Содержание к диссертации
Введение
1. Расчет и оптимизация параметров силовых шпангоутов оболочек. современное состояние вопроса 9
1.1. Контактная задача для кольца переменной жесткости и цилиндрической оболочки 9
1.2. Весовая оптимизация силовых элементов тонкостенных конструкций 12
1.3. Экспериментальные исследования силовых шпангоутов цилиндрических оболочек 20
1.4. Цель и задачи диссертационной работы 22
2. Оптимизация формы силовых шпангоутов цилиндческих оболочек на основе условия ошгимашости прагера 24
2.1. Условие оптимальности Црагера 24
2.2. Постановка задачи оптимального проектирования трехслойных шпангоутов 27
2.3. Проектирование шпангоутов минимальной податливости 30
2.4. Учет сдвига при оптимальном проектировании силовых шпангоутов 37
2.5. Совместное дефорирование цилиндрической оболочки и шпангоута оптимальной переменной по длине дуги жесткости 41
2.5.1. Основные соотношения используемой теории оболочек 41
2.5.2. СамоуравноЕешенное напряженное состояние 44
2.5.3. Определение амплитудных значений усилий взаимодействия оболочки и шпангоута переменной жесткости 49
2.5.4. Обсуждение численных результатов 52
3. Оптимальное проектирование шпангоутов на основе принципа максимума понтрягина 58
3.1. Основные положения принципа максимума 58
3.2. Необходимые условия оптимальности при наличии ограничений на траекторию 62
3.3. Особенности алгоритма решения задачи оптимального управления при наличии ограничений на фазовые переменные 67
3.4. Проектирование шпангоутов наибольшей жесткости 72
3.5. Весовая оптимизация формы шпангоутов 79
3.6. Обсуждение результатов решения конкретных задач проектирования шпангоутов минимального веса 85
4. Экспериментальные исследования оптимальных по весу силовых шпангоутов цилиндрических оболочек 92
4.1. Задачи исследований 92
4.2. Исследование распределения напряжений в кольцах переменного сечения поляризацион-но-оптическим методом 93
4.3. Экопериментальные иооледования оптимальных по Еесу шпангоутов цилиндрических оболочек поляризационно-оптическим методом 101
4.4. Исследование напряжений в шпангоутах минимального Беса методом тензометрирования 112
4.5. Экспериментальные исследования напряженно-деформированного состояния оболочки, усиленной шпангоутом, методом голографической интерферометрии 117
Заключение 122
- Весовая оптимизация силовых элементов тонкостенных конструкций
- Учет сдвига при оптимальном проектировании силовых шпангоутов
- Необходимые условия оптимальности при наличии ограничений на траекторию
- Исследование распределения напряжений в кольцах переменного сечения поляризацион-но-оптическим методом
Введение к работе
Необходимость создания эффективных конструкций с повышенными требованиями к их прочности, надежности и долговечности при минимуме затрат на изготовление и эксплуатацию выдвигает проблему оптимального проектирования на одно из важнейших меот в современном машиностроении и строительстве.
В решениях ХХУІ съезда КПСС поставлена задача по совершенствованию в оптимальных пределах машин и оборудования при одновременном уменьшении их габаритов, металлоемкости, энергопотребления и снижения стоимости. Успешное решение этой общегосударственной задачи может быть получено лишь на базе использования последних достижений в области механики деформируемого твердого тела и вычислительной математики. Данной проблеме в настоящее время уделяется большое внимание, что, в частности, выражается в значительном количестве посвященных ей публикаций.
Одним из путей снижения общего веса машин и конструкций является применение тонкостенных элементов - профилей, пластин и оболочек. Использование таких элементов в машино-, судо-, авиа- и энергостроении делает особо актуальной задачу обеспечения прочности в местах приложения локальных и сосредоточенных нагрузок (местной прочности).
Задача обеспечения местной прочности в большинстве случаев решается путем установки подкрепляющих (силовых) элементов, служащих для непосредственного восприятия усилий.
В качестве таких элементов часто используются поперечные ребра жесткости в виде криволинейных брусьев и колец (шпангоутов). При этом напряженно-деформиро-
ванное состояние силовых колец, усиливающих тонкостенные обо- ' лочки вращения, носит, как правило, нерегулярный характер значительные напряжения и перемещения обычно возникают вблизи точек приложения сосредоточенных нагрузок. Поэтому обеспечение прочности путем общего увеличения размеров поперечного сечения подкрепляющего шпангоута ведет к неоправданному завышению веса конструкции.
