Содержание к диссертации
Введение 6
1. Обзор термодинамических методов получения определяющих соотношений
и актуальных проблем современной термодинамики 25
1.1. Методы, использующие понятие неравновесной энтропии 26
1.1.1. Построение определяющих соотношений на основе
неравенства Клаузиуса-Дюгема 26
1.1.2. Построение определяющих соотношений на основе
функции рассеяния энергии 32
1.2. Методы, исключающие понятие неравновесной энтропии 44
1.2.1. Построение определяющих соотношений на основе
принципа локального термодинамического равновесия 44
1.2.2. Построение определяющих соотношений на основе
неравновесной температуры 47
1.3. Проблема бесконечной скорости распространения тепловых возмущений 49
Теория вязкоупругих текучих сред Навье-Стокса-Фурье 50
Теория Максвелла-Каттанео-Лыкова 61
Расширенная необратимая термодинамика 64
Обобщённая кинетическая теория Больцмана 69
Рациональная термодинамика 74
Термодинамика сплошных сред, основанная на понятии
функции рассеяния энергии 81
1.3.7. Выводы 84
1.4. Заключение 85
2. Анализ основных механических и термодинамических положений
современной термомеханики сплошных сред 86
2.1. Температура и её свойства 86
Существование температуры 87
Общие положения термометрии 89
Числовая характеристика эмпирической температуры 91
Независимость температуры от выбора системы отсчёта 93
Нулевое начало термодинамики 93
Выводы 95
2.2. Энтропия и её свойства 96
Постулаты Кельвина и Клаузиуса, вытекающие из них следствия 97
Феноменологические обобщения неравенства Клаузиуса 101
Энтропия Больцмана 105
Энтропия Клаузиуса 107
Обобщённая Я-теорема Больцмана 110
Энтропия Гиббса 112
Принцип возрастания энтропии 116
Выводы 119
2.3. Описание состояния сплошных сред 120
Общие положения 123
Представление о сплошных средах дифференциального типа 125
Сокращённое описание неравновесных состояний
сплошных сред дифференциального типа 126
Способы учёта специфических особенностей пластических сред 131
Выводы , 135
2.4. Анализ реологических моделей упругопластических сред 136
Определяющие соотношения реологической модели 137
Остаточная деформация 137
Упругая и пластическая деформация 138
Условия пластичности 140
Выводы 143
2.5. Кинематика вязкоупругопластических сред 144
Квазистатические процессы деформирования 144
Динамические процессы деформирования 170
Анализ структуры функции рассеяния энергии 177
Заключение 183
Развитие термодинамического метода Клаузиуса-Кельвина. Общий анализ локально-
неравновесных процессов в вязкоупругих средах дифференциального типа 187
Руководящая идея классической термодинамики Клаузиуса-Кельвина 190
Первичные понятия, основные положения и упрощающие допущения 194
Применение принципа объективности поведения материалов 196
Теорема об изменении кинетической энергии 198
Реакция среды на внешнее механическое воздействие 199
Реакция среды на внешнее тепловое воздействие 203
Применение принципа эквивалентности между теплотой и работой 205
Применение второго начала термодинамики 211
Уравнение Клаузиуса 214
Уравнение баланса энтропии 217
Обсуждение результатов 219
Заключение 225
Термомеханика вязкоупругих сплошных сред 227
4.1. Общие определяющие соотношения вязкоупругих сплошных сред
дифференциального типа 228
Изотропные твёрдые среды 234
Текучие среды 238
Примеры определяющих соотношений 243
Выводы 246
4.2. Термодинамически согласованное описание
термоупругих свойств материалов 247
Общие определяющие соотношения нелинейной теории термоупругости... 249
Термоупругие свойства изотропных материалов 251
Некоторые соотношения статистической механики 254
Сопоставление теоретических и опытных данных 257
Термодинамические ограничения на выбор термоупругих характеристик
при малых деформациях 270
4.2.6. Выводы 272
4.3. Локально-неравновесная составляющая внутренней энергии 274
Ограничения на термическую энергию 274
Общетеоретическое обоснование существования термической энергии
на основании закона сохранения и превращения энергии 280
4.3.3. Молекулярно-кинетическое обоснование
существования термической энергии 282
Экспериментальное обоснование существования термической энергии 290
Особенности поведения энтропии Клаузиуса 306
Выводы 311
4.4. Термодинамика локально-неравновесных процессов
в вязкоупругих средах дифференциального типа.. 313
4.4.1. Совместный анализ общих положений кинетической
и феноменологической теорий 314
Диссипативное неравенство Клаузиуса-Планка 326
Свойства неравновесной энтропии и неравновесной температуры: 332
Общий формализм метода 335
Примеры получения определяющих соотношений 341
Выводы 354
4.5. Описание вязкоупругих сплошных сред релаксационного типа 355
Параметры состояния 355
Общие определяющие соотношения 365
Анализ физической природы термической энергии 370
Выводы 374
4.6. Заключение : 374
5. Термомеханика вязкоупругопластическнх сплошных сред 376
5.1. Основные положения 376
5.1.1. Закон изменения необратимой деформации и условия пластичности 382
5.2. Общие определяющие соотношения : ,..384
5.2.1. Упрощающие допущения и вытекающие из них следствия 393
5.3. Примеры моделирования определяющих соотношений
изотропных вязкоупругопластическнх сред при малых деформациях 411
Квазистатические процессы деформирования ; 413
Динамические процессы деформирования 426
Обобщение некоторых известных теорий вязкопластичности 436
5.4. Термодинамика вязкоупругопластическнх сплошных сред 448
Общий термодинамический формализм 451
Термодинамическое описание квазистатических процессов 453
Термодинамическое описание динамических процессов 462
5.5. Заключение 471
Основные результаты и общие выводы 474
Литература 477
Введение к работе
Многие ответственные конструкции работают в трудных условиях, подвергаясь интенсивным тепловым и силовым воздействиям, которые зачастую быстро меняются во времени. Современная техника и технология предъявляют высокие требования к реологической модели твёрдого тела. Необходимо, чтобы модель реально отражала поведение тела при статическом и динамическом нагружениях. В связи с этим в практику расчёта конструкций и технологических процессов всё чаще внедряются математические модели, которые учитывают всё более «тонкие» свойства конструкционных материалов. Во многом этому способствует бурное развитие вычислительной техники и вычислительной математики, которые позволяют доводить решение сложных нелинейных динамических задач до конечного численного результата.
