Содержание к диссертации
Введение
Глава II. Слоистые пластины 29
2.1 Действие ударной волны на слоистую пластину (точная постановка) 29
2.2 Построение оригиналов 39
2.3 Асимптотическое приближение, или метод начальных значений 43
2.4. Прикладная теория расчета слоистых (композиционных) пластин на импульсную нагрузку 50
2.5. Свободно опертая прямоугольная пластина при поперечной импульсной нагрузке 55
2.6. Асимптотические исследования 69
2.7. Прикладная теория расчета композиционных пластин на действие импульсной нагрузки
2.8. Свободно опертая пластина при действии импульса внешнего давления
2.9. Прикладная теория расчета слоистых пластин на действие импульсной нагрузки, учитывающая поперечный сдвиг 90
2.10 Примеры 98
Глава III Пологие оболочки из композиционных материалов ... 120
3.1. Шарнирно-опертая прямоугольная в плане пологая оболочка при импульсном воздействии (точная постановка) 120
3.2. Асимптотические исследования 126
3.3. Прикладная теория расчета композиционных пологих оболочек при действии импульсных нагрузок 145
3.4. Локальное импульсное нагружение пологой оболочки 155
3.5. Асимптотика решения 168
3.6. Прикладная теория расчета композиционных пологих оболочек при действии импульсных нагрузок 173
3.7. Шарнирно опертая прямоугольная в плане пологая оболочка под действием импульса внешнего давления 194
3.8. Примеры 200
Глава IV Цилиндрические оболочки 212
4.1. Тонкостенная цилиндрическая оболочка из композиционного материала при импульсном нагружении (точная постановка ) 213
4.2 Асимптотические исследования 231
4.3 Прикладная теория расчета тонких композиционных оболочек на динамическую нагрузку 241
4.4. Локальное импульсное нагружение цилиндрической композиционной оболочки 246
4.5. Асимптотические исследования 262
4.6. Прикладная теория расчета тонких композиционных цилиндрических оболочек на действие импульсной нагрузки 270
4.7. Действие импульса внешнего давления на свободно опертую по торцам цилиндрическую оболочку.: 280
4.8. Оценка напряженно - деформированного состояния при расслоении 287
4.9. Примеры 293
Заключение 303
Список литературы 3 05
- Асимптотическое приближение, или метод начальных значений
- Свободно опертая пластина при действии импульса внешнего давления
- Прикладная теория расчета композиционных пологих оболочек при действии импульсных нагрузок
- Прикладная теория расчета тонких композиционных оболочек на динамическую нагрузку
Введение к работе
Волновые движения, в той или иной мере, присущи всем без исключения объектам внешнего мира, однако, можно выделить класс явлений, в которых волновые движения играют основную роль, что необходимо учитывать при построении математических моделей. К этому классу, в частности, относится динамическое поведение деформируемых тел при внешнем импульсном воздействии. Решению ряда задач из этого обширного класса и посвящена настоящая работа.
Сейчас проблема изучения динамических реакций упругих тел на ударные воздействия имеет большое значение, к ней проявляется значительный интерес. Об этом, прежде всего, можно судить по появлению большого количества работ в этой области, публикуемых, как в нашей стране, так и за рубежом. Основной причиной этого явились потребности практики, выдвинувшей большое количество прикладных инженерных задач, связанных с необходимостью увеличения надежности конструкций, рационализацией силовой компоновки наземных сооружений, машин и аппаратов, испытывающих интенсивные динамические воздействия. Во многом изучению этой проблемы способствует развитие высокопроизводительной вычислительной техники. С применением быстродействующих компьютеров стали эффективными методы, связанные с суммированием различных рядов, численным обращением обычно применяемых при решении динамических задач интегральных преобразований, непосредственного численного решения. В ряде работ [ 11, 40, 64, 82 ] применен метод конечных элементов. Однако, судя по решаемым задачам, прогресса в этом направлении. при исследовании волновых явлений нет, это связано, по видимому, и с особенностями самого метода, и с необходимостью составления специальных очень сложных конечно- элементных моделей.
Следует здесь отметить, что численные методы вообще удобны как методы поверочного расчета, задачи проектирования и рационализации конструкций требуют пусть менее точных, но аналитических решений, позволяющих хотя бы определить направление дальнейших поисков. Кроме того, аналитические методы позволяют выявить многие особенности динамического деформирования, которые не могут быть получены численно. Точные аналитические решения могут служить проверкой правильности построения численных методов, так как, даже по мнению американских авторов [64 ], эксперимент в этой области весьма дорог.
Необходимо, однако, заметить, что аналитические решения для задач, описывающих общий случай динамического поведения упругих тел и их взаимодействия,с окружающей средой не получены. Можно выделить лишь несколько решаемых классов задач и указать направления, по которым ведутся исследования.
По видимому, наиболее развитым является изучение гидроупругости оболочек, рассматривающее взаимодействие упругих тонкостенных элементов конструкций и контактирующей с ними жидкостью. Это направление развивается в трудах Э.И.Григолюка, А.Г.Горшкова, Е.Н.Мнева, А.К.Перцева, Ф.Н.Шклярчука, А.С.Вольмира, ВіД.Кубенко и др. Подробно состояние в данной области изложено в обзорах [ 43, 49, 55, 112 ]. В работах, посвященных изучению этого направления, развиты и успешно применяются многие прикладные методы решения динамических задач [ 170 ].
В работах А.Н.Гузя, В.Т.Головчана, М.А.Черевко, Н.А.Шульги и др. исследуется явление дифракции упругих волн на различных неоднородностях [36, 56,112,116,156,174 ].
В ряде работ рассматривается распространение волн в предварительно напряженной среде [ 10, 53, 54, 57, 75, 111 ].Однако, эта важная и весьма сложная проблема, имеющая многочисленные практические приложения, как отмечено в [ 53 ], находится, в основном, на стадии постановки задачи, строгой формулировки системы разрешающих уравнений.
Важным направлением, которое следует выделить особо, является изучение распространения волн напряжений и перемещений: в твердых телах. Основы теории распространения упругих волн заложены в трудах Д.Г.Стокса, СДЛуассона, У.Кельвина, Д.У.Рэлея, в которых исследовалось движение звука, а также света, представляемого как упругий эфир. Известны классические решения Ж.Даламбера, С.Д.Пуассона, Г.Р.Кирхгоффа, определяющие процесс распространения волн в одно-, дву- и трехмерных средах.
В дальнейшем эти исследования, в соответствии с потребностями сейсмологии, велись в трудах- В.И.Смирнова, СЛ.Соболева; Л.М;Бреховских; Г.И:Петрашеня, И.Н:Векуа. Изучаемые в этих работах Среды представлялись упругими пространствами. и полупространствами.