Весовая оптимизация силовых элементов тонкостенных конструкций
Стремление получить оптимальные, в том или ином смысле, проекты конструкций прослеживается на протяжении всего развития механики твердого деформируемого тела. Анализ исследований в области оптимального проектирования конструкции, начиная с работ Галилея (1638 г.) и кончая исследованиями, вышедшими в 1962 г., содержится Е обзоре Васютинско-го, Брандта / I3B /. Более поздним достижением в оптимальном проектировании, в основном зарубежных авторов, посвящена работа Чжу, Прагера / I3T /. Общий очерк задач оптимизации в строительной механике содержится в книге Н.Д. Сергеева, А.И. Богатырева / 91 /. Достижения в области оптимального проектирования пластин и оболочек освещены в обзоре В.В. Васильева / 25 /. О состоянии современной теории оптимального проектирования можно судить также по обширным обзорам, приведенным в монографиях Р.Ш.Адамии, В.М.Лободы / 2 /, Н.В.Баничука / 7 /, В.Б.Гринева, А.П.Филиппова / 33 /, Ю.Б.Гольдштейяа, М.А.Соломеща / 32 /; В.П.Малкова, А.Я.Угодчикова / 70 /, В.А.Троицкого, Л.В.Петухо-Еа / 97 /, А.А.Чираса, А.Э.Боркаускаоа, Р.П. Каркаускаса /112 /, и др. Обзорные работы / 2,6,27,28,63,75,80,86,89,119,12-7 / дополняют представление о достижениях при решении задач оптимизации различных конструкций и используемых методах исследования. Богатую информацию об исследованиях в области оптимального проектирования содержит библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1948-1974 гг. / 24 /. Содержание опубликованных обзоров, а также отдельных работ позволяет провести анализ современного состояния теории оптимального проектирования конструкций как в части полученных результатов, так и в отношении используемых методов оптимизации. Наиболее исследованными являются задачи проектирования стержневых систем. Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек менее разработаны, что объясняется, главным образом, сложностью математического описания напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным в настоящее время является подход к задаче оптимизации, состоящий в том, что из всех требований, предъявляемых к конструкции, выбирается основное, которое в дальнейшем рассматривается как показатель совершенства (критерий качества) конструкции.
Остальные требования обычно учитываются в виде ограничений. Таким образом, под оптимальной понимается конструкция, которая наилучшим образом удовлетворяет принятому критерию с соблюдением заданных ограничений. В качестве требований, предъявляемых к конструкции, выступают, как правило, прочность, жесткость, устойчивость, надежность, стоимость или конструктивные, технологические и другие характеристики, факторы. Наиболее распространенным является критерий минимума веса материала конструкции. Задача оптимизации в терминах математического программирования формулируется следующим образом: найти совокупность управляющих параметров, минимизирующих целевую функцию (показатель качества конструкции) с учетом дополнительных ограничений. В настоящее время известно значительное число исследований, посвященных применению методов математического программирования / 21,26,79,101,104 /: линейного, нелинейного, динамического программирования, принципа максимума Л.О. Понтрягина - для решения задач оптимального проектирования, накоплен определенный опыт их использования, причем достоинства такого подхода получили общее признание, а разработка и практическая реализация алгоритмов оптимального проектирования конкретных конструкций являются Б настоящее время одной из важнейших и перспективных задач строительной механики. В целом, структура решения задач оптимального распределения материала в конструкциях включает Е себя: составление математической модели системы, назначение целевой функции, формулировку и оценку ограничений, выбор математического аппарата оптимизации. Трудоемкость решения при этом зависит от каждого этапа в отдельности и их взаимосвязи. Основные трудности на практике обычно возникают при описании желаемого физического поведения системы в удобной математической форме (с целью построения эффективной методики прямого расчета), Еыборе метода оптимизации и построении алгоритма численной реализации. При этом затраты на вычисления, связанные с получением оптимального проекта или наиболее полной информации о нем, часто оказываются слишком большими даже при использовании современных вычислительных средств. Успешным в таких случаях может оказаться подход, характерная особенность которого состоит в определении варьируемых параметров системы (например, геометрических характеристик сечений) , которые приводили бы к выполнению некоторых условий, называемых частными.критериями оптимальности, с заданной степенью точности. Условия при этом формулируются так, чтобы критерий качества (например, вес), который сам не минимизируется, имел экстремум. Подобная замена исходной задачи часто приводит к существенным упрощениям и позволяет в ряде случаев быстро получить требуемые результаты. Такими частными критериями оптимальности являются: равнопрочность, равнонапряженность, равноустойчивость, минимум потенциальной энергии деформаций при заданном объеме материала (постоянство удельной потенциальной энергии упругой деформации), постоянство удельной мощности энергии в каждой точ- ке конструкции и др. Следует отметить, что результаты, полученные в рамках этого направления, в значительной мере разрознены; слабо изучена достаточность используемых частных критериев и область их применения.
