = A(&)-f, (2.1.5) с1- 2): p2-Pl 0, А(А) . / = 1,2 Разрешая уравнения системы (2.1.5) относительно Д и Д2, получим условия, эквивалентные предыдущим: q- :): dx(mx+\) ), - —+ /я, с% - _ Я fif2 (/«., +1) л, л. _ / ;-А 0, А с„ Д- /,д 0, / = 1,2 (2.1.6) Используя введенные переменные, перепишем для данного случая условия существования локальных равновесий b и с, следуя утверждениям 1.5, 1.6 с учетом предположений (1.2.6) и (1.2.9): А, - #?, + 1\+h2 + 2/я2Я W; + /w2 +1 + 2т2Н Q, V.H 1\+Ь2 + 2т2Н 0, /ц+А2-2(ц1+1)Я 0, (2 (w, + /w2) +1) / - А2 - 2/я2Я 0, (2 (да, + m,) +1) / - Л, - 2т2Я 0. (2.1.7) f П[А+/;,-2(/й.+1)Я /я, + — n - — V -J = .): /r, mx +m2+\ hl+h2-2(m]+l)H 0, / +h2+2m2H 0, (2(wj + ///,) +1) /?2 - Л, - 2/w2# 0, (2(/w, + /я,) + 1)/ -h2 - 2m2H 0. + 2Я & (2.1.8) \h2-Q + m2H){mx + 1)-(/ +Q)(m2+l) 0, Лі+2 0, 2): h2-Q-H 0, (2.1.9) т2(/г2-Я) + 0. (hl-Q-(m}+l)H)(m2+l)-(h2+Q-H)(m1+l) 0, h2+0 H 0, с2-»і) hl-Q 0, (2.1.10) т2(/г2-Я)- 0, В новых переменных, согласно теоремам 1.2 и 1.3, необходимыми и достаточными условиями «глобальности» локальных равновесий являются следующие неравенства: hx+hJ-2(ml+l)H яг, + m (2.1.11) V 2A-»i): к + / , +2m H tnx +m2 + -(mx+j2 -1)-/ +0 0. Л+Л,+3я,.УЬ-№-б-Д)( )-2 -4( -g-Я) /»j +1 m2 + l 2Я-4(Л,-Є-Я) 0, /1,+/1,+ 3w, C!- 2) m. hl+fh-(h,+Q) -(h2 O-H)W2 + 2 1-2H 0, 1 - V ;w,+1 v 2 я?,+1 А+Є (/-6-//)(1-1) /w, +1 w2+l (2.1.12) w, + -2Q-H 2Q h2-Q + m2H 1\+Q m2+\ mx +1 + 2Q і]+і+3в,М±_ММ.4(,,_е) о, тх +1 пи +1 h+h, +3яг., c2- i): 2л/2-1 тх + 0, b+k-fc+Q-H)- (/ -Q) m, +1 h.+0-Н (А-Є) (in,-!) -4(Aj-Q) 0, /я, +1 /Я, +1 (2.1.13) V A-Q b+0-н + 20-H + //,. m, + \ 20 mx +1 /w2 +1 Вообще говоря, в принятых допущениях наша модель является бипараметрической, поскольку в условиях (2.1.7)-(2.1.13) мы можем разделить левые и правые части _def неравенств на Я и получить параметризацию модели через две переменные f\ = hx/H и _ л/ h2 =h2/H. Тем не менее, отказываться от Я мы не будем, поскольку при такой параметризации экономический смысл всех переменных остается достаточно прозрачным. Сам по себе параметр Н имеет свою аналитическую ценность, которая будет полезна в дальнейшем. Для изучения структуры равновесий Курно различных типов на конкретном числовом примере, возьмем следующие исходные данные. Рассмотрим оптовый рынок электроэнергии, состоящий из двух узлов — симметричных олигополии, число производителей на которых тх = 10 и тп = 25 . Равновесную цену по
Вальрасу на рынке I примем Д=600, на рынке 2: / 2=800. Эти цены (в руб. за МВт-ч) округленно соответствуют вальрасовским ценам для объединенных энергетических систем (ОЭС) Урала и Средней Волги, согласно данным об издержках производителей на 2008 г. Пропускную способность О линии передачи установим на уровне 2600 МВтч, что соответствует пропускной способности линии между ОЭС Урала и Средней Волги по данным (Аболмасов, Колодин, 2002). Поскольку объем выпуска товара каждым производителем в нашей модели не ограничен, цены Вальраса устанавливаются на уровне предельных издержек производителей, т.е. мы должны положить сх — 600, с2 = 800. Исходя из того, что эластичность спроса на электроэнергию оценивается на уровне 0.1-0.3, подберем параметры функций спроса для обоих рынков. Скорость убывания спроса зафиксируем на уровне d0 = 7.5, а величины Д и D2 будем варьировать в промежутках Д є [19500; 49500], Д є[26000;66000]. Тогда функции спроса Д (/?) = 19500-7.5р и Д (/7) = 26000-7.5/? будут соответствовать эластичности 0.3, а функции Д(/?) = 49500-7.5/? и Д(/?) = 66000-7.5/? —- эластичности 0.1 (в точках р — Д и р = р2 соответственно). В указанных предположениях параметр // = 