Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод специальных рядов 48
1.1. Применение рядов при решении дифференциальных уравне ний 48
1.1.1. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для обыкновенных уравнений 49
1.1.2. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для уравнений с частными производными 51
1.2. Специальные ряды Kt по степеням универсальных базисных функций 53
1.2.1. Формальное построение решения в виде специального ряда по степеням одной базисной функции 53
1.2.2. Кратные специальные ряды 56
1.2.3. Кратные ряды Kt для многомерных областей 62
1.3. Специальные ряды с функциональным произволом 65
1.3.1. Ряды Kt с функциональным произволом 65
1.3.2. Ряды Кд с функциональным произволом для многомерных областей 69
1.4. Специальные ряды Kt по степеням обобщенных базисных функций 71
1.4.1. Обобщенные базисные функции : 72
1.4.2. Рекуррентность нахождения коэффициентов ряда 74
1.5. Примеры применения специальных рядов Кд
1.5.1. Представление рядами Kt решений обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза 85
1.5.2. Исследование сходимости рядов Kt для решения обобщенного уравнения Буссинеска 105
1.5.3. Исследование сходимости рядов Кх для нелинейного уравнения фильтрации 109
1.5.4. Представление специальными рядами Кх решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными 118
1.5.5. Применение метода специальных рядов для построения решений уравнения нестационарных околозвуковых течений газа 121
1.6. Результаты численного эксперимента по нестационарному околозвуковому обтеканию клина 146
Глава 2. Согласованные специальные ряды 148
2.1. Применение согласованных специальных рядов Kt для представления решений нелинейных уравнений с частными про изводными 149
2.1.1. Согласованные базисные функции 149
2.1.2. Согласованные БФ с функциональным произволом 156
2.1.3. Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неанали тическими начальными данными 160
2.2. Решение нелинейных уравнений с особенностями 165
2.2.1. Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений, имеющими особенности 165
2.2.2. Представление согласованными рядами решений стационарного уравнения потенциала скорости 168
2.3. Глобальная сходимость согласованных рядов с функциональ ным произволом 171
2.4. Специальные ряды, согласованные с точным решением 178
2.4.1. Построение решения уравнение нестационарной фильтрации в виде специального ряда, согласованного с точным решением 179
2.4.2. Исследование сходимости специального ряда, согла сованного с точным решением 182
Глава 3. Представление решений начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений с нулевыми граничными условиями 187
3.1. Применение специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных уравнений с точным удовлетворением краевых условий 188
3.1.1. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами, согласованными с начальными условиями 189
3.1.2. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения согласованными рядами 197
3.1.3. Результаты численных расчетов по представлению согласованными рядами решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения 200
3.2. Применение кратных специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных двумерных волно вых уравнений 203
Глава 4. Обоснование обобщенного метода Фурье для одного класса нелинейных уравнений 209
4.1. Постановка задачи и построение решения для нелинейных волновых уравнений 210
4.2. Построение функций Ляпунова и исследование сходимости ряда (4.1.14) 214
4.3. Обоснование метода пересчета и результаты численных расчетов 227
Глава 5. Применение метода специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений 235
5.1. Постановка задачи 236
5.2. Доказательство разрешимости начально-краевых задач для уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза 240
Заключение 254
Список литературы
- Формальное построение решения в виде специального ряда по степеням одной базисной функции
- Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неанали тическими начальными данными
- Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами, согласованными с начальными условиями
- Построение функций Ляпунова и исследование сходимости ряда (4.1.14)
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке и применению аналитического метода — метода специальных рядов — к построению решений и доказательству разрешимости начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений математической физики более широкого, чем класс уравнений в частных производных типа Ковалевской.
Актуальность темы. Для эффективного подхода к решению проблем, возникающих в современной науке и технике, не обойтись без исследования нелинейных задач математической физики. Стремительное развитие вычислительной техники и появление быстродействующих суперкомпьютеров позволяют исследователям строить и рассматривать все более сложные многомерные модели, описывающие различные явления, которые моделируются, как правило, с помощью нелинейных уравнений (систем) в частных производных. Однако, сейчас стало понятно, что без развития аналитических методов невозможно получить полное представление о сути явления. Аналитические методы дают не только надежный инструмент для отладки и сравнения различных численных методик, но иногда и предвосхищают некоторые научные открытия, дают возможность изучить свойства моделей, обнаружить наличие тех или иных эффектов как следствие существования или несуществования объектов (решений) с требуемыми свойствами. Поэтому в настоящее время в различных странах интенсивно ведутся фундаментальные исследования, направленные на доказательство теорем существования и единственности решений нелинейных уравнений с частными производными.
Наиболее перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Численные методы особенно трудоемки в многомерном случае, поэтому актуальной задачей является развитие различных аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью (например, в виде рядов или асимптотических разложений).
