Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Методы исследования параметрических колебаний . 8
1.1 Устойчивость решений уравнений с периодическими коэффициентами. Теория Флоке - Ляпунова 8
1.2 Метод матриц монодромии для построения границ областей параметрического резонанса 11
1.3 Примеры построения областей неустойчивости 12
1.4 Цель диссертации 25
Глава 2 Параметрические колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил 32
2.1 Уравнения движения двухзвенного маятника 32
2.2 Построение областей неустойчивости и параметрического резонанса 36
2.3 Параметрическая стабилизация неустойчивости 46
2.4 Динамическое поведение системы в области параметрического резонанса 54
Глава 3 Исследование устойчивости консольного стержня при параметрическом воздействии 60
3.1 Применение метода главных координат 60
3.2 Разработка блок-схемы имитационного моделирования 66
3.3 Построение областей параметрического резонанса 68
Глава 4 Исследование влияния сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала 83
4.1 Предварительные замечания 83
4.2 Вывод уравнений движения вала 84
4.3 Применение метода главных координат 89
4.4 Исследование устойчивости вращающегося вала 92
Глава 5 Параметрические колебания участка трубопровода с протекающей жидкостью 100
5.1 Предварительные замечания 100
5.2 Вывод уравнения движения 101
5.3 Устойчивость трубопровода при постоянной скорости течения жидкости 107
5.4 Устойчивость трубопровода при параметрическом возбуждении 110
Сводка результатов и выводы 118
Литература 121
- Метод матриц монодромии для построения границ областей параметрического резонанса
- Построение областей неустойчивости и параметрического резонанса
- Разработка блок-схемы имитационного моделирования
- Вывод уравнений движения вала
Введение к работе
Среди различных видов механических колебаний отдельное место занимают параметрические колебания, как колебания, вызванные и поддерживаемые параметрическим возбуждением [48]. В свою очередь, параметрическое возбуждение колебаний механической системы определяется изменением во времени одного или нескольких её параметров (массы, момента инерции, коэффициента жесткости и др.). Термины «параметрически возбуждаемые колебания» или просто «параметрические колебания» были предложены А.А. Андроновым и М.А. Леонтовичем [8]. Параметрические колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными (обычно периодическими) коэффициентами. В отличие от вынужденных колебаний, параметрические колебания поддерживаются внешними силами косвенно - через изменения параметров системы. Простейшим классическим примером в механике являются параметрические колебания маятника, возбуждаемые путем периодического перемещения точки подвеса в направлении силы тяжести. Для упругих систем распространенными являются задачи о колебаниях прямолинейного стержня, на который действует периодическая продольная сила. Круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной нагрузкой, периодически меняющейся во времени, при определенных соотношениях частот может испытывать интенсивные изгибные колебания. Продольные силы, действующие в срединной плоскости пластины, могут вызывать поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жесткости, при определенных условиях вызывают изгибно-крутильные колебания из этой плоскости и т.д.
Для всех этих задач общим является то, что причиной колебаний является периодическое изменение внешних сил такого вида, что, будучи приложены статически, они могут вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упругой системы. Такие силы называются параметрическими. Периодическое изменение параметрических сил вызывает периодическое изменение жесткости системы по отношению к другим силам. Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов, роторов и более сложных механиз-
5 мов. Так вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости, при
вращении может испытывать интенсивные поперечные колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось параллельна ускорению сил тяжести. Непосредственной причиной возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение жесткости вала во времени относительно неподвижных осей. Примером системы, в которой периодически изменяется некоторая приведенная масса, служит шатунно-кривошипный механизм. Другие примеры можно найти в [1-3, 5, 8, 9, 18, 24, 25, 43, 46-48, 51-53, 62, 65, 72].