На работоспособность и долговечность теплонапряженных конструкций влияет множество взаимосвязанных факторов, которые являются предметом изучения различных разделов механики: теории термоупругости, теории пластичности и ползучести, теории теплопроводности, термодинамики и др. Однако особенности работы теплонапряженных конструкций требуют, как правило, совместного рассмотрения упомянутых разделов механики и планомерного их применения с единых общих позиций. Такой путь позволяет квалифицированно ориентироваться во взаимосвязанных вопросах, возникающих при решении сложных прикладных задач термопрочности. К таким вопросам, прежде всего, следует отнести вопросы постановки и решения краевых задач по определению температурного и напряжённо-деформированного состояний элементов конструкций с учётом неупругого поведения материалов при переменных режимах тепловых и силовых воздействий для оценки работоспособности теплонапряженных конструкций и выбора оптимальных режимов проведения технологических процессов.
Согласно формуле специальности «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры» одной из основных задач является изучение закономерностей механических явлений и связанных с ними тепловых процессов, осуществляемое с целью создания научных основ проектирования новых поколений машин, приборов, аппаратуры и технологий. В областях исследования, относящихся к указанной специальности, — механике материалов, математическом моделировании поведения технических объектов и их несущих элементов при статических, динамических и тепловых воздействиях — на текущий момент времени актуальными являются следующие основные задачи: 1) всесторонний охват общего случая больших деформаций с целью повышения точности расчётов теплонапряженных конструкций и технологических процессов, 2) теоретическое описание скоростного упрочнения материалов для практического использования эффекта превышения
динамического предела текучести над статическим пределом текучести; 3) выяснение механизма тепловой инерции с целью учёта конечной скорости распространения тепловых возмущений при расчёте быстропротекающих процессов. Поясним коротко содержание перечисленных задач и покажем их важность. Градиент деформации определяется формулой
F{t,X) = ax(t,X)/dX, где x=x[ttX) - закон движения среды, X и х — радиус-векторы точки среды в отсчётной и актуальной конфигурациях соответственно. По формуле полярного разложения Коши
F = RU = VR, где R - сопутствующий деформации ортогональный тензор вращения, V и U - левый и правый тензоры чистого растяжения, являющиеся симметричными, положительно определёнными тензорами [121, 212]. Теорема разложения Коши утверждает, что деформацию, локально соответствующую F, можно получить, либо осущестйляя чистое растяжение вдоль некоторых трех взаимно ортогональных направлений и последующий поворот этих направлений, либо осуществляя сперва тот же самый поворот, а затем те же растяжения, но вдоль соответствующих новых направлений (рис. В.1).
Рис. В.1. Разложение деформации на растяжение и поворот: -а — элемент среды в отсчётной конфигурации; Ъ — элемент среды в актуальной конфигурации; с — элемент среды после деформации чистого растяжения из отсчётной
конфигурации и до поворота в актуальную конфигурацию; d—элемент среды после поворота из отсчётной конфигурации и до
деформации чистого растяжения в актуальную конфигурацию
Линейный тензор деформации
е = 0.5[н + Нт)
получается из тензора конечной деформации
Е = 0.5[н + Нт+Нт #) отбрасыванием нелинейных членов. Здесь Н = ди/дХ - градиент смешений и- х-Х (Н = F -1, где / - единичный тензор). При одноосном растяжении (сжатии) вдоль оси Xj, когда F -U — V, R = I, такое отбрасывание допустимо с погрешностью около 5 %,
если только деформация Sj j = \1-Iq )/Iq не превышает примерно 10 % (рис. В.2). 0.1
-0.1
0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
Рис. В.2. Погрешность пренебрежения нелинейными членами
при чистом растяжении (сжатии) стержня от длины /0 до длины /
При квазистатическом повороте, например, вокруг оси *з с направляющим ортом 3 на некоторый угол ф градиент деформации F = R = Ico$q>+e2e3(\-costy)+e3 xJsin(p, а U -V = / [121]. Поэтому, как и должно быть, тензор конечной деформации Е — 0, но
линейный тензор деформации є = 0.5[jR + R J-1-Ф- 0. В результате при использовании закона Гука Т = \\теі + 2\\ с линейным тензором деформации є (А., \х -упругие постоянные Ламе) получаются отличные от нуля значения компонент тензора напряжений (рис. В.З). К примеру, для алюминиевого сплава АМцМ (Х.=45.9 ГПа, ц=27 ГПа, а^=50
= V(3/2>
МПа [157]) интенсивность напряжений <5и = Vl3/2Jtr7^ (Г - девиатор тензора напряжений) достигает предела текучести <з$ при повороте на угол, чуть меньший двух с половиной градусов (рис. В.4). В действительности же тензор напряжений должен быть равен нулю. Данное обстоятельство настоятельно требует методичного рассмотрения общего случая конечных деформаций.
