Содержание к диссертации
Введение
Глава1. Устойчивость решений почти периодической разностной системы на компакте 25
1.1. Почти периодические последовательности в хаусдорфовом топологическом пространстве 25
1.2. Формулировка признака асимптотической устойчивости .31
1.3. Вспомогательные леммы 33
1.4. Доказательство признака асимптотической устойчивости...37
Глава 2. Устойчивость почти периодических разностных систем в метрическом пространстве 41
2.1. Некоторые сведения из теории банаховых алгебр 41
2.2. Признак равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости 45
2.3. Частный случай 54
Глава 3. Устойчивость решений почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом и гильбертовом пространствах 57
3.1. Предварительные сведения 58
3.2. П - свойство разрешающего оператора почти периодического уравнения (3.1) 59
3.3. Признак асимптотической устойчивости для почти периодического уравнения (3.1) в банаховом пространстве 63
3.4. Формулировка признака асимптотической устойчивости линейного почти периодического дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве 67
3.5. Вспомогательные леммы 69
3.6. Доказательство признака асимптотической устойчивости для уравнения (3.13) 73
3.7. Пример 79
Литература 82
- Формулировка признака асимптотической устойчивости
- Признак равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости
- П - свойство разрешающего оператора почти периодического уравнения (3.1)
- Доказательство признака асимптотической устойчивости для уравнения (3.13)
Введение к работе
1. Задачи теории колебаний, теории автоматического управления систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Если в частном случае периодических систем развиты эффективные метода анализа устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач [1-22], то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к системам с малым параметром [23-35]; вместе с тем возникающие в приложениях динамические системы в ряде случаев не вкладываются в схему метода малого параметра.
Некоторое продвижение в этой области произошло в последние 15 лет. В цикле работ [36-40, 46] показано, что известная процедура анализа устойчивости динамических систем с дискретным и непрерывным временем общего вида, связанная с использованием функций Ляпунова, существенно упрощается на подклассе почти периодических систем. При этом в выполняемых построениях использована конечномерность фазового пространства. В работах [42-45], где эти результаты перенесены на системы с запаздыванием,
некомпактность единичной сферы в пространстве начальных данных компенсируется компактностью индивидуальных ограниченных траекторий.
Основной целью диссертационной работы является распространение результатов конечномерных работ [36-40] на почти периодические системы с дискретным временем в бесконечномерном фазовом пространстве. Получены приложения к динамическим системам с непрерывным временем.
В основе выполняемых в работе построений лежит следующая схема.
(і) Вначале рассматривается динамическая система
*„*! =/-(*«) (0Л)
с почти периодической по дискретному времени правой частью на произвольном топологическом компакте. Доказан достаточный признак асимптотической устойчивости с ослабленным условием на разностную производную функции Ляпунова vn(x) вдоль траекторий системы (0.1), определяемую равенством
v„W = vwfl(/„(x))-vll(x). (0.2)
(ii) Исследование устойчивости положения равновесия z0
динамической системы (0.1) в метрическом пространстве проводится в два этапа.
а) Выполняется надлежаще выбранная компактификация
инвариантной окрестности положения равновесия z0 (такая окрестность существует вследствие условия vn < 0), динамическая система (0.1) и функция Ляпунова vw(x) продолжаются по
непрерывности на построенный топологический компакт. На этом этапе используется аппарат банаховых алгебр.
б) К расширенной системе применяется результат пункта (і).
Асимптотическая устойчивость положения равновесия - образа z0 -означает для исходной системы асимптотическую устойчивость z0, равномерную по начальному возмущению: существование окрестности U точки z0 такой, что для траекторий, начинающихся в
этой окрестности (x0eU), имеет место сходимость Хп —> z0 равномерно по х0.
(Ш) Приложения полученных результатов к динамическим почти периодическим системам с непрерывным временем jc = fix, t) в банаховом пространстве Е основаны на следующем наблюдении. Пусть U{tyz) — разрешающий оператор системы. Справедливо утверждение: последовательность функций
fn (х) = JJ{n +1, п)х, neZ, (0.3)
почти периодична по п. Это позволяет привести анализ устойчивости динамической системы х = f(x, t) к анализу устойчивости системы
(0.1) с правой частью (0.3).
Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка литературы.
4. Глава 1 посвящена реализации пункта (і) указанной схемы. 4.1. Пусть А" - компакт. Обозначим X множество всех непрерывных функций f{x) :К —> К, С(К) - множество всех непрерывных
функций а : К —> М.. Обозначим F — X — множество всех двусторонних последовательностей f = {fn} со значениями
fn (х) є X. Семейство полуметрик
Pa(f>g) = PPaU'n>gK)><*GC(K), (0-4)
Pa (/, g) = max|a(/(x)) - a(g(x))\
Формулировка признака асимптотической устойчивости
Пусть К - компакт (хаусдорфово топологическое пространство любое открытое покрытие которого, содержит конечное подпокрытие). Рассмотрим в качестве X множество всех непрерывных отображений К в себя, а полуметрики семейства J определим равенством Ра(ф У7)- тах а(ф(х)) - а(і//(х))\, а є С(К). хеК где С(К) - множество всех непрерывных функций К — Ш.. Семейство J разделяет точки X, а в силу 1 п. 1, семейство множеств \ к г U9(al9...9ar,6) = {\i/bX\mazpat(q ,y/) e} задает базу хаусдорфовой топологии на X. Пусть система (1.1) имеет положение равновесия z0. Это положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если для U - произвольной окрестности z0 существует его окрестность V такая, что для любой траектории уп системы (1.1) с начальным условием у0 є V верно уп є U. Положение равновесия z0 называется глобально асимптотически устойчивым, если limxw(x) = zQ, ДЛЯ всех х є К, где хп(х) - траектория системы (1.1) с начальным условием х0 = х. Функция v : К — №, называется положительно определенной относительно точки z0, если v(z0 ) = 0 и v(x) 0 для всех х є К, х Ф z0. Последовательность V . 7L — С (К) называется положительно определенной относительно точки z0, если Vn (z0 ) = 0 и v(x) Vn (х) v(x) для всех хе К, и е Z, где v: К — R, v: АГ — М - полунепрерывные, соответственно сверху и снизу, функции, положительно определенные относительно точки z0. Пусть f є F - почти периодическая последовательность. Рассмотрим динамическую систему где g- є #[ Л. Разностная производная V : Z — С( ) последовательности V \1J— С{К) В силу системы (1.1) определяется равенством (1.2) с заменой v на V, fn на gn. Будем говорить, что V неположительно определена, если Vn (х) 0 для всех х є К, пєЖ. ТЕОРЕМА 1.1. Пусть f -F - почти периодическая последовательность и система (1.1) имеет положение равновесия z0. Пусть существует положительно определенная в точке z0 последовательность V . Z — С(К), разностная производная V которой в силу системы (1.1) неположительно определена. Тогда положение равновесия z0 является глобально асимптотически устойчивым, если и только если выполнено условие: разностная производная V не равна нулю тождественно на каждой траектории системы (1.1), не совпадающей с положением равновесия z0.
Таким образом, получили, что существует такая окрестность точки (f,x), что для любого є О и всех точек (g,.y) из этой окрестности выполняется неравенство \a{Gn{f,x))-a(Gn(g,y))\ s, что и требовалось доказать. ЛЕММА 1.3. Пусть V:Z- C(K) - положительно определенная в точке zQ последовательность и limif (jc) = 0 для И- 00 некоторой последовательности хп в К. Тогда lim хп= zQ. Доказательство. Пусть U — произвольная окрестность точки z0, тогда полунепрерывная снизу функция v достигает своего наибольшего значения у 0 на компакте K\U. Так как V положительно определенная в точке zQ последовательность и IimF.( .) = 0, то для некоторого натурального N и всех п N справедливо неравенство v(xn) Vn(xn) y, откуда следует справедливость при всех п N включения хп Є U, что и требовалось доказать. ЛЕММА 1.4. Пусть А и В - компакты, хп,уп -последовательности в А, В соответственно. Тогда для произвольной предельной точки х последовательности хп найдется предельная точка у последовательности уп такая, что пара (х,у) является предельной точкой последовательности (хп,уп) в топологии произведения Ах В. Доказательство. Предположим противное. Тогда для некоторой предельной точки х последовательности хп и произвольной предельной точки у последовательности уп существует окрестность V = Uх х Uу пары (х,у) такая, что card fl {(ж„у,)}) оо (cardX обозначает мощность множества Xs). Так как множество Е предельных точек последовательности уп — компакт, то из его открытого покрытия {U , у є Е} можно выделить конечное т подпокрытие {U ,к = 1,...,т], тогда для окрестности Ux =\\UX к=\ точки х, где Ux - окрестности точки х соответствующие окрестностям U , имеем card(UxxBf\{(xn9yH)}) co, откуда следует, что card(Ux[ \{xn}) co, в противоречии с выбором точки X .
Признак равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости
Идеалом / коммутативной алгебры А называется подпространство А, обладающее тем свойством, что для всякого у є / и любого х є А произведение ух принадлежит /. Идеал / алгебры А называется максимальным, если / не совпадает с А и не содержится ни в каком собственном идеале этой алгебры. Множество максимальных идеалов алгебры А называется пространством максимальных идеалов этой алгебры. Линейный непрерывный функционал f на банаховой алгебре А называется мультипликативным, если для любых х и у из А f(x-y) = f(x)-f(y). Обозначим M — совокупность всех нетривиальных линейных непрерывных мультипликативных функционалов. М есть А подмножество единичной сферы в сопряженном пространстве А . Между М и множеством МА максимальных идеалов алгебры А имеется взаимно однозначное соответствие; далее будем их л отождествлять. Так как единичный шар пространства А , сопряженного к банаховому пространству А, компактен в -слабой топологии, и множество М замкнуто в этой топологии, то пространство максимальных идеалов есть компакт в -слабой топологии. 3. Преобразованием Гельфанда элемента х G А называется функция х на пространстве максимальных идеалов МА, определяемая соотношением х( р) = ф(х\ (р є МА. ТЕОРЕМА [47]. Преобразование Гельфанда есть гомоморфизм алгебры А на некоторую алгебру А непрерывных функций на пространстве МА. Алгебра А разделяет точки компакта МА и содержит константы. Преобразование Гельфанда не увеличивает нормы: ЛX МА X Инволюцией на алгебре А называется оператор X — X , действующий из А в А и удовлетворяющий условиям 2) (х + У) =х +у, 3) (Ях) - Хх , 4) (ху) = х у , где х и у - любые элементы из А, а Я - комплексное число. Коммутативной В -алгеброй называется коммутативная банахова алгебра с инволюцией, подчиненной условию = X ТЕОРЕМА (Гельфанда - Наймарка) [47]. Пусть А - коммутативная банахова В -алгебра. Тогда преобразование Гельфанда есть изометрический изоморфизм между А и С{МА) алгеброй всех непрерывных функций на компакте МА, причем Пусть Е - метрическое пространство с метрикой р, В — шар в Е, є 0. Будем называть число Т є Z (5,6:)- почти-периодом функции / (х) :ЕхХ— Е, если выполняется неравенство Р[Л Т-( ) /»( )] є,хєВ,пє%. Будем называть последовательность f„(x) почти периодической, если для каждой пары (В, є) существует число I = l(B, 6") 0 такое, что на любом отрезке длины / числовой оси найдется хотя бы один (В, є)— почти-период. Рассмотрим в фазовом пространстве Е динамическую систему (1.1) с положением равновесия z0 : fn(z0) = z0. Будем предполагать: а) fn (х) почти периодична; б) при каждом п fn(x) локально равномерно непрерывна: это свойство имеет место на каждом шаре В а Е. Будем называть функцию v(x) : Е — Ш положительно определенной относительно положения равновесия z0 и писать v(x) 0, если она локально равномерно непрерывна, v(z0) = 0 и отделена снизу от нуля на дополнении каждой окрестности точки z0. Построим по функции v(x) 0 и числу Є О последовательность множеств: U: ={Х ЕЕ V(X) є}, Un+l = fn(Un\ п = 0,1,2,.... и пусть v„(A) = supv(x). (2.4) XGU"E
В случае v(x,n) 0 все Vn оО} и последовательность (2.4) не возрастает. Будем говорить, что положение равновесия z0 асимптотически устойчиво равномерно по начальному условию, если оно устойчиво по Ляпунову и существует шар В0 с центром z0 такой, что для траекторий хп начинающихся при п = О в В0 имеет место сходимость хп —» z0 равномерно по х0 є В0. Отметим, что в частном случае Е = С равномерная по начальному возмущению асимптотическая устойчивость равносильна свойству асимптотической устойчивости. В бесконечномерном случае это не так. Действительно, пусть в (1.1) Е — /2, /п(х) = Рпх, где Рп -проектор: P„=diag(0,...,0,l,l,...). п Очевидно, положение равновесия (0,0,...) асимптотически устойчиво: при каждом х є /2 Рпх — 0; однако при каждом г 0 и каждом ? 0 sup Рпх = г -/ 0 при и — оо г Пусть 51 - топологическое пространство. Обозначим через CB(S) алгебру ограниченных непрерывных комплексных функций на S. Алгебра CB(S) является коммутативной В -алгеброй относительно нормы /s=SUp/( ) seS и инволюции / =/. Семейство F функций на S называется самосопряженным, если из f є F следует f &F. Семейство F называется разделяющим, если для любых точек s ФЇ, принадлежащих S, имеется такая функция f є F, что f{s) Ф f(t). Компактификация топологического пространства S есть хаусдорфов компакт X и непрерывное взаимно однозначное отображение д пространства S на плотное подмножество () в X. ТЕОРЕМА [47]. Пусть S - топологическое пространство. Тогда существует биективное соответствие между компактификациями X пространства S и замкнутыми разделяющими самосопряженными подалгебрами А алгебры CB(S), содержащими константы. Алгебра А, соответствующая при этом компактификации X, состоит из тех функций, принадлежащих CB(S), которые непрерывно продолжаются на X. Компактификация X, соответствующая алгебре А, есть пространство максимальных идеалов этой алгебры. ТЕОРЕМА 2.1. Пусть, при указанных условиях, существует функция v(x) 0 и число є0 0 такие, что 1 разностная производная (1.2) функции v(x) вдоль траекторий системы (1.1) неположительна: v(x,ri) 0; 2 при каждом є(0, 0] последовательность (2.4) содержит хотя бы два различных числа. Тогда положение равновесия z0 асимптотически устойчиво равномерно по начальному условию. Доказательство. Обозначим К — пространство максимальных идеалов банаховой алгебры CA(US ) ограниченных равномерно непрерывных на TJє комплекснозначных функций. Напомним ( см.,например [46], гл.1 ), что точками компакта К являются мультипликативные функционалы на CA(U ), отображение, сопоставляющее точке х є U мультипликативный функционал, вычисляющий значение функции из CA(U ) в точке х , является гомеоморфизмом Uє на всюду плотное подмножество К и отображение, сопоставляющее каждой функции из CA(US ) её непрерывное продолжение на К ( преобразование Гельфанда) является изометрическим изоморфизмом CA{UE ) на равномерную алгебру С (К) всех непрерывных на К комплекснозначных функций ( теорема Гельфанда - Наймарка ). Опираясь на упомянутые выше конструкции теории коммутативных банаховых алгебр, мы построим продолжение динамической системы (2.6) на К, имеющее (при отождествлении Uє с соответствующим подмножеством К) то же самое положение равновесия, что и система (1.1) , причем глобальная асимптотическая устойчивость этого положения равновесия означает его равномерную по начальному возмущению асимптотическую устойчивость как положения равновесия исходной системы (1.1). Последнее вытекает из того очевидного факта, что асимптотическая устойчивость и равномерная по начальному возмущению асимптотическая устойчивость эквивалентны в случае компактного фазового пространства.
П - свойство разрешающего оператора почти периодического уравнения (3.1)
Проверим сначала достаточность. Пусть разностная производная V не равна нулю тождественно на каждой траектории системы (1.1), не совпадающей с положением равновесия z0. Но ввиду леммы 1.3 для того, чтобы lim хп (х) = z0, для всех X є К, где хи(х) - траектория системы (1.1) с начальным условием х0=х, достаточно проверить равенство lim Vn {хп (х)) = 0 для произвольной траектории хп(х) системы (1.1). Предположим противное, тогда для некоторой траектории хп(х) системы (1.1) имеем lim Vn(хп(х)) — О 0 (существование предела — следствие монотонности последовательности Vn (хп (х))). Пусть х - предельная точка последовательности хи(х), тогда, по лемме 1.4, найдется предельная точка (g,V) семейства Wmf TmV), т Ъ,т 0} (где Тт, тєЪ - операторы сдвига из п. 4) такая, что {х ,g,V) является предельной точкой семейства {(xm(x),Tmf ,TmV\ т є Z,m 0}. Но тогда, ввиду леммы 1.2, для каждого фиксированного к О точки ук(х ) - траектории системы (1.6) с начальным условием у0 (х ) = X - являются предельными точками последовательности хп(х), а точки (Tkg,TkV) являются предельными точками семейства {(Tmf ,TmV), тє1 ,т 0}. Следовательно, для каждого фиксированного к 0 тройка {yk(x ),Tkg,TkV), также является предельной точкой семейства {(хт(x),Tmf 9TmV)9 тє1і9т 0}, откуда имеем Vк (ук (х )) = с. С другой стороны, ввиду леммы 1.1, (f,V) является предельной точкой семейства UTmg,TmV),m є Z,m 0, поэтому, по лемме 1.4, найдется предельная точка х Ф z0 семейства {ут(х ), т є%,т 0} такая, что тройка (х ,f,V) является предельной точкой семейства {(ут(х ),Tmg,TmV) т є Z,т 0}. Следовательно, в силу леммы 1.2, аналогично предыдущим рассуждениям мы получим, что для траектории xk(x ) системы (1.1) с начальным условием х0(х ) = х верно: для каждого фиксированного к 0 тройка (xk(x ),Tkf,TkV) является предельной точкой семейства {(ут{х \Tmg,TmV) т є Ъ,т 0}. А из этого следует равенство Vk (хк (х )) = с или, что то же самое, Vk (xk {х У) = 0, что противоречит условию теоремы, так как Проверим необходимость. Пусть существует траектория хп{х) системы (1.1), такая, что Vk (хк (х)) = с 0. Тогда для любой предельной для семейства {хп(х),п 0} точки X получим, ввиду полунепрерывности сверху функции v, v(x ) с О, следовательно х = z0. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Требование почти периодичности последовательности fn(x) в теореме 1.1 существенно. Действительно, пусть в (1.1) К = [—1,1], fn(x) = AnX, z0 = О, v(x) - \х я = ехр 1, n = 2k + l ( 1Ї , п = 2k. \ 2 J Здесь о. n = 2k + L „( ) = « 1-ехр , г J X n = 2h. Все условия теоремы выполнены, кроме требования почти периодичности, тем не менее имеем х2п = ехр ґ п \Л х0 -/ 0, если х0 Ф О. В этой главе проводится исследование устойчивости положения равновесия z0 динамической системы (1.1) в произвольном метрическом пространстве. Во-первых, выполняется надлежаще выбранная компактификация инвариантной окрестности точки z0, динамическая система (1.1) и функция Ляпунова v(x) продолжаются по непрерывности на построенный топологический компакт. После этого, к расширенной системе применяется результат первой главы. Асимптотическая устойчивость положения равновесия - образа z0 -означает для исходной системы асимптотическую устойчивость z0, равномерную по начальному возмущению: существование окрестности U точки z0 такой, что для траекторий хп, начинающихся в этой окрестности (х0 є U), имеет место сходимость хп — z0 равномерно по х0.
Доказательство признака асимптотической устойчивости для уравнения (3.13)
Рассмотрим динамическую систему вида (3.2) в Н с правой частью (3.9), где tQ - построенное выше число. Для любого решения x(t) системы (3.1) функция xn=x{nto) удовлетворяет (3.2). Проверим, что при условиях теоремы 3.2 для построенной динамической системы (3.2) выполнены все требования теоремы 2.1 в пространстве Е при z0 = 0. 1) Функция (3.9) удовлетворяет требованиям а), б) 1 (п. 2) в силу следствия 2 из теоремы 3.1 и свойства б) функции (3.3). 2) Функция v(x) удовлетворяет определению положительной определенности ввиду 1, 2 и оценки (3.5). 3)Неравенство v(x,ri) 0 для разностной производной (1.2) вытекает из 3. 4) Требование vn (А) Ф const для чисел (2.4) с достаточно малым А 0 вытекает из неравенства (3.12). В самом деле, пусть А А0. Из определения v0(A) следует: v0(A) = А; из определения v A) формул (3.9), (3.12) следует: Vj(A)= swpv(U(tQ)x) А. х Л Поэтому в силу теоремы 3.1 для решений x(t) системы (3.1) с достаточно малой х(0) имеет место сходимость x{nto)— 0 равномерно по начальному условию; так как ввиду условия V О функция v(x(t)) не убывает, отсюда следует сходимость x{t) — 0 (ґ —» +00) равномерно по начальному условию. Теорема доказана.
Для равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости положения равновесия х = О динамической системы (3.13) достаточно существование почти периодической гладкой самосопряженной оператор-функции Г(і) ml, т 0, такой, что 1) при всех / О Г + ГА + А Г 0; 2) хотя бы при одном t 0 оператор в левой части неравенства равномерно отрицателен. 3. ЛЕММА 3.1. Пусть U(t,r) - разрешающий оператор системы (3.13) в Н с почти периодическим оператором A(t). Тогда при любом фиксированном t0 О оператор W(t) = U(t + t09t) (3.17) почти периодичен. Доказательство. Для обоснования утверждения леммы достаточно показать: равномерная на оси сходимость A(t + Tk) —» A0(t) (к —» со) влечет равномерную на оси сходимость W(t + тк) — W0(t), где WQ получается из (3.9) заменой А на А . Из определения имеем: W = Y\mWn, WQ = \imW0n, где &АО+ткИ0) A(t+rk+ t0) ! LA(t+TkJ0) Wn=e" Є" n ...Єп n , WQn имеет такой же вид с заменой А на AQ, t + Tk на t. После простых преобразований получим оценку W -W rr n ry On eat max en n —e" n (3.18) где CC - постоянная (3.14). Отсюда следует требуемое. ЛЕММА 3.2. Пусть гладкая оператор-функция Г{і) . Ш — [Н] удовлетворяет условиям Г (i), f(t) почти периодические, Ґ =Г, , (3.19) mj Г (J) m2I, (тх, т2 = const 0) — эрмитово-положительный корень из /\7). Тогда оператор-функции r/2(t),r /2(t) и их производные почти периодические. Доказательство. Представим Г if) формулой Коши-Риса [4]: / (0= — 6№Ui-rXxdx, 2т f V J где у — обходимая в положительном направлении окружность в полуплоскости ЯеЯ 0, содержащая внутри отрезок [т тЛ вещественной оси и симметричная этой оси, X — ветвь v X, положительная на правой вещественной полуоси. Интеграл в правой части и его производная по t — равномерные по t є Ш пределы последовательностей интегральных сумм, представляющих собой почти периодические функции. Отсюда следует требуемое. Лемма доказана
Оператор Ап удовлетворяет условиям теоремы 2.2. В самом деле, в силу почти периодичности оператора A(t) и леммы 3.2 оператор U(t + t0,t) почти периодичен, поэтому оператор Ап почти периодичен. В силу теоремы 2.2 имеет место сходимость хп — О равномерно по начальному условию; так как, ввиду v 0, функция v( (0) — .КО не возрастает, отсюда следует сходимость y(t) — 0 (t — oo) равномерно по начальному условию. Теорема доказана. Замечание. Утверждение теоремы 3.3 остается верным для системы х = Sl A(t)S х, (3.30) где оператор A(t) почти периодичен, S — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов Н — Н, перестановочная с Г и Г: ST(t) = r(t)S!, S ДО = f(t)S . (3.31) Доказательство. В условиях замечания оператор функция S A(t)S сильно непрерывна на оси, поэтому для разрешающего оператора U(t,r) системы (3.30) верны свойства (3.14) - (3.16) с заменой в (3.15), (3.16) А на SlA(t)S l. Выполняя замену х = S у получим систему -(Sly) = SlA(t)y (3.32) dt с разрешающим оператором V(t,T) = S-!U(t,T)ST В силу унитарности S равномерная по начальному возмущению асимптотическая устойчивость положения равновесия х = О системы (3.30) равносильна такому же свойству положения равновесия у = 0 системы (3.32), поэтому для обоснования утверждения замечания достаточно проверить, что при указанных условиях 1) оператор W(t) = V(t + t0,t) почти периодичен при любом /0 0; 2) производная эрмитовой формы v = \Гу,у\ с оператором (3.19) вдоль траекторий системы (3.32) дается формулой v = (Fy,y) с матрицей (3.20). Имеем: W(t) = S-{t+t0)U(t + tO9t)S . (З Вычисляя U(t + t0,t) по формуле (3.16) с заменой А S A(t)S и учитывая равенства expOS ST ) = S Qxp(A)S- , S S- 2 = S 1- 2, получим: п п я л( +і: о) , W{t) = S lim TT e S И—»00 / = Пусть A(t+ тк)- A0(t) на оси при к— оо. С учетом верна оценка (3.18), где в данном случае S -±Л(1+гк+\) П П ! д=5 0Пе " /=1 W0n имеет такой же вид с заменой А на AQ , t + Tk на t. Отсюда следует почти периодичность оператора (3.33). Далее, пусть оператор Г(ї) удовлетворяет (3.19) и удовлетворяет (3.31). Имеем: (Гу,у) = (rSy,y) = {sTS y.y) = {r(S y\(S y)) поэтому на решении _у(0 системы (3.32) -{ry,y) = ((s- fS +S-rS A + A SS )y,y) = = ((Ґ + ГА + А Г)у,у), что и требовалось. Отметим, что здесь оператор U(t + t0,t) не является почти периодическим. 5. Рассмотрим задачу Коши для телеграфного уравнения с периодически подключаемым малым трением z(s, 0) = ф) є Cl (R), z; (.9,0) = ) є Cj (R) (3.34) Здесь g = const 0 , (/ +1) = s(t). s( A Asin—, /є[0,А], 0 А ;1, є(Д,і]. В случае є(і) = 0 (невозмущенная задача), прямым вычислением нетрудно получить: (z,zt) н const ( р,ф)\\н (/SO), где Н - гильбертово пространство функций R — R со скалярным оо произведением g,h = \ (gfa + g yis. Тем самым решение z = 0 невозмущенной задачи устойчиво по Ляпунову. Покажем, что -2 при сколь угодно малом А 0 при условии вида q q0 (А) = 0(А ) решение z = О задачи (3.34) асимптотически устойчиво равномерно по начальному возмущению. Определим семейство операторов Н — Н формулой S h = h2(s-0 ,/єМ Замены x(t) = S ±t f і z + zs±zt приводят задачу Коши (3.34),соответственно, к виду х = S±lA(t)S+ x х(0) = h{s), А ч-7г-е Є/ 4 /2. , (3.35) где производная x{t) вычисляется при фиксированном s, h{s) — финитная гладкая функция М—»М . Будем рассматривать более общую ситуацию, считая, что h(s) — любая функция из Н и производная х(/) вычисляется в топологии Н. Положим Г — diag( — /L ,1). Вычисления дают: (Г + ГА + А Г) = -с ( а-є /-Л2/ -є q /2 /2А2 -Є/ Л При q qQ(A) = — f + А выполняются условия теоремы 3.4 для обеих систем (3.35). Отсюда следует требуемое.