Впервые параметрические колебания жидкости в сосуде наблюдались Фарадеєм в 1831 г., а параметрические колебания струны исследовались в 1859 г. Мельде, последние были теоретически объяснены Стреттом (1883 г.) [67]. В 1924 г. Н.М. Беляевым были рассмотрены изгибные колебания прямого стержня, нагруженного периодической продольной силой [11]. Далее большой вклад в разработку методов исследования параметрических колебаний внесли А.А. Андронов и М.А. Леонтович [8], Н.Е. Кочин [40], Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов [42], В.А. Боднер [13], В.Н. Чаломей [65] и другие. Основополагающий характер в области развития методов исследования параметрических колебаний имеют работы В.В. Болотина, обобщенные и систематизированные в монографии [14].
Среди задач о параметрических колебаниях механических систем наибольший интерес представляют задачи, связанные с исследованием устойчивости положений равновесия или установившихся периодических движений. Для линейных систем при периодических параметрических воздействиях основная задача состоит в отыскании областей неустойчивости на плоскости или в пространстве параметров, и установлении условий наступления параметрических резонансов. В качестве таких параметров, обычно принимаются амплитуда и частота параметрического воздействия.. Внутри областей неустойчивости линейных параметрических систем установившиеся периодические движения отсутствуют. При этом добавление линейных диссипативных сил сужает и смещает области неустойчивости, не налагая ограничений на амплитуды колебаний внутри этих областей. В этом состоит одно из отличий параметрических
колебаний от установившихся вынужденных колебаний, где
добавление диссипативных сил приводит к конечным амплитудам при резонансных отношениях частот. Ограниченные амплитуды в областях параметрического резонанса имеют место для нелинейных систем.
Исследованиям устойчивости линейных и нелинейных параметрических систем посвящена обширная литература (см., например, [1 - 32, 34 - 38, 42 - 53, 57 - 60, 62, 63, 65 - 75]). Менее изученными до настоящего времени пока остаются вопросы параметрических колебаний в системах, находящихся под действием сочетания потенциальных и неконсервативных сил. Кроме перечисленных выше задач здесь возникают вопросы о параметрической стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. На возможность стабилизации посредством параметрического возбуждения систем, находящихся под действием постоянных позиционных неконсервативных сил, указывалось в работах [3, 4, 5, 25, 26, 27].
Развитие методов и алгоритмов вычислительной математики и создание мощной вычислительной техники открывает новые возможности при рассмотрении сложных задач параметрических колебаний, представляющих большой интерес в связи с развитием объектов новой техники. Данная работа посвящена численному исследованию параметрических колебаний в системах при периодических изменениях потенциальных и неконсервативных позиционных сил. В первой главе дается краткий обзор методов исследования устойчивости решений уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь же методом матриц монодромии, который используется во всей работе, с целью верификации алгоритмов и программ проводится построение границ областей неустойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами, вошедшими в основное справочное издание по теории колебаний [27]. Во второй главе исследуется устойчивость двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил. Рассматриваются случаи периодического изменения одной из сил при постоянной по величине другой, а также случай синфазного периодического изменения нагрузок. Анализируется возможность стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. Аналогичные вопросы ана-
7 лизируются в третьей главе работы для консольного стержня с распределенной
массой.
Четвертая глава посвящена исследованию влияния сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала. На плоскости параметров системы строятся границы областей параметрического резонанса и динамической неустойчивости. Для нелинейной системы изучается динамическое поведение вала в области параметрического резонанса при вращении с закри-тической частотой.
В пятой главе рассматривается устойчивость участка гибкого трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Скорость жидкости представляется в виде некоторой постоянной величины с наложением флуктуации, изменяющихся по гармоническому закону. На плоскости параметров задачи строятся области параметрического резонанса.
Метод матриц монодромии для построения границ областей параметрического резонанса
Существует ряд методов, позволяющих с той или иной точностью определить границы областей параметрического резонанса: метод малого параметра, метод определителей Хилла и др. [27, 28, 48 - 50, 57]. Главное положение, которое закладывается в основу этих методов, это существование на границах областей неустойчивости периодических решений и/или переход характеристического показателя Х = —Іпр в правую полуплоскость. Эти методы связаны с проведением аналитических вычислений достаточно большого объема.
Весьма эффективным численным методом, ориентированным на применение компьютеров, является метод матриц монодромии (метод матриц перехода). Основан этот метод непосредственно на теории Флоке—Ляпунова и состоит в вычислении матрицы монодромии R и исследование мультипликаторов как собственных значений этой матрицы [27, 75]. На первом этапе метода строится матрица R. Для этого 2п раз решается задача Коши с начальными условиями, совпадающими со столбцами единичной матрицы размерностью 2пх2п. Матрица монодромии R определяется как значение матрицанта в конце первого периода Г. На втором этапе определяются мультипликаторы, как собственные значения матрицы R, и проверяется условие р 1. Все вычисления по определению границ областей неустойчивости для параметрических систем проведены с использованием этого метода. 1.3 Примеры построения областей неустойчивости С целью верификации алгоритмов и программ, применяемых в дальнейших вычислениях в данном разделе, проводятся вычисления областей параметрического резонанса для классических систем с одной и двумя степенями свободы, рассмотренных в справочнике [27]. Параметрические колебания системы с одной степенью свободы относительно обобщенной координаты q(t) описываются уравнением + 2є - + Гі + 2м_Ф(г)1 = 0, (1.8) dt dt где - коэффициент демпфирования, ю0 — собственная частота системы, ц. — коэффициент параметрического возбуждения, характеризующий его амплитуду, Ф( )— Т — периодическая функция возбуждения.
Здесь 0 - частота параметрического возбуждения. В учебной литературе часто распределение областей неустойчивости (диаграмма Айнса - Стретта) пред , 4с0п 4со„ _ „_, ,_ ставляется на плоскости параметров п = — -\х, а = — -. В справочнике [27] об 0 0 ласти неустойчивости для уравнения (1.8) построены на плоскости ц,, 0 с ис 13 пользованием аналитических методов ещё в 50-х годах прошлого столетия, что не могло не отразиться на точности положения границ. Построим границы областей неустойчивости для этого же уравнения на плоскости и,, 0 с использованием метода матриц монодромии. Как уже отмечалось, применение этого метода связано с интегрированием уравнения движения в течение одного периода с начальными условиями, соответствующими столбцам единичной матрицы. Интегрирование уравнения проведем с использованием системы имитационного моделирования Simulink. Для уравнения (1.8) блок-схема имитационного моделирования представлена на рисунке 1.1. По существу Simulink, как одна из компонент вычислительной системы Matlab, представляет собой цифровой аналог, но с, несомненно, более широкими возможностями, систем электронного моделирования, применявшихся для исследования различных динамических (в том числе и механических) систем в 50 - 60 г.г. прошлого столетия. Отсылая за подробностями к описанию системы Simulink и литературе (например, [33, 55, 56]), опишем кратко работу представленной на рис. 1.1 схемы. Двукратное интегрирование уравнения (1.8), переписанного в виде = -2s -C0 [l + 2icos9?b, (1.11) dt dt реализуется с помощью двух интеграторов. Правая часть уравнения (1.11) формируется в сумматоре. После первого интегрирования первая производная — dt умножается на удвоенный коэффициент демпфирования и подается в сумматор. После второго интегрирования обобщенная координата q(t) умножается на отдельно сформированное параметрическое воздействие (нижняя часть диаграммы) l + 2i,cos0 и также подается в сумматор. Наиболее представительной здесь является область неустойчивости суммарного типа СО, + со2. Для неканонических систем области неустойчивости могут иметь «островной» характер, как это видно из рис. 1.7 и не обнаружено в [27]. Для данного случая имеют место простые главные резонансы 0 = 20 и 0 = 2со2 и параметрический резонанс разностного типа со2 - со,. Этот резонанс превалирует и для четвертого случая матрицы F (рис. 1.8), где наблюдаются также и резонансы на частотах со, и со2.
Построение областей неустойчивости и параметрического резонанса
Двухзвенный маятник при различных видах непотенциального нагруже-ния довольно часто рассматривается исследователями. Впервые задача об устойчивости такой системы при действии постоянной во времени следящей силы была поставлена швейцарским ученым Циглером [74] в 1952 году. На примере двухзвенного маятника было обнаружено и объяснено дестабилизирующее влияние трения [71], обнаружены такие особенности потери устойчивости как вторичный флаттер и вторичная дивергенция [19]. Ряд работ посвящены стабилизации указанной системы под действием следящей силы посредством параметрического возбуждения [3 - 5, 52, 53, 72]. В данной главе на примере двухзвенного маятника, находящегося под действием периодических потенциальной и следящей сил проводится систематическое исследование устойчивости при изменении параметров воздействия, рассмотрение закритического поведения, отыскание условий параметрической стабилизации.
Рассмотрим плоские колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной (мертвой) силы Q(t) и следящей силы P(t), направленной вдоль оси второго звена при любых отклонениях маятника (рис. 2.1). Звенья маятника соединены между собой и с основанием при помощи вяз-коупругих элементов. За обобщенные координаты примем углы отклонения звеньев маятника от вертикального положения (pt, ф2. Значения (pj = ф2 = 0 соответствуют положению-равновесия, при котором вязкоупругие элементы не-нагружены..
Пересечение этой границы приводит к квазистатической потере устойчивости. Граница области флаттера АВ определяется условием Н = 0. Положение этой границы существенно зависит от отношения коэффициентов демпфирования Г [27]. На рис. 2.2 кривая АВ построена для случая 8j = є2 = 0,05. При Р = 0 критическое значение параметра а =0,382. При постоянном значении следящей силы, если а = 0, флаттер наступает при р =1,335. Кривые АВ и ВС пересекаются при а = 0,665 и Р = 0,834. Граница области устойчивости строилась также и непосредственным вычислением корней характеристического уравнения. При этом определялась и частота флаттера со (штриховая линия), как мнимая часть характеристического показателя, переходящего в правую полуплоскость при изменении параметров аир. Рассмотрим теперь случай действия только периодической мертвой силы a = 2icos0, положив (3 = 0. При этом мы имеем стандартную задачу об определении областей неустойчивости для гамильтоновой системы при периодическом параметрическом воздействии. Для решения этой задачи применим теорию Флоке - Ляпунова [27, 45]. Будем вычислять матрицу моно-дромии и определять ее собственные значения (мультипликаторы). Прямолинейная форма равновесия системы будет устойчивой, если все мультипликаторы по модулю меньше единицы, и неустойчивой, если модуль хотя бы одного мультипликатора превысит единицу. Численная реализация состояла в следующем. Уравнения (2.8) приводились к нормальной форме Коши. При заданных значениях параметров \1 и 6 и при начальных условиях, соответствующих столбцам единичной матрицы, четыре раза проводилось численное интегрирование в течение периода времени, равного Г = 2тс/9. Искомым объектом при этом являлся матрицант, который в начале периода равен единичной матрице. Матрица монодромии есть значение матрицанта в конце периода времени Т.
Комбинационный резонанс суммарного типа имеет место в окрестности частоты 0 = 0 +(. Траектории перемещения мультипликаторов для (0, = 0,5 и 0,5 9 6 представлены на рис. 2.4, откуда видно, что на границе областей неустойчивости имеются 2Т — периодические решения, так как мультипликаторы выходят за единичную окружность (штриховая линия) через значения -1, и почти периодические решения для комбинационного резонанса суммарного типа. 0,8 Ц Рис. 2.3 Области неустойчивости при периодическом изменении мертвой силы a(t) = 2\icosQt и (3 = 0 1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 Траектории мультипликаторов для случая a(t) = 2(icos0ґ, [3 = 0, i = 0,5 и изменении 0 в диапазоне 0,5-нб Результаты вычислений для случая, когда следящая сила изменяется по закону (3 = 2jxcos6f при ос = 0, представлены на рис. 2.5. Из-за несимметрии матрицы Е2 система является неканонической. Здесь, кроме главных параметрических резонансов 0 = 2со, и 9 = 2со2 наблюдается параметрический резонанс разностного типа 0 = ( - со,. Траектории мультипликаторов, построенные при )1 = 0,5 и 0,5 0 6 (рис. 2.6), показывают, что на границах областей неустойчивости, кроме почти периодических решений в окрестности частоты ю2 - (Dj, возможны только 2Т — периодические решения, так как выхода мультипликаторов из единичной окружности через значение +1 в данном случае не происходит. Аналогично ведет себя система и при одновременном синфазном изменении мертвой и следящей сил с одинаковой частотой: a = 2jicos Qt и (3 = 2(1 cos Qt. Области неустойчивости на плоскости ц.,0 для этого случая представлены на рис. 2.7.
Разработка блок-схемы имитационного моделирования
Применение метода матриц монодромии для систем высокой размерности требует значительного машинного времени для построения границ областей неустойчивости. Поскольку непосредственная вычислительная работа в системе Matlab проводится в режиме интерпретации команд, а инструменты системы, имитационного моделирования Symulink представляют собой объектные модули, то использование последней существенно ускоряет процесс вычислений. Кроме того, как уже отмечалось в первой главе, Symulink обладает свойством наглядности вычислительного процесса. Для составления блок—схемы имитационного моделирования в системе Symulink уравнение (3.11) представим в виде q = -A"1(2eeA + elG)q-A_1{C + [a(T) + P(T)]D-a(T)B}q. (3.15) Блок-схема имитационного моделирования представлена на рис. 3%.2 и содержит два интегратора. После первого интегратора, на выходе которого имеем вектор обобщенных скоростей q, формируются диссипативные члены в уравнении (3.15). После второго интегрирования вектор обобщенных перемещений q умножается слева на матрицы С, В и D. С помощью функций Matlab вычисляется матрица. АГ1, на которую слева умножается результат предыдущего действия. Формирование периодических параметрических воздействий a(x) = 2u,cos0T и P(T) = 2U,COS6T производится двумя синхронизованными по времени фрагментами-блок-схемы, которые соединяются с основной частью с помощью так называемых ручных переключателей. Эти переключатели дают возможность реализовать различные варианты нагружения системы.
Построим сначала границы области устойчивости в предположении о постоянстве приложенных к стержню нагрузок Q и Р. Как и для двухзвенного маятника (глава 2) граница области устойчивости консольного стержня строилась с использованием критерия Рауса—Гурвица и путем непосредственного вычисления корней характеристического уравнения АХ2+(2ееА + г1С)Х+С + (а + $)1 -аВ = 0. (3.16) Порядок алгебраического уравнения (3.16) определяется размерностью матриц, выступающих в качестве коэффициентов. В свою очередь, порядок матриц определяется числом удерживаемых членов п в представлении решения W( ,T) В ряд по формам собственных колебаний. Для п — 4 характеристический полином будет иметь восьмой порядок. Функции Matlab позволяют вычислять характеристические показатели непосредственно для матричного полинома (3.16). Для составления матрицы Гурвица уравнение (3.16) приводилось к обычному алгебраическому уравнению восьмого порядка.
Для случая коэффициентов демпфирования є, =0,001 и ге =0,01 граница области устойчивости ABC на плоскости ос,[3 представлена на рис. 3.3. Пересечение границы АВ соответствует динамической потере устойчивости тривиального положения равновесия по типу флаттер. При а = 0 критическое значение параметра следящей нагрузки (3 = 12,9. Пересечение границы ВС соответствует квазистатической потери устойчивости тривиального положения равновесия по типу дивергенция. При р = 0 критическое значение параметра мертвой силы равно к2 /4. Штриховой линией на рис. 3.3 показана зависимость частоты флаттера со от параметра а. Рис. 3.3 Граница области устойчивости (линия ABC) и частота флаттера (штриховая линия) для случая постоянных по величине потенциальной и следящей сил Теперь рассмотрим параметрические резонансы при действии только периодической мертвой силы OC(T) = 2U,COS0T при отсутствии следящей силы Р = 0 . Границы областей неустойчивости, полученные методом матриц моно-дромии с включением в программу вычислений имитационной модели, для этого случая представлены на рис. 3.4. Как и следовало1 ожидать, существенными; здесь являются главные параметрические резонансы, на частотах 8 = 2( (А: = 1,2,3,...) и комбинационные резонансы суммарного типана частотах 0 = со. + (. Причем области неустойчивости различного типа могут накладываться друг на друга. Так, например, в данном случае происходит наложение области неустойчивости в окрестности 2со3 и ! +С04. На рис. 3.5 показаны две границы областей неустойчивости. Граница А1В1С соответствует главному параметрическому резонансу 2со3 и построена для тех значений ц. и, 6, при- которых один из мультипликаторов р пересекает единичную окружность через значение, равное —1. Граница ABC соответствует комбинационному резонансу С01 + С04 и построена для параметров, jx и 0, при которых мультипликатор выходит из единичного круга и возвращается через некоторые комплексные значения р. Это проиллюстрировано на рис. 3.6, где показаны траектории мультипликаторов для JJ, = 3,5 и 12О 0 134. Траектория мультипликатора, ответственного за комбинационный резонанс, на рисунке изображена в увеличенном виде.
Исследование поведения- мультипликаторов при пересечении областей, комбинационных резонансов показало, что, если тип резонанса - суммарный, то участок траектории мультипликатора, вышедшего из единичного круга, как правило, образует петлю (рис. 3.9). Для параметрического резонанса разностного типа в аналогичном, случае участок траектории обычно образует дугу (рис. 3.10): На рис. 3.11 построены области параметрического резонанса для случая, когда параметр следящей силы постоянен и равен р = 0;9(3 , а мертваясиламе няется по закону a(x) = 2jicos9x. Наиболее опасным здесь является резонанс, возникающий при 0 = (со1+ю3)/2 и при весьма малых значениях амплитуды параметрического воздействия.
Если принять, что а = 0,9а , а следящая сила меняется по гармоническому закону P(T) = 2JICOS0T (рис. 3.12), то наиболее близко к оси ординат расположены области неустойчивости, в окрестности частот COj и со2 — со,.
Области параметрической стабилизации представлены на рис. 3.13 и 3.14. При превышении следящей силы своего критического значения Р = 1,1(3 приложение периодической мертвой силы стабилизирует систему в окрестности частот со2,со3 и й 4 (рис. 3.13). Наиболее близка к оси ординат, т.е. реализующаяся при малых значениях амплитуды параметрического воздействия, область в окрестности ю2. Области параметрической стабилизации статически неустойчивой системы (а = 1,1а ), представленные на рис. 3.14, существуют при больших значениях параметра возбуждения jx.
Вывод уравнений движения вала
Роторные системы, являются наиболее распространенными элементами энергетических и транспортных машин, предназначенными для передачи мощности с помощью крутящего момента.,Простейший инженерный подход к динамическому расчету роторных систем обычно- сводится к определению спектра собственных частот и вычислению критических чисел оборотов,.при которых могут наблюдаться значительные амплитуды изгибных колебаний . Особенно важны такие расчеты для гибких роторов, рабочее число оборотов которых превышает низшую критическую скорость. Основным источником вибраций при таком подходе принимаются либо внешние периодические нагрузки, либо инерционные силы- от несбалансированных масс. Однако кроме.указанных динамических воздействий для большинства роторных систем характерно наличие неконсервативных сил различной природы. К ним, например,, можно отнести силы внутреннего трения в-материале ротора, гидродинамические силы в подшипниках скольжения, электродинамические силы- и силы магнитного притяжения в электрических машинах [15, 16, 27, 28, 34, 36, 39, 40, 41, 61]. При определенных условиях действие неконсервативных сил может привести к возбуждению автоколебаний роторной системы, поддерживаемых за счет некоторой части энергии вращательного движения. Учет действия неконсервативных нагрузок расширяет круг проблем динамического расчета роторных систем. В чат стности, возникает вопрос об отыскании условий, при которых возникают автоколебания. Важной становится задача построения областей неустойчивости в пространстве параметров и исследование послекритического поведения системы. Другой причиной возникновения- интенсивных колебаний в роторных системах является неизотропность жесткостных свойств вала. При вращении в таких системах могут возникать параметрические колебания [16, 36]. В данной главе исследуется устойчивость вращающегося вала с неодинаковыми главны 84 ми моментами инерции поперечного сечения с учетом внутреннего трения в материале вала. В такой постановке эта задача решается впервые.
Рассмотрим вал длиной а с погонной массой т, закрепленный в подшипниках и вращающийся с частотой Q. Поперечные сечения вала имеют постоянные по длине главные моменты инерции /j и I2. С главными осями поперечных сечений вала свяжем вращающуюся систему координат Ovxv2 (рис. 4.1).
Для исследования устойчивости и закритического поведения рассматриваемой системы применим метод разложения движения по формам собственных изгибных колебаний невращающегося вала, свободного от дополнительных масс. По-другому этот метод называют методом главных или нормальных координат. Пусть вектор ф( ) составлен из п форм собственных колебаний, а Q(x)- матрица размерностью пх2, столбцы которой - суть соответствующие обобщенные координаты q (t) для горизонтальных мД х) и Pj(t) для вертикальных м2( ,х) перемещений сечений вала. В случае, если считать, что на концах вала реализуется шарнирное опирание, то элементами вектора ф( ) будут функции sin jilt, (j = 1,2,...,п).
Подставим (4.13) в уравнение (4.11) и применим процедуру метода Бубнова-Галеркина. Полученное уравнение запишем для двух вариантов: для случая изотропного по изгибной жесткости вала и для вала с различными главными жесткостями при отсутствии сосредоточенных дисков.
Тривиальное решение уравнения (4.14), соответствующее прямолинейной оси вращающегося вала, будет устойчивым, если все характеристические показатели лежат в левой полуплоскости, т.е. имеют отрицательные действительные части. Факт принадлежности всех.характеристических показателей левой полуплоскости может быть решен применением различных критериев устойчивости, например, критерия Рауса-Гурвица. Однако при не очень большой размерности задачи, которая определяется числом удерживаемых членов ряда п в разложении (4.13), непосредственное решение характеристического уравнения (4.18) и решение вопроса об устойчивости с помощью современных вычислительных средств требует не намного большего времени, чем применение критериев устойчивости. Именно таким способом при п = 4 на рисунке 4.2 были построены зависимости критической частоты вращения Q, от коэффициента внутреннего трения є, при различных значениях коэффициента внешнего трения ге. Вид кривых подтверждает формулу для Qt, полученную в [16] для безинерционного.вала с диском Q = соДі + єе/є,), где со — собственная частота изгибных колебаний. Исследование устойчивости тривиального решения уравнения с периодическими коэффициентами (4.16) проводилось методом матриц монодромии [27]. Уравнение (4.16) линеаризовывалось и приводилось к нормальной форме Коши -А/СДт) -А ,( 0_ Уравнение (4.19) интегрировалось An раз на одном периоде Т = 2к/ї при начальных условиях, соответствующих столбцам единичной матрицы размерностью 4пх4п. Из значений решений в конце периода составлялась матрица монодромии, и вычислялись ее собственные числа.- мультипликаторы. По теории Флоке-Ляпунова-Четаева [27, 28, 45] тривиальное решение уравнения (4.19) будет устойчивым, если все мультипликаторы по модулю меньше единицы, и неустойчивым, если модуль хотя бы одного мультипликатора превысит единицу. На основе этого метода строились границы области неустойчивости на плоскости параметров: ц.- амплитуда параметрического воздействия и Q,— частота вращения вала. Параметр (I характеризует степень неизотропности же-сткостных свойств вала.