Так, с одной стороны, раЕнонапряженная конструкция не всегда является конструкцией минимального веса (см. / 70,130 /), а с другой,-в исследованиях, проведенных рдцом авторов / 27,28, 57,58,86,89,119,136,131 /, указывается на взаимосвязь равно-прочности, минимума веса, внутренней потенциальной энергии деформации и других критериев оптимальности во многих задачах проектирования. Кроме того, следует принять во внимание, что использование частных критериев оптимальности часто не позволяет учесть целый ряд дополнительных требований, предъявляемых к конструкции, хотя и значительно уменьшает трудоемкость отыскания оптимального проекта. В настоящей работе задача оптимизации формы шпангоута, усиливающего цилиндрическую оболочку, решается на основе одного из современных методов теории оптимального управления - принципа максимума Понтрягина / 79 / и условия Прагера / 81 / постоянства удельной потенциальной энергии упругой деформации. Проведен сравнительный анализ методов. Принципы, основанные на условии минимума потенциальной энергии или максимума дополнительной работы, были положены в основу при исследовании СЕОЙСТВ оптимальных упругих систем Е / 58, 128,-13(2 / и др. Полученные условия оптимальности являются, по существу, необходимыми, а иногда и достаточными при решении конкретных задач проектирования. 3. Васютинский / 13 7/ установил, что при заданном объеме упругого материала минимум энергии деформации можнт быть достигнут лишь при такой форме конструкции, когда энергия распре- "делена равномерно. В статье.: Прагера и Тейлора /82 / доказана достаточность условия Васютинского для слоистых балок и пластин. При этом благодаря предположению о линейной зависимости между погонными жесткостью и ЕЄСОМ удается, проинтегрировав отдельно условие экстремума, определить оптимальное поле перемещений,которое не содержит конструктивных параметров, а затем найти оптимальную конструкцию. В качестве примеров рассмотрены задачи о стержне данного объема с минимальной основной частотой колебаний и о максимальной нагрузке, вызывающей потерю устойчивости. В работе / 132 / получено необходимое и достаточное условие оптимума для слоистых конструкций, условие прочности которых представляется выпуклой поверхностью Е пространстве усилий.Прин-цип минимума полной потенциальной энергии системы использован в / 32 / для отыскания рациональной формы срединной поверхности оболочки. Теорема Прагера применена к задаче оптимального проектирования тонких пластин в статье / 66 /.
Учет сдвига при оптимальном проектировании силовых шпангоутов
В настоящем разделе при решении задачи проектирования силового шпангоута минимальной подталивости с заданным общим весом дополнительно учитывается влияние деформаций сдвига с целью установления влияния сдвиговых усилий на свойства оптимальных проектов. Как и ранее (см. п.2.2), примем трехслойную модель шпангоута, выбирая переменную по длине дуги площадь несущих слоев в качестве варьируемого параметра, отыскиваемого из требования минимума упругих прогибов шпангоута при заданном весе его материала. Условием оптимальности служит постоянство удельной потенциальной энергии упругой деформации (2.20). Здесь энергия деформации единицы длины бруса имеет вид - где дополнительно к обозначениям п. 2.2 ; U,U - поперечная сила и модуль сдвига; к - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (для прямоугольника lc = 1,2). Уравнения равновесия при деформировании кольца в своей плоскости принимаются прежними (2.13), (2.14), а соотношения между смещениями и усилиями будут следующими: Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.37) и граничные условия и (2.33,6), как и ранее, представляют собой соотношения для определения перемещений точек срединной линии шпангоута (податливости шпангоута) и неизвестных постоянных к , кг . Численная реализация такого алгоритма осуществляется на основе метода прогонки для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.37) и метода Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений для отыскания к і , кг. Решение задачи в целом осуществляется по программе, составленной на языке "АЛГОЛ-60" для ЭВМ М-222. При решении конкретного примера с целью уменьшения громоздкости и конкретизации выкладок усилия взаимодействия шпангоута и оболочки приняты в виде: f (if) для р =0,1; а = - кривая I (эффект сдвига не учитывается), а = I - кривая 2, L--p- кривая 3, a -- - - кривая 4. Заметим, что с уменьшением CL углы наклона графиков rW уменьшаются, а распределение площади поперечных сечений становится более плавным, так как происходит увеличение площади сечения (связанное с учетом влияния поперечных сил) на участках, где изгибающие моменты малы.
