Введение к работе
- .
Актуальность темы. Теория сингулярных дифференциальных операторов, возникнув в начале 20-го века, в настоящее время является одним ио интенсивно рахзвивающихся разделов теории дифференциальных уравнений.
В отличие от регулярных операторов, характеризуемых глад
кими коэффициентами на всей области иоменения независимых пе
ременных П С Дп, сингулярные дифференциальные операторы име
ют коэффициенты,обладающие особенностями внутри области или
на ее границе. Сингулярность рассматриваемых при этом краевых
задач состоит в том, что область ft может быть пеограничена
или в.том, что коэффициенты дифференциального оператора мо
гут иметь особенности как на границе области (при х -* дїі или
при \х\ —к» в случае неограниченности области ft), так и внутри
ее. — ,
Быстрое развитие теории сингулярных дифференциальных операторов связано, в первую очередь, с успехами теоретической фи-оики в обосновании начал квантовой механики. Как иовестно, основ- ным уравнением квантовой мсхдники является уравнение Шредин-' гера, описывающее движение квантовой частицы во внешнем силовом поле с потенциалом V.
Если энергия частицы Е имеет определенное значение, то в таком се состоянии, называемом стационарным, полипная функция V'(z) данной частицы удовлетворяет стационарному уравнению
Шредингера
где // = -Д + V(r) — оператор Шредингєра, изображающий полную энергию частицы, то есть сумму кинетической и потенциальной энергий.
Основные оадачи квантовой механики сводятся к. решению отого уравнения, то есть к нахождению возможных собственных (значений аііергии // — энергетических уровней системы. Значения полной энергии частицы во многом оависят от гладкости коэффициентов потенциала V(x), характеризующего силовое ноле, действующее на частицу. Наличие у потенциалов в реальных фяоичесіих оадачах сингупярностей различного типа обусловило неослабевающий интерес к теории сингулярных дифференциальных операторов многих поколений математиков.
Систематическое поучение сингулярных операторов, стимулируемое успехами квантовой механики, относится к сороковым и пятидесятым годам. В трудах Э.Титчмарща и Б.М.Левитана раавиты методы, исиольсующие аппарат теории аналитических функций. Теоретико-операторные методы, опирающиеся на общие теоремы спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах, получили свое раовитие в трудах Г.Куранта, К.Фрвдрихса, Ф.Рея-лиха, Т.Като и других авторов.
Раолнчныи аспектам теории сингулярных дифференциальных
операторов—вопросам существования самосопряженных расширений, разложения произвольных фуніций по собственным функциям таїих операторові поучению нх спежтральных хараїтеристяж посвящены многие работы современных авторов—Ш.А.Алимова, В.А.Ильина, Р.Кермана, Б.Саймона, Х.Трнбеля, Л.Д.Фадеева, Ч.Феффермана. и др.
Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является исследование свойств операторов вида II = -Д + V с нотен-ци і лами, коэффициенты юторых имеют особенности в тонах или на многообразиях, а именно:
-
дожаоательство существенной самосопряженности операторов с сильно сингулярными потенциалами;
-
дожаоательство критерия конечности числа тачек дискретного спектра оператора В с потенциалами специального вида и оценка отого числа;
-
изучение условий сходимости спектральных разложений, от-. вечающнх операторам II с коэффициентами, вырождающимися на гладких многообраоиях S с Rn.
Методика исследования. При дожаоательстве существенной самосопряженности оператора. -Д + V с сильно сингулярным потенциалом V испольооваи метод, предложенный Винтхольцем и усовершенствованный Ірибелем.
При исследовании условий сходимости спектральных рапложе-нии применяются общие методы спектральной теории операторов
в гильбертовых пространствах.
При установлении конечности числа точек дискретного спектра оператора -Д + V и выводе оценки данного числа испольоован метод минимакса и другие аналитические методы.
Научная новишіа. В диссертации получены следующие основные реоультаты:
-
В главе 1 доказана существенная самосопряженность операторов II с потенциалами, вырождающимися на границе области оадания И С Rn;
-
В главе 2 докапан критерий конечности числа точек дискретного спектра o&sc оператора II и получены оценки (г,ц1с для потенциалов специального вида;
3) В главе 3 изучены условия сходимости спектральных рагшо-
жений, отвечающих самосопряженным расширениям операторов
Шрединтера с коэффициентами, вырождающимися на гладких мно
гообразиях 5 с R" в .метрике II'(R").
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, ее реоультаты и методы могут быть использованы в изучении спектральных свойств эллиптических дифференциальных операторов, в исследованиях вопросов сходимости спектральных раалпжений, при решении задач математической фирики, при чтении снец-курсов. .
Апробация работы. Реоультаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Современные методы математической
финики" при кафедре математического моделирования ТашГУ, на 16-ой Конференции молодых ученых МГУ имени М.В.Ломоиосова (г.Мосжва, 4-8 апреля 1994г.), на международной конференции "Вырождающиеся уравнения к оадачи смешанного тапа" (г.'Гаш-хент, 23-25 ноября 1993г.), на ежегодных конференциях молодых ученых ТЪшГУ и Института математики имени В.Л,Романовского АНРУа. :
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l]-[3j.
Структура и объем работы. Диссертация состоит ио введения и трех глав. Вторая глава раобита на три параграфа. Список литературы содержит 35 наименований. Общин объем диссертации —60 страниц.