Отметим некоторые аналитические методы получения решений уравнений с частными производными. Для линейных уравнений эффективен
метод разделения переменных. Тем не менее, для нелинейных уравнений в общем случае этот метод позволяет получать узкие классы решений. Хотя и для нелинейных задач с помощью данного метода, который в этом случае можно назвать "обобщенным методом разделения переменных", были получены интересные результаты, связанные с нестационарными диссипативными структурами (работы В.А. Галактионова, С.А. Посаш-кова, СР. Свирщевского и др.авторов). Для нелинейных уравнений оказываются эффективными также методы теории размерностей, приводящей к автомодельным решениям (работы Л.И. Седова, А.А. Самарского, СП. Курдюмова, Г.Г. Еленина), групповые методы (работы Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.К. Андреева, СВ. Хабирова, А.П. Чупахи-на, СВ. Мелешко, В.В. Пухначева), методы дифференциальных связей (А.Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, Н.Н. Яненко), метод вырожденного годографа (работы А.Ф. Сидорова, Н.Н. Яненко), метод ассоциативных колец (С. С. Титов) и другие подходы. Получаемые таким образом частные решения полезны при изучении реальных процессов, тестировании и сравнении различных численных методик. Однако, точные решения описывают, как правило, достаточно узкий класс физических процессов и при решении реальных начально-краевых задач, как правило, не удается обойтись найденным набором точных решений.
Отметим также некоторые аналитические методы получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными в виде рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами. Так для исследования различных задач гидромеханики, газовой динамики и механики также использовались различные ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами (работы Л.В. Овсянникова, Л.И. Седова, О.С. Рыжова).
К группе аналитических подходов относится и метод специальных рядов, получивший свое развитие после работы А.Ф. Сидорова1. Суть его состоит в разложении решения в ряд по степеням одной или нескольких специальным образом выбираемых функций2, [3], называемых далее базисными функциями (БФ). При таком выборе базисных функций
1 Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1975, т. 6, N 4, с. 106-115.
гВасин ВВ., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. \1атематика, 1983, N 7, с. 13-27.
формальное решение исследуемого нелинейного уравнения представимо в виде специального ряда, коэффициенты которого будут находиться рекуррентно как решения последовательности более простых уравнений. Исходным пунктом при разработке метода специальных рядов являлось обобщение на нелинейные уравнения характеристических разложений Р. Куранта для решений задач примыкания. Непосредственными предшественниками здесь можно считать Р. Куранта, Дж. Даффа, Д. Людвига, В.М. Бабича, которые в случае линейной гиперболической системы разработали метод представления решений характеристической задачи Коши в виде "обобщенной бегущей волны". В линейном случае Дж. Дафф и Д. Людвиг доказали соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской. Для нелинейной системы уравнений газовой динамики, описывающей двумерные стационарные течения, А.А. Дородницыным была рассмотрена характеристическая задача и построено решение в виде сходящегося ряда. Вдохновляющим импульсом для создания нового аналитического метода были проблемы в области газовой динамики, сформулированные Р. Курантом и А.А. Дородницыным (в том числе — задача аналитического описания тройной точки ударных волн, "ножки Маха"). А.Ф. Сидоровым и Е.Н. Зубовым в работах 1972-73 годов для задачи о плавном вдвижении поршня в покоящийся газ были построены нестационарные течения в виде степенных рядов, коэффициенты которых определялись рекуррентно из цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что ряды рассматривались как формальные (без доказательства сходимости), были проведены численные расчеты прикладных газодинамических задач, показавшие пригодность предложенного метода. В 1973 году СП. Баутиным была доказана сходимость этих характеристических рядов, решающих задачу о поршне. Развитый метод характеристических рядов для гиперболических нелинейных уравнений позволил в дальнейшем решить ряд задач математической физики, не поддававшихся решению ранее.
Специфика некоторых важных задач газовой динамики для построения кусочно-гладких решений потребовала разработки особых оригинальных подходов и при построении решений как формальных рядов, и при доказательстве сходимости этих рядов в окрестности характеристической поверхности (в работах В.М. Тешукова не только построены
решения, но и доказано их существование и единственность в классе кусочно-аналитических функций).
Позже было осознано, что характеристические разложения — частный случай конструкции рекуррентных рядов, которые требуют наличия определенных свойств у базисных функций, формулируемых на языке, близком к языку дифференциальной алгебры. Эти конструкции не зависят от типа уравнения, а в базисные функции рекуррентных рядов можно вводить произвольную функцию от времени, которая может и не быть аналитической функцией. Все эти работы положили начало систематическому применению метода специальных рядов к нелинейным задачам математической физики. Важные результаты, полученные в этом направлении, содержатся в работах С.С. Титова, Л.Г. Корзунина, СВ. Вершинина, К.В. Курмаевой и Н.А. Вагановой.