Динамические задачи, описывающие распространение; волн в ограниченных средах, моделирующих элементы конструкций машин и аппаратов, стали рассматриваться только в последнее время. Возникновение этой постановки связано с появлением большого количества прикладных задач, в которых необходима проверка прочности конструкции при кратковременных внешних воздействиях; с внедрением высокопроизводительных технологических процессов, таких как штамповка взрывом, разработка месторождений открытым способом и с внедрением неразрушающих методов контроля, в которых требуется определить параметры процесса; с применением импульсных методов для определения осредненных механических характеристик материалов и сред со сложной структурой.
Первой отечественной работой в этой области является монография [ 142 ],.в которой сформулирован и решен широкий круг задач по определению воздействия импульсных нагрузок на элементы конструкций.
В решении задач о поведении тел при импульсном: нагружении можно выделить три основных подхода. Первый, основанный на использовании весьма общих энергетических соотношений, представляет собошт. н. "элементарную теорию Кокса" [ 37, 85 ]. В ней; деформируемое тело описывается весьма приближенно. Введенные впоследствии многочисленные дополнения и уточнения не смогли существенно улучшить эту теорию. Однако, следует отметить, что в некоторых случаях по ней удается получить приемлемые для практического использования результаты. Одно из возможных уточнений предлагается в статье [ 63 ], определяются пределы применимости этого способа решения; динамических задач.
Второй - использует существенно более точное описание деформируемого тела и сводится к решению уравнений движения, как правило, волновых уравнений, позволяющих исследовать различные стадии процесса импульсного нагружения и установить, в частности, что возмущения в теле распространяются со скоростью звука.
Третье направление - это исследование ударных волн, распространяющихся со скоростями большими: скорости звука [76, 162 ]. Высокая интенсивность воздействия сказывается и на свойствах деформируемых тел, что позволяет использовать в расчетах более простые модели.
Целям и задачам настоящей работы отвечает второй подход. Он несомненно имеет ограничения- и по скорости: движения ударяющего- тела- и: по- интенсивности внешнего воздействия, однако, границы его использования достаточно широки и, как отмечается в [76 ], он применим для исследования внешних импульсных воздействий с амплитудой до 105 атм. Тем более; как отмечено в [ 9Г], при кратковременном воздействии конструкционные композиты, в частности, СВ композиты упруги вплоть до разрушения.
В задачах о распространении волн напряжений и перемещений в деформируемых твердых телах можно выделить три основные постановки:
Стационарная задача - ставится в том • случае, когда внешнее воздействие имеет регулярный во времени характер, чаще всего периодический или достаточно точно апроксимируемый таковым. Предположение о той же регулярности в решении дает возможность, избавиться от одной переменной ( или производных по ней ) в уравнениях, описывающих задачу. Этот подход успешно применен в монографии [ 21 ] к исследованию распространения синусоидальных по времени волн в слоистой среде. В работе [45.] он применяется; для, расчета слоистых, в основном: цилиндрических, оболочек; при внешнем воздействии различного происхождения. Следует, однако, отметить, что в теоретической физике, где данный подход, пожалуй, является основным, термин " стационарный " при решении волновых задач имеет другое значение..
II. Поиск специальных решений. В этой постановке предполагается специальное поведение решения более чем по одной переменной. Таким способом, например, построены классические решения Рэлея [ 90,109 ] и Лява [ 109 ]. Этот способ используется во многих работах, связанных, в частности, с теорией волноводов [ 38 ], с задачами сейсмологии и горной механики [ 13; 116, 117, 118, 163 ], В работе [ 65 ] при описании» горных пород используется: модель Коссера. В статье [ 132 ] рассматривается задача о распространении плоской волны в среде, контактирующей с жидкостью.
III. Нестационарная задача. Самая полная постановка. В ней не делается упрощающих предположений о поведении решения; Так формулируется, в частности, задача по изучению наиболее важной для приложений части волнового процесса - его начала.
Настоящая работа посвящена построению методов нестационарных задач теории упругости?. по определению напряженно - деформированного состояния типовых элементов„ конструкций, выполненных из композиционных материалов, испытывающих действие кратковременного импульса внешнего нормального давления.
В обзоре рассматривается состояние работ в этой области применительно к пластинам и оболочкам. Одновременно в обзоре приводятся работы в смежных областях, содержащие решения или модели сред, применимые при решениивышеуказанных-задач:
Простейшей: моделью, используемой при динамических расчетах элементов конструкций является одномерная схема ( стержень или безграничный слой постоянной толщины и неизменной структуры) [ 97, 147, 148 ]. Связь этой схемы с моделями большей размерности показана в работе [ 196 ]. Обширную библиографию по задачам о распространении упругих волн в стержнях можно найти в работах [ 90,179 ]. В статье [ 179 ], в частности, критически проанализирована эволюция расчетных схем, обсуждаются пределы применимости различных теорий. Следует отметить, что наиболее - изученным является процесс распространения волн в однородных средах.
Вопросы проверки откольной прочности однородных стержней конечной длины при продольном ударе жесткой массой рассматриваются в статье [123 ]. Несущая способность проверяется по первой отраженной волне. Отмечается, что существенным параметром является скорость массы в момент соударения. Теория, примененная в этом исследовании построена в известной работе [ 161 ], дополнительно предполагалось, что груз и стержень после соударения перемещаются совместно.
В статье [81] одномерная теория применена при изучении забивки сваи в грунт. Отмечается, что предварительно проведенные численные исследования показали, что учет сопротивляемости грунта не вносит качественных изменений в описываемое явление. Показано, что напряжения, возникающие в свае, зависят от скорости молота в момент удара и: от отношения волновых сопротивлений ударника и сваи. Количественно сопротивление глинистых сред изучается в работе [ 17 ]. Сравниваются результаты экспериментов с полученными решениями. Взаимодействие же одномерных волн; с упругой ( одномерной ) преградой изучается в статье [ 61 ].
В многочисленных исследованиях, посвященных взрывной штамповке, например, в работе [ 12 ] отмечается, что процессы формообразования и нагружения матрицы носят ярко выраженный волновой: характер, неучет которого может существенно: нарушить технологические режимы, для поверочного расчета оснастки выбрана элементарная одномерная теория. Применение даже такой упрощенной модели позволяет сформулировать рекомендации по улучшению структуры матрицы.
Некоторые усложнения одномерной модели, которые, как отмечается, следует ввести-для. более точного расчета элементов конструкций, применяемых в машиностроении, рассматриваются в статье [ 59 ]. Применение этих и им подобных моделей при решении весьма сложных практических задач можно найти в работах [ 31,42, 87, 89,175 ].
