Содержание к диссертации
Введение
1. Существующие методы расчета нестационарных колебаний упругих систем при ударных взаимодействиях 8
1.1. Математические модели соударения тел с распределенными параметрами и методы исследования динамики упругих систем 8
1.2. Основные соотношения теории оболочек 14
1.3. Расчет тороидальных оболочек асимптотическим методом 60
1.4. Построение передаточной функции 68
1.5. Выводы. Цель и задачи исследования 73
2. Метод конечных элементов (МКЭ) в динамике оболочек как вязко-упругих систем с распределенными параметрами 75
2.1. Вариационные принципы динамики вязкоупругих систем с распределенными параметрами для разрывных полей смещений и напряжений 75
2.2. Нестационарные колебания в упругих системах с учетом рассеяния энергии 83
3. Динамический расчет конических оболочек 86
3.1. Уравнения динамики оболочек вращения. Динамический расчет осе-симметрично нагруженной конической оболочки 86
3.2. Колебания оболочек вращения при абсолютно упругом ударе при сохранении связи с препятствием и при отскоке от препятствия 96
4. Статический и динамический расчет гофрированных мембран 100
4.1. Статический расчет гофрированных мембран. Сравнение полученных результатов с известными результатами 100
4.2. Динамический расчет гофрированных мембран 103
5. Заключение , 106
6. Список литературы 107
Приложения 118
- Расчет тороидальных оболочек асимптотическим методом
- Нестационарные колебания в упругих системах с учетом рассеяния энергии
- Колебания оболочек вращения при абсолютно упругом ударе при сохранении связи с препятствием и при отскоке от препятствия
- Статический расчет гофрированных мембран. Сравнение полученных результатов с известными результатами
Введение к работе
Классическая теория колебаний основывается на решении дифференциальных уравнений и стыковке решений для различных частей системы при выполнении условий непрерывности. О состоянии теории колебаний в настоящее время можно судить по фундаментальным работам [3, 7, 8, 17, 19,20,23, 30,31,33,34,36,40,64,65,69,71,72,73, ПО, 117,119,125,130, 131, 134, 137, 138]. Развитие теории колебаний идет по пути применения метода конечных элементов (МКЭ) в сочетании с численным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений.
В настоящее время объем вычислений уже не является определяющим фактором. Важным становится построение простых и универсальных алгоритмов. Все этапы расчета должны быть строго формализованы при помощи удобного математического аппарата. Основной задачей является создание достаточно универсальной и эффективной программы вычислений на ЭВМ.
При изучении колебаний обнаруживается, что классических методов недостаточно и что необходимы новые, более общие и в то же время менее сложные методы. В связи с этим, перспективным, но недостаточно разработанным направлением расчета нестационарных колебаний оболочек вращения при соударении с препятствием, является подход, предложенный Санкиным Ю.Н., основанный на прямом и обратном преобразовании Лапласа, построении передаточной функции вязкоупругой системы с распределенными параметрами, позволяющий осуществлять обоснованный переход от сложной упругой системы к ее простой эквивалентной модели с применением современных вычислительных методов и средств.
Проблема моделирования динамических характеристик оболочек, как систем с распределенными параметрами (например, обшивка самолета, элементы конструкций космических аппаратов) является актуальной в связи с тем, что в ряде случаев приходится обеспечивать защиту от соударе- ния с препятствием и внезапных силовых воздействий. Одной из первых работ, посвященных исследованию динамических явлений в системах с распределенными параметрами с применением преобразования Лапласа, является работа Кошутина М.П. [47]. Однако метод, предлагаемый в [47] был рассчитан на ручной счет и его возможности были сильно ограничены.
Здесь решение задачи осуществлено методом конечных элементов (МКЭ). Методу конечных элементов посвящены многочисленные работы [9,12,22, 35, 37, 41,44, 46, 54, 66, 77, 88, 100, 142]. Особенностью используемого в работе варианта МКЭ является то, что исходным является смешанный вариационный принцип, для соответствующих величин, преобразованных по Лапласу, куда входят начальные условия, предложенный Ю.Н. Санкиным [89, 91]. Под вариационным принципом понимается эквивалентность решения краевой или начально-краевой задачи условию стационара соответствующего функционала. Для прямого вариационного метода достаточно иметь в распоряжении функционал, которому искомое решение сообщает стационарное, а не обязательно экстремальное, значение.