Для оценки эффективности оптимального проекта аналогично предыдущему проведены сравнения податливости оптимального кольца и кольца постоянного поперечного сечения того же веса в зависимости от ГЬ . При этом податливость шпангоута оптимальной конфигурации оказалась ниже на 25-35 %, а результаты в целом близки к полученным Е п. 2.3 (см.рис. 2.2). В то же время эффективность оптимальной конструкции, найденной с учетом сдвига, оказывается все же ниже (на 1 5 % в зависимости от а ), чем при рассмотрении шпангоута без учета сдвига. Таким образом, учет сдвиговых деформаций оказывает большее влияние на проект оптимальной конфигурации, чем на соответствующий шпангоут постоянного сечения. Заметим также, что изменение условий нагружения шпангоута, в том числе и любыми другими локальными нагрузками, распределенными на участках по произвольному закону, не вносят принципиальных затруднений в реализацию подхода. Изложенная в настоящем разделе методика позволяет получать оптимальное распределение несущих слоев шпангоутов цилиндрических оболочек при заданной внешней нагрузке и известной функции рас- пределения контактных взаимодействий кольца и оболочки. Поскольку решение задачи оптимизации формы шпангоута зависит от контактного давления, а решение контактной задачи в свою очередь зависит от искомых геометрических размеров, отыскание оптимальных параметров конструкции осуществляется Е два этапа. Вначале решается задача сопряжения оболочки и кругового стержня переменной жесткости, после чего вычисляются оптимальные переменные по длине дуги размеры поперечного сечения, и расчет повторяется. Таким образом возникает необходимость разработки эффективного алгоритма решение задачи о совместном деформировании оболочки и шпангоута переменной жесткости при поперечном нагружении / 49 /. Рассматриваемая конструкция представляет собой тонкую цилиндрическую оболочку, подкрепленную шпангоутом в месте приложения сосредоточенной радиальной нагрузки. Шпангоут имеет массивное прямолинейное поперечное сечение с постоянной шириной и произвольно меняющейся высотой. Шпангоут состыкован с оболочкой по срединной линии. При рассмотрении оболочки будем основываться на полубезмомент-ной теории В.З. Власова / 23 / и в соответствии с этим пренебрегать изгибающим моментом, а также перерезывающими силами в поперечных сечениях, учитывая только нормальные и тангенциальные усилия. В продольном сечении, кроме нормальных и тангенциальных усилий, будем учитывать перерезьшающую силу и изгибающий момент. Цри этом полагаем также, что в месте стыка силового шпангоута с оболочкой действуют только нормальные Т и тангенциальные р погонные усилия взаимодействия оболочки и шпангоута. Учитывая принятые гипотезы, а также полагая, что N/ пренебрежимо мало по сравнению с ф , соотношения между усилиями и компонентами деформации записываем следующим образом: где О - толщина стенки оболочки; Е-о, м - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки. Расчетные зависимости для шпангоута принимаются в виде (2.13)-(2.16). Задача определения напряженно-деформированного состояния конструкции решается путем интегрирования выписанных выше замкнутых систем дифференциальных уравнений для оболочки и шпангоута с учетом совместной работы этих элементов.