Способы: решения- волновых- задач,- описанные- в литературе, весьма разнообразны, однако, можно указать два из них, наиболее часто применяемых при изучении одномерных волновых процессов:
1. Метод бегущих волн. Он основан на применении классического решения Даламбера., Использование этого метода приводит к получению • системы последовательно решаемых уравнений, каждое из которых определяет процесс, распространения возмущений в определенные отрезки времени. Примерами применения этого метода могут служить работы [31,81,87,108].
2. Метод интегральных преобразований. Применение операционного исчисления при исследовании волновых процессов является весьма эффективным, поскольку, как правило, при решении одномерных задач обращение полученных в пространстве изображений решений удается провести аналитически. В более сложных случаях большое распространение получили приближенные и численные методы обращения. Обзор литературы по данному вопросу можно найти в [ 93,119 ].
Довольно распространенным способом обращения является поиск оригинала в виде разложения по функциям, для которых известны изображения. Чаще других для этой цели применяются классические ортогональные многочлены, например, полиномы Лежандра. Построение коэффициентов разложения сводится к решению- системы. линейных алгебраических уравнений, что, как правило, предполагает использование ЭВМ. К этому классу, в частности, принадлежит способ обращения предложенный Бэллманом [ 173 ].
При вычислении интеграла Бромуича, задающего обратное преобразование. Лапласа, большое распространение получили различные методы, развитые в теории численного интегрирования 98, 99 ]. В работе [ 6 ] применен метод асимптотически эквивалентных функций, позволяющий провести обращение с наперед заданной точностью. Применение этого метода при решении задачи о воздействии на однородный стержень подробно описано в монографии [ 85 ]. Как там показано, возникающие напряжения можно представить суперпозицией: элементарных волн, формой повторяющих внешнее воздействие. В монографии [171 ] этим методом решена модельная задача о распространении одномерной волны по полубесконечному вязко - упругому стержню, подчиняющемуся закону Максвелла.
Отметим и некоторые другие методы, применяемые при решении нестационарных задач ( более подробно математические методы приведены в монографиях [ 138,170 ]).
В работе: [ 69 ] решение проведено методом расчленения, что позволило свести одномерную краевую задачу к задаче. Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Решение последней предлагается вести численно.
В статьях [ 41, 172 ] применен метод разложения по собственным функциям. Однако, этот глубоко теоретически разработанный метод мало применяется в инженерной практике, поскольку, как отмечено в сборнике [ 140 ], подобные ряды при исследовании удара сходятся слабо.
При решении одномерных волновых задач, как и вообще при решении задач, содержащих уравнения с частными производными, широко применяются различные численные методы [ 59,159 ].
Значительным упрощением одномерной модели является предположение о неоднородности среды. Появление различных включений, резкое изменение механических свойств материала приводит к разделению волновых фронтов, к появлению большого числа новых элементарных вол, что существенно усложняет расчет напряженного состояния. Процессы распространения упругих волн даже в одномерных средах с регулярными неоднородностями исследованы слабо.
В статье [ 165 ] рассматривается задача об изменении упругой волны на стыке двух полубесконечных стержней с упруго подвешенными в месте стыка массами.
В работе [ 149 ] получено решение, описывающее процесс распространения одномерных волн в стержне, составленном из двух участков - постоянного и линейно-меняющегося поперечного сечения. Представляется, что последнее, видимо, следовало рассматривать в рамках более сложной модели, хотя бы воспользовавшись приближенной теорией Лява.
Более общая модель рассматривается в статье [ 1 ]. Изучая удар о преграду стержня, составленного из однородных участков переменного поперечного сечения. Получено решение, справедливое в момент контакта стержня с преградой, вводилось весьма спорное дополнительное предположение о мгновенной остановке всех стыков смежных слоев в момент соударения. Подробно исследовано распространение волн в стержне, составленном из цилиндрических и конических участков.
Следует отметить, что в ряде работ при описании резко меняющихся механических характеристик неоднородных стержней используется аппарат обобщенных функций.
В работе [ 169 ] рассмотрен полубесконечный слоистый; стержень с постоянной скоростью распространения упругих волн. При описании модулей упругости и плотностей материалов слоев используются единичные: функции Хевисайда: Решение- получено- для одно- и дву- слойного стержня.
Применение аппарата обобщенных функций дает возможность сформулировать краевую задачу для всего пакета целом, но на этапе решения возникают определенные затруднения. С этой точки зрения интересен метод кусочно - линейного преобразования аргумента, описанный и успешно примененный к решению стационарных задач и задач колебаний в работах [ 106, 107 ]. Построенное этим методом решение записывается в виде разложения по конечной системе предложенных специальных функций.
Отмеченные выше задачи, как правило, имеют построенное точное решение, но при исследовании ряда процессов достаточно иметь, более простое приближенное решение. Построение его по методу наименьших квадратов обсуждается в статье [ 175 ].
Разумеется не все задачи о распространении упругих волн в стержнях укладываются в рамки элементарной теории, но решение; трехмерных динамических задач оказывается слишком сложным. В точной постановке удалось решить только задачу о распространении гармонической волны в полубесконечном однородном стержне кругового поперечного сечения. Решение этой задачи принадлежит Похгаммеру и Кри [ 2, 179 ], примером его практического применения является работа [74 ]. Однако, это решение весьма сложно и применяется, в основном, для частных проверок различных уточненных теорий• [ 174 ], построенных, как правило, на основании элементарной модели с приближенным учетом поперечных перемещений.
Разумеется, рассмотрение одномерных волновых задач не ограничивается упругой и частично упоминавшейся вязкоупругой постановками. В монографии [ 171 ] приводится сводка аналитических методов. решения вязкоупругих динамических задач, обсуждаются модели вязкоупругих сред. Решен ряд задач по распространению волн. В статьях [ 103, 191 ] Рассматриваются стержни из жесткопластического материала, решение динамических задач ведется численно. В работе [ 127 ] рассматривается распространение пластических волн нагружения,, в основном, рассмотрены полуограниченные объекты, отдельно рассматриваются упругие; волны разгрузки. Основой аппарата решения задач является графоаналитический метод, описанный,в упомянутой выше книге [ 142 ], обсуждаются и численно полученные результаты.
Обширная библиография; по различным вопросам расчетов волновых процессов в пластинах и оболочках приведена в обзорах [ 2, 8, 19, 50, 120 ].
В: работе [2 ],-В-частности, отмечено,-что бегущие волны-важно-исследовать когда время действия нагрузки или время ее возрастания до максимального значения соизмеримо или меньше времени пробега упругой волной пути, равного характерному размеру конструкции. Отмечено, что из-за большой сложности точных постановок рассматриваемых задач в рамках линейной теории упругости выделяются два направления их решения:
1. Сформулировать задачу точно и решать ее приближенно;
2. Сразу построить приближенные расчетные модели для целого класса задач.