ТІр ГПа .-0.1
-0.2
-0.3
Ф, град
Рис. В.З. Значение компонент тензора напряжений в приближении малых деформаций при чистом вращении для алюминиевого сплава АМцМ
Ф, град >
Рис. В.4. Зависимость интенсивности напряжений от угла поворота в приближении малых деформаций при чистом вращении для алюминиевого сплава АМцМ
Переход к описанию свойств материалов при конечных деформациях сопряжён с большими трудностями. Некоторые из них можно проиллюстрировать на примере модели идеально пластической среды Прандтля-Рейсса. В приближении малых деформаций уравнения Прандтля-Рейсса можно представить в виде [95]
-н(^гТ2-с])н(т:т)^Т
U J 'trf2
-tf(-trf2
T = XtreI + 2\i или в другой, эквивалентной форме записи Т = ХШ + 2\х
G2|tf
(f:*)i*V trf2 .
(В.1)
(B.2)
Здесь точка сверху указывает на полную (материальную или субстанциональную) производную по времени, Н(х) - функция Хевисайда:
#(*)=
[і при д: > О, [О при х<0.
Формальное обобщение определяющих соотношений (B.I), (В.2) и других подобных им соотношений (например, для упрочняющегося материала) для больших деформаций в
ряде случаев получают простой заменой материальных производных Т, є коротацион-ными производными (производными Олдройда, Коттера-Ривлина, Яуманна-Нолла и т.д.) некоторых тензорных мер напряжений и деформаций, которые удовлетворяют принципу материальной объективности. Выбор коротационных производных может быть осуществлён бесчисленным множеством способов. Например, в монографии [95] используются два обобщения: в первом обобщении используется замена
S-+T, S->t, Ё->ё, (В.З)
во втором обобщении привлекается замена (знак А—> В означает, что А заменяет В)
T->T,Tf{->f,D-+e, (В.4)
S = {detF)F-l-T'[F-lJ
- второй тензор напряжений Пиола-Кирхгофа (энергетический тензор напряжений [121]),
Т" =t-WT + T W + TXrD
- объективная производная Хилла,
D = 0.5(v v+ V vr), W = 0.5(v v- V vT)
- тензор скоростей деформации и вихревой тензор соответственно.
К сожалению, указанные (и подобные им)
замены зачастую приводят к сильно отличающимся результатам [164]. Так в задаче простого сдвига (рис. В.5)
Рис. В.5. Деформация простого сдвига
хх=Хх+ X>tgy ,х2=Х2,х3=Х3, где Х{, Xj - декартовые координаты точки среды в отсчётной и актуальной конфигурациях соответственно. Получающиеся при этом результаты свидетельствуют о существенном (количественном и качественном) отличиях (рис. В.6). Поэтому трудно отдать предпочтение какому-то одному из обобщений.
Тір Тій 1.0
0/5
-0.5
-1.0 0
7/,-, ГПа 0.4
0.3
0.2
0.1
7}.-,МПа
Г13=Г23=0
I _J
40 t.c 60
20 40 f,c 60 0 20
а) в приближении малых деформаций
Гу-,МПа 80
О 20 40 t,c 60 0 20 40 /,с 60
б) с учётом больших деформаций по обобщению (В.З)
Г/^КПа Гу-,МПа
/,с
О 20 40
в) с учётом больших деформаций по обобщению (В.4)
Рис. В.6. Расчётные значения компонент тензора напряжений при простом сдвиге
(за первые 60 с угол сдвига у изменяется на 6) по модели Прандтля-Рейсса
при ^ =45.9 ГПа, ц =27 ГПа, Оу=50МПа
Известны и другие, альтернативные подходы, основанные на различных способах разложения полной деформации на упругую и пластическую составляющие [151, 164, 228, 252]. В этом случае также возникают сложные вопросы, требующие детального изучения.
Вторая из отмеченных актуальных задач связана с эффектом скоростного (вязкого) упрочнения материалов. Как учит опыт, у многих материалов динамический передел текучести значительно превышает статический предел текучести (у низкоуглеродистых сталей — в 2-3 раза [141, 176]). При попытке описать данный эффект возникают серьёзные трудности, которые не удаётся преодолеть традиционными методами динамической теории пластичности. Вызвано это главным образом тем обстоятельством, что «зависи-мость поверхностей текучести от реологических явлении приводит к некоторой неопределённости, так как неизвестны ни расположение мгновенной поверхности текучести в пространстве напряжений, ни местонахождение точки, в которой достигается пластическое состояние. Направление гиперплоскости, касательной в рассматриваемой точке к мгновенной поверхности текучести, тоже неоднозначно» [176]. Согласно [176] впервые на эти трудности обратили внимание Нахди и Мёрч в 1963 г. Обзор специальной научной литературы, посвященной высокоскоростному взаимодействию тел, показывает, что решение данной задачи пока не найдено (см., например, [39, 70, 214, 215, 231]). Описание эффектов скоростного упрочнения конструкционных материалов, особенно при больших деформациях, требует новых подходов, опирающихся на классическую теорию пластичности и основанных на фундаментальных законах механики сплошных сред.