Чтобы избежать осложнений, связанных с решением уравнений в частных производных, отвечающих двумерной задаче расчета оболочки, величины, определяющие напряженно-деформированное состояние оболочки, разлагаются в тригонометрические ряды по круговой координате, Для усилий: При таком подходе напряженное состояние цилиндрической оболочки представляется в виде бесконечной суммы так называемых "элементарных напряженных состояний". Статически определимое (основное) напряженное состояние (соответствующее К = О , к.= /1 ) является первым приближением для решения задачи в целом. При этом нулевой и первый коэффициенты разложений (2.50) могут быть определены из условия равновесия, так как задача приводится к расчету элементов конструкции от равномерно распределенной нагрузки (к = 0) и от нагрузки, распределенной по закону СЦеобФ (Ь sinuO , что соответствует случаю абсолютно жесткого в СЕОЄЙ плоскости шпангоута и оболочки как тонкостенной кольцевой балки без учета деформации контура поперечного сечения. Решение в этом случае осуществляется с использованием общепринятых ПОДХОДОЕ. Например, для раскрытия статической неопределимости шпангоута можно воспользоваться теоремой Кастилиано. Балочный расчет оболочки также производится с использованием обычных формул сопротивления материалов. Гармоники при К 2, самоуравновешены Б сечении при произвольных значениях относящихся к ним амплитуд и представляют собой статически неопределимое (дополнительное) состояние. Амплитудные значения при К?/2, можно определить из требования минимума потенциальной энергии, накопленной оболочкой в процессе деформирования. Это требование дает для искомых амплитуд обыкновенные дифференциальные уравнения, решение которых, наряцу с рассмотрением граничных условий по линии сопряжения шпангоута с оболочкой, позволяет выразить эти амплитудные значения через усилия в стыковом сечении, также выраженные рядами: После подстановки (2.50) Е (2.47) и соответствующих преобразований получаем зависимости, связывающие амплитудные величины усилий элементарных напряженных состояний при К 2/ В качестве основных неизвестных дополнительного состояния принимается самоуравновешенная в поперечных сечениях система амплитудных значений Хк нормального усилия Т.
Необходимые условия оптимальности при наличии ограничений на траекторию
Современная постановка задач оптимального управления родилась из стремления учесть разного рода ограничивающие условия, наложенные на управляющие воздействия и координаты системы,описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений / 4, 22,64 /. Здесь приводятся основные способы учета различных ограничений при решении задач оптимального управления, возникающих при оптимальном проектировании шпангоутов цилиндрических оболочек. Рассмотрим задачу оптимального управления, сформулированную в п. 3.1, с учетом ограничений на управление и (или) фазовые координаты. а) На управляющие переменные и фазовые координаты наложено ограничение вида _ причем Ф0 для любого к. Решение задачи можно отыскать с помощью множителей Лагранжа. Для максимизации функции Н при ограничении (3.II) строится расширенный гамильтониан где Н определяется соотношением (3.4), и необходимые условия экстремума принимают вид Соотношения (3.13) служат для определения Щ компонент В случае, если X(u?k,ip) - вектор-функция размерности Z m . то приведенные соотношения остаются справедливыми при замене в них на , , где - вектор множителей Лагранжа, размерность которого совпадает с размерностью вектора X (й, к,ср). Заметим также, что сопряженная система принимает вид г; б) На управляющие переменные и фазовые координаты наложено ограничение вида Гамильтониан и необходимые условия экстремума полностью совпадают с (3.12), (3.13). Дополнительно в данном случае требуется, чтобы Отрицательный знак при -О интерпретируется как требование возможности улучшения Н лишь за счет нарушения ограничений. Характерным здесь является то, что при решении конкретной задачи сопряженные функции на отдельных участках удовлетворяют уравнениям различного вида, отличающихся наличием (или отсутствием) слагаемого ,—— . Таким образом, оптимальная траектория может состоять из участков, одни из которых лежат на границе допустимой области =О , а другие - внутри. При этом участки управления должны быть состыкованы с выполнением всех необходимых условий оптимальности / 22 /. В точках стыковки управление k(ср) может быть как непрерывным, так и разрывным. Значение кусочно-непрерывного управления k( f ) в точке разрыва не играет сколько-нибудь существенной роли в дальнейшем.