Первый подход является более физичным, но его следует рассматривать как путь построения; новых моделей и анализа точности получаемых решений. В будущем; он, возможно, станет основой решения конкретных задач. В статье [ 3 ] рассматривается распространение продольных волн в полупространстве, нагруженном импульсом давления через сферическую выемку на поверхности. В [ 25 ] численно решается задача о нагружении изотропной1 цилиндрической оболочки при продольном ударе и импульсе внутреннего давления. Решение строится на основании точных уравнений теории упругости. Результаты сравниваются; с полученными при расчете по уравнениям теории оболочек. К сожалению, полученные данные нельзя распространить на неизотропные тела.
Второй подход подробно рассмотрен и классифицирован в работе [134]. Этот путь решения применяется s значительно чаще. Причем, в большом числе публикаций применяются приближенные; расчетные модели, заимствованные из различных; статических теорий. Это связано, по видимому, с возможностью вместе с моделью применить и разработанные в статике методы решения. Такой подход далеко не всегда оправдан, а применение той или иной модели і требует глубокого осмысления" и; четкого обоснования, сравнения с экспериментом, что весьма затруднительно и, как уже отмечалось, дорого, или с точным решением волновой задачи..
Применяемые статические модели разнообразны: в [39, 62, 19] 83, 92, .114 . 124, 125, 157, 164 ] при расчете распространения волн в упругом цилиндре применена теория тонких оболочек, в работе [23 ] предложено использовать эту модель при расчете реакции; осесимметричной оболочки на действие акустического импульса внешнего давления, в статьях [ 96, 133j. 158, 181 ] теория-тонких оболочек применена для расчета сферических оболочек. Для расчета пологих оболочек классическая модель применена в [ 121].
В ряде работ теории пластин и оболочек уточняются приближенным учетом тех или иных эффектов, связанных с:толщиной- В статье [52 ] принят линейный закон изменения нормальных перемещений І по толщине. Во многих работах для описания- процессов; распространения волн используется теория типа Тимошенко [2,11, 55; 69, 80," 1112,155, 165, 168 ]. В статье [153 ] в качестве дополнительного упрощения предлагается считать материал оболочки несжимаемым.
Наиболее распространенным; способом упрощения трехмерных задач является разложение неизвестных: функций в степенные ряды по толщине ( считая ее малым параметром ), причем ряды эти можно строить просто по поперечной координате [72, 84, 86, 150 ] или по удобной системе многочленов, в [ 58] для .= этого применены полиномы Лежандра. Этот подход был впервые применен к решению динамических задач в работе [ 84 ]. Математические аспекты этого метода рассмотрены также в статье [ 134 ]. Применение описанных разложений дает возможность, как принято считать, построить уточняемую приближенную двумерную модель. Этот подход использован в [ 58, 86,122,150 ].
В работе [ 153 ] для сведения трехмерной задачи к двумерной обсуждается символический метод, отмечается необходимость уточнения теории оболочек при решении волновых задач.
Во многих. публикациях исследуется действие импульсных нагрузок на трехслойные пластины и оболочки [ 46, 105, 113 ]. В этих работах при описании поведения несущих обшивок применяются перечисленные выше теории, а основное внимание уделяется поведению заполнителя. В статье [ 122 ] заполнитель описывается одномерной моделью -учитывалось обжатие по толщине, в работах [ 80, 131 ] заполнитель описывался • уравнениями Ламе. В статье [52 ] для расчета трехслойного пакета применялась гипотеза ломаной? линии. Библиографию по вопросам импульсного нагружения трехслойных цилиндрических оболочек можно найти в монографиях [ 45, 80 ].
При решении рассматриваемых волновых задач, как правило, применяется метод интегральных преобразований І в сочетании с традиционными методами, применяемыми в теориях пластин и оболочек, такими как разложения в тригонометрические ряды Фурье по пространственной координате [ 52, 131, 166 ], в работе [ 44 ] применяются разложения по полиномам Лежандра и Гегенбауэра, в статье [51 ] предложено строить решение задачи в виде: суперпозиции специальных бесконечных рядов по каждой • из пространственной координат. Метод Бубнова - Галеркина применен в работе [181 ]. Значительные трудности вызывает обращение интегральных преобразований. Общего метода аналитического обращения нет, известны лишь частные приемы: В работе [ 44 ] после разложения волнового процесса на элементарные волны удалось построить рекуррентные зависимости, из которых определяется оригинал. В дальнейшем эти методы развиваются в работах [47, 48 ]. В статье [ 101 ] обращение-ведется по; теоремам-о вычетах; и-свертки, решение записывается в квадратурах, аналогично представлено решение в работах [ 9,63 ]; в статьях [ 100, 102, 139 ]обращение сведено к решению уравнения Вольтерра I рода.
Широкое распространение получили различные численные методы [ 39, 52, 77, 155, 157, 167,178 ]. В работе [ 80 ] обсуждается применение конечно - разностных схем.
Изучение процессов распространения волн значительно затрудняется, если механические характеристики материала перестают быть постоянными. Исследуются только частные случаи этой задачи: регулярные слоистые или волокнистые однонаправленные композиты, как правило двухкомпонентные; однородные анизотропные среды; неоднородные среды со слабо меняющимися механическими свойствами. Задачи эти настолько сложны, что известно только несколько частных решений.
В работе [ 26 ] предложена методика поиска специальных решений стационарной осесимметричной задачи в неоднородной среде. В работе [ 188 ] получено точное решение задачи о гармонических изгибных волнах в двуслойном цилиндре. В [189 ] рассмотрена задача о движении плоской стационарной волны через составной слой. В работе построено решение для: однородного слоя. Совместность соответствующих: компонент на границе раздела приведена к системе линейных алгебраических уравнений, для решения которой предлагается матричный алгоритм, конечный результат не получен. В работе [ 192 ] получено, записанное через несобственные интегралы решение, определяющее процесс распространения плоской гармонической волны в периодическом слоистом двухкомпонентном пространстве. В [ 155 ] численно решена задача об ударе твердым ударником по ортотропной пластине.
В работах [ 137, 190 ] приведены обзоры работ по исследованию распространения волн напряжений в упругих однородных средах, имеющих полости и включения. В решения таких задач используется,, как правило, представление перемещений через потенциальные, функции. В статье [137 ] отмечается, что анизотропия и неоднородности существенно усложняют задачу и требуют для решения применения численных методов»- Анализируется влияние на решение задач неоднородности Среды и структуры включения ( рассматривается сфера из жестко скрепленных неоднородных слоев ). Решение получено численно, наложением двух решений - однородного ( без учета включения ) и возмущенного, вызванного включением. Рассматривается также неоднородная Среда с плавно меняющимися механическими свойствами.
Из-за трудностей решения рассматриваемых задач в неоднородных; средах в большинстве-работ предлагаются те или иные упрощения. Модели, полученные после этого весьма разнообразны. В работе [ 71" ] при описании тонкой оболочки использованы обобщенные жесткости, для всего пакета считается справедливой гипотеза Кирхгоффа -Лява. Это же предположение использовано в статье [ 129 ] при описании тонкой оболочки, составленной из ортотропных слоев. В статье [ 154 ] изучается оболочка со степенным законом изменения механических свойств вдоль радиуса.
В статье [ 135 ] рассматривается двухкомпонентный композит с чередующимися слоями. Для случая, когда волновые сопротивления слоев сильно разнятся, материал с большим характеристическим импедансом предлагается считать абсолютно жестким.
Однако, основным направлением построения решений? этих задач является, замена реальных сред сложной структуры, однородными. Сравниваются полученные таким способом модели между собой и с известными частными точными решениями по дисперсионным соотношениям, но построить приближенную модель, которая достаточно подробно описывала весь встречающийся на практике спектр частот и длин волн не удается.
По видимому, первой работой в этом классе следует считать [ 146 ], в которой предложена анизотропная однородная модель, заменяющая мелкослоистую двухкомпонентную регулярную среду. Эта теория получила название теории эффективных жесткостей. Пределы применимости; ее изучаются в статье [ 151 ], где; сравниваются решения, определяющие процесс распространения плоской гармонической волны в двухкомпонентном периодическом композиционном материале, с результатами,- теорией эффективных жесткостей. При больших длинах волн, важных для практики,, результаты согласуются слабо, хотя именно здесь теория эффективных жесткостей должна давать наиболее точные решения.
В статьях [ 10, 143, 144 ] рассматривается слабо анизотропная среда, то есть модули упругости незначительно отличаются от механических характеристик изотропной среды. Это различие выбрано за малый параметр, по которому проведено разложение-в степенной ряд (в статье удерживается до первой степени малого параметра).
Не вызывает сомнений, что применение той или иной модели связано с целями, которые ставит исследователь, с характером явления, которое необходимо описать. Этим объясняется и разнообразие применяемых апроксимаций.
В работах [ 104, 184 ] предлагается для расчета периодического композита применять вязкоупругие модели, в статье [ 16 ] при описании анизотропной Среды применена модель, предложенная В.А.Пальмовым, в [ 186 ] предложено заменить волокнистый композит однородным изотропным материалом, в [ 4 ] ширину волокна предлагается принять за малый параметр, вообще волокна рассматриваются подобно часто расположенным ребрам жесткости, что позволяет провести осреднение.
Применение в технике разнообразных композиционных материалов, обладающих очень сложной структурой, потребовало создания более сложных моделей.
В работе [ 182 ] предложена модель волокнистого однонаправленного материала, учитывающая дисперсию. Регулярный композит заменяется однородной средой с микроструктурой. Эта модель в[152 ] применена для построения теории слоистых пластин.
В статье [ 145 ] исследуется двухкомпонентная периодической структуры, цилиндрическая оболочка, предложено при решении задачи применять теорию смесей[ 185 ],.. как известно, она применима, если в каждом = элементарном объеме в теле: можно пренебречь микроструктурой.
В работе [ 177 ] построена модель композиционного материала, представляющая собой слоистую среду, содержащую и электроупругие слои.
В! статье [ 135 ] решается стационарная задача по определению напряженно -деформированного состояния длинной многослойной трубы при динамическом воздействии. Материал. слоев принят трансверсально - изотропным. Решение, ведется с использованием: кратного преобразованиям Фурье, конечные формулы,, связывающие соответствующие компоненты смежных слоев, не построены, обращение предлагается вести численно. К этим: задачам тесно примыкают исследования нестационарных колебаний [ 176,177 ]..
Вообще, задача по определению связи напряжений и перемещений слоев многослойной системы оказывается весьма сложной и громоздкой. Для ее последовательного решения в монографии [ 11 ] предлагается1: матричный алгоритм, предполагающий численную реализацию.
Всякое резкое изменение: механических свойств является границей, на которой і волны распадаются; на прошедшие: и отраженные, поэтому всякая - гомогенизация, особенно при изучении волновых задач, приводит к потере каких-то эффектов, связанных со структурой среды. Однако, в ряде случаев эта замена: неизбежна, например, при определении напряженно -•• деформированного состояния; элементов; конструкций, выполненных из волокнистых композиционных материалов со сложным неоднонаправленным армированием. Это отмечается и в работе [ 19 ]. В этом случае при описании монослоя хорошие результаты, дает модель; построенная в [ 70 ]. Модель слоистого периодического двухкомпонентного композиционного материала представлена в работе [ 128 ], наней исследуется процесс распространения продольных гармонических волн. Модель составлена из чередующихся жестких ( армирующие материалы ) и мягких (связующее ) слоев. Для жестких принимается справедливой гипотеза; Кирхгоффа - Лява; для мягких принято линейное изменение перемещений по толщине, считаются справедливыми гипотезы вязкоупругости. Применение этой расчетной схемы при описании динамических процессов в слоистых оболочках и пластинах обсуждается также в работах [ 129, 130 ]... Более подробно построение данной математической модели композиционного материала и решение на ее основе статических и стационарных динамических задач приведены в монографии [ 20 ].
Важной и малоисследованной проблемой представляется разрушение композиционных материалов при динамическом нагружении. Этот вопрос рассматривается, в частности, в работе [ 19 ]. Используется отмеченная выше модель среды регулярной структуры. Предлагается; критерий разделения внешних воздействий на: низко- и высокоскоростные, хотя отмечается, что деление это условно. При высокоскоростных воздействиях результат часто можно оценить по энергетическому балансу или по существующим эмпирическим формулам. Для низкоскоростных ударов такой возможности нет, поэтому эти задачи, оказываются сложнее. Предлагается для жестких слоев применять обычные критерии разрушения, например, теорию наибольших касательных напряжений. Мягкие слои рассматриваются как упругопластическая повреждаемая среда, которая может по-разному сопротивляться растяжению и сжатию. Растрескивание слоя делает его анизотропным, что также необходимо учитывать. Следует, однако отметить,. что данная модель не учитывает технологии изготовления композиционных материалов.
В ряде работ отмечается отсутствие. надежных динамических критериев разрушения; поэтому предлагается; использовать известные статические. В статье [ 88 ] используется третья теория прочности. В [ 78 ] предлагается статистическая модель композиционного материала. В статье [ 5 ] строится модель разрушения керамических материалов. Полученные численным методом результаты сравниваются с. экспериментом. Модель разрушения изотропных материалов при высокоскоростном ударе рассматривается, в [ 6, 15- ]. несомненный интерес представляет основа этих работ - модель материала, описанная в [ 73 ]. эта же модель обсуждается в [ 7 ].
В статье [ 104 ] рассматриваются неупругие композиционные материалы, описываемые вязкопластической анизотропной слоистой средой; Разрушение слоев учитывается в рамках модели накопления повреждений. В работе [60] феноменологическая модель разрушения с экспериментально определяемыми константами. Обзор работ по имеющимся концепциям разрушения приведен в [ 34,35 ].
В работах [ 11, 25, 62, 187,,188, 192 ] проводится сравнение результатов, полученным по приближенным теориям с имеющимися точными решениями.
Следует отметить еще одну методику, применяемую при расчетах пластин. При изучении начальных этапов распространения волн по трехмерной модели пластину заменяют бесконечным слоем [ 2 ]. Эта замена представляется справедливой на удалении от боковых границ, например, при локальном нагружении.
Асимптотическое приближение, или метод начальных значений
Построенное в предыдущих разделах точное решение задачи по определению напряженно-деформированного состояния слоистой пластины, справедливое в достаточно широком временном интервале (в постановке не учтено затухание возмущений в реальном материале и пока это демпфирование не станет существенным, решение останется точным), представляется достаточно сложным и поэтому мало пригодным для проведения качественного анализа результатов. Для ведения этих исследований необходимо наряду с полученными, иметь и более простые формулы, пусть даже менее точные или справедливые в более узком интервале времени. Воспользуемся теоремой операционного исчисления о начальном значении. Пусть р достаточно велико, так, что в разложении (2.1.28) можно ограничиться одним членом. Согласно (2.1.30) получим 4=Рл/А/Сзз A 2=pVA/q5 A 3=pVA/Q6 (2.3.1.) Как видно эти величины связаны с тремя известными скоростями распространения поперечных волн. По сказанному в предыдущем разделе, данные коэффициенты задают запаздывание - время появления (прихода) элементарной волны. Сделанное разделение (2.1.12) и, как следствие этого, разделение функций, описывающих изображения перемещений и напряжений, таким образом, имеет определенный физический смысл и связано с тем, что существует три вида поперечных волн напряжений и перемещений, отличающихся в первую очередь скоростью распространения.
Эти коэффициенты , согласно ( 2.1.16 ), численно характеризуют взаимное влияние трех ранее описанных типов поперечных волн при переходе в смежный слой, Таким образом, волна любого типа, придя из і -го слоя в (і+l) -ый, создаст волны всех трех типов, однако амплитуды возникающих волн при этом различны. Только создаваемая волна расширения, как это следует из (2.3.6), всегда будет иметь амплитуду того же порядка, что и пришедшая волна. Подстановка полученных разложений в формулы ( 2.1.17 ) позволяет представить величины nij r и kj г в виде отношений рядов Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Таким образом, все зависящие от переменной р элементы, входящие в выражения (2.1.18 ) и (2Л.14 ) представлены отношениями рядов вида ( 2.2.2 ). Обращение полученных после подстановки ( 2.1.24 ) и ( 2.1.21 ) в(2.1.18)и затем в ( 2.1.14) проводится следующим образом. Все формулы представляются бесконечной линейной комбинацией экспонент. Каждый из членов этой последовательности представляет собой изображение элементарной волны, коэффициентами при экспонентах оказываются ряды Лорана, построенные в окрестности бесконечно удаленной точки. В показателях экспонент выделяется первое слагаемое - являющееся единственным членом главной части рядов типа (2.2.1) и определяющим запаздывание - время появления оригинала. Обращаемая последовательность экспонент упорядочивается по убыванию отмеченных первых слагаемых.
Обращение полученной линейной комбинации, экспонент проводится последовательно, используются две известные из операционного исчисления теоремы Хевисайда - теорема разложения и теорема запаздывания.
Окончательно оригиналы записываются в виде. последовательности интегралов-сверток, полученных аналитических функций и функций, описывающих внешнее воздействие. Явная запись полученных выражений, оказывается очень громоздкой (это видноуже по выражениям ("2.2.3--) и (2.2.4).
Оригиналы представляют собой суперпозицию элементарных,волн, имеющих свое время возникновения и свою форму. Вообще, следует отметить, что сам термин «элементарная волна» до известной степени условен. Разбиение на элементарные волны - это всего лишь удобный способ обращения. Физический смысл имеет именно суперпозиция элементарных волн, а не отдельная элементарная волна.
Для того, чтобы описанная схема обращения была возможной необходимо убедиться, что все главные части обращаемых рядов Лорана (изображение профилей элементарных волн) равны нулю и все аргументы экспонент, задающие запаздывания, по крайней мере неположительны. Это будет доказано в следующем параграфе, имеющем и самостоятельный интерес.
В заключение данного параграфа следует отметить, что описанный алгоритм построения оригинала не единственный, возможно приближенное обращение [ 188 ] и непосредственное вычисление интеграла Бромуича [22 ]. Однако разложения в степенные ряды в данном случае является наиболее простым и удобным способом построения оригинала. Это объясняется и тем, что при исследовании реальных объектов, как правило, достаточно ограничиться малым числом первых членов рядов. Само обращение можно провести с любой степенью точности. Кроме того, как показывают решения конкретных задач, даже в частных случаях степенные ряды являются наиболее удобной формой записи получаемых оригиналов.
Свободно опертая пластина при действии импульса внешнего давления
Построенная теория расчета сложнее теории Кирхгоффа - Лява только тем, что необходимо проводить обращение по времени получаемых трансформант. В пространстве же изображений, по водимому, можно воспользоваться всеми методами решения задач, разработанными для классической статической теории пластин.
Для найденных коэффициентов ( 2.8.1 ) разложений ( 2.5.1 ) трансформант перемещений поверхности приведения пластины подставляются в выражение ( 2.7.13 ), предварительно разложенное в двойной тригонометрический ряд Фурье ( 2.5.1 ). Изображения перемещений получаются после подстановки найденных коэффициентов в формулы ( 2.7.2 ), изображения напряжений - по выражениям ( 2.7.3 ) и ( 2.7.4 ).
На этом решение задачи в пространстве изображений завершено. Обращение ведется путем разделения трансформант на элементарные волны, по схеме, описанной в 2.2. В данном случае оригиналы получить гораздо проще, чем для выражений, полученных в 2.1 и 2.5, из-за того, что корни характеристического уравнения задаются явно.
Из этих соотношений следует, что как и в ранее полученных решениях, перемещения в плоскости пластины пренебрежимо малы по сравнению с поперечными перемещениями. На начальном этапе волнового процесса касательные напряжения и нормальные напряжения в плоскости пластины существенно меньше поперечных нормальных напряжений и; ими можно пренебречь.
Этот результат совпадает с полученными ранее выражениями ( 2.3.14 ) для точного решения и (2.6.6 ), полученного для первой прикладной теории. Полученное в данном параграфе решение снова нельзя назвать асимптотически точным, так как из-за неучета в двух в двух первых уравнениях закона Гука ( 2.7.2 ) поперечного эффекта Пуассона, асимптотика нормальных напряжений в плоскости пластины нулевая. Однако, для расчета этих напряжений, наиболее важных в классической ( неволновой ) теории пластин и оболочек, асимптотические формулы не используются, а при проверке откольной прочности важны нормальные поперечные напряжения.
В разделах 2.4 и 2.7 построены модели композиционных упругих пластин, предназначенные для определения реакций элементов конструкций на ударную нагрузку. За основу взята классическая теория Кирхгоффа - Лява, дополненная точным учетом поперечного обжатия и распространенная на слоистые пластины. Попробуем еще приближенно учесть деформации поперечного сдвига. Основные обозначения введены в 2.9.
Исключим с помощью восьми первых равенств двумерные смещения и напряжения из последнего уравнения. В оставшемся соотношении проведем интегральное преобразование Лапласа - Карсона- по- времени и выписанное прямое- преобразование Фурье. Эта последовательность действий для определения поперечной нормальной деформации, как легко проверить, эквивалентна следующей: провести во всех разрешающих уравнениях все предложенные интегральные преобразования, разрешить последнее уравнение относительно є, затем исключить двумерные смещения.
Сначала сравним расчеты по прикладным теориям 2.4 и 2.7 с точным решением. Проведенные асимптотические исследования показывают совпадение этих результатов для;; начальных значений волн расширения. Однако, эти исследования не могут учесть изменения профиля отдельной элементарной волны и, в особенности, волн сдвига, кроме того, в полном решении все элементарные волны имеют некоторое " последействие ", то есть, их; существование не прекращается, в отличии от одномерного случая, с прохождением заднего фронта волны внешнего давления. Асимптотические исследования показывают, что, во всяком случае, для начального этапа волнового процесса эти " последействия " несущественны, Что и следует численно проиллюстрировать.
Результаты расчетов поперечных напряжений в, центре пластины представлены на графиках 2.10.1 (Т = 10"6 сек.) и 2.10.2 ( Т - оо ). По оси абсцисс откладьшалось время, по оси; ординат - напряжения, отнесенные к модулю максимальной амплитуды; внешнего воздействия. Сплошной линией показано точное решение, пунктиром и штрих - пунктиром,. соответственно, расчеты по теориям 2.5 и 2.8; Рассмотрен временной интервал, соответствующий приходу в сечение первых двадцати волн напряжений. Как и следовало ожидать, короткий импульс внешнего воздействия оказывается более опасным.
В прикладных теориях волны сдвига, на самом деле более медленные, имеют бесконечно большую скорость распространения.,Это заметно и на графиках. Источником расхождения в результатах расчетов, в первую очередь, и является отмеченная разница в скоростях. Отличия заметны в те интервалы времени,. когда напряжения создаются только волнами сдвига, фронты волн расширения или прошли, или взаимно погасили друг - друга.. Однако, амплитуды этих волн пренебрежимо малы и практически не изменяют амплитуды напряжений, приносимых волнами расширения, время возникновения и амплитуды которых хорошо предсказываются асимптотическими формулами.
Интересно проследить изменение формы волны напряжений по времени. На рис. 2.10.3 и 2.10.4 приведены профили волн, соответствующие первой и семнадцатой волнам в точном решении. Как видно, волна претерпела незначительные изменения, что, очевидно, связано с малым временным интервалом.
Нормальные перемещения, рассчитанные для рассматриваемой пластины по трем сравниваемым теориям, практически совпадают. Графики этих перемещений для середины пластины ( х = а/2, у = Ъ12 ) приведены на рисунках 2.10.5 (Т= 10Г6 сек .) и 2.10.6 (Т - оо ). По оси ординат откладывается перемещение при внешнем импульсе с единичной амплитудой. Неизменные перемещения - на рис. 2.10.6 соответствуют, практически нулевым нормальным напряжениям в рассматриваемом сечении.
Прикладная теория расчета композиционных пологих оболочек при действии импульсных нагрузок
На начальном этапе восприятия импульса внешнего воздействия, в, пологой оболочке существенны только напряжения и перемещения, распространяющиеся со скоростями волн расширения. Касательные напряжения пренебрежимо малы и, следовательно, даже принимая во внимание плохое сопротивление композиционных материалов сдвигу, ими можно пренебречь. Для проверки откольной прочности важны нормальные поперечные напряжения, поэтому именно они должны быть описаны наиболее полно.
За модель композиционной пологой оболочки примем объект, составленный из п параллельных срединной поверхности ортотропных упругих слоев - оболочек с идеальным контактом на границе раздела. Для отсчета выберем систему координат, совпадающих с осями і ортотропии ( рис.3.1.І). В классических теориях оболочек не учитываются: вообще или учитываются слабо эффекты, связанные с толщиной оболочки. В данных задачах такой учет необходим. Поэтому в качестве математической модели выберем теорию оболочек, построенную на гипотезе Кирхгоффа-Лява, распространим ее на слоистую ортотропную структуру. Аналогично тому, как это сделано в разделе 2.4 , можно показать, что приближеный учет сжимаемости нормали; приводит к потере или искажению величины скорости распространения поперечных волн; расширения, а, следовательно, и к неправильному описанию всех связанных сними эффектов. Таким образом, сжимаемость нормали необходимо учесть точно.
Напряжения, помеченные индексом "ноль", определяют соответствующие компоненты на поверхности приведения. Разрешающим уравнением предлагаемой теории будет соотношение, означающее равенство нормальных поперечных напряжений, определяемых уравнением равновесия и законом Гука. В результате получается весьма сложное интегро - дифференциальное уравнение с разрывными коэффициентами. Наиболее эффективным способом его решения является применение интегральных преобразований.
В дальнейшем предполагается решать это уравнение, применяя преобразование Лапласа -Карсона по поперечной координате. Поэтому сразу приведём соответствующую трансформанту. Переменную в интегральном преобразовании обозначим через s . При переходе в пространство изображений учитываются величины кривизн ( соотношения (3.1.1), принятые в теории пологих оболочек.
К этому уравнению следует добавить динамические ( силовые ) или кинематические граничные условия на лицевых и боковых сторонах слоистой композиционной оболочки. За основные неизвестные удобно принять нестационарную поперечную деформацию ( 3.3.1 ) и перемещения и напряжения на поверхности приведения. В предыдущем разделе построена теория расчёта композиционной оболочки при действии волны внешнего давления, основанная на уравнениях с переменными коэффициентами Проиллюстрируем возможности её применения. Считается, что оболочка нагружена на малом участке, размеры которого существенно меньше размеров самой оболочки и пятно нагрузки достаточно удалено от боковых поверхностей оболочки, так что реальные условия закрепления боковых граней не могут сущуственно влиять на напряжённое состояние в окрестностях нагруженного участка.
Рассмотрим прямоугольную в плане пологую оболочку, составленную из п упругих ортотропных слоев. Боковые грани оболочки закрыты жёсткими в своей плоскости мембранами, исключающими вертикальное смещение. К верхней поверхности оболочки прикладывается импульс локального внешнего давления, описываемый функцией F(x,y,t). Нижняя поверхность оболочки свободна от нагрузки. Время отсчитывается от начала действия импульса. Начальное состояние оболочки принимается невозмущённым. F(x,y,t) =ХХ Fnn.(0sm sin— Разрешающим уравнением поставленной задачи является, как уже отмечалось, равенство, устраняющее двойное определение нормальных поперечных напряжений, его трансформанта ( 3.3.5 ) приведена в предьщущем разделе, подставим сюда выбранные представления (3.4.4). Пуассона по тодщине слоев не влияет на точность определения поперечных напряжений, указан способ получения практически W точных значений продольных напряжений, для которых этот эффект из-за существенной разницы в механических характеристиках композиционного материала может оказаться значительным. Трансформанты по времени будем отмечать надчерком ( прямой чертой сверху ). Трансформанту и по времени и по поперечной координате - волнистой чертой над соответствующим обозначением функции.
Прикладная теория расчета тонких композиционных оболочек на динамическую нагрузку
Построенное в разделе 4.1 решение задачи об импульсном нагружении тонкой цилиндрической оболочки является точным, но оно достаточно сложно и предполагается использовать его в качестве эталона при проверке правильности построения прикладных теорий. В данном параграфе предлагается одна из таких теорий. За основу принимается классическая теория расчета оболочек, основанная на гипотезе Кирхгоффа - Лява. При поперечном динамическом нагружении компоненты напряженно - деформированного состояния имеют, как это следует, в частности, из результатов предыдущих разделов, ярко выраженный волновой характер. Учет его и является целью настоящей работы. Поэтому дополним классическую гипотезу точным учетом сжимаемости поперечной нормали. За модель композиционного материала принимается ограниченная Среда, составленная из ортотропных упругих слоев неизменной толщины. Нагрузкой является импульс внешнего или внутреннего давления.
Выписана вся система уравнений, определяющая компоненты напряженно -деформированного состояния тонкой цилиндрической композиционной оболочки при динамическом воздействии. При решении задач ее следует дополнить соответствующими краевыми условиями. Левые части этих выражений также следует понимать в виде (4.3.4 ). Через р2 обозначена вторая производная по времени; Уравнение; (4.3.5 ) позволяет выразить четырехмерную поперечную нормальную деформацию через трехмерные перемещения и напряжения на поверхности приведения. В дальнейшем ограничимся случаем, когда на внутренней поверхности оболочки не действуют касательные напряжения. Наиболее эффективным общим методом решения интегро - дифференциального уравнения ( 4.3.5 ) с разрывными коэффициентами (4.3.4 ) является применение интегрального преобразования по поперечной координате. Применим к нему интегральное преобразование Лапласа - Карсона.
В качестве иллюстрации применения построенной теории исследуем реакцию п -слойной тонкой цилиндрической оболочки на действие импульсов давления: Fx(cp,z,f) -приложенного к внешней поверхности оболочки r = a + h и F2( p,z,t) - приложенного к внутренней поверхности оболочки г = а. Отсчет времени ведется от момента приложения импульсов, до нагружения оболочка считается невозмущенной. При локальном динамическом воздействии волновые эффекты концентрируются в малой области в районе удара. Поэтому можно считать, что удаленные от зоны нагружения границы оболочки оказывают несущственное влияние на наиболее вероятную область динамического разрушения.
Подставим представления ( 4.4.5 ) в уравнение (4.3.7 ). Проведем в нем интегральное преобразование Лапласа - Карсона по времени. С учетом однородных начальных условий ( 4.4.4 ) это означает, что р - переменная в интегральном преобразовании. Трансформанты по времени будут отмечаться чертой сверху. По линейной независимости тригонометрических функций в ( 4.4.5 ), дальнейшие выкладки ведутся для любых "nm"- ых членов разложения и эти индексы опускаем для краткости. Выражение, определяющее трансформанту по времени нормальной поперечной деформации в пределах каждого слоя оболочки, выведем, воспользовавшись методом математической индукции. Итак, получены трансформанты по времени нормальной поперечной деформации композиционной оболочки, соответствующие обратносимметричному внешнему нагружению. Теперь найдем изображения деформаций, разложенных в ряд по косинусам по кольцевой координате ( 4.4.5 ). Они соответствуют симметричному нагружению.
Этим заканчивается решение сформулированной задачи в пространстве изображений по времени. Обращение можно произвести разделением на элементарные волны. В этом случае оригинал представится в виде интеграла - свертки функций, описывающих внешние воздействия с некоторой функцией задаваемой по времени рядом Тэйлора ( Кстати сказать, быстро сходящимся ). Профиль элементарной волны будет меняться со временем и в начальные моменты волны расширения будут близки к форме внешних импульсов.
Было бы несомненно интересно построить некоторый итерационный процесс, строящий решение методом последовательных приближений. Однако, как следует из опубликованных работ построение такого способа вызывает существенные затруднения. Подобная процедура могла бы быть построена после решения всей задачи. Как уже отмечалось; в описании оригиналов используется ряды Тэйлора и, следовательно, в изображениях - ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Удерживая при вычислении разное количество членов упомянутых рядов, получим все более и более точное решение. Проводимые здесь асимптотические исследования соответствуют удержанию одного члена в ряде Лорана при І описании корней характеристических уравнений. Только этот случай может быть описан; законченными математическими формулами, не: требующими суммирования рядов; Фурье, причем это удается сделать только для нормальных напряжения и поперечных перемещений. Приближения более высокого порядка практически не упрощают общие формулы, приведенные выше.
Решаемая задача весьма сложна, поэтому сначала проведем асимптотические исследования для коэффициентов разложений используемых при описании напряженно -деформированного состояния функций в тригонометрические ряды Фурье по-синусам и косинусам ( без свободного члена ) по окружной координате.