Практическую значимость третьей актуальной задачи термомеханики, касающейся проблемы бесконечной скорости распространения тепловых возмущений (теплового парадокса), можно пояснить на примере распространения звуковых волн в инертных газах. Как видно из рис. В.7 (подробности в разд. 1), теория Эйлера для невязкого и нетеплопроводного газа даёт удовлетворительные результаты только на низких частотах. Учёт вязкости и теплопроводности газа улучшает совпадение теоретических и опытных данных на средних частотах. Однако на высоких частотах расхождение всё ещё остаётся
Под реологическими явлениями понимаются эффекты, зависящие от масштаба времени (из примечания редактора перевода [176]). В их число входят все вязкие эффекты скоростного упрочнения, в частности, эффект превышения динамического предела текучести над статическим пределом текучести.
значительным (согласно опытным данным \/а —> 0.5 при 1/со —> 0). В качестве главной причины такого несоответствия указывается на тепловой парадокс классической теории теплопроводности [259]. Учёт тепловой инерции повысит точность рассчитываемых нагрузок на летательные аппараты, движущихся с гиперзвуковыми скоростями. То же самое касается описания интенсивных импульсных воздействий и высокоскоростных взаимодействий твёрдых тел (взрыв, механический и тепловой удар, распространение ударных волн и т.п.), поскольку с точки зрения теории определяющих соотношений газы, как материалы с термовязкоупругими свойствами, являются частным случаем деформируемых твёрдых тел, проявляющих термовязкоупругопластические свойства. Данная проблема требует всестороннего (феноменологического, молекулярно-кинетического и экспериментального) изучения.
0.01
1/оГ
Рис. В.7. Зависимость безразмерной фазовой скорости звука а от безразмерной частоты ю для инертных газов
Такова в общих чертах краткая характеристика основных задач исследования. При их решении возникают дополнительные (общие и частные) вопросы, ответы на которые зачастую имеют самостоятельное значение для разных научных дисциплин (рис. В.8). Одним из значимых и наиболее сложных вопросов является вопрос термодинамического описания локально-неравновесных процессов, без ответа на который невозможно подойти к решению связанных термомеханических задач. В свою очередь, данный вопрос требует рассмотрения ряда внутренних вопросов современной термодинамики.
Основные актуальные задачи исследования
Механические задачи
Задачи теплообмена
Учёт геометрической нелинейности (большие деформации)
Описание эффектов скоростного (вязкого) упрочнения материалов
Проблема бесконечной скорости
распространения тепловых возмущений (тепловой парадокс)
Требуется совместное решение следующих вопросов:
кинематического описания пластических сред
назначения условий пластичности
получения общих определяющих соотношений (уравнений состояния)
Требуется комплексный подход: феноменологический подход молекулярно-кинетический подход экспериментальная проверка
Связанные термомеханические задачи по учёту взаимного влияния механических и тепловых процессов
Термодинамическое описание локально-неравновесных процессов
Требуется решение внутренних вопросов термодинамики: назначение параметров состояния вязкоупругопластических сред существование и свойства температуры и энтропии в неравновесных условиях общая запись диссипативных неравенств
Рис. В.8. Общее содержание основных задач исследования
Механика сплошной среды является динамично развивающейся наукой. Лежащие в её основе фундаментальные законы природы применимы к описанию поведения разнообразных сред. Чтобы замкнуть систему уравнений для конкретной сплошной среды, нужны определяющие соотношения. Примером соотношений, успешно применяемых при решении многих практически важных задач, могут служить уравнения состояния классической теории упругости и пластичности, классической гидрогазодинамики и теории теплопроводности. Вне границ применимости классических теорий (конечные деформации, быстропротекающие процессы нагружения и теплообмена и т.п.) нужны более точные определяющие соотношения. Чтобы получить такие соотношения, наряду с экспериментальными исследованиями необходимы общие теоретические подходы, которые отделяли бы физически допустимые определяющие соотношения от физически неприемлемых. Основы таких подходов заложены в работах А.А. Ильюшина, Л.И. Седова, А.И. Лурье, У. Нолла, К. Трусделла (см., например, [68, 121, 189, 212, 261]).
Став одним из самостоятельных разделов механики сплошных сред, теория определяющих соотношений непрерывно развивается. Совершенствуется математический аппарат, расширяется круг изучаемых явлений, уточняются формулировки ряда физических положений, предлагаются новые, иногда радикальные обобщения [9, 32, 52-54, 91, 93, 103, 132, 139, 154, 162, 164, 180, 208, 216, 228, 243, 258, 259]. Во многом это связано с тем, что механика сплошной среды представляет собой обширную и очень разветвлённую науку, включающую теории упругости, вязкоупругости, пластичности и ползучести, гидроаэродинамику, динамику многофазных, химически реагирующих сред и т.п. Поэтому сразу уложить в единые рамки всё разнообразие свойств материальных тел очень трудно. Более доступным представляется планомерное продвижение к цели за счёт постепенного усложнения моделей сплошных сред, охватывающих каждый раз более широкий круг явлений.