Однако для определенности принимается, что k( f) в точке разрыва непрерывно справа. Кроме того, предполагается, что управление \i(y) непрерывно на концах отрезка сро f f L » на котором оно задано, т.е. что все его точки разрыва, если они есть, расположены на интерале Если соотношения (3.13) имеют достаточно сложный вид, что чаще всего имеет место на практике, сформулированная в пунктах а, б задача рассматривается как задача нелинейного (в общем случае) программирования / 21,26,101 /. При известных значениях й( ,Я((Р) для каждого фиксированного Ф=Ф требуется найти вектор kfc k » доставляющий максимум функции Н . Здесь область D определяется условиями (3.II) или (3.15). Такой подход эффективен при конечно-разностной аппроксимации и численном решении непрерывной задачи управления. Заметим, что если в ограничения (3.II), (3.15) не входят явно функции а (Ч ) , решение упрощается, поскольку сопряженная система не меняет свой вид на различных участках траектории. в) На фазовую траекторию управляемого объекта, описываемого системой (3.1) с граничными условиями (3.2), наложены интегральные ограничения Л Вариационные задачи при наличии ограничений такого типа называются изопереметрическими / 20,22,64 /. Здесь j - заданные гладкие функции; причем .. и Tj/j (см. (3.1) ) линейно независимы; О: (j = 1,a,..v к) - заданные действительные числа. Запишем (3.17) как систему дифференциальных уравнений с начальными условиями Поскольку функции j-j (U,k, p) не зависят от 2j , то решение системы (3.18) при известных значениях функций u , к с учетом (3.19) находится в виде: а соотношение (3.17) с учетом зависимостей (3.18),(3.19) тожде- ственны условиям Теперь данная задача эквивалентна задаче управления, рассмотренной в п. 3.1. А именно: требуется найти допустимое управ- ление к(Ф) (Ф0 о 4 L) , переводящее объект, движу- щийся по закону (3.1), (3.18) в фазовом пространстве Ъп+К пе ременных UI j ( I s 4,2,..., И ; j - 1,2., - . , к) , ИЗ ПОЛОЖЄНИЯ U0 = u(ifo)6"Ue,(ip0)=o в положение йи = й( ) е"Ць,г ( fL) = i? и придающее минимальное значение функционалу (3.3). Расширенный гамильтониан системы в данном случае имеет вид. где п определяется соотношением (3.4). Сопряженная система для вспомогательных неизвестных Ai, J j ( 1=1,2,..., ), (j= 1,2,..., ) записывается следующим обра Решение уравнения (3.24) имеет вид Подстановка его в (2.23) дает При этом постоянные Ct ( =1,2,..., Ic ) определяются из условия выполнения уравнений (3.17). За исключением случаев, когда система уравнений, критерий качества и ограничения являются весьма простыми, для решения за дач оптимального управления необходимо применение численных ме тодов / 26,59,71,108 /. При этом часто используются различные варианты метода последовательных приближений /59 /, простейший вариант которого применительно к рассматриваемым здесь задачам можно представить следующим образом. __, Пусть известно некоторое допустимое управление k , тогда к -я итерация заключается в следующем: а) система П дифференциальных уравнений состояния (3.1) интегрируется на Ltf0 f Ll с Учетом заданных граничных условий (3.2) - определяется Ц. ( ) = ( U, ( f), Uz ( ),..-, Un(cp))j б) интегрируется система (3.5) для сопряженных переменных с граничными условиями трансверсальности (3.10) - отыскивается в) управление следующего шага определяется из условия мак симума: keZDf, после чего делается переход к следующей итерации.
Процесс продолжается до тех пор, пока последующие приближения не будут отличаться друг от друга в пределах заданной точности. Полученное таким образом решение будет удовлетворять принципу максимума. Такая схема метода последовательных приближений позволяет находить решение задач, в которых отсутствуют ограничения в ви- де неравенств, наложенные на управление и фазовые координаты или только на фазовые координаты. Одним из методов решения задач с ограничениями является использование интегральных функций штрафа. Идея штрафйых функций в силу простоты реализации получила широкое распространение в задачах оптимального управления. Такой подход часто оказывается эффективным на начальной стадии решения с последующим применением более точных, но трудоемких методов. Однако, как показывает опыт расчетов, получить достаточно точный результат на основе такого подхода трудно (см. / 71 /, стр.130 ). Поэтому для весовой оптимизации формы силовых шпангоутов оболочек используется методика, существо которой состоит в сопряжении решений, соответствующих различным (граничным и свободным) участкам фазовой траектории / 22,40 /. Такой подход позволяет находить решение более точно и требует меньших, чем в методе штрафных функций, затрат машинного времени. В общем случае процесс решения рассматриваемых задач управления состоит из двух основных частей: решения специального вида краевой задачи, называемой краевой задачей принципа максимума, и задачи нахождения максимума функции нескольких переменных, принадлежащей заданной области, - задачи нелинейного программирования. В диссертации, при реализации конкретных алгоритмов, решение краевых задач (3.1),(3.2), (3.5), (3.10) осуществляется методом прогонки / 26,90 /. Вспомогательная же задача нелинейного программирования для каждого фиксированного Ф имеет в рассматриваемых случаях невысокую размерность и успешно решается известными методами / 21,26,101 /. Более того, для ряда задач оптимальное управление может быть получено в замкнутой форме из необходимого условия (3.13), В настоящем разделе будем счи- тать, что условие максимума позволяет получить зависимости Особенность применяемой методики состоит в необходимости предварительного задания не только вектора управляющих функций, но и самой последовательности участков управления, то есть вденти-фикации границ, с которой и на которую производится переключение управления (при числе ограничений больше дЕух), и дальнейшего определения момента выхода и схода решения с границ допустимых областей, то есть координат точек переключения с одной границы на другую.