Анализ различных вариационных принципов содержится в работах [1, 21, 87, 89, 91, 140, 141, 143, 144, 145]. Однако решение проблемы начальных условий дано в работах [89, 91]. В предлагаемой работе исходные уравнения в частных производных преобразуются по Лапласу [45, 52, 57]. В преобразованные уравнения входят начальные условия, которые наряду с заданными силами также являются возмущающими воздействиями. Обратное преобразование Лапласа осуществляется численным образом. Для чего полагаем р = ію, где р - параметр преобразования Лапласа, і - комплексная единица, со - частотный параметр. В результате задача сводится к решению алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Затем осуществляется построение амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ). Данное построение, как правило, всегда возможно. Поскольку все особые точки соответствующих выражений, благодаря учету внутреннего рассеяния энергии, лежат в левой полуплоскости, то обратное преобразование Лапласа осуществляется путем использования построенных АФЧХ. Кроме того, АФЧХ могут служить для построения простых математических моделей.
Математическое моделирование оболочек как систем с распределенными параметрами в настоящее время представляет собой весьма актуальную задачу, так как анализ переходных процессов при нестационарных возмущениях разработан в настоящее время недостаточно и сводится к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Это ведет к потере точности после небольшого числа шагов интегрирования.
Предлагаемая работа посвящена исследованию оболочек вращения, как систем с распределенными параметрами, динамические явления в которых описываются уравнениями МКЭ, которые являются вариационными уравнениями. В работе рассматривается частотный метод построения переходных процессов.
В последнее время появилось большое количество работ по применению прямых методов типа Бубнова-Галеркина-Ритца и на их основе различных модификаций МКЭ, а также разностных уравнений. Предлагаемые здесь вычислительные схемы требуют построения АФЧХ с учетом начальных условий для отдельных сечений оболочки с последующим численным обратным преобразованием.
При разработке метода динамического анализа оболочек вращения автор основывался на фундаментальных работах [26,32,56,67,116,127,133, 139].
При составлении алгоритмов программ использовались работы [2, 14, 15, 27, 30, 53, 60, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 104, 109, 111, 112, 115, 118, 121,123,132]
Научная новизна положений, выносимых на защиту.
Впервые разработан способ расчета переходных процессов в оболочках вращения, позволяющий промоделировать состояние оболочки на протяжении нескольких сотен и тысяч циклов, основанный на соотношениях, полученных из вариационных соображений, для преобразованных по Лапласу узловых перемещений для конического конечного элемента.
Впервые разработана методика динамического расчета оболочек вращения при соударении с препятствием и внезапном нагружении, основанная на смешанном вариационном принципе для преобразованных по Лапласу полей обобщенных перемещений и обобщенных сил.
Впервые получены математические модели оболочек вращения, основанные на использовании экстремальных точек АФЧХ, позволяющие компактно представить результаты решения нескольких сотен или тысяч уравнений.
Расчет тороидальных оболочек асимптотическим методом
В результате проведенного анализа научно - технической информации можно сделать следующие выводы:
Классическая теория колебаний основывается на решении дифференциальных уравнений и стыке решений для различных частей системы при выполнении условий непрерывности.
В настоящее время объем вычислений уже не является определяющим фактором. Важным становится построение простых и универсальных алгоритмов. Все этапы расчета должны быть строго формализованы при помощи удобного математического аппарата. Основным является создание достаточно универсальной и эффективной программы вычислений на ЭВМ.