Одним из методов прямого построения определяющих соотношений является последовательное применение постулата макроскопической определимости [68]. Физическая трактовка этого постулата предельно ясна. Все трудности проистекают от чрезвычайной сложности математической структуры соответствующих функционалов. Поэтому при выводе определяющих соотношений приходится прибегать к упрощающим допущениям. Обоснованием указанных допущений служат прямые экспериментальные исследования и/или общие теоретические положения, хорошо зарекомендовавшие себя на практике и в смежных областях теоретической физики. Например, в курсе механики сплошной среды А.А. Ильюшина [68] привлекаются методы статистической механики, поясняющие не только вывод законов сохранения массы, импульса и энергии, но и причины возникновения и идеи введения новых макроскопических характеристик среды. При этом в [68] от-
мечается, что всякий раз для более полного понимания вводимых феноменологических понятий и величин целесообразно давать им кинетическое обоснование, устанавливая взаимосвязь с их статистическими аналогами.
При моделировании поведения реальных материалов следует учитывать важное замечание А.Ю. Ишлинского о том, что в механике сплошной среды одним из главных понятий является понятие силы (тензора напряжений) [72]. При решении задач, не связанных существенным образом с теплообменом и другими физическими явлениями немеханического характера, силовой подход должен быть основным. Примером такой задачи может служить изотермический процесс квазистатического деформирования упругопластического твёрдого тела. При корректном (с точки зрения механики) разложении тензора напряжений на упругую и диссипативную составляющие все термодинамические ограничения заведомо будут выполняться, даже если они явно не формулируются или просто неизвестны.
В настоящее время широкое распространение получил термодинамический метод построения определяющих соотношений [20, 32, 91, 121, 132, 154, 212]. Математический аппарат данного метода удобен, а схема его применения универсальна. Отличия проявляются главным образом при конкретизации параметров состояния и выборе соответствующего аналога второго начала термодинамики (диссипативного неравенства). Как правило, диссипативное неравенство постулируется, а параметры состояния задаются. Благодаря этому соблюдается математическая и физическая корректность метода. Однако разнообразие известных и вновь предлагаемых диссипативных неравенств столь велико, что зачастую трудно понять, какое из них действительно является эквивалентом второго начала термодинамики. Ознакомившись с достаточным числом опубликованных работ, посвященных развитию термодинамического метода, становится очевидным, что свойства энтропии в неравновесных условиях ещё мало изучены. Поэтому теоретическое и экспериментальное исследование локально-неравновесных процессов в сплошных средах является одной из актуальных задач современной термодинамики.
Практически сразу после становления классической термодинамики равновесных процессов начались интенсивные исследования по изучению неравновесных термодинамических систем [46, 48]. В последнее время интерес к данной тематике существенно возрос [42, 216]. Особое внимание уделяется построению локально-неравновесных теорий, приводящих к гиперболическому уравнению теплопроводности [154, 202, 203, 247]. Связано это как с логикой внутреннего развития науки, так и с потребностью промышленности в новых высокоэффективных технологиях. Устранение парадокса бесконечной скорости распространения теплоты может существенно повысить точность расчетов быстропроте-кающих процессов, например, нестационарных волн химического превращения, когда рас-
пространение пламени от начального очага реакции существенно зависит от скорости пространственного перераспределения выделяющейся теплоты и образующихся активных центров [126]. Уточнённые уравнения играют важную роль при описании ударных волн в твёрдых телах, при исследовании сверхзвуковых течений в газах, особенно в тех случаях, когда скорость течения больше или равна скорости распространения тепловых возмущений. Фактически проблема бесконечной скорости распространения теплоты является одним из узких мест современной термодинамики. При решении этой задачи возникают серьёзные трудности, на которых оттачиваются известные и проверяются новые физические предположения о свойствах энтропии в неравновесных условиях. Поэтому получаемые результаты имеют значение не только для описания процессов теплообмена, но и для построения уточнённых определяющих соотношений термодинамическим методом.
В настоящее время считается общепринятым, что классическая термодинамика Клау-зиуса-Кельвина строго применима только для равновесных и локально-равновесных состояний. Но, с другой стороны, основные постулаты данной теории — второе начало термодинамики (постулаты Клаузиуса и Кельвина) и принцип эквивалентности между теплотой и работой — справедливы для любых состояний термодинамической системы. Налицо явное несоответствие в общности исходных посылок и получаемых из них выводов. Чтобы устранить указанное несоответствие, надо отказаться от ряда упрощающих допущений, ограничивающих общность классической теории, и объединить в одном исследовании физические идеи и математические приёмы классической и современной термодинамики. На этом пути немаловажную роль может сыграть конкретизация следующего физического положения: если термодинамическую систему (индивидуальный объём среды) подвергнуть внешнему воздействию (приложить внешние силы или подвести теплоту от внешних источников), то у неё должен измениться хотя бы один из параметров состояния. Данное положение лежит в основе классической термодинамики, на его значимость для современной термодинамики обращается внимание в курсе механики сплошной среды Л.И. Седова [189].
Разработка новых и совершенствование существующих термомеханических методов моделирования определяющих соотношений невозможны без решения ряда внутренних вопросов современной термодинамики. Особенно тщательного анализа требуют понятия температуры и энтропии, существенно влияющие на развитие теории определяющих соотношений. Принципиально важным является всестороннее (феноменологическое, моле-кулярно-кинетическое и экспериментальное) обоснование физических положений, закладываемых в основу термодинамического описания.