1500, а /г, и 1% варьируются в промежутках Л, є[15000;45000], А, є[21500;61500]. Изобразим на плоскости (/, /г2) области существования равновесий &,_,, и / ,_ , (см. рис. 2.1). Можно видеть, что почти на всей области существования локальные равновесия типа Ъ являются глобальными. В частности, площадь области II, где существует только локальное равновесие Ъх 2, составляет менее 0.25% от общей площади рассматриваемого прямоугольника на плоскости (/ ,//,). Суммарная площадь областей I и ПІ, в которых существует глобальное равновесие типа Ь, составляет 7.4% от общей площади прямоугольника. Изобразим на плоскости области существования равновесия типа с (см. рис. 2.2). Как видно, области существования глобальных равновесий с,_ 2 и с2_ х гораздо больше по площади, нежели равновесий типа А, и составляют соответственно 40% и 9.8% от общей площади прямоугольника. Однако видно и то, что у равновесий с1_ 2 и с2_ области, в которых существует лишь локальное равновесие (II и Ш на рис. 2.2), довольно велики по размеру. Площадь области П составляет 9%, области Ш — 16.5% от общей площади прямоугольника. Величина этих областей (при прочих равных условиях) зависит от отношения да,//», количества производителей на рынках. В частности, сузить область II
Рынок с одним крупным производителем и группой мелких
В данном разделе мы рассмотрим рынок, у на котором присутствует один крупный производитель а с одной производственной мощностью (для простоты мы полагаем, что у нее отсутствует ограничение на максимальный объем выработки) и S"(P) Рис. 3.3.1. S?(P) предельными издержками сх, а также группа из п более мелких производителей Ьп і = \,п , которые однородны по своим производственным мощностям и предельным издержкам. Каждый производитель из этой группы также имеет только одну производственную мощность с максимально возможным объемом выработки V и предельными издержками с2. При этом мы полагаем, что с, С[.
Все множество производителей на рынке обозначим через A : A = {a,bl,b2,...,bn}. Для данной конфигурации рынка мы рассмотрим 6 частных случаев взаиморасположения функции спроса и суммарной функции предложения производителей. Для каждого случая будут выписаны формулы расчета цен Курно и Викри и сделан вывод о том, какая из этих цен ниже. Случай 1 Функция спроса пересекает функцию предложения Sa(p) крупного производителя в точке р = с1 и далее обращается в ноль, не доходя до пересечения V sa(p) , /Sac(p) / / \/ /КОД sr(p) с, р р0 с2 Рис. 3.3.2. с Sz а (р). В результате, в продажах участвует только один крупный производитель. Данный случай имеет место при D d0c Цена Викри устанавливается на уровне 0,где (p0,D(p0)) —точка пересечения функции спроса с осью цен. Таким образом, pv = р0 = —, и благосостояние потребителей при d0 аукционе Викри обращается в нуль. Цена Курно в данном случае находится из уравнения (р - с, )d0 = D{p ) и вычисляется по формуле: D + d0cx 2aL (3.3.1) Очевидно, что такая цена Курно ниже Викри. / / участок 1 f X Рис. 3.3.3. S4P) Случай 2 \, V ч / / / Функция спроса пересекает суммарную функцию предложения «мелких» производителей в точке р-сг. При этом D(p) пересекает суммарную функцию предложения Курно на ее 1-м участке, где S (p) = S(p). Случай имеет место при D, удовлетворяющем следующим условиям: /S$z(P) St(P) АР) \0 D-dncn Vn, (3.3.2) [D-d0c2 d0(c2-c\). Первое неравенство в (3.3.2) отвечает за то, чтобы функция спроса пересекла суммарную функцию предложения мелких производителей на ее «вертикальном» участке. Второе неравенство отвечает за то, чтобы функция спроса пересекла суммарную функцию предложения Курно на ее 1-м участке.