Исследование распределения напряжений в кольцах переменного сечения поляризацион-но-оптическим методом
Для изучения свойств оптимальных конструкций были проведены экспериментальные исследования контурных напряжений Е кольцах постоянного поперечного сечения и равных им по весу (дЕух типах) колец переменного сечения, растянутых диаметрально расположенными силами. Проведено сравнение полу- ченных результатов. Поскольку исследование напряженного состояния с помощью по-ляризационно-оптичеокого метода / 103 / необходимо проводить на прозрачных моделях, материал которых приобретает свойства двойного лучепреломления под действием внешних сил, кольца изготавливались из пластин оптически активного материала, полученного методом холодного отЕерждения эпоксидной смолы / 96 / и наиболее полно отвечающего предъявляемым требованиям / 116 /. Композиция для заливки пластин состояла из следующих компонентов: эпоксидная смола ЭД-20 - 100 весовых частей; пласификатор (дибутилфта-лат) - 20 весовых частей; отвердитель (полиэтиленполиамин) -12 весовых частей. После предварительной полимеризации в форме, пластины подвергались дополимеризации при температуре 110 С в течение 4-х часов и после медленного охлаждения были готовы к использованию. Эксперимент проводился на поляризационной установке ППУ-4, схема которой представлена на рис. 4.1. Лучи, вышедшие из источника монохроматического света (ртутная лампа со светофильтром) сводятся конденсатором в сходящийся пучок, подвергающийся поляризации при прохождении призмы поляризатора. При дальней -шем распространении лучи поляризованного света (линзы I, 2, 3 служат для превращения конического пучка света в рабочий параллельный поток и обратно) проходят модель и анализатор и попадают на экран. При прохождении свободного от напряжений слоя оптически активного материала плоскость колебаний светового вектора поляризованного луча сохраняется неизменной. Если деталь напряжена, то проходящий через нее луч разлагается на два отдельных луча, плоскости колебаний которых совпадают с направлениями осей эллипса напряжений в данной точке. Эти лучи приходят к анализатору с разностью хода и, попадая на экран, интерферируют, в результате чего экран оказывается освещенным неравномерно. Точки, в которых разность главных напряжений э \, одинакова, лежат на непрерывных кривых постоянной интенсивности - изо-хромах, которые покрывают изображение на экране. Для определения оптической чувствительности полученного материала и напряжений по изохромам, предварительно проводились тарировочные испытания. При этом балка из оптически активного материала подвергалась чистому изгибу и просвечивалась поляризованным светом.