Цель диссертационной работы: развитие термомеханических методов количественного описания статического (термоупругого, термоупругопластического) и динамического (термовязкоупругого, термовязкоупругопластического) поведения материалов с учётом больших деформаций, вязких эффектов скоростного упрочнения и конечности скорости распространения тепловых возмущений для повышения точности расчётов теплонапряжённых конструкций и технологических процессов.
Для достижения цели поставлены следующие задачи исследований:
построить общую феноменологическую теорию локально-неравновесных процессов в вязкоупругих сплошных средах (твёрдых, жидких и газообразных) за счёт отказа от упрощающих допущений, ограничивающих общность классической термодинамики Клаузиуса-Кельвина, и без привлечения физических положений, выходящих за рамки классических представлений;
не постулировать, а установить из первых принципов термодинамики общие свойства энергии, энтропии и меры нагретости (температуры) в локально-неравновесных состояниях вязкоупругих сплошных сред;
преодолеть тепловой парадокс, выяснив механизм, по которому в природе реализуется конечная скорость распространения тепловых возмущений;
получить термодинамически согласованные уравнения состояния нелинейной теории термоупругости;
разработать термомеханический метод построения определяющих соотношений вязкоупругопластических твёрдых тел при конечных и малых деформациях, основанный на принципах детерминизма (макроскопической определимости), локального действия, объективности поведения материалов и учитывающий специфические особенности пластически деформируемых твёрдых тел;
дать новым феноменологическим результатам достаточно полное молекулярно-кинетическое обоснование;
проверить полученные теоретические результаты, сопоставив их с экспериментальными данными, содержащимися в научной литературе, и существующими теориями, которые нашли широкое распространение.
Перечисленные задачи исследования ограничены классом вязкоупругих и вязкоупругопластических материалов, состояние которых в данной точке среды и в данный момент времени определяется конечным числом параметров (включая внутренние (структурные) параметры состояния), берущихся в той же точке среды и в тот же момент времени. Под упругостью в чистом виде понимается свойство тел восстанавливать свою первоначальную форму после снятия внешних нагрузок. Под вязкостью понимается свойство мате-
риалов сопротивляться деформации, которое проявляется в динамических процессах и исчезает (не наблюдается) в квазистатических процессах деформирования. Под пластичностью понимается свойство материалов сопротивляться деформации, которое проявляется в квазистатических и динамических процессах в равной степени. Такая качественная характеристика отличительных особенностей упругости, вязкости и пластичности оптимальным образом приспособлена для термомеханического описания рассматриваемого класса вязкоупругопластических сплошных сред (подробнее см. разд. 2.3).
В первой главе даётся обзор термодинамических методов получения определяющих соотношений и подробно рассматривается проблема бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Поскольку реальные тела проявляют большое разнообразие свойств в зависимости от своей физической структуры и типа внешних воздействий, дать исчерпывающее описание всех разрабатываемых направлений во всей их глубине невозможно. Поэтому обзор ограничен теми термодинамическими подходами, в которых используется модель сплошной среды с конечным числом параметров состояния, и теми публикациями, которые способствуют пониманию существа ставящихся вопросов. Это допустимо, так как во многих цитируемых работах содержится описание других, более общих моделей, приводятся обширные библиографические ссылки.
Сначала рассматриваются термодинамические методы, использующие понятие неравновесной энтропии, свойства которой описываются диссипативным неравенством Клаузиуса-Дюгема и диссипативным неравенством Клаузиуса-Планка,-основанным на понятии функции рассеяния энергии. Основное внимание обращается на выбор списка параметров состояния. Ставится вопрос, почему в некоторых случаях для девиатора тензора напряжений Т пластической среды возникает двойное равенство вида
Т = 2ц(є-р)=гР/
Затем приводятся термодинамические методы, исключающие понятие неравновесной энтропии. С наибольшими подробностями излагаются работы Мейкснера, который при построении локально-неравновесной термодинамики не допускает существования неравновесной энтропии, ссылаясь на слова Кирхгофа: «... понятие энтропии, которая может быть измерена, а следовательно, и определена только в обратимых процессах, не применимо к необратимым процессам».
Проблема бесконечной скорости распространения тепловых возмущений рассматривается с позиций теории Максвелла-Каттанео-Лыкова, расширенной необратимой термодинамики, обобщённой больцмановской кинетической теории, рациональной термодинамики и термодинамики сплошных сред, использующей функцию рассеяния энергии.
Кратко излагается содержание руководящих идей. Действие классических и уточнённых уравнений иллюстрируется на двух задачах (по распространению звуковых колебаний и структуре ударных волн в инертных газах), которые используются в научной литературе для тестирования новых подходов к данной проблеме.
Вторая глава посвящена анализу основных положений термомеханики сплошных сред: температуре, энтропии, функции рассеяния энергии, описанию состояния сплошных сред конечным числом параметров, кинематике пластических сред.
