Содержание к диссертации
Введение
1 Задача уклонения от столкновения с препятствием для линейных управляемых систем 19
1.1 Постановка задачи 19
1.2 Вспомогательная задача управляемости 20
1.3 Кривая обхода 29
1.4 Интегральное уравнение 38
1.5 Достаточные условия существования решения в задаче уклонения от столкновения с препятствием в виде звездного множества 41
1.6 Пример 1. Решение задачи уклонения от столкновения с выпуклым препятствием для инерционной управляемой системы 42
1.7 Пример 2. Решение задачи избежания столкновения с выпуклым препятствием для инерционной системы с трением 54
1.8 Пример 3. Решение задачи избежания столкновения с выпуклым препятствием для инерционного объекта с трением и демпфированием 60
1.9 Задача уклонения от столкновения для аппроксимированного препятствия 70
1.10 Пример 4. Решение задачи уклонения от столкновения с невыпуклым препятствием для инерционной системы 78
2 Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству 81
2.1 Постановка задачи 81
2.2 Внутренняя кривая для фазового ограничения 82
2.3 Достаточные условия существования решения задачи выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству 88
2.4 Пример 5. Решение задачи выживания траектории инерционной управляемой системы при наличии фазового ограничения 92
2.5 Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие, к целевому множеству 96
Заключение 106
Литература 106
- Достаточные условия существования решения в задаче уклонения от столкновения с препятствием в виде звездного множества
- Задача уклонения от столкновения для аппроксимированного препятствия
- Достаточные условия существования решения задачи выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству
- Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие, к целевому множеству
Введение к работе
В диссертации рассматривается задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого открытого множества (фазовое ограничение типа препятствия). Второй тип фазовых ограничений
— ограничения, при которых допустимая область — внутренность неко
торого замкнутого множества. Для второго типа фазовых ограничений
нужно обеспечить уклонение от столкновения траектории с точками до
полнения к внутренности замкнутого множества.
Объектом исследования являются динамические управляемые системы, описываемые дифференциальным уравнением
x{t)=Ax(t) + Bu{t), х(0) = х, (0.0.1)
где t > 0, х Є Еп, и Є Р С Ер, Еп — n-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт, IniP ф 0, іі — параметр управления, Л, В — постоянные матрицы размерности п х п, п х р соответственно. Допустимые управления — измеримые по Лебегу функции u{t) со значениями во множестве Р. В пространстве Еп заданы замкнутое целевое множество Mi и фазовое ограничение в виде открытого множества F. Предполагается, что х F,'M\{\F = 0, Mi = М1 + Щ, где М1 — линейное подпространство из Еп, М\ — выпуклый компакт из L1, L1
— ортогональное дополнение к М1 в Еп. Скажем, что для начальной
позиции х линейной динамической системы (0.0.1) существует решение
задачи уклонения от,столкновения с фазовым ограничением F при дви
жении вектора x(t) к множеству Mi, если найдется допустимое управ
ление u(i) и конечный момент времени Т > 0 такие, что х(Т) Є Мі и
x(i) : F, t Є [0, Т]. Рассматривается задача о нахождении достаточ
ных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной
позиции аг существует решение задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением F при движении к множеству Mi.
Исследуются фазовые ограничения F двух типов. Первым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = М1 + М|, где М$ — звездное [31] ограниченное, открытое множество из L1. Такие ограничения в литературе называются ограничениями типа препятствия. Вторым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = Еп \ ( М1 + М%), где Mf — звездное компактное множество из L1. Задачи избежания столкновения траектории системы с фазовыми ограничениями второго типа в литературе получили название — задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.Р. [103]) траектории внутри ограничивающего множества М1 + М$.
Задачи уклонения от столкновения с препятствием для игровых задач управления исследовались в работах Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, Н.Н. Красовского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Ф.Л. Черноусько, М.С. Никольского, Б.Н. Пшеничного, Н.Ю. Сатимо-ва, Н.Л. Григоренко, А.А. Чикрия, А. Азамова, В.В. Остапенко, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко и др.
Приведем некоторые из таких результатов, сформулированные для случая управляемых процессов.
В начале семидесятых годов прошлого века Л.С. Понтрягин и Е.Ф. Мищенко [77] сформулировали задачу уклонения от столкновения с препятствием. Ими предложено эффективное решение задачи уклонения от столкновения для линейной управляемой системы и препятствия в виде линейного подпространства. В основе предлагаемого метода уклонения от столкновения лежит маневр обхода точки на плоскости, позволяющий на конечном отрезке времени строить локальное управление, уклоняющее проекцию траектории от встречи с нулевой точкой. Различные варианты итерирования такого локального управления на отрезке времени
[О, оо) приводят к различным траекториям обхода препятствия и различным оценкам снизу для расстояния от траектории до препятствия в процессе движения, в том числе и Z-оценке. Величина / зависит от параметров управляемого процесса и в общем случае может быть малой. Отметим также, что в постановке задачи уклонения от столкновения по Понтрягину и Мищенко ставилась задача удержания траектории вне препятствия и не ставилась задача о необходимости достижения траекторией целевого множества за конечное время.
В работе Л.С. Понтрягина [78] исследованы грубый и тонкий случаи в теории уклонения от столкновения, разработаны новые маневры обхода и построены управления, гарантирующие избежание столкновения траектории системы с препятствием в виде линейного подпространства на бесконечном отрезке времени.
В работе Е.Ф. Мищенко, Н.Ю. Сатимова и М.С. Никольского [57] метод уклонения от столкновения Понтрягина и Мищенко был развит на нелинейные игры и случай игр многих преследователей и одного убегающего. В этой работе содержатся достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения для нелинейных управляемых процессов в случае препятствия в виде линейного подпространства и в случае невыпуклого препятствия — объединения линейных подпространств.
В работе Б.Н. Пшеничного [81] предложен метод решения задачи уклонения траектории линейной системы от столкновения с терминальным множеством, называемый методом уклонения по направлению. Он содержит достаточные условия существования управления, гарантирующего уклонение от столкновения и метод построения управления. Развитию этого метода на новые классы управляемых процессов посвящена работа Б.Н. Пшеничного, А.А. Чикрий, И.О. Раппопорта [82].
В работе Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко [80] предложен способ решения задачи уклонения от столкновения траектории линейной и нели-
нейной систем от встречи с терминальным множеством, основанный на построении ряда маневров "уклонения" и "разгона". Построено также управление уклонения от столкновения для управляемой системы с запаздывающим аргументом. \ ...... .
Особенность задач уклонения от столкновения в перечисленных выше работах заключалась в том, что исследовался вопрос о достаточных условиях уклонения от столкновения из любой начальной позиции не принадлежащей препятствию. Поэтому результатом исследования было построение "локального" управления, гарантирующего уклонение от столкновения лишь в малой окрестности препятствия. Вопрос о возможности построения на основании такого "локального" управления уклонения от столкновения "глобального" управления, обеспечивающего приход траектории на целевое множество и одновременное уклонение от столкновения с препятствием в этих работах не рассматривался и в настоящее время является открытым.
Достаточные условия существования решения в задаче уклонения от столкновения с препятствием в виде звездного множества
Объектом исследования являются динамические управляемые системы, описываемые дифференциальным уравнением где t 0, х Є Еп, и Є Р С Ер, Еп — n-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт, IniP ф 0, іі — параметр управления, Л, В — постоянные матрицы размерности п х п, п х р соответственно. Допустимые управления — измеримые по Лебегу функции u{t) со значениями во множестве Р. В пространстве Еп заданы замкнутое целевое множество Mi и фазовое ограничение в виде открытого множества F. Предполагается, что х F, M\{\F = 0, Mi = М1 + Щ, где М1 — линейное подпространство из Еп, М\ — выпуклый компакт из L1, L1 — ортогональное дополнение к М1 в Еп. Скажем, что для начальной позиции х линейной динамической системы (0.0.1) существует решение задачи уклонения от,столкновения с фазовым ограничением F при дви жении вектора x(t) к множеству Mi, если найдется допустимое управ ление u(i) и конечный момент времени Т 0 такие, что х(Т) Є Мі и x(i) : F, t Є [0, Т]. Рассматривается задача о нахождении достаточ ных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции аг существует решение задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением F при движении к множеству Mi.
Исследуются фазовые ограничения F двух типов. Первым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = М1 + М, где М$ — звездное [31] ограниченное, открытое множество из L1. Такие ограничения в литературе называются ограничениями типа препятствия. Вторым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = Еп \ ( М1 + М%), где Mf — звездное компактное множество из L1. Задачи избежания столкновения траектории системы с фазовыми ограничениями второго типа в литературе получили название — задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.Р. [103]) траектории внутри ограничивающего множества М1 + М$.
Задачи уклонения от столкновения с препятствием для игровых задач управления исследовались в работах Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, Н.Н. Красовского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Ф.Л. Черноусько, М.С. Никольского, Б.Н. Пшеничного, Н.Ю. Сатимо-ва, Н.Л. Григоренко, А.А. Чикрия, А. Азамова, В.В. Остапенко, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко и др. Приведем некоторые из таких результатов, сформулированные для случая управляемых процессов.
В начале семидесятых годов прошлого века Л.С. Понтрягин и Е.Ф. Мищенко [77] сформулировали задачу уклонения от столкновения с препятствием. Ими предложено эффективное решение задачи уклонения от столкновения для линейной управляемой системы и препятствия в виде линейного подпространства. В основе предлагаемого метода уклонения от столкновения лежит маневр обхода точки на плоскости, позволяющий на конечном отрезке времени строить локальное управление, уклоняющее проекцию траектории от встречи с нулевой точкой. Различные варианты итерирования такого локального управления на отрезке времени [О, оо) приводят к различным траекториям обхода препятствия и различным оценкам снизу для расстояния от траектории до препятствия в процессе движения, в том числе и Z-оценке. Величина / зависит от параметров управляемого процесса и в общем случае может быть малой. Отметим также, что в постановке задачи уклонения от столкновения по Понтрягину и Мищенко ставилась задача удержания траектории вне препятствия и не ставилась задача о необходимости достижения траекторией целевого множества за конечное время.
В работе Л.С. Понтрягина [78] исследованы грубый и тонкий случаи в теории уклонения от столкновения, разработаны новые маневры обхода и построены управления, гарантирующие избежание столкновения траектории системы с препятствием в виде линейного подпространства на бесконечном отрезке времени.
В работе Е.Ф. Мищенко, Н.Ю. Сатимова и М.С. Никольского [57] метод уклонения от столкновения Понтрягина и Мищенко был развит на нелинейные игры и случай игр многих преследователей и одного убегающего. В этой работе содержатся достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения для нелинейных управляемых процессов в случае препятствия в виде линейного подпространства и в случае невыпуклого препятствия — объединения линейных подпространств.
В работе Б.Н. Пшеничного [81] предложен метод решения задачи уклонения траектории линейной системы от столкновения с терминальным множеством, называемый методом уклонения по направлению. Он содержит достаточные условия существования управления, гарантирующего уклонение от столкновения и метод построения управления. Развитию этого метода на новые классы управляемых процессов посвящена работа Б.Н. Пшеничного, А.А. Чикрий, И.О. Раппопорта [82].
В работе Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко [80] предложен способ решения задачи уклонения от столкновения траектории линейной и нели нейной систем от встречи с терминальным множеством, основанный на построении ряда маневров "уклонения" и "разгона". Построено также управление уклонения от столкновения для управляемой системы с запаздывающим аргументом. \ ...... .
Особенность задач уклонения от столкновения в перечисленных выше работах заключалась в том, что исследовался вопрос о достаточных условиях уклонения от столкновения из любой начальной позиции не принадлежащей препятствию. Поэтому результатом исследования было построение "локального" управления, гарантирующего уклонение от столкновения лишь в малой окрестности препятствия. Вопрос о возможности построения на основании такого "локального" управления уклонения от столкновения "глобального" управления, обеспечивающего приход траектории на целевое множество и одновременное уклонение от столкновения с препятствием в этих работах не рассматривался и в настоящее время является открытым.
Задача уклонения от столкновения для дифференциальных игр уклонения от многих преследователей, обладающих простым движением, была сформулирована и исследована ФЛ. Черноусько [97]. В этой работе построен такой способ управления, который обеспечивает движение уклоняющейся точки в фиксированной окрестности заданного прямолинейного движения и уклонение от всех преследователей на фиксированное расстояние. В основе подхода лежит конструкция локального управления обхода и многошаговая рекуррентная процедура его применения на отрезке времени [0, со).
Задача уклонения от столкновения для аппроксимированного препятствия
Использование конструкции параграфов 1.2 — 1.5 для построения управления, решающего задачу уклонения от столкновения, в некоторых случаях параметров задачи налагает ограничения на класс траекторий обхо-да. Например, в случае препятствия в виде объединения двух пересекающихся выпуклых множеств, использование процедуры обхода звездного препятствия для такого случая, согласно предыдущему параграфу, опирается на центр обхода из множества пересечения этих компактов. Это порождает обход траектории препятствия с одной стороны — стороны опорной кривой, противоположной центу обхода (терминология для R2). Проводимая далее процедура аппроксимационного расширения препятствия, позволяет при использовании маневра обхода из 1.3 устраивать обход препятствия с разных сторон.
Определение 1.5. Скажем, что задана задача уклонения от столкно вения, если определена совокупность ((1.1Л),х,M2,P,Mi), где (1.1.1) — управляемая система (1.1.1), х — начальная позиция, Р — ограни чение на управление, Mi — целевое множество, М2 — препятствие, М{ == М1 + Mf, і ,== 1,2; М1 — линейное подпространство из Еп, Ml — выпуклый компакт из L1, М% — звездное ограниченное откры тое множество из — ортогональное дополнение к М1 в Еп; хфМ{, » = 1,2; МіПМ2 = 0 . Определение 1.6. Скаоїсем, что задача уклонения от столкновения с препятствием ((1),х,М2,Р,М\) аппроксимирует задачу уклонения от столкновения с препятствием ({1),х,М2,Р ,Mi), если М2 С М2, М2 — звездное тело, х . М2, Mi f М2 = 0, PD Р. Утверждение 1.5. Пусть для аппроксимирующей задачи ( (1.1.1),ж0, М2,Р,Мі) выполнены предположения 1.1, 1.2, 1.6, 1.7. Тогда для пачальной точки х разрешима задача уклонения от столкновения для задачи ((1.1.1) ,xQ ,М2,Р ,Мг). Утверждение 1.5 может быть доказано повторением конструкций 1.2— 1.4. Его полезность состоит в том, что для аппроксимированной задачи множество возможных положений вектора а — центра обхода, как правило больше, чем для исходной задачи. Новые центры обхода порождают новые кривые обхода, обладающие различными полезными для приложений характеристиками. Проиллюстрируем сказанное на примере задачи уклонения от столкновения с препятствием, в виде объединения двух пересекающихся выпуклых компактов. Пусть множество М% имеет вид : Щ = Mi U Щ2» Щі » Щ2 выпуклые компакты, Int(M21 П Введем обозначение Ф = {Utefo, т] У( )} Предположение 1.8. Для кривой Ф и мнооюеств МІ, і = 1,2, существуют константы ta, t{2, 0 U\ U2 Т, такие, что : y(t) Є Ml, t Є [tilt ti2], і = 1,2, y(t) Ml, t І [tn, ti2], і = 1,2. Для параметрически заданной вектор-функции y(t) могут быть два случая : Случай 1. Ф П Ml = 0; Случай 2. Ф fl Щ Ф 0 5 В случае 1 можно положить u2{t) = 0 и управление щ(і) решает задачу уклонения от столкновения с множеством М2 при движении системы (1.1.1) к множеству М\. Рассмотрим случай 2. Положим М = M2if]M22. Опишем два типа кривых обхода для случая М\ ф 0. Они отличаются выбором центра обхода а , разными параметрами оценочной функции и, как следствие, требуют разных ограничений на управление u2(t) для своей реализации. Первый тип кривой обхода построим для исходной задачи уклонения от столкновения ((1.1.1), Выберем центра обхода по правилу а Є IntM$, a . Ф. Отметим, что в силу леммы 1.2 такой вектор а существует. Определим функции Перейдем к построению оценочной функции. Отметим, что оценочная функция ip(t) для функции А(), удовлетворяющая условиям : p(t) X(t), ip{t) — (& + 1) раз дифференцируема, ср(0) = р {0) = ... = p(k+1\0) = 0, ip(T) = 0 существует всегда и может быть построена, например, в виде срезающей функции отрезка (см. 1.3). Функция хр(t) может быть выбрана также следующим образом.
Достаточные условия существования решения задачи выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству
Рассмотрим динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением где t 0, х Є Еп, и Є Р С Ер, Еп — n-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт, IntP ф, и — параметр управления, А, В — постоянные матрицы размерности п х n, п х р, соответственно.
Под допустимым управлением будем понимать измеримые по Лебегу функции u(t), со значениями в множестве Р. В пространстве Еп заданы целевое множество М\ и фазовое ограничение М3, Mi С IntMs, xQ Є IntM3, ж0 Mi.
Предполагается, что они имеют вид М( — Ml-\-Mf, г = 1,3, где М1 — линейное подпространство из Еп, М% — непустой выпуклый компакт из L1, Mf — непустое компактное звездное множество из L1 (см. определения 1.1 — 1.2 ), Mj С IntMz, L1 — ортогональное дополнение к М1 в Еп.
Скажем, что для начальной позиции х существует решение задачи выживания траектории системы (2.1.1) при ее движении внутри фазового ограничения Мз к целевому множеству Mi, если найдется допустимое управление u(t) и конечный момент времени Т 0, такие, что х(Т) Є Мь x(t) Є М3, t Є [0, Т].
В этой главе рассматривается задача о нахождении достаточных условий на параметры системы (2.1.1), при которых для начальной позиции х существует решение задачи выживания траектории системы при ее движения внутри фазового ограничения Мз к целевому множеству Mi.
Рассмотрим вспомогательную задачу управляемости на множество Мі для системы (2.1.1) без наличия фазового ограничения Мз [12]. Для ее решения используем метод построения управления ui(t), решающего задачу управляемости, вычисления гарантированного времени окончания процесса управляемости и явного вычисления соответствующей траектории из 1.2 первой главы.
Пусть y{t)— опорная траектория, определяемая соотношением (1.2.6). Перейдем к построению управления U2(t), которое будет отвечать за уклонение от столкновения траектории системы (2.1.1) с границей фазового ограничения. Для опорной кривой y(t), t Є [О, Т], может выполняться один из двух случаев. Случай 1. Для всех t Є [О, Т], y(t) Є М\. Случай 2. Существуют моменты времени t Є [О, Т], для которых y{t)iMl В случае 1 можно положить u2(t) = 0 и управление щ(і) решает задачу выживания траектории при ее движении внутри фазового ограничения Мз к множеству Мі. Рассмотрим случай 2. Предположение 2.1. Существуют целое число N и константы tn, U2, % = 1,..., N : 0 п ІІ2 t2i І22 "... in ti2 tm tN2 T, такие, что y{t) . Ml, t [tn, ti2], і = 1,..., N, y{t) Є Ml, t [ i, U2], Если множество Ml является звездным телом то, согласно лемме 1.2, существует вектор а Є IntMl такой, что аф y(t), t Є [О, Т]. Если множество Ml является звездным множеством с центром в точке а, то потребуем выполнение условия а ф y(t), t Є [О, Т] (см. предположение 1.5). Для дальнейшего фиксируем один из таких векторов а. Отметим, что некоторые из отрезков [tn, foL г = 1,...,N могут состоять из одной точки. Не уменьшая общности будем считать, что для всех і = 1,..., N. отрезки [tn, 2] состоят более чем из одной точки. Перейдем к построению кривой y(t), находящейся внутри фазового ограничения и посещающей целевое множество в конечный момент времени. Опишем сначала предлагаемую конструкцию на геометрическом языке. За основу возьмем траекторию y(t). Если t [ i, U2], г = 1,..., N, то положим y(t) = y(t). Если t Є [Ui, U2], і = 1,...,N, то положим y(t) = y(t) — CB(t) (см.рис.2.3). Вектор CB(t) — часть вектора (y(t) — а) от точки пересечения вектора (y(t) — а) с границей множества М\ в точке C{t) до точки y(t), обозначенной как B{t), и имеет началом точку C(t), а концом точку y(t). При изменении t Є [tn, U2], і = 1,...,N вектор у (і) движется по границе множества М\. В целом кривая y(t) не выходит из множества Mf и может быть рассмотрена как внутренняя кривая (см.рис.2.3). Ее удобное аналитическое представление может быть получено, например, с помощью лучевой функции звездного множества [31]. Пусть telt = [Ui, ti2]. Поскольку а ф y(t), а Є IntM\, y(t) М\, t Є U, то у (і) — a . М$ —a, t Є Ц. Таким образом, для t Є ІІ, из определения лучевой функции следует, что i[y(t)-afi 5; 1- Внутренняя кривая, описанная выше, имеет вид (см. рис. 2.3):
Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие, к целевому множеству
Достаточные условия существования решения задачи высеивания траектории управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие
В силу (2.5.3) и леммы 1.1 функция X(i)(y(t) — а) (к+1)-раз дифференцируема на отрезке [О, Т], ее значение и значения ее (& +1) производных обращаются в 0 при t = 0. Рассмотрим на отрезке [0, Т] следующее интегральное уравнение первого рода типа Вольтерра относительно и2{-) Є в классе функций U2(t) Є U, где U класс р-мерных измеримых по Лебегу векторных функций, ограниченных по модулю на [0, Т]. В силу леммы 1.5, для функции X(t)(y(t) — а) существует решение уравнения (2.5.4) для t Є [0, Т] в классе U и для решения справедлива оценка Доказательство этого факта опирается на свойства функции \(i), включает получение эквивалентного (2.5.4) уравнения Вольтерра второго рода, применение метода последовательных приближений [27], [55], и может быть получено по схеме 1.5 главы 1. При заданных функциях А(), y(t) из леммы 1.5 получаем величину ограничения на управление 2( )5 t Є [О, Т], при котором можно реализовать маневр обхода соответствующий этим функциям: Здесь SR(0) — сфера радиуса R с центром О, R = maxfG[0) т] \\{пАкВ)+\\Оел Предположение 2.5. Множество Рч удовлетворяет включению (2.5.5). Сформулируем достаточные условия существования решения в задаче выживания траектории управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие, в виде звездных тел.
Теорема 2.2. Если множества Mf, Mf являются звездными телами и для системы (2.1.1) в позиции х выполнены предположения 1.1, 1.2, 2.3 — 2.5, то для позиции х существует допустимое управление, для которого соответствующая траектория остается во миооїсестве Мз, t Є [О, Т], не посещает мноэюество Mf, t Є [О, Т] и в момент времени Т приходит на множество М\.
Доказательство. Пусть для начальной позиции х существуют вектор ті Є Мі, множества Pi, Pi такие, что выполнены предположения 1.1, 1.2, 2.3 — 2.5. Пусть для начальной позиции х справедливо условие (t) ф 0, t Є [О, Т]. При управлении ui(), выбранном как решение уравнения (1.2.3), и управлении щф выбранном как решение уравнения (2.3.1), согласно (1.2.5), (1.2.7), леммам 1.1, 1.5, 2.2, для траектории системы (2.1.1) выполнены соотношения х(Т) Є Mi, то есть разрешима задача выживания траектории управляемой систе мы при ее движении внутри фазового ограничения содержащего пре пятствие. Пусть для начальной позиции х выполнено условие суще ствования момента ti, для которого (i) = 0. При управлении щ({), выбранном в виде ui(t) = 0, и управлении U2{t), выбранном из соот ношений (2.3.1), согласно (1.2.5), (1.2.7) для траектории системы (2.1.1) выполнены соотнощения X(T)E...MI, xit) Є Мз, t Є Г0, ТІ, то есть так же разрешима задача выживания траектории управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие. Результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем. 1. Предложены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с выпуклым и невыпуклым препятствиями для линейных управляемых систем. 2. Разработаны достаточные условия существования решения задачи выживания для линейных управляемых систем при условии нахождения траектории системы внутри ограничивающего множества. 3. Разработаны эффективные методы построения управлений для линейных управляемых систем, решающих задачу уклонения от столкновения с выпуклым или невыпуклым препятствием, а также задачу выживания траектории внутри ограничивающего множества.