При применении метода специальных рядов к исследованию решений нелинейных уравнений актуальными задачами являются: построение систем новых базисных функций, позволяющих получать решения в виде специальных рядов для более широкого класса начальных условий; описание классов нелинейных уравнений в частных производных, для которых удается доказать сходимость построенных рядов; применение специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач.
Цель работы:
— предложить общий подход к конструктивному построению решений
для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными в виде рядов по степеням новых базисных функций, учитывающих, в том числе, специфику и особенности исследуемых уравнений;
— указать классы нелинейных уравнений в частных производных, для
которых удалось с помощью метода специальных рядов построить решения в виде рядов и доказать их сходимость;
— применить метод специальных рядов к исследованию начально-
краевых задач для известных уравнений математической физики;
— обосновать применимость метода специальных рядов и обобщенного
метода Фурье к решению начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных волновых уравнений с заданными нулевыми краевыми условиями;
— применить специальные ряды, содержащие функциональный про-
извол, для доказательства новых теорем существования начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза.
Методика исследований. В работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Для обоснования этого подхода использованы методы и понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, общей теории рядов. При обосновании применимости обобщенного метода Фурье для решения начально-краевых задач используется аппарат функций Ляпунова, при доказательстве разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений использованы также методы функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
— построены специальные ряды по степеням новых базисных функций
для представления решений некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными и исследована сходимость этих рядов;
— показана возможность использования функционального произвола
в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов;
— построены специальные ряды для представления решений начально-
краевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий, исследована сходимость этих рядов для некоторого класса нелинейных волновых уравнений;
— разработан метод генерации новых классов решений нелинейных
уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом;
— выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых
с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье;
— доказана возможность использования функционального произвола
в базисных функциях для решения начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные конструкции специальных рядов по степеням новых базисных функций могут быть использованы для исследования нелинейных уравнений с частными производными, с их помощью можно решать задачи Коши и начально-краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными, в том числе и для уравнений не типа Ковалевской. Специальные ряды могут быть использованы также и для доказательства теорем существования решений краевых задач для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений, вопрос о существовании решения для которых оставался открытым. В частности, тем самым был дан положительный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможном использовании произвольных функций, входящих в базисные функции, для удовлетворения заданного краевого условия.
Самостоятельный теоретический интерес применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям имеют исследования по обоснованию использования обобщенного метода Фурье для представления решений начально-краевой задачи для некоторого класса нелинейных волновых уравнений. В этом случае были исследованы последовательности систем из N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих чисто мнимые характеристические корни. При этом для любого числа N была построена положительно определенная функция Ляпунова с производной в силу этой системы равной
нулю, доказана ограниченность и почти периодичность решений такой системы.
Кроме того, практическую значимость имеют решения в виде специальных сходящихся рядов для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза, для уравнения Линя-Рейснера-Цяня, уравнения стационарных осесимметричных течений газа, имеющего особенность, для нелинейного уравнения фильтрации. Сходимость таких рядов доказывается, как правило, в неограниченной области. Построенные ряды имеют высокую скорость сходимости, что позволяет их использовать для тестирования численных методик, а также использовать для создания новых численно-аналитических методов. Так, например, с помощью специальных рядов был проведен расчет нестационарного околозвукового обтекания клина, описан переход от нестационарного течения газа к стационарному и аналитически было показано, что такой переход осуществляется по экспоненциальному закону.
Публикации. Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [1-11], в трудах Института математики и механики УрО РАН [12-14], в журналах, издававшихся в Новосибирске [15-18], а также в трудах Международных конференций [19-23] и Всероссийских конференций [24-26]. Из совместных работ с Н.А. Вагановой [17,18] и работы с А.Ф. Сидоровым и Л.Г. Корзуниным [3] в диссертацию включены только результаты автора.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);
Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);
Международная конференция, посвященная 150-летию
С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000);
Международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000, 2002); Всероссийская конференция "Математическое моделирование и пробле-
мы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000); III Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, (2001);
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, (2001);
Международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001);
Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);
VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); XIV Всероссийская конференция 'Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И.Бабенко, Дюрсо (2002);
Международные летние школы-конференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);
Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004, 2006); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);
Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004, 2006);
Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика Л.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004);
XI Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);
Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научных семинарах:
под руководством академика РАН Л.В. Овсянникова в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2000);
под руководством профессора Т.Н. Зеленяка в Институте математики СО РАН, Новосибирск (2000);
иод руководством профессоров Л.А.Калякина и В.Ю.Новокшенова, Уфа (2004);
под руководством чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и профессора В.Ю.Ляпидевского в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2005);
под руководством чл.-корр. РАН В.И.Четверушкина и профессора В.Ф.Тишкина в Институте математического моделирования РАН, Москва (2005).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 265 страниц. Библиография содержит 209 наименований.
Формальное построение решения в виде специального ряда по степеням одной базисной функции
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 265 страниц. Библиография содержит 209 наименований.
Краткая история вопроса Метод специальных рядов (метод А.Ф. Сидорова) состоит в разложении решения в ряд по степеням одной или нескольких базисных функций [25], [183]. Такой выбор, в отличие от методов типа Галеркина, позволяет находить решение с контролируемой точностью, поскольку используемые подходы приводят к цепочке рекуррентных конечномерных систем обыкно венных дифференциальных уравнений, которые оказываются линейными даже для нелинейных решаемых уравнений, что позволяет получать новые результаты: в ряде случаев удается доказать глобальную сходимость построенных рядов, в том числе в неограниченных областях [135], [139], где применение численных методов встречает принципиальные трудности. В отличие от степенных рядов Тейлора, которые в условиях аналитичности входных данных задачи сходятся локально лишь для уравнений типа Ковалевской [44], построенные специальные ряды могут сходиться для более широких классов уравнений и систем. Эти специальные ряды могут быть также использованы и для представления решений уравнений типа Ковалевской, но с неаналитическими начальными данными [142].
Таким образом, рассматриваемые специальные ряды по степеням различных базисных функций оказываются удобным аппаратом для конструктивного исследования структуры решений нелинейных уравнений в частных производных и позволяют доказывать теоремы существования решений начально-краевых задач.
По ранним публикациям А.Ф. Сидорова можно проследить процесс поиска адекватных форм изложения метода специальных рядов. Исходным пунктом являлось обобщение на нелинейные уравнения характеристических разложений Куранта для решений задач примыкания (см. работы [97], [206]). Непосредственными предшественниками здесь можно считать Р. Куранта [62], Дж. Даффа [182], Д. Людвига [202], В.М. Бабича [2], [3], которые в случае линейной гиперболической системы разработали метод представления решений характеристической задачи Коши в виде "обобщенной бегущей волны". В линейном случае Дж. Дафф и Д. Людвиг доказали соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской. Для нелинейной системы уравнений газовой динамики, описывающей двумерные стационарные течения, А.А. Дородницыным [32] была рассмотрена характеристическая задача и построено решение в виде сходящегося ряда.
Вдохновляющим импульсом для создания нового аналитического метода были проблемы в области газовой динамики, сформулированные Р. Курантом и А.А. Дородницыным (в том числе — задача аналитического описания тройной точки ударных волн, "ножки Маха"). А.Ф. Сидоровым и Е.Н. Зубовым в работах 1972-73 годов [96], [39] для задачи о плавном вдви-жении поршня в покоящийся газ были построены нестационарные течения в виде степенных рядов, коэффициенты которых определялись рекур-рентно из цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что ряды рассматривались как формальные (без доказательства сходимости), были проведены численные расчеты прикладных газодинамических задач, показавшие пригодность предложенного метода. В 1973 году СП. Баутиным [4] была доказана сходимость этих характеристических рядов, решающих задачу о поршне, а затем разработанный при этом модифицированный метод мажорант СВ. Ковалевской был перенесен на общие квазилинейные системы дифференциальных уравнений в частных производных [6]. В схему характеристической задачи Коши стандартного вида [8] укладываются многие газодинамические задачи, что дало обоснование применяемому подходу в различных конкретных ситуациях [9], [11] (а применимость таких разложений к задачам примыкания различных течений стала возможной после работы Л.И. Рубиной [88]). Такие подходы были применены к задачам, рассматриваемых в работах А.Ф. Сидорова, И.Б. Гаврилушкина [27], [97] и М.Ю. Козманова [58], [59], [60].
Развитый метод характеристических рядов для гиперболических нелинейных уравнений позволил в дальнейшем решить ряд задач математической физики, не поддававшихся решению ранее. Специфика некоторых важных задач газовой динамики для построения кусочно-гладких решений потребовала разработки особых оригинальных подходов и при построении решений как формальных рядов, и при доказательстве сходимости этих рядов в окрестности характеристической поверхности (см. работы В.М. Те-шукова [101] - [106], в которых не только построены решения, но и доказано их существование и единственность в классе кусочно-аналитических функций).
Характеристические ряды были успешно применены И.А. Башкирце-вой [176] для создания высокоточной численно-аналитической методики с использованием методов ускорения сходимости рядов для расчета газодинамических задач об истечении газа в вакуум. Сходимость этих рядов установлена в работе [7].
Позже было осознано, что характеристические разложения — частный случай конструкции рекуррентных рядов, которые требуют наличия определенных свойств у базисных функций, формулируемых на языке, близком к языку дифференциальной алгебры. Эти конструкции не зависят от типа уравнения, а в базисные функции рекуррентных рядов можно вводить произвольную функцию от времени, которая может и не быть аналитической функцией. Математическим обоснованием метода стали теоремы сходимости построенных рядов как аналоги теоремы СВ. Ковалевской. Переход от локального исследования решений в окрестности линий параболического вырождения для гиперболических нелинейных уравнений к исследованию параболических (эволюционных) задач позволил построить решения уравнений конвекции [98] и нелинейной фильтрации (теплопроводности), в том числе задачи А.Д. Сахарова об инициировании тепловой волны. Сходимость этих рядов была доказана СП. Баутиным [5] в предположении только аналитичности и локальной монотонности краевого режима.
Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неанали тическими начальными данными
Рассмотрим правую часть уравнения (1.2.14) Fn(t, дп,..., до) с точки зрения максимального значения нумерационной функции (1.2.18) для коэффициентов д-}, от которых зависит функция Fn . Очевидно, что максимальное значение нумерационная функция может иметь для коэффициентов #j , которые определяются линейными членами, входящими в правые части уравнения (1.2.1). Нелинейные члены в уравнении (1.2.1), например, квадратичные будут порождать в уравнении (1.2.14) квадратичные формы gqigq2 , qi + q2 = п , с c(qi) со , c(qi) с0 . Причем равенство возможно лишь в случае, когда один из коэффициентов gqi , gq2 равен д0 . Следовательно, с учетом неравенства (1.2.19), можно сделать вывод, что для всех коэффициентов gq , входящих в правую часть уравнения (1.2.14), выполняется равенство c(q) со , т.е. при вычислении коэффициентов дп в правой части Fn не содержится коэффициентов, имеющих нумерационную функцию больше, чем Со . Заметим, что, в отличии от случая т = 2 , среди вычисляемых коэффициентов дп с п = п могут присутствовать коэффициенты дт с т = п с равными нумерационными функциями, т.е. CQ = c(n) = с(т) . В случае равенства нумерационных функций порядок нахождения соответствующих коэффициентов ряда безразличен, так как эти коэффициенты не участвуют в определении друг друга.
Таким образом, коэффициенты ряда (1.2.10) определяются рекур-рентно из последовательности линейных дифференциальных уравнений (1.5.1), (1.2.14) и дают формальное решение задачи (1.2.1), (1.2.2), (1.2.12). Заметим, что рекуррентность нахождения коэффициентов ряда достигается за счет специального вида линейной части системы (1.2.11).
Предложение (1.2.3) доказано. Приведем примеры кратных универсальных БФ. При т = 2 в работе [108] был рассмотрен Пример 2. = тЬ- Р2=ТТ (1 120) Система (1.2.11) для функций (1.2.20) имеет вид р р2 р2 r\ — г2 Г1 Р 2 = -2РЛ Приведем пример для случая га = 3 Пример 3. Р\{х) = жехр(х), Р2{х) — ехр(—х), Ръ{х) — ехр(ж). (1.2.21) Система (1.2.11) для функций (1.2.21) имеет вид Р[ = Рг + Р3, Pi = -P2, Р ъ = Ръ. Замечание 1. С помощью трех базисных функций (1.2.21) в качестве начальных данных щ{х) можно задать любую аналитическую в нуле функцию. Действительно, хк = Р Р и аналитические начальные данные пред-ставимы в виде ряда 00 00 ио(х) - 1аіХ% 2ai( Y ai = const. г=0 г=0 В данном примере базисная функция Рз не используется при задании начальных данных, но она необходима для рекуррентного нахождения коэффициентов ряда (1.2.10). 1.2.3. Кратные ряды Kt для многомерных областей Опишем построение специальных рядов в случае q пространственных переменных на примере следующей системы из / уравнений: =Fku,.. \ " ,... , (1.2.22) ot у дх ...дхдт J где F = (І7!,..., F\) — полином от и = («і,... ,щ) и соответствующих частных производных по xs с коэффициентами, являющимися непрерывными ограниченными функциями при t 0. Рассмотрим кольцо Kt, элементами которого являются абсолютно сходящиеся в некоторой области кратные ряды по системе функций Pi(x),..., Pm(x) оо т и(х,«)= еп(()П " М, (1.2.23) п=0 г=1 где х = (xh...,xq), n = (nb...,nm), n = ni + nm, gnW = {9i{t),--.,gm{t)). Предположим, что функции -Pi(x), ..., Рт(х) удовлетворяют дифференциальным соотношениям следующего вида: ар. т Г = Л aijspj + Wie{Pu ...,Рт). (1-2.24) S j=i Здесь a,ijs = const, і = l,m, s = l,g и функции Wje(Pi,... ,Pm) являются аналитическими в нуле функциями с условиями ИУ0,...,0) - 0, dWis{Pb...1Pm)/dPj = О, і J = Т , при Pi = Р2 = Рт = 0. Соотношения (1.2.24) обеспечивают инвариантность кольца Kt относительно операции частного дифференцирования по Xj .
