Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Линейное интегральное уравнение фредгольма первого рода 22
1.1. Об одном классе линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода 22
1.2. О единственности решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода 34
ГЛАВА 2. Система линейных интегральных уравнений фредгольма первого рода 40
2.1. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода 40
2.2. Регуляризация и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода 46
2.3. О единственности решений для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода 53
Литература 62
- Об одном классе линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
- О единственности решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
- Регуляризация и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
- О единственности решений для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода
Введение к работе
Теория интегральных и операторных уравнений первого рода как область теории некорректных задач возникла и развивалась за последние десятилетия.
Интегральные и операторные уравнения Фредгольма возникают в теоретических и прикладных задачах. К ним сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений [2], [35], [48] [52] [55], [56], [60], [77] и большое число прикладных задач (задачи об изучении спектрального состава светового излучения, задачи обработки экспериментальных данных связанных с диагностикой сферической или оссиыетрических плазменных образований [47], задачи автоматического регулирования [64], исследования отражения волн от прямолинейной границы [62], задачи акустики, кинематики и сейсмики [35], [40], [41], [58], [70], [71], задачи электродинамики [42], в том числе задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах [29], [32]).
Новое понятие корректности постановки таких задач в работах А.Н.Тихонова [66], [68], [69], М.М.Лаврентьева [51], [52], [55], и В.К.Иванова [33], [34], [35], отличного от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.
Долгое время математики уходили от обсуждения задач такого типа, считая их лишенными физического смысла.
Впервые на примере обратной задачи теории потенциалов, имеющей непосредственное приложение в геофизике, А.Н.Тихонов [65], переосмыслив известные требования Адамара [1], предъявляемые к задачам математической физики, предложил для восстановления устойчивости сузить область решений до некоторого компакта.
Физическим оправданием такого подхода служило то наблюдение, что на практике, как правило, об искомом решении имеется несколько больше информации, чем это отражено в уравнении.
Так часто, если решение ищется, скажем, в С\0л, то из физических
соображений известно, что
С [0,1]
и'
С [0,1]
а это уже есть компакт в Сил и т.п..
В математическом же отношении обоснованием такого сужения области определения с целью возвращения к задаче устойчивости служит следующая теорема из общей топологии.
Теорема 1. Взаимнооднозначное непрерывное отображение А компакта К
А~ тоже непрерывно.
Применительно к банаховым пространствам X,Y и оператору А (вообще говоря, нелинейному), отображающему компакт К с X непрерывно и взаимнооднозначно на ЛХ с Y, теорему надо переформулировать в следующем виде.
Теорема 2. Существует непрерывная в нуле функция о)(є),а>(0) = 0 такая,
что для всех щ,и2 е К имеет место оценка
:м] - и2\ < со ЦАи , - Аи 2|),
где !; . - нормы в пространствах X и Y соответственно.
В связи с этой теоремой естественно ввести следующее: Определение 1. Задача
Аи = /, А: D(A) -* Y,D(A) с X
называется условно корректной (или корректной по Тихонову) на множестве KqD(A), если существует непрерывная в нуле функция со{є),є>0,cd(0) = О такая, что
Чщ,и2єК [и, - и2\< со(\Аи} - Аи 3|). (*)
Здесь А - произвольный, вообще говоря, нелинейный оператор с областью определения D{A)a:X;XJ- банаховы пространства.
Множество К, на котором выполнена оценка (*), называется множеством корректности {или классом корректности).
Определение корректной по Тихонову задачи введено ММЛаврентьевым [51].
Наиболее полное изложение теории и приложений некорректных задач содержится в работах [24], [25], [26], [34], [35], [46], [51], [53], [54], [55], [57], [59], [60], [66], [69], [70], [71], [74], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [82], [83].
В настоящее время бурно развивается теория и приложения некорректных задач.
В развитие теории и приложений некорректных задач весомый вклад внесли ученые М.М.Лаврентьев, А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П.Танана, В.Г.Романов, Ю.Е.Аниконов, С.П,Шишатский, В.А.Морозов, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, Н.С.Габбасов, С.И.Кабанихин, М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин и др.
Остановимся на некоторых моментах развития теории обратных задач.
Построена теория обобщенных решений интегральных уравнений первого рода и их аппроксимации при помощи методов теории сингулярных возмущений, разработан и применен к аппроксимации экспериментальных данных метод доказательного глобального поиска. (М.И.Иманалиев, П.С.Пашгав, С.Н.Алексеенко).
Вопросы регуляризации решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода в пространстве непрерывных функций изучали М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, С.И.Кабанихин, А.Асанов, А.Сражидинов и др.
Один из классов некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода. К ним приводится большое число прикладных задач,
в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, берется регуляризация решения, т.е. решения получаемые методом регуляризации.
Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решений интегрального уравнений Фредгольма первого рода.
Вопросы регуляризации для операторных и интегральных уравнений исследованы в работах многих авторов, например [4], [5], [6]-[12] [17]-[22], [25], [26], [30], [37], [49], [53], [54], [61], [63], [65], [69], [67], [73], [74], [75], [82].
Различные вопросы для интегральных уравнений Фредгольма первого рода рассматривались в [17], [18], [33], [36], [49], [50], [67].
Первые результаты по регуляризации уравнения Вольтерра было получено в [32]. Вопросы регуляризации, единственности и существования решений интегральных уравнений Вольтерра исследованы в [3], [4], [12], [31], [37], [38], [39], [63], [72], [73], [75], [82].
Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризация и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
Научная новизна работы и ее основные результаты заключаются в следующем.
1.Доказаны теоремы единственности линейных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
2.Построены регуляризирующие операторы в пространстве /^[йг,^].
З.Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств корректностей,
Исходные данные некорректно поставленных задач, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешности, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.
В диссертации развивается метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач.
Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.
Диссертация состоит из двух глав.
В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
В 1.1. рассматривается линейное интегральное уравнение вида
ь
Ки = [K(t,s)n(s)ds = /(/), / є[а,Ъ]^ (1)
K[t,s) =
A(t,s), a
B(t,s\ a
Предполагается, что A(t, s), B[t, s)u f(t) данные функции, u(t)-искомая функция. Используя метод примененный в работе [7] доказана теорема единственности решения уравнения (1) в классе ^[а.б].
В силу (2) уравнение (1) запишем в виде
/ ь
JA(t,s)u(s)ds+ JB(t,s)u(s)ds = f(t) (3)
а і
Умножая обе части (3) на u(t) и интегрируя по t в пределах от а до о,
получим
Ь t ьь ь
j^A(t,s)u{s)u(t)dsdt + jJB(t,s)u(s)it(t)dsdt= \f{t)u(t)dt. (4)
a t
Применяя формулу Дирихле, из (4) имеем
Ь I b s
\\A(t,s)u(s}ii(t)dsdt+ J \B(t,s)u(s)it(t)dtds= \f(t)u(t)d(,
т.е.
b I
I \[A{t, s)+B{s, t)\{s)u(t)dsdt = \f{t)u{t)dt
Обозначим
H{t,sh~[A(t,s)+B(s,tl
Тогда
2 ^H(t,s)u(s)u(t)dsdt = jf(t)u{t)dt, (5)
a a a
Ниже предполагаем, что ядро H{t,s) интегрируемо с квадратом по области, a
ь I
jJH2(t,s)dtds = B2<+w _
(6)
Введём новую функцию M^s)следующим образом
'я(/,4 a
M{t,s) =
(7)
Ясно, что
M(t,s) = M(s,t). Нетрудно убедиться в справедливости равенства
ь ь
M(t,sfdsdt = 2B2 <со.
Тогда, известно, что
мМ=ММ), (8)
где Л, Д2,...-характеристические числа ядра М(/,я), расположенные в порядке возрастания их модуля, |і[|<|Л2|<... и
Теорема 1.1.1. Пусть M[t,s)- полное ядро и 0< Л1 < Л2 <.... Тогда решение уравнения (1) в пространстве L2[ci,b\ единственно.
Доказывая единственность решения уравнения (1), рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построении регуляризирующих уравнений в пространстве Z^la,^],
Случай 1. Семейство множеств корректностей Ма, зависящее от параметра а,
М =<
и(1)е12[а,Ь]:^^\щ\2<с\,
;=1
о0, 0<а<оэ, u,= Uf}pt(t)dt, (/=1,2,...)
Ясно, что если n(t)eMa, то
Mt) < —
Будем предполагать, что /(і)єК(Ма). Тогда уравнение (1) имеет решение
u(t)eMa и справедливо
СО 1
ы л,
D О
|и(г>(('У< = \f(t)u(t)dt
Отсюда
м л,
(9)
С другой стороны
U;
V
i2\
1+a f qj
l+a
2+a J_ JL
T.e. iuit)^ <c^)f(t);\
Отсюда справедлива следующая оценка устойчивости:
(t)
(16)
обозначим через L2([atb];En). Определяя скалярное произведение элементов u(t),3(t)є L2([a,b];En) формулой
[«w,w]= jko^wU
получаем гильбертово пространство. Это скалярное произведение приводит к определению нормы, |<(/)|| элемента u(t) є L2([a,b];En) по формуле
н(0|і= И|и(0|2л
^
где [«,v]„=h,(0v,(0. Н =Su?» u = &)' V = W-
В 2.1. рассматривается линейная система
Ки ее JK(t,s)u{s)ds = f{l\ t е [a,b\
(17)
K{t,s) =
'A(t,s\ a
(18)
а:(/^)-(а:#(г^)|4/^)=(4(/^))д(г^)=(5Дґ^)І
и{і)=Ш\№=Ш)ь12{[а,Ь\Еп).
H{t,s), a
Вводим новую матричную функцию M(t,s) =
где H{t, s) = A(t, s) + В (s, t), В - сопряженная матрица к матрице В.
В силу замечания 9.1 [64] справедлива
"і
^=1
),
\$\s\.$\ik т<ъ,
гдеЦ,\>\Л2 >...
Предположим выполнения следующего условие: а) Все собственные значение Л„ матричного ядра M(t,s) положительны. Теорема 2.1.1. При выполнения условия а) решение системы (17) в пространстве L2[[a,b\,Eii) единственно.
В 2.2. Наряду с (17) рассматривается следующая система уравнений
su(t,s)+ \K(t,s)u(s,s)ds = f{t\ t є (a,b), є > 0 ^m
Случай 1. Выделим семейство множеств корректности, зависящее от параметра а, следующим образом:
Ма=ШеЬг([аДЕп) :^Ка
гдесг>0, 0<а<оо, tt{v) =[ilt\(p{v)(t\{v=\,%.) Так как
2 ^с\,
u{v) = \[и{г\<рЩ\ш,
Ясно, что если u{t)e Ма,
Получена следующая оценка устойчивости
,2+я
НЛ\і2^с^аІЛЛ\ >Q рч ,
i=l
1 p+q
с \2P1
EC " -1
V %
\% J
2(l + а) „,, ч
Отсюда, подставляя p = ,д = 2{[ + а), получим
1 В
Yju^k)
v^fy
ч4",
2(l+e)
(1.1.28)
т.е.
і і
YS:»M*) c2{i+a)-c~4 -*2(М v Vм -*2М,
i=]
3 a(l+3a)
Е^іШ^'Ч40*10-я20*10.
(=1
(1.1.29)
Учитывая (1.1.29), из (1.1.25) имеем
3 «(1+Заг) _ <*_
и(/,^)-и(0
(1.1.30)
Таким образом, доказана
Теорема 1.1.3. Пусть /[і)єК[Ма), i({t) - решение уравнения (1.1.1)
ii\t,E) решение уравнения (1.1.23). Тогда справедлива оценка (1.1.30). Замечание. Если /(ї)є К(м^, то в силу неравенства
f Ш.
Я,
E4!(*NlW I
i=i
J V/-l
2\]
можно улучшить оценку (1.1.30), при «-1, а именно:
a{t,s)-u(t)
V^ J
Случай 2. Будем считать, что ядро M(t,s) положительно определено. Семейство множеств корректностей Мар выделим следующим образом:
МаР=<
оэ аз
»(Оєі2М]:ІнЙҐ^соЕКМія"КІ2-с1'
(=і і=і
где с0 > 0, с > 0, 0 < а < оо, < /7 < а>,
1 + а
і*
Предположим, что f(t)eK[Map), Тогда уравнение (1.1.1) имеет решение u[t)eMap и справедливо
--и/2 <'/(/)«(*).
(1.1.31)
С другой стороны
VI I2
/=1
Y IjJ х]+а
La 3(]+в) Л/ ;'=1 Л-
2 | ]+я <
1=1
А..
2 Л
1+а / да
м,
1+а
(1.1.32)
btfAfWMFc
/=1
1+а
(1.1.321)
Далее, учитывая (1.1.31), (LL321) и что u(t)eMa/j, получим
"(О ^02>/; ^сос^ідо,i+e:«(/)
(=1
(1.1.33)
-«
Умножим обе части неравенства (1.1.33) на [«(/)/+«
»(/)'+« <с0с]+а\f(t)|i^)
Отсюда
.:иИ<
1+й
(1.1.34)
Таким образом, доказана
Теорема 1.1.4. Пусть ядро M\t,s) положительно определено,
Ку^ар)^ ^2[а,ь]- образ Мар при отображении К. Тогда на множестве К[Мар) существует равномерно непрерывный оператор К'\ обратный к К, т.е. справедлива оценка (1.1.34).
1.2. О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим уравнение вида
\K(t,s)u{s)ds^f{}\tz[a,b]
(1.2.1)
K(t,s) =
A(t,s\a
B{t,s\a
Предполагается что A(t,s) и B{tfs) являются дважды непрерывно-дифференцируемые функции соответственно на \(t,s): a
суммируемых функций в \в,Ь\. Вопросы существовании и единственности решения уравнения вида (1.2.1) в классе функций, суммируемых с квадратом т.е. L2[a,b] изучались в [49], [33]. Единственность решения операторных уравнений Вольтера рассмотрена в [10]. Используя метод предложенный в [10] доказывается единственность решения уравнения (1.2.1) в классе 1[й,Ь|.
Будем предполагать выполненными следующие условия:
а) H[t,s)= A{t,s)+B{s,t) имеют производные
H;{t,a), H's(b,s), H';,(t,s)npHBcex (t,s)eG = {(t,s),aЬ};
б) H(b,a)>0, я;(/,а)<0, H's(b,s)>0, tf;M<0;
б) выполняется хотя бы одно из следующих условий:
H't(t,a)< 0 при почти всех t є [a,b\
H's(b,s)> 0 при почти всех s є [a,b\,
Я*(м)< 0 при почти всех (/,s)eG.
В силу (1.2.2), уравнение (1.2.1) запишем в виде
I о
JA(t,s)u(s)ds+ $B(t,s)u(s)ds = /(f). (1.2.3)
a I
Обе части уравнения (1.2.3) умножим на функцию u\t) и полученное произведение интегрируем по области a
Тогда получим
ь і ь ь ь
\\A{t,s)u{s)u (t)dsdt + \\B(t,s)u{s)u{t)dsdt = \f(t)u(t)dt _ (1.2.4)
a I
Применяя формулу Дирихле, из (1.2.4) имеем
b t Ь s
jJA(t,s)u(s)u(t)dsdt+ \\B(t,s)u(s)u(t)dtds= \f(t)u(t)dt,m.e.
а а а а
b !
jj[A(t,s) + B{s,t)]u[s)u{t)dsdt- jf{t)u{t)dt
a a
Обозначим
H(t,s) = A(t,s) + B(s,t). Тогда
b I ь
J JH(t,s)u(s)ds и (t)dt = \f(t)u {t)dt _ (L2<5)
a a a
Введем обозначения
z(t,s)= ju(v)dv t (1.2.6)
Отсюда
dsz\tis) = -u{s)ds> u\s)ds = -dsz\t,s\
z(t,s)u(t)dt--dt(z2(t,s)).