Изложение начинается с анализа понятий температуры и энтропии, которые занимают центральное место в термодинамике. Главная цель — выяснить, какие свойства указанных величин известны достоверно и не подвергаются сомнению. Обсуждаются существование температуры, общие положения термометрии, числовая характеристика эмпирической температуры, независимость от выбора системы отсчёта, нулевое начало термодинамики. Формулируются физические положения, которых достаточно для построения содержательной феноменологической теории, согласованной с существующими способами измерения температуры. Показывается, что известные из кинетической теории газов энтропия Гиббса, энтропия Больцмана и энтропия Клаузиуса лишь частично обладают свойствами, которыми наделяется неравновесная энтропия. В феноменологической термодинамике приходится говорить об энтропии Клаузиуса, Колемана, Грина-Линдсея, Мюллера и т.д., которые удовлетворяют разным неравенствам и имеют разные значения вектора потока и объёмного производства. Вопрос об их существовании является открытым. Если под вторым началом термодинамики понимать постулаты Клаузиуса и Кельвина, то достоверно установлено только то, что в равновесных условиях энтропия существует у вязкоупругих сред, а её величина возрастает при адиабатическом переходе из одного состояния глобального равновесия в другое такое же состояние.
В третьей главе развивается термодинамический метод Клаузиуса-Кельвина для описания локально-неравновесных процессов в вязкоупругих сплошных средах дифференциального типа, набор параметров состояния которых содержит все временные, пространственные и смешанные производные от закона движения среды и закона изменения температуры заданного порядка. Два фактора — конечное число параметров состояния и вязкоупругие свойства среды — имеют принципиальное значение. Последнее ограничение обеспечивает термодинамическую обратимость квазистатических процессов. В результате получается, что классическая теория Клаузиуса-Кельвина является не термостатикой, как это обычно полагается, а термодинамикой в полном смысле этого слова. Область применимости уравнения Клаузиуса, составляющего основу классической термодинамики равновесных процессов, и вытекающих из него соотношений охватывает все возможные состояния вязкоупругих сплошных сред указанного типа.
Четвёртая глава посвящена дальнейшему развитию термодинамики локально-неравновесных процессов и теории определяющих соотношений вязкоупругих сплошных сред. Основные усилия сосредоточены на выводе общих определяющих соотношений для внутренней энергии, вектора теплового потока и тензора напряжений, на описании термоупругих свойств материалов (нелинейной теории термоупругости), на проблеме бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Особое внимание уделено термодинамическому описанию процессов диссипации энергии, выработке и всестороннему (феноменологическому, молекулярно-кинетическому и экспериментальному) обоснованию принимаемых физических положений. В заключение главы даётся описание вязкоупругих сплошных сред релаксационного типа (вязкоупругих сред с внутренними параметрами состояния) и анализируется физическая природа локально-неравновесной составляющей внутренней энергии. Ограничение на вязкоупругость среды (термодинамическую обратимость квазистатических процессов) используется для доказательства ограниченного числа термодинамических соотношений. Поэтому большая часть полученных результатов (главным образом, определяющие соотношения для внутренней энергии, вектора теплового потока и тензора напряжений при конечных деформациях и интенсивном теплообмене) применима также к вязкоупругопластическим средам без внутренних (структурных) параметров. Примерами таких сред могут служить концентрированные топлива, смазки, буровые и промывочные жидкости, пульпы, пласты, строительные растворы, пищевые и фармацевтические массы, наполненные ракетные топлива, некоторые сверхпластические материалы [38, 68, 115, 147].
В пятой главе дано термомеханическое описание вязкоупругопластических сред дифференциального типа с внутренними (структурными) параметрами (тензором необратимой деформации, параметрами упрочнения, начальной (физической) и деформационной (наведённой) анизотропии) при больших деформациях, сложном нагружении и интенсивном теплообмене. Фактически эта глава подводит итог проведённому исследованию и содержит, как частный случай, почти все ранее полученные результаты. Поэтому для неё был выбран стиль изложения, близкий к аксиоматическому. Вначале формулируются постулируемые положения (их обоснованию посвящены предыдущие главы), затем устанавливаются вытекающие из них следствия.
Отличительной особенностью предложенного подхода является то, что закон изменения необратимой (пластической) деформации и условия пластичности не назначаются, а выводятся из определяющих соотношений, описывающих тензор напряжений при пластическом и изопластическом режимах деформирования. Общий вид определяющих соотношений (с точностью до скалярных коэффициентов) устанавливается с помощью известных теорем об изотропных функциях благодаря усовершенствованной технике традиционного применения принципа объективности материалов.
Разработанный термомеханический метод моделирования определяющих соотношений иллюстрируется на примерах изотропных вязкоупругопластических сред в приближении малых деформаций. Полученные результаты согласуются с классической теорией пластического течения и расширяют возможности известных теорий вязкопластичности, используемых при постановке разнообразных прикладных задач.
Построен также термодинамический формализм, позволяющий описывать квазистатические и динамические процессы деформирования. Порядок его применения проиллюстрирован на ряде практически важных примеров.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата, выбором в качестве исходных посылок общепризнанных физических положений: гипотезы сплошности, законов сохранения массы, импульса и момента импульса, принципа детерминизма (макроскопической определимости), принципа локального действия, принципа объективности поведения материалов, принципа эквивалентности между теплотой и работой (первого начала термодинамики), постулатов Кельвина и Клаузиуса (второго начала термодинамики), нулевого начала термодинамики, третьего начала термодинамики (тепловой теоремы Нерпста), а также широко распространённого представления о поверхности текучести и хорошо зарекомендовавшего на практике разложения полной деформации на обратимую и необратимую составляющие. Теоретические зависимости по нелинейной теории термоупругости подтверждены общеизвестными экспериментальными данными. Разработанный для вязкоупругопластических сред термомеханический метод приводит к результатам, которые согласуются с результатами других авторов, в том числе, классическими. Термодинамическая теория локально-неравновесных процессов выдержала проверку на задачах, используемых в научной литературе для тестирования новых подходов к проблеме бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Новые феноменологические положения нашли исчерпывающее молекулярно-кинетическое обоснование.