При изучении колебаний обнаруживается, что классических методов недостаточно и что необходимы новые, более общие и в то же время менее сложные методы. В связи с этим, перспективным, но недостаточно разработанным направлением расчета нестационарных колебаний оболочек вращения при соударении с препятствием является подход, предложенный в [89], основанный на прямом и обратном преобразовании Лапласа, построении передаточной функции вязкоупругой системы с распределенными параметрами, позволяющий осуществлять обоснованный переход от сложной упругой системы к ее простой эквивалентной модели с применением современных вычислительных методов и средств.
Методы динамического расчета элементов оболочек вращения, как систем с распределенными параметрами, изучены не достаточно полно.
В связи с изложенным, цель настоящей работы заключается в разработке нового подхода в динамических расчетах нестационарных колебаний стержневых систем при соударении с препятствием, основанного на построении амплитудно-фазо-частотных характеристик, а также апробации методов идентификации систем с распределенными параметрами. Для достижения поставленной цели необходимо разработать методику динамического расчета нестационарных колебаний оболочек вращения при осесимметричном нагружении и при соударении с препятствием. С помощью набора конических элементов можно моделировать упругие, чувствительные элементы мембранного типа, сильфоны, корпуса летательных аппаратов, а так же корпуса энергетических установок. Разработанный метод динамического расчета подобных конструкций существенно экономит машинные ресурсы, обладает повышенной точностью, которая не теряется при рассмотрении сотен и тысяч циклов колебаний конструкций, поэтому тема диссертации является актуальной. Кроме того, разработанная методика позволяет учитывать начальные условия. Исходные положения динамики - законы Ньютона и принцип ДАламбера - позволяют описывать движение материальных тел в дифференциальной форме [55,61]. Однако возможна и другая равноценная точка зрения, основанная на установлении стационарных свойств некоторых величин. Подобная точка зрения может быть выставлена как самостоятельное требование и приводит к формулировке принципа Гамильтона-Остроградского. Принцип Га-мильтона-Остроградского устанавливает некоторые свойства движений, происходящих в действительности и отличающихся от других возможных движений, допускаемых связями. Пусть U(a,t) представляют смещения, происходящие в действительности. Совокупность этих функций определяет истинный путь, а любая из бесконечного числа, допускаемых связями (граничными условиями) конфигураций, близких к истинному пути где 5U(a,t) являются произвольными бесконечно малыми дифференцируемыми функциями времени, определяют окольный путь. Пусть 6U(a,t) удовлетворяют условию 5U(a,t1) = 5U(a,t2)=0, где tr и t2 моменты времени, соответствующие началу и концу движения. Введем в рассмотрение вариацию потенциальной энергии 5П, кинетической энергии SK и элементарную работу внешних сил 5 А. Принцип Гамильтона-Остроградского в механике заключается в утверждении об обращении в нуль величины Элементарная работа 5 А в общем случае непотенциальных сил не имеет структуры полного дифференциала, и поэтому не существует функционала, соответствующего утверждению (94). Для идеально упругого тела, когда силы потенциальны, утверждение (94) приобретает иную вариационную формулировку, и задача сводится к отысканию условий стационарности некоторого функционала.
Нестационарные колебания в упругих системах с учетом рассеяния энергии
По переходным процессам можно найти максимальную (А, ) и статическую (Ast) амплитуды, откуда по формуле К = А /А найдем коэффициент динамичности. Затем, найдя статическое напряжение (o"st), по формуле К o"st = cmax находим максимальное напряжение в рассматриваемом сечении. Приведенные решения справедливы при любом рассеянии энергии, в том числе при у = 0, когда получаются полигармонические незатухающие колебания, а решение имеет смысл для любых промежутков времени, т.е. для сотен и тысяч циклов. Аналогично предыдущему, изложенная методика позволяет исследовать колебания оболочек при любых внезапных скачках давления и исследовать звуковые колебания оболочки.
При расчете оболочек вращения переменной кривизны, когда г, = г,(0), осуществляется аппроксимация такой оболочки коническими конечными элементами с разным углом 0 [96,98].
Эта глава посвящена расчету мембран как осесимметричных непологих оболочек вращения с использованием конического конечного элемента. Поскольку матрица жесткости элемента построена с учетом деформаций растяжения, то возможно решение нелинейных задач. Если, например, решается задача изгиба плоской мембраны, то в начальном приближении используется конечный элемент для кольцевой круглой плиты. Были решены тестовые примеры для кольцевой круглой плиты и для цилиндрической круговой оболочки. Результаты расчетов были сравнены с результатами из работы [76], при этом достигнута высокая точность расчетов по разработанной методике. Преимуществом разработанной методики является то, что возможен расчёт гофрированных мембран с произвольно очерченным профилем. Результаты расчетов были также сравнены с результатами полученными при помощи системы ANSYS. По сравнению с системой ANSYS разработанная методика позволяет решать нестационарные задачи для больших промежутков времени без потери точности вычислений.
Приведенные соотношения пригодны и для решения задач статики при ш = 0. Статический расчет мембран в настоящее время хорошо отработан и с высокой степенью точности может осуществляться, например, с помощью пакета программ ANSYS. Однако, при этом затруднительно получение высокой степени точности при динамическом расчете мембран, в особенности построение переходных процессов при ударных нагружениях на больших промежутках времени. Особые трудности возникают при попытке построения математической модели системы в виде суммы колебательных звеньев, когда число этих звеньев велико, так как приходится раз- делять переходный процесс на составляющие, соответствующие отдельным колебательным звеньям, что практически невозможно (например, в рассмотренных нами случаях конических оболочек). Кроме того, значительные затруднения встречают попытки построения слабо затухающих переходных процессов.
Предложенная методика позволяет, например, определять собственные частоты и переходные процессы в мембранных чувствительных элементах любого профиля, при любом законе изменения давления, а также при соударении с препятствием.
В качестве примера рассмотрим расчет плоской мембраны [99], изображенной на рис. 29. Задача сводится к получению перемещений, по которым можно будет судить об изменениях геометрической формы мембраны, имеющей следующие параметры: ш = 0; R0=0,04 м; h = 0,005 м; Далее рассмотрим мембрану пильчатого профиля (рис. 31) с одним зубом [92, 93] высотой Н = 0,003 м; R0 =0,01 м; R, =0,007 м; R2 =0,004 м; с углом наклона 0 = 45, толщина мембраны h = 0,0001 м, в центре мембраны жесткая пластина радиуса г = 0,001 м, на мембрану действует равномерная нагрузка q = l кН/м2, модуль упругости Е = 2Л10"Н/м, коэффициент Пуассона.
Колебания оболочек вращения при абсолютно упругом ударе при сохранении связи с препятствием и при отскоке от препятствия
В настоящее время объем вычислений уже не является определяющим фактором. Важным становится построение простых и универсальных алгоритмов. Все этапы расчета должны быть строго формализованы при помощи удобного математического аппарата. Основной задачей является создание достаточно универсальной и эффективной программы вычислений на ЭВМ.
При изучении колебаний обнаруживается, что классических методов недостаточно и что необходимы новые, более общие и в то же время менее сложные методы. В связи с этим, перспективным, но недостаточно разработанным направлением расчета нестационарных колебаний оболочек вращения при соударении с препятствием, является подход, предложенный Санкиным Ю.Н., основанный на прямом и обратном преобразовании Лапласа, построении передаточной функции вязкоупругой системы с распределенными параметрами, позволяющий осуществлять обоснованный переход от сложной упругой системы к ее простой эквивалентной модели с применением современных вычислительных методов и средств.
Проблема моделирования динамических характеристик оболочек, как систем с распределенными параметрами (например, обшивка самолета, элементы конструкций космических аппаратов) является актуальной в связи с тем, что в ряде случаев приходится обеспечивать защиту от соударе ния с препятствием и внезапных силовых воздействий. Одной из первых работ, посвященных исследованию динамических явлений в системах с распределенными параметрами с применением преобразования Лапласа, является работа Кошутина М.П. [47]. Однако метод, предлагаемый в [47] был рассчитан на ручной счет и его возможности были сильно ограничены.
Здесь решение задачи осуществлено методом конечных элементов (МКЭ). Методу конечных элементов посвящены многочисленные работы [9,12,22, 35, 37, 41,44, 46, 54, 66, 77, 88, 100, 142]. Особенностью используемого в работе варианта МКЭ является то, что исходным является смешанный вариационный принцип, для соответствующих величин, преобразованных по Лапласу, куда входят начальные условия, предложенный Ю.Н. Санкиным [89, 91]. Под вариационным принципом понимается эквивалентность решения краевой или начально-краевой задачи условию стационара соответствующего функционала. Для прямого вариационного метода достаточно иметь в распоряжении функционал, которому искомое решение сообщает стационарное, а не обязательно экстремальное, значение.
Анализ различных вариационных принципов содержится в работах [1, 21, 87, 89, 91, 140, 141, 143, 144, 145]. Однако решение проблемы начальных условий дано в работах [89, 91]. В предлагаемой работе исходные уравнения в частных производных преобразуются по Лапласу [45, 52, 57]. В преобразованные уравнения входят начальные условия, которые наряду с заданными силами также являются возмущающими воздействиями. Обратное преобразование Лапласа осуществляется численным образом. Для чего полагаем р = ію, где р - параметр преобразования Лапласа, і - комплексная единица, со - частотный параметр. В результате задача сводится к решению алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Затем осуществляется построение амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ). Данное построение, как правило, всегда возможно. Поскольку все особые точки соответствующих выражений, благодаря учету внутреннего рассеяния энергии, лежат в левой полуплоскости, то обратное преобразование Лапласа осуществляется путем использования построенных АФЧХ. Кроме того, АФЧХ могут служить для построения простых математических моделей.
Математическое моделирование оболочек как систем с распределенными параметрами в настоящее время представляет собой весьма актуальную задачу, так как анализ переходных процессов при нестационарных возмущениях разработан в настоящее время недостаточно и сводится к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Это ведет к потере точности после небольшого числа шагов интегрирования.
Предлагаемая работа посвящена исследованию оболочек вращения, как систем с распределенными параметрами, динамические явления в которых описываются уравнениями МКЭ, которые являются вариационными уравнениями. В работе рассматривается частотный метод построения переходных процессов.
В последнее время появилось большое количество работ по применению прямых методов типа Бубнова-Галеркина-Ритца и на их основе различных модификаций МКЭ, а также разностных уравнений. Предлагаемые здесь вычислительные схемы требуют построения АФЧХ с учетом начальных условий для отдельных сечений оболочки с последующим численным обратным преобразованием. При разработке метода динамического анализа оболочек вращения автор основывался на фундаментальных работах [26,32,56,67,116,127,133, 139]. При составлении алгоритмов программ использовались работы [2, 14, 15, 27, 30, 53, 60, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 104, 109, 111, 112, 115, 118, 121,123,132] 1. Впервые разработан способ расчета переходных процессов в оболочках вращения, позволяющий промоделировать состояние оболочки на протяжении нескольких сотен и тысяч циклов, основанный на соотношениях, полученных из вариационных соображений, для преобразованных по Лапласу узловых перемещений для конического конечного элемента. 2. Впервые разработана методика динамического расчета оболочек вращения при соударении с препятствием и внезапном нагружении, основанная на смешанном вариационном принципе для преобразованных по Лапласу полей обобщенных перемещений и обобщенных сил. 3. Впервые получены математические модели оболочек вращения, основанные на использовании экстремальных точек АФЧХ, позволяющие компактно представить результаты решения нескольких сотен или тысяч уравнений.
Статический расчет гофрированных мембран. Сравнение полученных результатов с известными результатами
Как было отмечено выше динамические явления при ударе могут рассматриваться как некоторый суммарный колебательный процесс, и поэтому довольно точные результаты получаются при замене сплошной среды дискретной моделью в виде сосредоточенных масс соединенных между собой упругими элементами. Так, например, как заметил В.К. Манжосов, при моделировании продольного удара по стержню приемлемые результаты получаются при замене стержня примерно десятью сосредоточенными массами соединенными упругими элементами. Правда при этом специфика ударных явлений, связанных с распространением прямой и обратной волны не выявляется.
Другим, так же достаточно эффективным, методом является энергетический метод, когда считается, что энергия ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому осуществляется удар. Данная модель так же не учитывает специфику колебательных процессов на разных частотах и формах колебаний. Она дает неплохие результаты при поперечном ударе по балке, и уже дает значительную погрешность при рассмотрении продольного удара по стержню.
В настоящее время при продольном соударении стержней широко используется метод Д Аламбера. Это решение дает хорошие практические результаты и широко используется в настоящее время для изучения продольного удара по стержню при различных граничных условиях.
Вместе с тем, как заметил Н. Винер [24], при достаточном количестве членов ряда, волновые явления можно моделировать с помощью ряда Фурье, это относится и к продольному удару по стержню. Как известно ряд по собственным функциям самосопряженного оператора, описывающего поведение упругого тела, представляет собой обобщенный ряд Фурье [29, 51, 59, 113, 120]. Обобщенный ряд Фурье сходится по энергии к искомому решению, поэтому во всех случаях, когда изучаются колебания тел с распределенными параметрами, и, в частности, рассматриваемая в данной работе задача о нестационарных колебаниях конической оболочки при соударении с препятствием и внезапном нагружении, может быть решена при помощи обобщенных рядов Фурье. Фактически именно эта процедура и реализуется в работе. На основе вариационных уравнений, каковыми являются уравнения МКЭ, для узловых перемещений преобразованных по Лапласу строится алгебраическая система с комплексными коэффициентами. Решая эту систему, строятся АФЧХ, затем, по экстремальным точкам АФЧХ, вьщеляются коэффициенты обобщенного ряда Фурье. Обычный подход при решении задач колебания оболочки при ударном взаимодействии не представляется возможным, так как одновременно имеют место связанные колебания вдоль по образующей оболочки и по поперечным направлениям к образующей.
При рассмотрении задач колебаний, возникают частные задачи, такие как, например, определение собственных частот и форм колебаний. К числу подобных задач относится задача определения собственных частот методом Релея. Согласно методу Релея собственная частота находится из равенства [10] где Птах, - соответственно максимальная потенциальная и кинетическая энергия.
Метод Рэлея применяется главным образом для оценки основной частоты системы, однако другие ее динамические характеристики остаются нераскрытыми. Точность определения частоты колебаний зависит от выбора формы колебаний, которую трудно заранее предсказать.
Метод Ритца позволяет свести расчет системы с распределенной массой к расчету более простой системы с конечным числом степеней свободы, и в частности, дает более точное решение для первой собственной частоты [10,29]. Однако он не позволяет решать задачи о нестационарных колебаниях систем с распределенными параметрами с учетом рассеяния энергии.
Метод Бубнова-Галеркина совпадает с методом Ритца для самосопряженных операторов, в том случае, когда координатные функции удовлетворяют всем граничным условиям как геометрическим, так и силовым [62,63,126].
Энергетический метод [62, 63], предложенный С.Г. Михлиным, благодаря тому, что задача сводится к нахождению решений в энергетическом пространстве, которое является частным случаем пространства Соболева, требует выполнения только геометрических условий, так как силовые условия автоматически выполняются при решении соответствующей вариационной системы уравнений. Следует заметить, что МКЭ является развитием энергетического метода С.Г. Михлина.
Конечноразностные методы в настоящее время претерпели значительные изменения, они превратились в вариационноразностные. Подобные методы изучены, например, в работах [14,15,54].
Вариационный метод, рассматриваемый в данной работе, справедлив при решении линейных задач динамики вязкоупругих систем с распределенными параметрами с учетом начальных условий и рассеяния энергии, при любых видах нагружения, лишь бы существовало преобразование Лапласа для соответствующих сил. В частном случае этот метод решает задачу о вынужденных колебаниях с учетом рассеяния энергии и, кроме того, из него следуют метод Релея, метод Ритца и метод Бубнова-Галеркина при соответствующих предположениях [126,128].