В данном случае формула цены Курно не будет отличаться от предыдущего случая. Чтобы рассчитать цену Викри, обратимся к следующему уравнению: w + /iw, = W, if o, „ (3 3 3) где wtl — олагосостояние, привнесенное крупным производителем, иь — благосостояние, привносимое каждым мелким производителем, 11\ — суммарная выручка всех производителей за вычетом их издержек В нашем сл\чае в уравнении (3 3 3) и\, =0, a wa рассчитывается как площадь трапеции, ограниченной функцией спроса, осью цен и перпендикулярами к оси цен, восставленными из точек сх и с. Таким обраюм, исходя из уравнения, Wz4 равна площади той же самой ірапецші, и цена Викри установится на уровне издержек мелких производителей" pv = с. Очевидно, что цена К\рно по-прежнему ниже цены Викри Р Р С2 Pi Рис. 3 3 4 (3 3 4) V ч IS (p) / л, з С лК sy ч .- Up)— » Случай 3 Функция спроса по-прежнем\ пересекает Г/7 суммарнчю функцию предложения Курно на ее 1-м участке (см рис 3 3 3), но теперь D(p) пересекает суммарн} го ф) нкцию предложения мелких производителен на ее «горизонтальном» участке Данный слччай имеет место при D, удовлетворяющем условиям \D-d0c2 Vn, \D-d0c2ud0(c2-cx). Цена Курно рассчитывается по формуле (331) Для расчета цены Викри снова обратимся к уравнению (3.3 3), но теперь w0 будет вычисляться как площадь сложной фигуры, выделенной цветом на рис. 3.3.4. и,, по-прежнему равно нулю, a WV рассчитаем как площадь большой трапеции (см. рис 3.3 4) В результате формула цены Викри выглядит следующим образом:
Численное сравнение исходов аукционов Курно и Викри
Приведем результаты численного сравнения исходов аукционов Курно и Викри, полученные с помощью специально разработанного программного пакета. Для расчетов были использованы модельные данные по оптовому рынку электроэнергии России. В составе единой энергосистемы России параллельно работают шесть объединенных энергосистем (ОЭС): Центра. Средней Волги, Урала, Северо-Запада, Сибири и Юга. Кроме этого, в состав входит работающая изолированно ОЭС Востока. Связи внутри ОЭС развиты достаточно хорошо, поэтому ограничения, связанные со структурой сети внутри каждой ОЭС, можно считать несущественными. Ниже ОЭС рассматриваются как крупные локальные рынки, между которыми есть связи в виде магистральных линий ограниченной пропускной способности. Пропускные способности линий, связывающих ОЭС, а также суммарные установленные мощности генерирующих объектов, находящихся на территориях ОЭС представлены на следующем рисунке: В период до окончания реформы на оптовом рынке электроэнергии действует механизм регулируемых договоров. В основе определения цен регулируемых договоров лежит затратный принцип. Далее предельные издержки производителей предполагаются равными ценам регулируемых договоров. В качестве максимального производимого объема берется установленная мощность: наибольшая мощность, с которой энергоустановка способна работать длительно и без перегрузки Предполагается, что энергосистема состоит из семи локальных рынков — ОЭС, соединенных магистральными линиями электропередач (см. схему). Производителями на каждом локальном рынке являются те компании, чьи генерирующие объекты находятся на территории данной ОЭС (данные о собственниках генерирующих объектов есть в свободном доступе). Спрос на каждом локальном рынке полагается линейным. Параметры спроса определены, исходя из оценок эластичности спроса и публикуемых на сайте Системного оператора единой энергетической