Заметим, что в отличии от обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2.11), которым удовлетворяли БФ в случае одного пространственного переменного (q = 1) , система уравнений в частных производных (1.2.24) является переопределенной и требует анализа на совместность. Однако, нам для дальнейших построений решений начально-краевых задач в двумерных областях понадобятся лишь некоторые важные частные случаи системы (1.2.24) , для которой БФ выписываются в явном виде. Поэтому анализ на совместность этой системы здесь не проводится.
Для нас важно, что и в случае q 2 справедливо Предложение 1.2.4. Если система функций -Pi(x); ..., Рт(х) удовлетворяет дифференциальным соотношениям (1.2.24); то при соответствующем рекуррентном построении коэффициентов gn() кратный ряд (1.2.23) является формальным решением системы (1.2.22) . Предложение (1-2.4) доказывается аналогично тому, как это было сделано выше для случая q = 1 и проверяется подстановкой ряда (1.2.23) в уравнения (1.2.22), дифференцированием и перемножением рядов с учетом соотношений (1.2.24). Затем после приравнивания выражений при одинаковых степенях jF\ni(x),..., P m(x) коэффициенты ряда gn() будут находиться последовательно из цепочки линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для определения последовательности вычисления коэффициентов ряда gn{t) = {gi{t), 9m{t)) также применима нумерационная функция (1.2.18) .
Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами, согласованными с начальными условиями
Тогда решение задачи Коши (1.2.2), (1.4.11) для уравнения (1.5.12) представимо в виде ряда (1.5.32) по степеням обобщенных БФ (1.5.23); сходящегося в области v\y\t — (п + kv)x 0. Доказательство. Методом математической индукции доказываются неравенства MeJjt M )l ,?2r+1-2r+1, М 0 (L5-35) r0 J которые устанавливаются после сведения условий этой теоремы к условиям теоремы 1.5.2 за счет выбора функции f(t) вида (1.5.34). В этом случае сохраняются все обозначения, принятые в теореме 1.5.2. Уравнения для нахождения коэффициентов щ (1.5.25) имеют вид аналогичный уравнениям (1.5.17) для коэффициентов gn{t) , полученных для кратных специальных рядов по положительным степеням универсальных БФ. Принципиально отличается только порядок нахождения коэффициентов: для рядов (1.2.10), (1.5.13) порядок вычисления коэффициентов задает нумерационная функция (1.2.18), а для ряда (1.5.32), (1.5.23) по степеням обобщенных БФ порядок вычисления коэффициентов задает нумерационная функция (1.4.12). Т.е. все коэффициенты, индексы которых лежат ниже прямой AN (рис. 1 ) и принадлежат Уравнения для нахождения коэффициентов щ (1.5.25) имеют вид аналогичный уравнениям (1.5.17) для коэффициентов gn{t) , полученных для кратных специальных рядов по положительным степеням универсальных БФ. Принципиально отличается только порядок нахождения коэффициентов: для рядов (1.2.10), (1.5.13) порядок вычисления коэффициентов задает нумерационная функция (1.2.18), а для ряда (1.5.32), (1.5.23) по степеням обобщенных БФ порядок вычисления коэффициентов задает нумерационная функция (1.4.12). области G„, находятся последовательно согласно нумерационной функции (1.2.18).
Условия 1 и 2 теоремы 1.5.2 в нашем случае выполняются, а условие 3 (1.5.16) может быть выполнено за счет выбора параметра er(F, 2,2) в условии (1.5.34). Напомним, что в БФ (1.5.23) є = er{F, 2,2) = er(F,N,m) , при N — 2- число членов в правой части уравнений для БФ и т = 2- число БФ. Выбор постоянной М и оценки (1.5.35) доказываются аналогично тому, как это сделано в теореме 1.5.2 . При проведении в виде (1.5.28) с постоянными hij, удовлетворяющими условию (1.5.33). После доказательства неравенств (1.5.35) нетрудно установить область сходимости ряда (1.5.32), (1.5.23). Действительно, при х 0 сходимость ряда очевидна. При х 0 справедливы цепочки неравенств Аналогично доказывается и сходимость рядов для соответствующих частных производных. Т.е. ряд (1.5.32) по степеням обобщенных БФ (1.5.23) является решением задачи Коши (1.2.2), (1.4.11) в указанной полуограниченной области, расширяющейся со временем. Таким образом, теорема 1.5.3 доказана.
Замечание 8. Если обозначить через UNU[X, ) конечную сумму ряда (1.5.32) по степеням обобщенных БФ (1.5.23), состоящую из N слагаемых в момент времени t = t , то при v — 1 сумма «щ(, ) будет частью двойного ряда по степеням универсальных БФ другой стороны, при и 1, UNV(x,t ) —У О при \х\ — со , что соответствует физической картине распространения солитонов [15J. Замечание 9. В некоторых случаях специальные ряды, рассмотренные выше, могут быть использованы для получения точных решений.
Действительно, при представлении решений нелинейных уравнений в виде специальных рядов может оказаться, что ряд "обрывается", т.е. все коэффициенты, начиная с некоторого номера, обращаются в нуль. В этом случае получается точное решение. Для поиска точных решений можно использовать как ряды без функционального произвола, так и ряды, содержащие произвольную функцию. Приведем пример построения точного решения при помощи рядов первого типа на примере уравнения, используемого для описания длинных воли на воде [203], Щ + Ux + C\UUX + C2UXXX + CzUxUxx + C4UUXXX + с5иххххх = 0. (1.5.36) 102 Это уравнение является частным случаем уравнения (1.5.12) поэтому существует класс решений этого уравнения, представимый в виде сходящихся в полуограниченной области х О, t 0 различных специальных рядов. Например, в виде ряда (1.3.1), (1.3.9), зависящего от произвольной функции, в виде двойного ряда (1.5.32) по степеням обобщенных БФ (1.5.23), или в виде кратных рядов (1.2.10), (1.5.13), для которых область сходимости по х определит теорема 1.5.2 . В работе [57] при некоторых условиях на постоянные сг- получены решения в виде уединенных волн. Оказывается, что уравнение (1.5.36) имеет также и периодические решения. Будем искать решение уравнений (1.5.36) в виде тригонометрического ряда [НО]
Построение функций Ляпунова и исследование сходимости ряда (4.1.14)
Покажем, что если условие (2.3.7) не выполняется, то ряд (2.2.3), (2.2.4) будет расходиться при t 1. Возьмем f(t) = 1, т.е. базисная функция имеет вид R\(x, t) = (x2 + l) 1. Рассмотрим для линейного уравнения Щ = (2.3.8) задачу Коши М wM) = rr (2-3-9) Тогда коэффициенты ряда (2.2.3), (2.2.4) удовлетворяют уравнениям = -(n-l)u„_i, п 1, и1(0) = М1 ип{0) = 0 174 и решение задачи (2.3.8) (2.3.9) примет вид u(x, t) = M} V T — Таким образом, n=l и при t 1 ряд расходится. Следовательно, мы показали, что, выбирая функцию f(t), растущую определенным образом, можно установить глобальную сходимость ряда (2.2.3), (2.2.4). В противном случае ряд может расходиться.
Замечание 22. При построении глобальных решений для специального класса нелинейных уравнений в виде согласованных рядов важное значение имеет не только вид этих уравнений (см. также замечание 16 из пункта 2.1.1), но и величина начальных данных.
Если при решении начальной задачи (2.3.9) для линейного уравнения (2.3.8) существенную роль при построении решения играл только выбор функции /(), а величина постоянной М могла быть любой, то для нелинейных уравнений выбор величины М при построении глобальных решений является уже существенным. Рассмотрим для нелинейного уравнения (2.3.6) начальную задачу (2.3.9). Решение будем строить в виде согласованного ряда (2.2.3), (2.2.4) с функцией f(t) = 1 + t. Тогда коэффициенты ряда un(t) определяются из уравнений щ = М, и п = икит, ип(0) = 0, п 2, к+т=п и могут быть найдены в явном виде ип = Mntn-\ Окончательно решение задачи (2.3.6) , (2.3.9) представимо в виде согласованного ряда сумма которого равна М Выражение (2.3.11) является точным решением (2.3.6), (2.3.9) и при М 1 в решении s(x,t) возникает с ростом t особенность, и ряд (2.3.10) также будет расходиться. При 0 М 1 имеем точное глобальное решение s(x,t) поставленной задачи и ряд (2.3.10), сходящийся при всех х и t 0 к этому решению.
При доказательстве сходимости ряда существенную роль сыграл выбор функции f(t), основанный на учете особенности исходного уравнения. Рассмотрим другой пример: щ = их-и + Я(і, и), Я (і, и) = ]Г lm (t)um. (2.3.12) т=2 Подставим ряд (2.2.3), (2.2.4) в уравнение (2.3.12) и получим для определения коэффициентов un(t) последовательность линейных дифференциальных уравнений и п + {п + 1)ип = (f + f)(n-l)un-i + Sn{t), ип(0) = иПо, п 1, (2.3.13) где Ni т sn(t) = j lm(t) Y, ГКм т=2 ПіЧ Ynm=n i=\ Справедлива Теорема 2.3.2. Пусть выполнены следующие условия: 1- 7тМєС[0,оо), І7т(«) 7о, 0; 176 2. для постоянных unQ выполнены неравенства Мп Ы з 0 М М0 = М0(то, Ni), моо = 0; 3. в качестве функции f(t) возьмем f{t)=exp(). Тогда согласованный ряд (2.2.3); (2.2.4) равномерно сходится к решению задачи (2.3.12), (2.2.5) при всех —оо ж оо и t 0. Доказательство. Решение уравнений (2.3.12) в случае /(t)=exp(—t) имеет вид t un(t) = exp[(n + 1)] f ищ + / exp[r(n + 1)}БП(Т)О1Т J, n 1. о Здесь также за счет выбора функции f(t) удалось избавиться от выражения в правой части уравнения (2.3.13), стоящего при коэффициенте ряда ип-\. Т.е. стало справедливым тождество (/ + /)(n-lK-i = 0. Далее методом математической индукции устанавливаются оценки для коэффициентов un(t) аналогично тому, как это было сделано в теореме 2.3.1 М \un(t)\ —гexp(—nt), п 1, t 0, п6 которые и позволяют доказать теорему 2.3.2 .
Таким образом, на примере модельных нелинейных уравнений показано, что выбор функции f(t) является существенным при доказательстве глобальной сходимости ряда (2.2.3), (2.2.4), т.е. за счет выбора произвольной функции f(t) можно сделать так, чтобы соответствующий ряд сходился при всех х и t 0 и позволял получить глобальное решение поставленной задачи Коши. С другой стороны можно так выбрать функцию /(), что соответствующий согласованный ряд будет расходиться. Следовательно, получен положительный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможности за счет выбора произвольной функции, входящей в БФ, влиять на сходимость соответствующих специальных рядов, применяемых для представления решений нелинейных уравнений с частными производными.
В этом параграфе на примере нелинейного уравнения нестационарной фильтрации будут рассмотрены специальные ряды по степеням новых базисных функций, которые могут быть использованы для построения решений нелинейных уравнений (в том числе и с функциональным произволом), опираясь на известные точные решения исходного нелинейного уравнения. Пусть для нелинейного уравнения (1.2.1) известно точное решение So(x,t). Рассмотрим следующий ряд: u(x,t) = S0(M) + ]an(i)#lOM) (2.4.1)
Определение 2.4.1. Если для точного решения So(x,t) уравнения (1.2.1) найдется такая функция R(x,t), что после подстановки ряда (2.4.1) в это уравнение коэффициенты ряда an(t) будут находиться ре-куррентно, то будем говорить, что ряд (2.4.1) согласован с точным решением.
Исследование сходимости как согласованных, так и универсальных рядов является сложной задачей, и для некоторых классов уравнений эта проблема остается нерешенной. Например, таким уравнением является одномерное уравнение нестационарной фильтрации. Поэтому далее рассматриваются специальные ряды, сходимость которых удается исследовать для уравнений этого типа. Оказывается, что в этом случае в качестве нулевого члена ряда следует взять известное точное решение, т.е. построенные ряды будут согласованы и с исследуемым нелинейным уравнением и с известным для него точным решением. Приведем схему построения таких рядов для следующего нелинейного уравнения: Щ = -jr- {сти2) , ст = const, т 1. (2.4.2) При т = 1 это уравнение является одномерным уравнением нестационарной фильтрации [66]. Заметим, что уравнение (2.4.2) принадлежит также к классу уравнений (2.1.16) , удовлетворяет условиям предложения 2.1.3 и допускает построение формального решение в виде согласованного ряда (2.2.3), (2.2.4). Например, коэффициенты согласованного ряда и{х: t) = Y an(t)Rn(x, t) (2.4.3) n=0 с базисной функцией R(x,t) = Ri(x,t) = (ж2 +/(і))-1 при f(t) = 1 удовлетворяют последовательности уравнений ао = const, а п = 2 Е а (т-1)(2т-1)ат_і + 4 X! кактат- (2 4 4) к+т=п к+т=п-1 \ J -4 кактат: п 1. к+т=п-2 Однако, при предлагаемом способе оценке коэффициентов ctn(t) возникает их факториальный рост, не позволяющий доказать сходимость этих рядов. Строго доказать, что данный согласованный ряд расходится, не удается. Косвенным подтверждением этому могут служить следующие рассуждения. Пусть щ = 1/4, тогда в правой части уравнений (2.4.4) будет содержаться слагаемое п2ап-\. Рассмотрим следующую последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений: а п = n2an-i, решением которой являются функции gn(t) = nltn. Следовательно, согласованный ряд (4.1.2) по степеням базисных функций R± с коэффициентами gn(t) будет расходиться при всех t 0.
Поэтому были предложены ряды, для коэффициентов которых удалось получить оценки, гарантирующие сходимость этих рядов в некоторых частных случаях. Рассмотрим построение таких рядов для уравнения (2.4.2) с га = 1, с\ — 1/2 и некоторым известным точным решением So(x,t). Справедливо
Похожие диссертации на Специальные конструкции рядов и их применение для представления решений нелинейных уравнений математической физики
