Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Основные гипотезы и уравнения колебаний пластин и оболочек в магнитном поле 11
1.1. Основные допущения о взаимодействии магнитных полей с деформируемыми телами 11
1.2. Колебания пластин в магнитном поле 14
1.3. Колебания оболочек в магнитном поле 19
1.4. Основные положения асимптотического метода В.В Болотина и теории распределения собственных частот 24
1.5. Цель диссертации 26
Глава 2 Исследование колебаний пластин в поперечном магнитном поле 27
2.1. Построение решений типа ДКЭ для жестко защемленного края пластины в поперечном магнитном поле 27
2.2. Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в поперечном магнитном поле 32
2.3. Построение решений для частот колебаний пластин с различными условиями закрепления краев в поперечном магнитном поле 36
2.4. Численный анализ влияния поперечного магнитного поля на частоты колебаний пластин с различными граничными условиями 38
2.5. Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний пластин в поперечном магнитном поле. Численный анализ 47
Глава 3 Исследование колебаний пластин в продольном магнитном поле 52
3.1.Построение решений типа ДКЭ для жестко защемленного края пластины в продольном магнитном поле 52
3.2. Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в продольном магнитном поле 55
3.3.Построение решений для частот колебаний пластин с различными условиями закрепления краев в продольном магнитном поле 56
3.4Численный анализ влияния продольного магнитного поля на частоты колебаний пластин с различными граничными условиями 58
3.5.Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний пластин в продольном магнитном поле. Численный анализ 65
Глава 4 Исследование колебаний оболочек в поперечном магнитном поле 74
4.1. Расчет спектров частот шарнирно опертых круговых цилиндрических оболочек в поперечном магнитном поле 74
4.2. Расчет спектров частот пологих сферических панелей в поперечном магнитном поле 80
4.3. Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний цилиндрической оболочки в поперечном магнитном поле. Численный анализ 84
4.4. Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний пологих сферических панелей в поперечном магнитном поле. Численный анализ 94
4.5. Влияние тангенциальных сил инерции на колебания оболочек в поперечном магнитном поле 99
Глава 5 Исследование колебаний цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле 104
5.1.Расчет спектров частот круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле 104
5.2.Расчет асимптотической и эмпирической плотности частот колебаний круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле 109
5.3.Исследование динамических краевых эффектов цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле 121
Глава 6 Описание программного комплекса «Магнитоупругость» 125
Сводка результатов и выводы 131
Список литературы 133
- Колебания пластин в магнитном поле
- Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в поперечном магнитном поле
- Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в продольном магнитном поле
- Расчет спектров частот пологих сферических панелей в поперечном магнитном поле
Введение к работе
Развитие современной техники тесно связано с теоретическими и прикладными проблемами взаимодействия различных тел и полей. Проблемы взаимодействия являются основополагающими и в задачах магнитоупругости, т.е. в задачах движения упругого деформируемого электропроводящего тела в магнитном поле [1,2].
Магнитоупругость издавна привлекала внимание исследователей. Еще Фарадей и его современники изучали вопросы взаимодействия электромагнитных полей и движущихся в них проводников, которые под действием электромагнитных сил претерпевают деформации и в свою очередь изменяют начальные характеристики электромагнитного поля. Однако бурное развитие исследований в области магнитоупругости намечается лишь в последние годы в связи с решением ряда важных задач в некоторых отраслях современной техники. В частности, такие задачи решаются при создании электромагнитных насосов, наложении магнитных полей для управления движением плазмы, протекающей в упругой оболочке, создании импульсных соленоидальных катушек, разработке различных типов магнитокумулятивных генераторов, создании магнитогидродинамических ускорителей, исследовании бесконтактных магнитных опор движущихся систем, создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при постановке некоторых физических экспериментов и др. [26, 50, 51, 52].
Создание оптимальных конструкций в указанных выше областях современной техники связано с вопросами широкого использования конструктивных элементов типа тонкостенных оболочек и пластин, в которых эффекты взаимодействия электромагнитных полей с телом оказываются весьма существенными. Данная картина взаимодействия электромагнитных и упругих явлений довольно сложна и ее можно рассматривать на основе анализа совместной системы уравнений электромагнитного поля и уравнений движения упругой среды.
