Содержание к диссертации
Введение
1. Развитие методов расчетов на сейсмостойкость
1.1. Актуальность антисейсмических расчетов зданий и сооружений 5
1.2. Нормативные методы расчета на сейсмостойкость 13
1.3. Развитие методов оценки прочности и параметров надежности конструкции при сейсмическом воздействии .19
1.4. Цель работы , 43
2. Моделирование сейсмического воздействия в расчетах на сейсмостойкость
2.1. Способы описания сейсмических воздействий .44
2.2. Статистическое моделирование сейсмических воздействий 49
3. Расчетные схемы зданий и сооружений при расчетах на сейсмические воздействия
3.1. Схематизация зданий и сооружений при расчетах на сейсмостойкость 61
3.2. Сдвиговая модель здания.. 63
3.3. Шарнирно-стержневая модель здания 66
3.4. Собственные частоты и собственные формы малых колебаний 70
4. Особенности расчетов при интенсивных сейсмических воздействиях
4.1. Описание пластического деформирования 75
4.2. Модели, учитывающие накопление повреждений 80
4.3. Численное моделирование и анализ результатов 83
5. Применение метода статистического моделирования для оценки сейсмического риска
5.1. Схема статистического моделирования в антисейсмических расчетах 95
5.2. Экстраполяция как средство оценки сейсмического риска... 98
Сводка результатов и выводы 104
Литература
- Нормативные методы расчета на сейсмостойкость
- Статистическое моделирование сейсмических воздействий
- Собственные частоты и собственные формы малых колебаний
- Модели, учитывающие накопление повреждений
Введение к работе
Понятия безопасности и риска являются составными частями проблемы надежности, а их основные качественные показатели аналогичны в математическом отношении соответствующим показателям в теории надежности. Среди природных источников риска для зданий и сооружений основное место принадлежит землетрясениям.
Как показали землетрясения в Мексике (1985), Армении (1988), Турции (1999), на Тайване (1999), в Иране (декабрь 2003), проблема обеспечения надежности конструкций при интенсивных сейсмических воздействиях остается актуальной.
В настоящее время считается общепризнанным, что описание сейсмических воздействий и оценка риска конструкций по отношению к ним (т.е. землетрясениям) возможно лишь с позиций теории вероятностей. При этом землетрясения рассматриваются как поток случайных событий, порождаемый тектоническими процессами в неоднородной и неоднородно напряженной земной коре. Сейсмические сотрясения на данной площадке есть реализации некоторого нестационарного (в общем случае векторного) случайного процесса. Параметры, характеризующие координаты эпицентра, глубину залегания фокуса, интенсивность, продолжительность сотрясения, спектральный состав и т.д., являются случайными величинами.
История применения вероятностных методов к антисейсмическим расчетам зданий и сооружений насчитывает около 40 лет. Первые работы принадлежат Болотину В.В., Окамото III., Канаи-Таджими и т.д. В 80-е годы Болотиным была построена статистическая теория сейсмостойкости, представляющая собой синтез теории сейсмического риска, динамики сооружений и теории надежности конструкций. В полной мере методы статистической теории сейсмостойкости могут быть реализованы с применением статистического моделирования (метода Монте-Карло).
4 Особенно это актуально для оценки сейсмического риска уникальных сооружений.
Данная работа посвящена реализации полной схемы метода статистического моделирования в теории сейсмостойкости: от моделирования потоков сотрясений, интегрирования уравнений движения упруго-пластического поведения конструкции, построения эмпирических распределений параметров качества, экстраполяции в область редких событий для оценки сейсмического риска.
При этом решались следующие вспомогательные задачи: —статистическое моделирование потоков землетрясений; —статистическое моделирование сотрясений различной балльности; —разработка расчетных схем каркасных зданий; —разработка моделей, учитывающих упруго-пластическую работу, накопление повреждений; —разработка алгоритмов и программ интегрирования нелинейных уравнений движения; —построение эмпирических функций распределения.
Нормативные методы расчета на сейсмостойкость
Нормы и правила расчетов на сейсмостойкость появились в начале XX века. В этих документах были использованы хорошо известные к тому времени методы расчета конструкций, схематизируемых как упругие системы, на постоянную статическую нагрузку. Совершенствование норм происходило за счет введения различных поправочных коэффициентов при определении сейсмической нагрузки. Первоначально предлагалось в качестве сейсмических сил S, действующих на сооружение, использовать произведение его массы на максимальное ускорение фунта при землетрясении: S = mamax=kcQ, (1.4) где Q = mg — вес сооружения, kc—amox/g— сейсмический коэффициент, характеризующий максимальную интенсивность движения на площадке, g - ускорение свободного падения.
Важным шагом в развитии методов расчета стало введение спектрального коэффициента динамичности р, характеризующего усиление колебаний по данной форме; S = kJQ. (1.5)
С использованием результатов измерения ускорений маятников с разными собственными периодами и коэффициентами затухания были построены стандартные спектры ускорений. По результатам многочисленных расчетов спектров реакции в национальных нормах разных стран были введены стандартные графики для коэффициента динамичности. На рис. 1.3 приведена зависимость, принятая в СНиП П-7-81 [31]. Эта кривая определяет связь между нормируемыми ускорениями сооружения, моделируемого системой с одной степенью свободы, и периодом его собственных колебаний.
Коэффициент динамичности имеет смысл отношения максимального абсолютного ускорения линейной системы с одной степенью свободы при сильном (расчетном) сотрясении к максимальному ускорению основания при этом сотрясении:
Здесь a(t) — ускорение основания с максимальным значением а0, тЕ — продолжительность интенсивной фазы сотрясения, u(t) — перемещение системы относительно колеблющегося основания, точки означают дифференцирование по времени.
Полная перерезывающая сила в основании сооружения в различных нормах определяется формулой (1.4) с дополнительными коэффициентами, учитывающими способность сооружения к неупругим деформациям, конструктивные особенности, грунтовые условия на площадке строительства и т.д. Расчетные модели сооружений принимаются в виде линейно упругих систем при статическом действии внешних нагрузок. Существующие нормы рекомендуется соблюдать при проектировании зданий и сооружений, возводимых в районах сейсмичностью 7,8 и 9 баллов. При проектировании зданий и сооружений для строительства в сейсмических районах надлежит: -применять материалы, конструкции и конструктивные схемы, обеспечивающие наименьшие значения сейсмических нагрузок; -принимать, как правило, симметричные конструктивные схемы, равномерное распределение жесткостеи конструкций и их масс, а также нагрузок на перекрытия; -предусматривать условия, облегчающие развитие в элементах конструкций и их соединениях пластических деформаций, обеспечивающие при этом устойчивость сооружения.
При проектировании зданий и сооружений для строительства в ш сейсмических районах следует учитывать: -интенсивность сейсмического воздействия в баллах (сейсмичность); -повторяемость сейсмического воздействия. Интенсивность и повторяемость следует принимать по картам сейсмического районирования территории России. Определение сейсмичности площадки строительства следует производить на основании сейсмического микрорайонирования. На площадках, сейсмичность которых превышает 9 баллов, возводить здания и сооружения, как правило, не допускается.
Расчёт конструкций и оснований зданий и сооружений, проектируемых для строительства в сейсмических районах, должен выполнятся на основные и особые сочетания нагрузок с учётом сейсмических воздействий.
Расчеты зданий и сооружений на особые сочетания нагрузок с учетом сейсмических воздействий следует выполнять:
а) с использованием инструментальных записей ускорений основания при землетрясении, наиболее опасных для данного здания или сооружения, а также синтезированных акселерограмм. При этом максимальные амплитуды ускорений основания следует принимать не менее 100, 200 или 400 см/с при сейсмичности площадок строительства 7,8 и 9 баллов соответственно.
Следует учитывать возможность развития неупругих деформаций конструкций.
б) на нагрузки, определяемые как: расчетная сейсмическая нагрузка , в выбранном направлении, приложенная к точке к и соответствующая і-му тону собственных колебаний зданий или сооружений, определяется по формуле Sik=K\K2S0ik- (1-7)
Здесь К1 - коэффициент, учитывает допускаемые повреждения зданий и сооружений. Коэффициент К2 учитывает конструктивные решения зданий и сооружений. В формуле (1.7) S0ik —значение сейсмической нагрузки для /-го тона собственных колебаний здания или сооружения, определяемое в предположении упругого деформирования конструкции по формуле S QtAPtKyTib, (1.8) где Qk — вес здания или сооружения, отнесенный к точке ку определяемый с учетом расчетных нагрузок на конструкцию; А — коэффициент, значения которого приняты равными 0.1; 0.2; 0.4 соответственно для расчетной сейсмичности 7, 8, 9 баллов; р,- - коэффициент динамичности, соответствующий /-му тону собственных колебаний здания (рис.М); Kv — коэффициент, учитывающий конструктивные решения здания по отношению к устойчивости; rjik - коэффициент, зависящий от формы деформации здания при его собственных колебаниях по і-му тону и от места расположения нагрузки. Сейсмические воздействия могут иметь любое направление в пространстве.
Для зданий и сооружений простой геометрической формы расчетные сейсмические нагрузки следует принимать действующими горизонтально в направлении их продольной и поперечной осей. Действие сейсмических нагрузок в указанных направлениях следует учитывать раздельно.
Статистическое моделирование сейсмических воздействий
Применение статистического моделирования для расчетов на сейсмостойкость предусматривает разработку стохастической модели сейсмического воздействия. В широком смысле под термином землетрясение можно было бы понимать любые сотрясения поверхности Земли. В более узком смысле под землетрясением понимается кратковременное сотрясение поверхности Земли, вызванное сейсмическими волнами, возникшими при местном нарушении сплошности с внезапным выделением в недрах коры или верхней мантии упругой энергии. Землетрясения образуют поток случайных событий, порождаемых более медленными тектоническими процессами в неоднородной и неоднородно напряженной земной коре. Каждое землетрясение характеризуется рядом случайных параметров, среди которых - координаты эпицентра, глубина залегания фокуса, освобождённая энергия и т.п. Сейсмические сотрясения на данной площадке представляют собой результат сейсмических волн, приходящих на площадку из эпицентральной области. Эти сотрясения также образуют поток случайных событий, характеризуемых макросейсмическими параметрами: интенсивностью, максимальным ускорением, продолжительностью сотрясения, параметрами его спектрального состава.
Вероятностная природа сейсмических сил имеет два источника. Первый состоит в том, что каждое землетрясение, взятое в отдельности, представляет собой случайный акт. Местоположение эпицентра, глубина залегания фокуса, количество выделившейся энергии, время, в течение которого произошло это выделение и т.п. — все эти интегральные признаки, характеризующие землетрясение, являются случайными величинами. Другим источником вероятностной природы землетрясения является то обстоятельство, что к каждой рассматриваемой точке земной поверхности сейсмические волны доходят после многократных явлений, присущих волновым процессам, таким как дифракция и интерференция. Кроме того, грунт является существенно неоднородной неизотропной средой. Вследствие этого движение грунта в каждом пункте представляет собой случайный процесс. Если бы было возможно получить для одного и того же пункта две акселерограммы двух совершенно идентичных по своим интегральным признакам землетрясений, т то они отличались бы между собой неповторимыми чертами. Их следовало бы рассматривать как две различные реализации случайного процесса с одинаковыми статистическими характеристиками. В качестве примера на рис.1.2. приведены акселерограммы движения грунта (Манагуа, 1972 год). Изменение перемещений, скоростей, ускорений грунта во времени представляют собой реализации нестационарного случайного процесса.
Как отмечалось выше, в сейсмически активном районе повторяющиеся через различные промежутки времени землетрясения образуют поток случайных событий. Таким образом, для оценки надежности при расчетах на сейсмостойкость возникает вопрос о построении модели сейсмического воздействия, имеющего двоякую случайную природу. Во-первых, движение грунта является нестационарным случайным процессом, во-вторых, сотрясение в данной местности есть поток случайных событий. Основы статистической модели сейсмического воздействия были заложены в работах В.В.Болотина [6,40]. Ниже приводится и в дальнейшем реализуется один из возможных вариантов данной статистической модели.
Поток сейсмических воздействий характеризуется двумя основными параметрами: интенсивностью воздействия и временем между следующими друг за другом сотрясениями. Очевидно, что при разбиении сейсмических воздействий на классы /,- (j=l,.,.,m) с ростом балльности землетрясения его интенсивность и время ожидания очередного землетрясения из этого класса возрастают, причём эти параметры являются случайными. Интенсивность землетрясения из класса /. будем характеризовать параметром Aj, который можно интерпретировать как некоторое пиковое значение ускорения грунта при землетрясения из класса /.. Номинальное (нормативное) значение этого параметра A0J возрастает в геометрической прогрессии с ростом j: A0j. = 2j 7, что соответствует номинальным ускорениям 1,2,4 мс"2 при j=7,8,9 соответственно. Ввиду отсутствия достоверной информации о параметре Aj примем априорное логарифмически равномерное распределение на отрезке [ау, a2j\ с функцией распределения lg(A,/an) FA(Aj)=- - — -, (2.1) lg(a2J/a,j)
Граничные значения а у и a2J подбираются таким образом, чтобы математическое ожидание параметра А, было близко к номинальному значению A0J: a}j=0J5AQj , a2J=1.5A0J. Распределение времени между двумя следующими друг за другом землетрясениями из класса 1, берётся в виде Fl(tJ) = l-exp[-{zjtjyi (2.2) Для частот повторяемости lj принята зависимость Aj=106 J (год"1).
В быстром масштабе времени сейсмическое воздействие представляет собой существенно нестационарный процесс. Горизонтальное ускорение грунта представляют в виде стационарного процесса р(т), модулированного медленно меняющейся по сравнению с р(т) функцией:
aj(v) = KAj(T) p(T) (23)
Здесь введен дополнительный коэффициент к, выбором которого можно корректировать среднее значение пиковых значений ускорений, в связи с разбросом этих величин при использовании метода Монте-Карло.
Собственные частоты и собственные формы малых колебаний
Для определения углов ак, /Зк, ук из геометрических соображений и условий равновесия имеем систему уравнений ак+ук=Ак, /Зм+ук=Ак+1, М (ак) + М {рм) = Мг{ук), (3.3) где МJ(-),MrQ-моменты в соответствующих шарнирах в стойках и ригелях. Особенности работы несущих элементов учитываются нелинейными зависимостями М (ак),М (]Зк) и Мг(ук).
Для крайних этажей учтём соответствующие граничные условия. Перемещение нижних сечений стоек первого этажа относительно основания равно нулю («0 =0). Для последнего этажа, в верхнем узле которого стойки соединяются только с одним ригелем, следует положить Ms(j3n+l) = 0 и, следовательно, Д,+1 = 0. В этом случае вместо (3.3) имеем Выражение для кинетической энергии системы в относительном движении запишем в виде
Используя соотношения (3,3)-(3.4) для установления связи между виртуальными перемещениями дик и виртуальными углами 5ак, 6(3к и 8ук, записываем выражение для виртуальной работы и переносных сил инерции: где обобщённые силы Qk вычисляются по формулам
Здесь введены следующие обозначения: к = csk/csk_x -отношение текущих значений жесткостей стоек к -го и {к — l)-ro этажей, %к —сгк/с\ -отношение текущей жесткости ригеля к текущей жесткости стоек для к -го этажа. При вычислении обобщенных сил и параметров Ск к необходимо учитывать историю нагружения.
Если демпфирующие силы пропорциональны скоростям междуэтажных сдвигов с коэффициентами bk,brk, то уравнения движения можно записать в виде
Сдвиговая модель не учитывает упруго-пластические свойства ригелей или узлов крепления ригелей и стоек. В зависимости от конструктивных особенностей и соотношений жесткости ригелей междуэтажных перекрытий и колонн с примыкающими стеновыми элементами реализуется та или иная схема образования пластических шарниров. Типичным является случай образования пластических шарниров в нижних и верхних узловых сечениях колонн одного или нескольких этажей. Для зданий с высокими жесткостными свойствами колонн или имеющих диафрагмы жесткости образование пластических шарниров возможно в балках или плитах междуэтажных перекрытий. Модели каркасных зданий, ориентированные на расчеты при интенсивных сейсмических воздействиях, должны учитывать особенности динамического поведения конструкции и возможные схемы образования пластических деформаций. Для учета упруго-пластических свойств ригелей и стоек предложена, так называемая «шарнирно-стержневая» модель здания, предназначенная для расчетов при интенсивных сейсмических воздействиях [30]. В данной модели учтено, что при интенсивных сейсмических воздействиях пластические деформации сосредоточены в окрестности узлов крепления ригелей и стоек.
Пусть сейсмическое воздействие, заданное горизонтальной компонентой ускорения основания а(ґ), направлено вдоль одной из главных осей жёсткости здания (рис.3.2,а). В качестве расчётной схемы примем рамную конструкцию, состоящую из абсолютно жёстких стержней, соединённых между собой с помощью упругопластических шарниров и узлов крепления. Обозначим uk — перемещение к-то ригеля относительно основания; msk — масса стоек
Рассмотрим динамические характеристики модели здания при малых собственных колебаниях. Пусть здание имеет регулярную структуру: стойки имеют одинаковую высоту h, массу ms и жесткость cs. Массы тг и жесткости сг всех ригелей также равны между собой. В табл.3 Л приведены результаты вычисления трех первых собственных частот двадцатиэтажного здания при /I=3M, ms=mr =5-104 кг и различных соотношениях между жесткостями ригелей и стоек 4 Эти соотношения выбирались таким образом, чтобы основная собственная частота составляла величину порядка одного герца.
Из табл.3.1 следует, что с уменьшением ^ = cr/cs собственные частоты становятся более разреженными. Собственные частоты и формы собственных колебаний изменяются при этом от характерных для сдвиговой модели при = 30 (рис.3.3) до форм, характерных для стержневой модели при = 10^ (рис.3.4).
Модели, учитывающие накопление повреждений
Каждое сотрясение представляет собой нестационарный случайный процесс. Реакция конструкции на сотрясение также является нестационарным случайным процессом. В конструкции накапливаются повреждения, а при достаточно интенсивных воздействиях и неудовлетворительной сейсмостойкости может возникнуть аварийная ситуация: обрушение или опрокидывание конструкции, общая потеря устойчивости, разрыв или нарушение целостности сосудов высокого давления и т.п. Включение динамического поведения конструкции вплоть до достижения аварийного состояния в общую схему оценки сейсмического риска конструкции составляет неотъемлемую часть статистической теории сейсмостойкости.
Оценка сейсмического риска производится согласно методике предложенной в [I0] и описанной в пункте 1.4 данной работы. Конструкционный риск есть дополнение до единицы функции безопасности S(t) на том же отрезке времени при тех же критических состояниях, т.е.
Функция безопасности S(t) вводится как вероятность пребывания вектора качества v(t), характеризующего функционирование конструкции, в допустимой области О, ограниченной поверхностью Г, достижение которой соответствует критическим отказам. Если возможные на данной площадке землетрясения могут быть представлены в виде луассоновского потока событий, а отказы независимы, то оценку общего (интегрального) риска на всем интересующем отрезке времени [t0,t] можно вычислять по формуле H(t) = \-exp где Xj -частота повторяемости событий из класса /у, H(t\Ij) -условный риск, равный вероятности наступления критического состояния при условии, что произошло землетрясение из класса /..
Для парциального риска Ha(t\Ij) (вероятности наступления определенного типа критического состояния) будет эффективной двухсторонняя оценка [1]: m HJt\Ij) H(t\Ij) minU fjHa(t\Ij)[. (5.3)
Для расчета оценки сейсмического риска будем рассматривать первый вариант соотношения жесткостей (табл.3.1), как вариант с наиболее существенными деформациями (см. табл.4.1).
Большое число ограничений по безопасности, определяющих допустимую область в пространстве качества, осложняет оценку показателей безопасности и риска. Для уменьшения размерности вектора качества воспользуемся результатами моделирования.
Как видно из рис.4.6, 4,8 максимальные амплитуды перемещений ик и ускорений wk достигаются при к = 20, а накопленная мера повреждений Dh— при к = 1. В качестве компонентов вектора качества v(t), определяющих показатели безопасности и риска, с учетом результатов моделирования выбираются абсолютное ускорение верхнего этажа w20(t) = iiia(t) + a(f), смещение верхнего этажа и20(О и накопленная мера повреждений в стойках первого этажа Д(/). Допустимая область берется в виде
Здесь предполагается, что предельные значения u ,,w.,A заданы детерминистически. Из конструкционных соображений примем W,=20MC ,и„=0.6м, что соответствует перемещению 0.03 м на каждом этаже, иД=1,
Численные данные получены по 100 реализациям реакции конструкции на землетрясения из классов I7,IB,I9. Первичная статистическая обработка результатов моделирования показывает, что распределение максимальных значений амплитуд достаточно хорошо аппроксимируется асимптотическим распределением Гумбеля: с параметрами о0 и vc.
Для построения вероятностной бумаги по оси абсцисс строится функция f(v) = -ln[— ln(F)]. Эта функция хорошо аппроксимируется линейной зависимостью Отсюда определяются параметры и0 и vc.
Другим способом определения ц,, ис является метод моментов. Для распределения Гумбеля математическое ожидание v = v0 + 0.5772ос, квадрат 2 2 среднеквадратического отклонения S0 = —. Для вычисления искомых параметров необходимо вычислить любым способом математическое ожидание и дисперсию данной выборки.