Научная новизна основных результатов диссертационной работы. Впервые в одном исследовании современный подход к понятиям теплоты и работы объединён с классическими представлениями о свойствах теплоты и работы. Введены понятия реакции среды на внешнее механическое и тепловое воздействие, с помощью которых решена задача по расширению классической термодинамики на локально-неравновесные процессы в вязкоупругих средах дифференциального типа за счёт снятия упрощающих допущений, ограничивающих общность теории Клаузиуса-Кельвина рамками равновесных и локально-равновесных процессов. Существование энергии и энтропии доказывается, а их свойства в локально-неравновесных условиях устанавливаются как следствия первых принципов термодинамики (принципа эквивалентности
между теплотой и работой, нулевого и второго начала термодинамики в форме постулатов Клаузиуса и Кельвина). Для любых неравновесных состояний вязкоупругих сред дифференциального типа доказана справедливость уравнения Клаузиуса, составляющего основу классической термодинамики равновесных процессов.
Предложено решение проблемы бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Всесторонне (включая кинетическую теорию) изучен вопрос существования термической энергии (локально-неравновесной составляющей внутренней энергии). Подтверждено, что наряду с диффузионным механизмом тепловой инерции в природе реализуется также объёмный механизм тепловой инерции.
Получены общие зависимости нелинейной теории термоупругости, а также выражения для термоупругих характеристик изотропных материалов в широком диапазоне изменения температуры и давления окружающей среды. Сопоставлением с опытными данными показано, что в широком диапазоне температур и давлений поликристаллический алюминий является гиперупругим материалом с высокой точностью.
Предложен термомеханический метод, позволяющий получать определяющие соотношения вязкоупругопластических сред при больших деформациях и скоростях их изменения в условиях интенсивного теплообмена. Представлена в общем виде и проиллюстрирована на конкретных примерах процедура вывода закона изменения необратимой деформации и критериев пластичности в пространствах напряжений и деформаций. Описаны условия, при которых имеют место критерии пластичности Трес-ка-Сен-Венана, Губера-Мизеса, Ишлинского-Прагера, Кадашевича-Новожилова и их обобщения, учитывающие влияние вязкости при динамическом деформировании. Указаны частные случаи, когда полученные определяющие соотношения вязкоупругопла-стической среды приводят к моделям вязкоупругих тел Фойгта, Кельвина и Максвелла. Усовершенствована техника традиционного применения принципа объективности поведения материалов, которая позволяет устанавливать общий вид определяющих соотношений с точностью до скалярных коэффициентов. Определён тип тензоров, характеризующих диссипативные свойства твёрдых и текучих сред.
Разработан термодинамический формализм, описывающий поведение вязкоупругих и вязкоупругопластических сред (с конечным числом параметров состояния, в том числе, внутренних) в локально-неравновесных условиях. Предложены обобщающие понятия неравновесной температуры и неравновесной энтропии. Методика применения термодинамического формализма проиллюстрирована на практически важных примерах. Найдены конкретные выражения для обратимых и необратимых внутренних сил (по терминологии Г. Циглера), неравновесной температуры и неравновесной энтропии.
Научная значимость и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты служат основой для разработки уточнённых моделей сплошных сред со сложными свойствами, совершенствования существующих и создания новых высокоинтенсивных технологий. Например, они могут быть полезны при определении термоупругих характеристик конструкционных материалов; при постановке краевых задач обработки металлов давлением, в том числе, в состоянии сверхпластичности; при разработке энергетических установок, летательных и химических аппаратов. Результаты работы могут быть использованы при обучении студентов и переподготовке специалистов.
На защиту выносится:
Разработка термодинамической теории локально-неравновесных процессов в вязкоуп-ругих и вязкоупругопластических средах с конечным числом параметров состояния, основанной на совместном применении фундаментальных законов механики сплошных сред и первых принципов классической термодинамики.
Существенное развитие теории определяющих соотношений вязкоупругих и вязкоупругопластических сред с конечным числом парахМетров состояния, которая обобщает существующие феноменологические модели неупругих твёрдых тел.
Благодарности. Автор благодарит сотрудников кафедры волновой и газовой динамики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Шемякина Е.И. за активное обсуждение теоретических вопросов, доброжелательную критику и полезные советы, которые способствовали решению поставленных задач исследования. При анализе особенностей некоторых математических моделей большая помощь была оказана со стороны профессора Бровко Г.Л., профессора Быкова Д.Л., профессора Васина Р.А., профессора Карташова Э.М. и доцента Молодцова И.Н. Автор выражает сердечную признательность коллегам по работе профессору Белому В.Д., профессору Бумагину Г.И. и профессору Шалаю В.В. за постоянное внимание и поддержку при проведении научных исследований по теме диссертации. Диссертант считает приятным долгом выразить глубокую благодарность профессору Бурьяну Ю.А. и профессору Кийко И.А. за научное консультирование и постоянную заботу в период нахождения в докторантуре Омского государственного технического университета, во время продолжительных командировок и многомесячной стажировки на кафедре теории упругости МГУ им. М.В. Ломоносова.