Первые работы по магнитоупругости посвящены как научным, так и методологическим аспектам совместного анализа уравнений механики и электромагнетизма. В работе [1], исходя из гипотезы Кирхгофа о недеформируемых нормалях и гипотез магнитоупругости тонких идеально проводящих пластин и оболочек, получена замкнутая двумерная система уравнений магнитоупругости тонких пластин и оболочек во внешнем стационарном магнитном поле. В работе [2] исследуется влияние магнитного поля на устойчивость и колебания электропроводящих пластин и оболочек.
К основным отечественным монографиям по магнитоупругости можно отнести [26, 40, 50, 51, 52, 58]. Задачам акустоэлектромагнитоупругости посвящена работа [26], электромагнитные эффекты в твердых телах исследуются в [50]. Задачи электромагнитоупругости в электропроводных и пьезоэлектрических телах излагаются в работах [51, 52].
В работах [58, 65] приводятся примеры расчета и анализа напряженного состояния некоторых электромеханических систем.
Исследованию колебаний пластин и оболочек в продольном магнитном поле посвящены работы [6, 8]. В [6] на основе гипотезы магнитоупругости тонких тел и уточненной теории оболочек получены уравнения движения ортотропной круговой цилиндрической оболочки с ортотропной электропроводностью во внешнем магнитном поле. Исследована осесимметричная задача колебания цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле.
Вопросам колебаний тел в поперечном магнитном поле посвящены работы [3, 5, 11, 49, 55]. В [3] исследуются колебания электропроводящей пластины в поперечном магнитном поле. Колебания токонесущей пластины в поперечном магнитном поле представлены в работе [11]. В [5] рассматривается задача колебания тонкой двухслойной пластинки, составленной из двух однородных изотропных материалов, во внешнем постоянном поперечном магнитном поле.
В работе [49] выведены дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, описывающие в различных приближениях изгибные колебания электропроводящей пластинки в сверхзвуковом потоке газа в присутствии поперечного магнитного поля. Для распределения составляющих электромагнитного поля по толщине пластинки принята модель, предложенная Г.Е. Багдасаряном. Для выражения аэродинамического давления использован пространственно-временной нелокальный закон зависимости давления от прогиба пластинки.
В [55] путем уточнения условий на лицевых поверхностях пластин предложен вариант уравнений нелинейных магнитоупругих колебаний электропроводящих пластин во внешнем постоянном магнитном поле. На основе полученных уравнений решена задача нелинейных колебаний пластинки-полосы в поперечном магнитном поле.
Вопросам экспериментального изучения поведения стержней, пластин и оболочек посвящены работы [12, 20, 29, 70, 72]. В [20] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропроводящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0,05 Тл для продольного поля и порядка 0,5 Тл для поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд.
В [70] с учетом магнитоупругих взаимодействий предпринят совместный экспериментально-теоретический анализ показателей изгиба пластин из мягкого ферромагнитного конструкционного материала. Испытания при комнатной температуре проведены на консольно закрепленных полосовых и пластинчатых образцах, размещенных в полости сверхпроводящего магнита." Консольные образцы изготовлены из ферритной нержавеющей стали. Полученные опытные данные программных испытаний на изгиб сравнивают с результатами численного моделирования.
В [72] с целью аналитического исследования установленного экспериментально феномена возрастания собственных частот поперечных колебаний консольной ферромагнитной балки-пластины, помещенной в продольное магнитное поле, построена физико-математическая модель на основе применения энергетического вариационного принципа. Результаты численного теоретического прогнозирования собственных частот и коэффициентов магнитного демпфирования сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными, причем отмечено их хорошее согласование.
В [29] для определения влияния внешнего постоянного магнитного поля на частоты колебаний прямоугольной пластинки экспериментальным путем исследуются амплитуды вынужденных колебаний в окрестностях резонансных частот. Для определения значений амплитуд вынужденных колебаний пластинки исследуются колебания прямоугольной пластинки с конечной электропроводностью в поперечном магнитном поле под действием нормально приложенной силы. Определен прогиб пластинки и изучена зависимость амплитуры вынужденных колебаний от напряженности магнитного поля, частоты вынуждающей силы и электропроводности пластинки в окрестностях резонансных частот.
В [12, 14] выведены асимптотические для малых магнитных полей и точные для произвольных магнитных полей дисперсионные уравнения в случае начальных деформаций и напряжений, связанных законом Гука. Проведены соответствующие численные расчеты.