системы данных о часовом потреблении. Спрос на электроэнергию низкоэластичен и эластичность спроса по цене оценивается на уровне 0.1-0.3. Для определения параметров спроса находится точка пересечения функции предложения Вальраса изолированного рынка с уровнем пикового потребления. Считая эластичность в этой точке заданной, определяются значения параметров линейного спроса. Рассмотрим ОЭС Урала, Сибири, Центра и Средней Волги. Данные по установленным мощностям производителей приведены далее в таблицах: Из таблицы видно, что аукцион Викри обеспечивает меньшее отклонение цены от цены Вальраса, чем аукцион функций предложения, исход которого соответствует исходу Курно. Аналогичные результаты получаются и для других ОЭС:
Рассмотрим вопрос о том, как магистральные линии электропередач влияют на цены на рынках ОЭС Предположим, что работает только линия, соединяющая ОЭС Урала и ОЭС Сибири. Рассмотрим такой двухузловой рынок и рассчитаем равновесия Вальраса и Курно для различных параметров функции спроса. 1. Параметры спроса ОЭС Урат: D = 33000; d = 3,75 Параметры спроса ОЭС Сибири: D = 22725; d =7,5 Равновесие Вальраса для двухузлового рынка Урал — Сибирь Цена на рынке Урала: 727,78 Объем производства на рынке Урала: 28427,82 Цена на рынке Сибири: 283,89 Объем производства на рынке Сибири: 22495,75 Передается с рынка Сибири на рынок Урала : 1900 Равновесие по Курно для двухузлового рынка Урал — Сибирь Цена на рынке Урала: 1730,74 Объем производства на рынке Урала: 24666,7 Цена на рынке Сибири: 549,11 Объем производства на рынке Сибири: 20506,62 Передается с рынка Сибири на рынок Урала: 1900 2. Параметры спроса ОЭС Урала: D = 39000; d= 11,25 Параметры спроса ОЭС Сибири: D = 26910; d =23 Равновесие Вальраса для двухузлового рынка Урал — Сибирь Цена на рынке Урала: 743,66 Объем производства на рынке Урала: 28790,8 Цена на рынке Сибири: 283,89 Объем производства на рынке Сибири: 22280,3 Передается с рынка Сибири на рынок Урала: 1900 Равновесие по Курно для двухузлового рынка Урал — Сибирь Цена на рынке Урала: 1036,05 Объем производства на рынке Урала: 25501,43 Цена на рынке 2: 342,32 Объем производства на рынке Сибири: 20936,43 Передается с рынка Сибири на рынок Урала: 1900 Из проведенных расчетов следует, что наличие работоспособной связи с ОЭС Сибири может означать снижение цены электроэнергии более чем на 10%. Рассмотрим другой рынок с двумя узлами. Первый узел — ОЭС Урала. Второй узел — объединенные ОЭС Сибири и Средней Волги. Спрос на втором рынке — сумма спроса ОЭС Сибири и ОЭС Средней Волги. Пропускную способность линии, соединяющей эти два рынка, положим равной сумме пропускных способностей линий Урал — Сибирь и Урал — Средняя Волга. 1. Параметры спроса рынка 1: D = 39000; d = 11,25 Параметры спроса рынка 2: D =47184; d = 30,6
Равновесие Вальраса для двухузлового рынка Цена на рынке 1: 676,71 Объем производства на рынке 1: 27022,01 Цена на рынке 2: 372,86 Объем производства на рынке 2: 40274,17 Передается со 2 на 1 рынок: 4500 Равновесие по Курно для двухузлового рынка Цена на рынке 1: 940,83 Объем производства на рынке 1: 24050,6 Цена на рынке 2: 468,6 Объем производства на рынке 2: 37344,67 Передается со 2 на 1 рынок: 4500 2. Параметры спроса рынка 1: D = 33000; d = 3,75 Параметры спроса рынка 2: D =39862,5; d = 10 Равновесие Вальраса для двухузлового рынка Цена на рынке 1: 659,59
Похожие диссертации на Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара
