Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Теории динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством посвящены исследования, различных авторов. Основные идеи и методы принадлежат А.Пуанкаре. В отдельный класс такие системы были выделены А.А.Андроновым. А.А.Виттом и С.Э.Хайкиным. Л.Н.Белюстина опубликовала обзор основных фактов качественной теории двумерных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Исследования систем на цилиндре содержатся в работах Е.А.Барбашина, Г.А.Леонова. И.М.Буркина. А.И.Шепелявого. А.Д.Морозова. М.В.Долова. Н.В. Родиче-вой. Г.И. Шиловой. М.И. Альмухамедова, Ю.С.Шакировой и др. Конкретные динамические системы второго и третьего порядков, описывающие тс или иные физические явления либо работу различных технических устройств (движение маятника, динамику полёта самолёта, системы угловой стабилизации, системы фазовой синхронизации и пр.). исследовались в работах Н.Н.Баутина. Е.А.Барбашина и В.А.Табуевой. Л.Н.БелюстиноП. В.Н.Белых. Н.П.Власова. Е.Н.Гершта, Н.А.Губарь. М.В.Капранова. В.Н.Кулешова. Г.М.Левченко. И.С. Шаровой. Г.И. Шиловой и других авторов.
В настоящей диссертации двумерные автономные динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством исследуются методами теории первых интегралов.
Аппарат первых интегралов эффективно использовался для решения самых разнообразных задач теории дифференциальных уравнений в исследованиях A.M. Ляпунова. А. Пуанкаре. А. Дюлака. В.И. Зубова. К.С. Сибирского. В.А.Плисса. Н.Ф.Отрокова. М.В.Долова. М.Г.Худай-Веренова. В.Н.Горбузова. Т.А.Дружковой. А.М.Терентьева и др. При этом, как правило, не предполагалась периодичность правых частей по фазовой переменной. М.В.Доловым введены .в рассмотрение так называемые канониче-
ские интегралы, соответствующие периодическому движению, и квазиканонические интегралы и изучены влияния предельных множеств систем дифференциальных уравнений на существование таких интегралов и область их-аналитичности; показано, что одним из важных частных случаев канонических и квазиканонических интегралов являются интегралы Дарбу и интегралы типа Дарбу систем с полиномиальными правыми частями. Теория канонических и квазиканонических интегралов и систем с интегралами типа Дарбу позволила решить некоторые задачи качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений.
В отличие от произвольных систем аналитического класса системы, правые части которых периодические по одной из фазовых переменных, допускают замкнутые траектории и многоугольники траекторий, охватывающие цилиндр. Для таких систем М.В.Доловым и Н.В.Родичевой сформулированы определения и теоремы существования канонических интегралов, соответствующих циклам второго рода, и квазиканонических интегралов. Актуальным является дальнейшее распространение теории канонических интегралов на случай; когда фазовым пространство.м динамической системы является цилиндр.
ЦЕЛЬЮ работы является построение теории канонических интегралов двумерных автономных аналитических систем дифференциальных уравнений, периодических по одной из фазовых переменных.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При построении теории канонических интегралов и анализе конкретных классов систем, допускающих канонические интегралы, используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теория функциональных уравнений, теория аналитических функций.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе содержатся следующие новые научные результаты.
Для систем аналитического класса, 2ті-периоднческих по фазовой переменной х, впервые введены понятия канонических интегралов, соответ-
ствуюших либо сепаратрисе, образующей петлю, охватывающую цилиндр, либо сепаратрисному контуру, включающему траекторию, являющуюся одновременно а- и со-сепаратрисой седла (х0,у0), и траекторию, являющуюся одновременно сепаратрисой сёдел (.v0,Jq) и (х0+2п.у0). Доказаны теоремы существования канонических интегралов.
Для систем, правые части которых полиномы по у степени п с коэффициентами - тригонометрическими полиномами по х порядка не более т. т.е. систем класса А^,. получена оценка сверху числа полуалгебраических частных интегралов.
Исследовано влияние предельных множеств на существование интегралов специального вида (интегралов типа Дарбу) и их структуру. Для систем класса А1Ш]. допускающих интегралы типа Дарбу, указаны аналитические выражения канонических интегралов: найдены необходимые и достаточные условия кратности: предельных циклов как первого, так и второго рода, а также фокуса с чисто мнимыми собственными значениями оператора линейной части. Изучены сингулярности интеграла в случае наличия у, системы состояния равновесия с комплексными корнями характеристического уравнения, а также достаточные условия отсутствия у системы из
класса АП1П интеграла типа Дарбу.
Указаны случаи одновременного рождения предельных циклов первого и второго рода из сепаратрисных контуров.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа является дальнейшим развитием теории канонических интегралов и в основном носит теоретический характер: её результаты позволяют для определённых классов систем делать выводы относительно существования предельных циклов, их кратности; особых предельных циклов: решать проблему различения центра и фокуса, а также могут быть использованы при исследовании конкретных динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, имеющих как теоретическое, так и практическое зна-
чение. в частности, при решении вопросов существования периодических движений первого и второго рода, их кратности, а также при исследовании бифуркаций рождения предельных циклов.
АПРОБАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск. 1994.1996). "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа.1996). 11-ом Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Самара. 1993). 6-ой конференции математиков Белоруссии (Гродно. 1992). 3-й и 4-й конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород. 1993. 1996). научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского госуниверситета.
ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание диссертации отражено в 12 печатных работах и тезисах докладов.
Личным вкладом диссертанта в совместные с М.В.Доловым работы являются формулировки и доказательства теорем, построение примеров. М.В.Долову принадлежат постановки задач, идеи доказательств основных теорем и общее руководство.
ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Основной текст диссертации состоит из введения, трёх разделов, списка литературы и содержит 123 страницы и 6 рисунков. Список литературы содержит 78 наименований.