Изучению влияния магнитного поля на ферромагнитные тела посвящены работы [11, 13,70,72].
В [13] на основе точного подхода проведено исследование изгибных свободных колебаний тонкой ферромагнитной цилиндрической оболочки. Получено точное дисперсионное уравнение в виде детерминанта шестого порядка, которое для случая магнитоупругой тонкой оболочки решается численно. Результаты расчетов приведены в таблицах и сравниваются с расчетами по гипотезе Кирхгофа. Показано значительное количественное различие результатов, даже для низшей частоты.
Весьма эффективным для исследования колебаний и устойчивости упругих систем является асимптотический метод В. В. Болотина (АМБ) [16-19, 22, 53]. Обзор работ по применению АМБ к решению задач о собственных колебаниях упругих тел и сложных строительных конструкций дан в работе [27].
На основе асимптотического метода в 1963 г. В. В. Болотиным была решена задача о плотности распределения собственных частот колебаний оболочек [18] и установлены области сгущения собственных частот колебаний оболочек.
Исследование распределения собственных частот колебаний ортотропных оболочек проведено в [61]. В конечном виде получены формулы для асимптотической плотности частот колебаний пологих оболочек, установлены границы распределения частот ортотропных сферических оболочек и оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны. Влияние безмоментных усилий в срединной поверхности цилиндрических оболочек на распределение собственных частот исследовано в [59]. Установлена возможность вырождения точек сгущения собственных частот. В [62] на основе АМБ было исследовано распределение собственных частот колебаний пологих трехслойных оболочек, обнаружены точки сгущения собственных частот, смещение областей сгущения при наличии сжимающих усилий в срединной поверхности оболочек.
Идеи, заложенные в асимптотическом методе, оказались плодотворными и для решения других задач механики. В [7] дано применение АМБ к задачам оптимизации колебаний пластин. В [15], выполненной в развитие [18], исследована плотность распределения собственных значений в задачах устойчивости пологих оболочек. В конечном виде приведены формулы для плотности собственных значений и установлены асимптотические точки сгущения критических усилий. Исследования колебаний пластин в продольном магнитном поле с применением асимптотического метода приведено в [8].
Остается не полностью исследованным вопрос о влиянии магнитных полей на высшие частоты колебаний тонкостенных элементов конструкций. Применение АМБ позволяет рассмотреть задачи колебаний пластин с различными краевыми условиями и распределение собственных частот колебаний пологих оболочек в магнитных полях.
Колебания пластин в магнитном поле
Пусть упругая изотропная пластина постоянной толщины 2h, изготовленная из материала с конечной электропроводностью, отнесена к триортогональной системе координат Оххх2хъ так, что срединная плоскость недеформированной пластины совпадает с координатной плоскостью Оххх2. Исследование колебаний пластин будем проводить на основе следующих предположений [1,2]: - гипотеза Кирхгофа о недеформируемых нормалях; - магнитная и диэлектрическая проницаемости окружающей пластину непроводящей среды считаются равными единице; - влияние токов смещения на характеристики магнитоупругих колебаний не учитываются. Рассмотрим колебания пластины во внешнем постоянном поперечном магнитном поле с заданным вектором индукции В(0,0,В3) (рис. 1.1). В силу принятых ранее предположений уравнение колебаний пластины в поперечном магнитном поле будет иметь следующий вид [1] где D - цилиндрическая жесткость пластины, р - плотность материала пластины, /л — магнитная проницаемость материала, А=—н т оператор Лапласа. Рассмотрим колебания пластины во внешнем постоянном продольном магнитном поле с заданным вектором индукции 5( ,0,0) (рис. 1.2). В силу принятых ранее предположений имеем следующее уравнение колебаний пластины в продольном магнитном поле [8] а также следующее выражение для нормальной компоненты / индуцированного в пластине магнитного поля h (f\,h2,h3) В уравнении (1.2) /? - неизвестные значения тангенциальных компонент индуцированного в окружающей среде магнитного поля /г \№e\he ,hf \ на поверхностях пластины =-h и л =/г. При определении граничных значений /1 принимается, что пластинка бесконечна. В этом случае введением потенциальной функции ср посредством Задача определения магнитного поля сводится к решению следующих задач Неймана в полупространствах [х3 /г: Пусть тонкая оболочка постоянной толщины h, изготовленная из материала с конечной электропроводностью, отнесена к триортогональнои системе координат х1зл;2,Хз так, что хх и х2 совпадают с линиями кривизны оболочки. Упругие и электромагнитные свойства материала оболочки характеризуются модулем упругости Е, коэффициентом
Пуассона v, плотностью р, магнитной проницаемостью //, диэлектрической проницаемостью є. Считается, что все приведенные выше величины не зависят от координат, времени и электромагнитного поля. Исследование колебаний оболочек будем проводить на основе следующих предположений [1,2]: - гипотеза Кирхгофа о недеформируемых нормалях: нормальный к срединной поверхности прямолинейный элемент оболочки остается прямолинейным, нормальным к деформированной срединной поверхности оболочки и сохраняет свою длину; - тангенциальные компоненты вектора индукции возбуждаемого электрического поля и нормальная компонента вектора индукции возбуждаемого магнитного поля по толщине оболочки остаются неизменными; - нормальными напряжениями агг на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, можно пренебречь. Рассмотрим колебания оболочки во внешнем постоянном поперечном магнитном поле с заданным вектором индукции і?(0,0,Б3) (рис. 1.3). В силу принятых ранее предположений уравнения относительно форм колебаний оболочки в поперечном магнитном поле с учетом тангенциальных сил инерции имеют вид [1] где А- оператор Лапласа на срединной поверхности, D — цилиндрическая жесткость, Е - модуль упругости, р - плотность материала, и, v, w - формы колебаний оболочки в направлениях х}, х2 и х3, Rx и R2 — радиусы кривизны « 1 1 срединной поверхности оболочки в направлениях х, и х2, ух= —, у2 = —, Rl R2 Q. - частота колебаний. Уравнения колебаний оболочки в поперечном магнитном поле без учета тангенциальных сил инерции будут иметь вид [1]
Рассмотрим колебания цилиндрической оболочки во внешнем постоянном продольном магнитном поле с заданным вектором индукции 5(Б,,0,0). Пусть тонкая круговая цилиндрическая оболочка отнесена к триортогональнои системе координат х1,х2,х3 так, что хх и х2 совпадают соответственно с прямолинейными образующими (х2 = const) и с направляющими дугами окружности (xL = const) цилиндрической срединной поверхности (рис. 1.4). В силу принятых ранее предположений уравнения относительно форм колебаний круговой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле с учетом тангенциальных сил инерции имеют вид [1]
Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в поперечном магнитном поле
Для построения системы уравнений типа (2.24) и (2.31) для определения волновых чисел для пластин с другими типами закрепления краев согласно АМБ удобно воспользоваться общей процедурой условий склеивания решений [22]. Требование, чтобы с точностью до динамических краевых эффектов все четыре решения совпадали, сводится к условию, чтобы фазовые постоянные, найденные для двух противоположных сторон, отличались на число, кратное п. Условия склеивания имеют вид Соответствующие функции uap{kvk ) отношения коэффициентов порождающего решения (2.14) для основных типов закрепления краев пластин приведены в таблице 2.1. Построив систему трансцендентных уравнений для определения волновых чисел и последующего вычисления собственных частот колебаний по (2.4), можно произвести расчет спектров частот колебаний пластин в поперечном магнитном поле с любыми краевыми условиями. Используя полученные системы трансцендентных уравнений, находим волновые числа и собственные частоты пластин с использованием математического пакета MATLAB 6.5. Собственные частоты определялись для квадратных пластин, изготовленных из алюминия (плотность /}=2700кг/м3, магнитная проницаемость //=1+2,1-10-5, модуль упругости =70ГПа, коэффициент Пуассона v=0,3) с различными условиями закрепления при различных значениях индукции поперечного магнитного поля. Результаты расчета представлены в таблицах 2.2-2.5. По результатам расчета были построены графики (рис. 2.3-2.5), показывающие изменение первых частот пластин с различными условиями закрепления в зависимости от индукции поперечного магнитного поля: рис. 2.3 - жестко защемленная пластина, рис. 2.4 - консольная пластина, 2.5 -защемленная, шарнирно опертая по краям пластина. В качестве сравнения на этих же рисунках представлены зависимости частот колебаний для шарнирно опертой пластины - штриховые линии. Как видно из построенных графиков поперечное магнитное поле понижает собственные частоты колебаний пластин. Более резкое уменьшение частот с ростом индукции магнитного поля наблюдается у шарнирно опертых пластин и пластин с комбинированными условиями закрепления краев (рис. 2.5), более плавное - у жестко защемленных и консольных пластин (рис. 2.3, 2.4). Для консольной пластины наблюдается незначительное увеличение первой собственной частоты сс\х с ростом индукции поперечного магнитного поля (рис. 2.4). Кроме того, оказывается, что основная частота колебаний консольной пластины меньше, чем у шарнирно опертой «а до і?3 550Тл (рис. 2.4).
Аналогичное явление наблюдается и для основной частоты колебаний пластины с комбинированными граничными условиями (рис. 2.5). На рис. 2.6 представлены зависимости частот квадратной шарнирно опертой пластины от значений индукции поперечного магнитного поля В3 при различных значениях относительной толщины пластины 2д/ (кривые I — 2V=1,5-10 2, кривые II - 2й/=мО"2, кривые III - 2V=5-10 3). Из графиков видно, что чем тоньше пластина, тем более снижающее влияние на частоты колебаний оказывает поперечное магнитное поле, что соответствует результатам экспериментальных исследований влияния поперечного магнитного поля на частоты колебаний пластин [12] При определенных значениях индукции поперечного магнитного поля В3 собственные частоты колебаний пластины с определенными длинами полуволн равны нулю. В выражении для собственных частот (2.4) приняв Q = 0, получим соотношение для индукции поперечного магнитного поля Въ 0, при котором пластина теряет статическую устойчивость Таким образом, можно сделать вывод, что поперечное магнитное поле в основном оказывает эффект сжимающих усилий в срединной поверхности пластины. (2.4). Введя волновое число к=— и безразмерные параметры а, П0 " 2-/7-/7 получим выражение для собственных частот колебаний в безразмерном виде at W) -- 2-.2 + ). (2.34) 2 h(jU-l) Будем определять число частот iV(fi?0), меньших некоторого заданного значения со0, как отношение площади области на плоскости волновых чисел аер зе2, внутри которой частота со меньше, чем заданное значение а 0, к площади одной ячейки Да Азе2 [22] Перейдем к полярным координатам г2 = е\ + &\, tgG = 362/26., Тогда выражение для собственной частоты колебаний (2.34) примет следующий вид После перехода к полярным координатам будем иметь следующую формулу для оценки числа собственных частот я/. , 1 /2г2(в) N(a ) = \— -d0. (2.37) v J AaBrAae2 0J 2 v J Получим из выражения (2.36) формулу для определения полярного радиуса
Построение решений типа ДКЭ для свободного края пластины в продольном магнитном поле
Пусть частоты собственных колебаний могут быть определены по формуле (3.4). Введя волновое число к и безразмерные параметры получим выражение для собственных частот колебаний в безразмерном виде Как и в случае колебаний пластин в поперечном магнитном поле, будем определять число частот N(G)Q), меньших некоторого заданного значения а 0, как отношение площади области на плоскости волновых чисел ее15 аг2, внутри которой частота со меньше, чем заданное значение со0, к площади одной ячейки Aaej-AaSj (2.35). Перейдем к полярным координатам и получим выражение для собственной частоты колебаний После перехода к полярным координатам будем иметь формулу (2.37) для оценки числа собственных частот. Для их вычисления необходимо в выражении (3.13) выделить полный квадрат, т.е. г1. Аналитически это очень сложно сделать, поэтому решено в уравнении (3.13) преобразовать некоторые слагаемые и получить приближенное решение для плотности распределения частот. Для того чтобы выделить полный квадрат сделаем следующую замену По выражениям (3.13) и (3.15) построим линии равных частот на плоскости волновых чисел ае15 se2 для различных значений индукции магнитного поля (см. рис. 3.4-3.6). Сплошной линией нанесены линии равных частот, соответствующие выражению (3.13), пунктирной линией -выражению (3.15). Как видно из графиков, эти линии лежат достаточно близко друг к другу, а максимальные различия между ними достигаются при 0=0. Взяв 6=0, мы можем численно решить оба уравнения относительно г при конкретных со и сравнить полученные результаты. Полученные данные представлены в виде таблицы 3.5.
Как видно из таблицы 3.5, относительная погрешность вычислений по точной и приближенной формулам невелика, особенно при небольших значениях индукции продольного магнитного поля. Следовательно, для вычисления асимптотической плотности мы можем использовать приближенное выражение (3.15). Обозначив отношения от частоты колебаний при различных значениях индукции магнитного поля. Из построенных графиков видно, что при увеличении частоты отношение и„ стремится к единице. И чем меньше значение индукции магнитного поля, тем быстрее это происходит. Для анализа полученной формулы (3.21) асимптотической плотности частот было проведено цифровое моделирование эмпирической плотности частот шарнирно опертой квадратной пластины с параметрами 2/г = 1 10 3 м, а,=а2=0,2м. Результаты вычислений собственных частот по формуле (3.42) группировались по интервалам Аа =5 (рассмотрен спектр частот щ=т2=\+50). По полученным результатам построены графики плотностей при различных значениях индукции продольного магнитного поля (рис. 3.8, 3.9). Сплошной линией нанесены результаты вычислений асимптотической плотности частот по формуле (3.21), в виде гистограмм — результаты вычислений эмпирической плотности частот. Асимптотические оценки для плотности частот хорошо описывают влияние индукции продольного магнитного поля на спектр частот. Только в области низших частот существенно влияние магнитного поля на спектр частот. При а)- со плотность частот стремится к плотности
Куранта колебаний пластин в вакууме. Глава 4. Исследование колебаний оболочек в поперечном магнитном поле 4.1 Расчет спектров частот шарнирно опертых круговых цилиндрических оболочек в поперечном магнитном поле Рассмотрим колебания оболочки во внешнем постоянном поперечном магнитном поле. Уравнения колебаний оболочки в поперечном магнитном поле имеют вид (1.10). Представим решения для функции прогибов и функции усилий в виде и подставим их в уравнения (1.9), в результате получим систему уравнений Здесь Q - частота магнитоупругих колебаний оболочки, W{xvx ) - форма прогиба оболочки, Х(хрх2) - форма усилий в оболочке. Введем характерную частоту Q,. и характерное волновое число k0, а также безразмерные параметры Преобразуя, получим систему уравнений в безразмерном виде
Расчет спектров частот пологих сферических панелей в поперечном магнитном поле
Для пологой сферической панели Rl=R2=R (Я = 1) выражение для безразмерных собственных частот колебаний (4.5) принимает следующий вид о?2 = (ав?+ ае)2-2- 5-(ав?+ ав ) + 1. (4.9) Для шарнирно опертой сферической панели, прямоугольной в плане безразмерные волновые числа принимают вид 1 т-л \ п-п ,л л \ »,=- , аз2=- , (4.10) /CQ СІЛ Key СІ ) где тип— числа полуволн в направлениях хх и х2 соответственно, а{ и а2 размеры панели в плане. Расчет собственных частот производился для шарнирно опертой по краям сферической панели, изготовленной из алюминия (плотность уО=2700кг/м3, магнитная проницаемость //=1+2,1-10-5 , модуль упругости =70ГПа, коэффициент Пуассона v=0,3), с параметрами h/R = 4-\0 3, ax=a2=R. На рис. 4.4 представлены зависимости частот сферической панели от чисел полуволн в одном из направлений при различных значениях безразмерного параметра J5. На рис. 4.5 представлены зависимости безразмерных частот сотп сферической панели от значения безразмерного параметра р индукции поперечного магнитного поля для различных форм колебаний панели. Как видно из построенных графиков, поперечное магнитное поле понижает собственные частоты колебаний сферической панели. При различных значениях индукции магнитного поля минимальными оказываются частоты, соответствующие более сложным формам колебаний т 1, п 1 (рис. 4.4). 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Рис. 4.4 Зависимость безразмерных частот сферической панели от числа полуволн в одном из направлений при различных значениях безразмерного параметра /? индукции поперечного магнитного поля без действия магнитного поля ( /3 = 0 ); в магнитном поле (/? = 0,5); в магнитном поле (/? = 0,75). О число полуволн в продольном направлении т = 10; число полуволн в продольном направлении т = 5 ; О число полуволн в продольном направлении т = 1. На рис. 4.5 приведены зависимости собственных частот колебаний сферической панели от значения индукции поперечного магнитного поля В3. Заметим, что поперечное магнитное поле понижает жесткость сферической панели.
Потере статической устойчивости панели с образованием одной полуволны соответствует большее значение индукции поперечного магнитного поля: кривая 1 - В3(т = и = 1) = 20610 Тл; кривая 6 В3(т = п = 3) = 7020 Тл. Потеря статической устойчивости сферической панели уже при малых значениях индукции поперечного магнитного поля происходит с образованием трех полуволн т = п = Ъ вдоль координатных линий панели. 5x10 1x10 1.5x10 2x10 2.5x10" Рис. 4.5 Зависимости безразмерных частот сферической панели от значения индукции поперечного магнитного поля В3 (кривая \ - сс\,; кривая 2- а\2; кривая 3 - со21; кривая 4- а\3; кривая 5 - со23; кривая 6 - а 33) Приняв в (4.9) со = 0, можно получить выражение для индукции поперечного магнитного поля, при котором сферическая панель теряет статическую устойчивость взо= AKJU E-K И{М-1}яф(\-у2) (аг +аз/) 1 (а +а ) (4.11) 4.3 Вывод соотношений для асимптотической плотности частот колебаний цилиндрической оболочки в поперечном магнитном поле. Численный анализ Как и в случае колебаний пластин в магнитном поле, будем определять число частот N(co0), меньших некоторого заданного значения со0, как отношение площади области на плоскости волновых чисел эер аг2, внутри которой частота со меньше, чем заданное значение со0, к площади одной ячейки Aset Дэз2 (2.35). Перейдем к полярным координатам и получим выражение для собственной частоты колебаний цилиндрической оболочки в поперечном магнитном поле а? = г - 2- J3-г2 + cos4(в). (4.12) Решение этого уравнения V(0) = /?-J/?2W-cos4(0), v (4.13) г2(в) = J3 + /32 + со2 -cos4(в). Дифференцируя N(co) (2.35), (2.37) по параметру со, получим выражение для асимптотической плотности собственных частот [59] п[со) = 2 Aaej Лае а ] ч dco а г ч dco dco d02iМ 2(й ч den(co) 2 deu{co) Пределы интегрирования определяются из условия неотрицательности r\2 ( ) 0 и его подкоренного выражения. В нашем случае рассматриваем: 0 у 1. Для получения формулы асимптотической плотности частот цилиндрической оболочки проведем некоторые преобразования. Продифференцировав (4.13) по параметру со будем иметь CO dr?(e)_ dco - W-cos ) dr2\6)_ со C ; dco jj32+co2-cos\0) 1) Рассмотрим первый интервал со \ При со \ гх (в) принимаем равным нулю, г2(в) 0 всегда и пределы интегрирования в (4.14) в этом случае будут равны в2\ = 0; #22 = пЛ тогДа 1 "А п(со)= I , d6. v } 2-Дав,-Дав, 0J jj32 +co2-cos\0) Введем замену переменных [25, 38] cos2e=z; #=arccosvz; d0- ,- , ; 2л] z-лі I—z пределы интегрирования: z21=l; z22=0 Получим / ч ft) г iz 2-ДгегДаз2 h z{\-z){(32+co2-z2) Корни многочлена, стоящего под радикалом ссх-л101+С02; а2=\; а3=0; аА=- у\02+со1. Введем вспомогательные величины (а-а,) {а2-а3) 2 к ={ах,а,,аА,аъ)=- -- -; у= v, где аъ=а-аъ, аЛ2=а2-а4. (а-а3) (а2-а4) {а2Х-аА2)У2 Подставим значения корней в эти выражения и получим 9 О г 2 — к = . у Тогда для асимптотической плотности будем иметь следующее выражение iico\= , К(к), 2-Д -Дае, +j34co2 і Y где К(к)= \ . = Г . - полный эллиптический о (1-/)(1- -у) oJ7H2-sinj(x)) интеграл 1-го рода в форме Лежандра [25, 38]; Перейдем к размерным параметрам 1 _kQ-ax-a2_ JE-h-ax-a2- jp-R_ax-a2 jp-h 2-пс 2-AavAavQ,. 2-7г2-С1г 2C2-R-4D-4E 2-ТГ2 D п a.-cij p-h . ,_ nc=——--A плотность Куранта (плотность частот колебании пластины в 4-/Г V D вакууме) [18, 22]. Окончательно будем иметь 2-п со гЩ- (4.16) т 71 yj 2+co2+J32+ar 2) Рассмотрим второй интервал у]і-/32 а \ г2(в) 0 всегда, пределы интегрирования будут равны: 02,=О, 022=7и/)\ 0п=О, #12=arccos(vVy), тогда arccos Vfflij J Л6+ dd . J 2-Aas,-A 2 W п(бо)= /32+a)2-cos\0) W-cos4(0) Введем замену переменных dz cos2#=z; #=arccosvz; d6= 2vz-Vl-z пределы интегрирования: z21=l, z22=0, zu=l, zu=co.