По полученным картинам изохром и простым в этом случае теоретическим расчетам устанавливалась цена полосы о выбранного материала по нормальным напряжениям. После этого вычисление напряжений на контуре детали свободном от внешних нагрузок (одно из главных напряжений равно нулю) производилось по формуле где о - толщина испытуемой детали, an- порядок изохромы в данной точке. Из пластин оптически активного материала было изготовлено 4 кольца. Размеры колец в плане представлены на рис. 4.2. Ввиду симметрии колец относительно координатных осей, их размеры и далее полученные результаты представлены только для четверти кольца. Для полученного материала цена полосы для отдельных моделей составила tfo = 3,45- 3,85-Лг » а толщина 6 = 0,0041- 0,OO4S5M. В эксперименте кольца нагружались на внутреннем контуре двумя диаметрально направленными сосредоточенными силами. Опреде- лялись величины контурных напряжений. Нагрузка для всех колец была постоянной и равнялась Р = 122,5 Просвечивание нагруженных колец проводилось на поляризацион- яо-проекционной установке ППУ-4 с использованием монохроматиче ского света длиной волны Я = 576 шк..Картины полос, получен ные в эксперименте, представлены на рис. 4.3. ч При этом видно значительное сгущение линий в кольце постоянного поперечного сечения по сравнению с картиной полос в соответствующем кольце с утолщением в зоне приложения нагрузки. Поскольку на контуре колец всюду, за исключением зон приложения нагрузки, одно из главных напряжений равно нулю, абсолютная величина контурных напряжений определялась по формуле: &к = п&о , где бо - цена полосы соответствующего кольца. В зонах приложения нагрузок напряжения не определялись. Полученные значения контурных напряжений в зависимости от величины угла т , отсчиты -ваемого от точки приложения нагрузки, представлены на рис. 4.4. Как видно из приведенных графиков, изменение контурных напряжений &к существенно зависит от закона изменения жесткости. Во всех кольцах наибольшие напряжения возникают на внутреннем контуре вблизи точек приложения нагрузки. В этих зонах контурные напряжения в кольцах переменной жесткости существенно меньше соответствующих напряжений для колец постоянной жесткости. Так, для U) = 5 отношение указанных напряжений для одинаковых по весу колец равно: Здесь индексами I, П, Ш и ІУ обозначены номера колец (см. рис. 4.2). Это указывает на возможность получения выигрыша по прочности за счет рационального перераспределения материала в кольце. На основе поляризациояно-оптического метода проведены экспериментальные исследования напряженно-деформированного состояния в шпангоутах оптимального переменного по длине дуги очертания, усиливающих цилиндрическую оболочку при нагружении ее сосредоточенной радиальной силой и, для сравнения, в шпангоутах постоянного поперечного сечения при одинаковых условиях нагру-жения.
Численные результаты для шпангоутов минимального веса получены при следующих параметрах: Е = 2.,9 -4О9 $i L$3 = 0,62-108- ; 1 = 7,5-10 14-, g =0,85-10"2M; (a)ko = 0,b- Очертания оптимального шпангоута для случая (а) видны на рис. 4.5, а для случая (б) на рис. 4.6. При этом сравнение веса материала оптимального кольца (а) и шпангоута постоянного сечения равного по прочности в опасном сечении (под силой) с оптимальным дает выигрыш в весе 43,2 %. Преимущества полученных проектов шпангоутов минимального веса с переменной по .длине дуги жесткостью устанавливались сравнением напряженно-деформированного состояния в шпангоутах оптимальной конфигурации и в равных им по Еесу шпангоутах постоянного поперечного сечения. При этом высота n.c шпангоута постоянного сечения подбиралась из условия \Гопт = 2JrRokc. Напряжения в шпангоутах определялись поляризационно-оптиче-ским методом, а их жесткостные характеристики устанавливались путем замеров радиальных перемещений с помощью индикаторов часового типа Е диаметрально противоположных ( Ф - о, и - Ж) точках контура. Для жесткого соединения торца стальной цилиндрической обо- лочки со шпангоутом, в последнем (по срединной линии) на половину его толщины протачивался кольцевой паз, куда свободно входил край оболочки. Перед сборкой паз заполнялся клеем из эпоксидной смолы того же состава, что и материал шпангоута. Начальные напряжения при таком способе соединения отсутствовали. Второй торец оболочки закреплялся также при помощи смолы в сквозном отверстии плиты из органического стекла, сделанном по размеру оболочки, и обеспечивающем выполнение граничных условий защемления (рис. 4.7). Шпангоуты изготавливались из пластин оптически активного материала, Е = 2- 9-109- , полученного методом холодного отверждения эпоксидной смолы /96 /, а оболочка точечной сваркой из листовой стали XI8H9T. ( Я = 0,075м, = Ъ-1бм ). Длина консоли оболочки /С =0,15 м. Через жесткую призму шпангоут нагружался сосредоточенной (вдоль радиуса Ф = 0) силой Р , перпендикулярной оси оболочки. Шпангоуты переменной по длине дуги жесткости спроектированы из условия минимума веса на основе принципа максимума. Эксперимент проводился на поляризационно-проекционной установке ПЇЇУ-7 с использованием для нагружения пресса УЇЇ-5. В процессе проведения эксперимента шпангоут просвечивался поляризованным светом в направлении оси оболочки и на экране установки получались картины изохром (рис. 4.8). Фотографии картин изохром в зоне приложения нагрузки ( Р = 392 н) в шпангоуте оптимального очертания (случай (а) представлены на рис.4.9, а в равном ему по весу шпангоуте постоянного поперечного сечения на рис. 4.10.