Получим dz со 4 1 a ІИ-А)= —A »2 2 2\ Jo I п(со)= dz 2-Aas,-Aae2 \co 0 0 со CO ± 2 z -z){/32+or-z2) bjz(\-z)(/32+a)2-z2) dz ar dz -(2-1-. 2-Aej-As2 І2ф(і-г)(/32+со2-22) bjz(l-z)(/l2+CD2-z2)) 2.ДауДае2 Корни многочлена, стоящего под радикалом те же, что и в предыдущем пункте. Введем дополнительно следующие вспомогательные величины . 2 а41 {со-аъ) sm ср =—±-- т,трр аЪ2=а2-аъ, а42-а2-а4. а32 (со-а4) Подставим значения корней в эти и получим \т\+ ,=arcsm 4РЩ -4Р со+л1в2+со2 Тогда для Ij и 12 будем иметь ( -+С0 \=У-Щ К /32+со2+{32+со {V+№ W (i+V w) со CO+ p +C0" V JJ неполный эллиптический F ,arcsin l=yF(k,(p)= ]l+y]/32+CD2 yJylf]2+Cd2+fi+(D: arcsin(p) ,где F(k,(p)= J r f dx dy 7P7) Ц(\-Є«т {х)) интеграл 1-го рода в форме Лежандра. {2-K{k)-F{k, p$), Для асимптотической плотности будем иметь следующее выражение 1 со п(со)= 2 AaV 2 р2+со2+р2+а2 3) При 0 со \-/32 пределы интегрирования будут следующими: e2i=arccosh]/32+со2), в22 = /г/2; вп = arccosly/З2 +со2 I, вХ2 = arccos(v&H, тогда Перейдя к размерным параметрам, получим со гру2 п j32+co2+/32+co2 {2-K{k)-F{k,cp)). (4.17) «Л J CO п(бо)= 2-Aaej-Aae2 ф і +сТ-соЩ Введем замену переменных d0+ Vffl) со arccos ф 4Р2+0)2-соАв) dG dz cos2#=z; 0=arccosvz; d6=- ,- . , 2Vz-Vl-z пределы интегрирования: z21=l, z22-yj 01+co2, z2l=l, z22-co. dz л/Чн д со Получим п(со) 2-Аге1-Ае2 V? J -1 dz 2W-z2) І 2 z{l-z){ 2+«2-z2) со 0 / 2-Aas,-Aae fe az t о 2-,]z{\-z){j32+co2-z2) h z{l-z){/32+co2-z2) ш 2-І,-Ц Корни многочлена, стоящего под радикалом те же, что и в предыдущем пункте. Выражение для 12 уже было получено в предыдущем пункте. Введем дополнительно следующие вспомогательные величины СС, Up2+co2-a\ sin" 2 =- -у-р===: (-, где х2 =а2 -а3 #42 а2 а4 а, p2+co2-a)j Подставим значения корней в эти и получим #?2=arcsin ґ \\+ Р2+СО2 V Тогда для 13 будем иметь I3=juF(k, p2)= /V w+ w F \+4P2+CO2 г ,arcsin V IW +CO rYi J) Для асимптотической плотности будем иметь следующее выражение 1 со у(с6у 2-АауАаз, Щ %—— ,F(k yF(k 72+co2+j32+co2 Перейдя к размерным параметрам, получим Ъп со л(П F(k,cp2)-F{k,(p (4.18) 71 JJJ32+CO2+J32+CO2 Обобщив все рассмотренные промежутки, получим следующее выражение для асимптотической плотности частот колебаний круговой цилиндрической оболочки в поперечном магнитном поле