(1.2.7)
С помощью формул (1.2.6), (1.2.7) и интегрирования по частям, использую формулу Дирихле в левой части соотношения (1.2.5) преобразуем его к виду:
b[t "1 *Г I, I "1
- | JH(t, s)dsz{u s) и (фй = - J H{t, s)z(t, sj - JH'S (t, s)z(t, s)ds u{t)dt =
a\_a J at_ Iа a
b t b
H(t, a)z(t, a))i(t)dt - J |Я; (/, s)z(t, s}i (t)dt = ]"//(*, a)z(t, a)u {t)dt +
a a a
bt jb ЬЬ і \b
+
\\H,J[l,s)z[t,s)dsi{t)dt~-\Ut,(^tz%^ -
jb jb b j
— lH,t(t,a)z2(t>a)dt+- j jfl&s^zfys) ds=-n(b,a)z2(b,a)-
,b
1 1 r 1
— JHtt(tfa)z2(t,a)d(+- pfs(t,s(t,s] -[^fasY^dtds^-t^ha^lka)
2a 2a \s s 2
jb ib ibt
— \H't(tfa)z2(tla)dt+~ \ffs(b,sY(b,sfis— \\Hst(t,sY[t,s)dsdt=
=-B(ha(b,a)— \H't(t,a)z2(t,a)dt+- \H[{b,s)z2{ks)ds— \\Frsl(t,s(t,s)dsdt=
-\2
a -\2
h h
dt+-2\H*s(b,s)
ds-
Mtps
=-Я(&,а) \i(s)ds —\Ht{t,<}\
dsdt,
~))н:ы )и{щ,
где z
('.0=o
Таким образом, из (1.2.4) имеем
Ь t , Vb І2 , b Г' T
2 w 1 J w 2
-\2 .. r. ~\2
^H(tys)a(s)dsu{t)dt = -H{b,a\ ju(s)ds —JH',(t,at ju(s)ds dt +
+
)н\(ьМи№4 ds-\]\H:Xt,s\)u{^ dsdt = )f(t)u(t)dt. (1.2.8)
В силу условия а) для любого решения u(t) уравнения (1.2.1) получили (1.2.8). Пусть f[t) = 0. Тогда в силу условий б), в) из (1.2.8) вытекает, что
ъ і
ju(s)ds = 0, ju()d = 0.
a s
Далее в силу условия в)
«(f) =0. Итак доказана следующая теорема
Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение
уравнения (1.2.1) единственно в классе [я,6|. Пример. Рассмотрим уравнение (1.2.1) для
К(х,{) =
і(і-х)'Г,0<*<#<1; -(l-|)V,0< <*(k>l,m>l).
(1.2.9)
тогда
Пользуясь, формулой (1.2.8), получим
(1.2.10)
)\\-хуг&Шх)<ь=\ ЯМі-^Гг1
-а
\u[s)ds
d$t =jf(x)u(x)dxi (1.2.11)
Я(і,0) = 0, Н[(х,) = -к(\ -х)мГ, Н'х(х,0) = О,
.*-' .„ ет-\
Щ{х,{)={\-х)ктГ-1,Н'4№) = Ь Н^) = -к([-х)к-]т
Проверим условия а), б) и в):
а) имеют производные: Н'х(х,0\ Я^(і,), Я^(х,)
при всех (х, ) є G = {(х, )| 0 < < х < і},
б)я(і,о)=о,я;(*,о)=о,яДі,)=о, я;(^)=-л(і-*)*-1иі^"-1йо,
для всех (*,) є G = {(х,)| 0 < < х < lj,
в) Я^(х,) = -(і~х)*",/7і'"~1 <0 при почти всех
(x^G = {(x,
ІДЦі-хГг'
\u(s)ds
~\2
d^dx - 0 _
(1.2.12)
В силу условий в) из (1.2.12) вытекает
\u(s)ds = 0.
Далее в силу условия в) u[t) = 0, т.е. выполняются условия теоремы 1.2.1.
Об одном классе линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
Теория интегральных и операторных уравнений первого рода как область теории некорректных задач возникла и развивалась за последние десятилетия.
Интегральные и операторные уравнения Фредгольма возникают в теоретических и прикладных задачах. К ним сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений [2], [35], [48] [52] [55], [56], [60], [77] и большое число прикладных задач (задачи об изучении спектрального состава светового излучения, задачи обработки экспериментальных данных связанных с диагностикой сферической или оссиыетрических плазменных образований [47], задачи автоматического регулирования [64], исследования отражения волн от прямолинейной границы [62], задачи акустики, кинематики и сейсмики [35], [40], [41], [58], [70], [71], задачи электродинамики [42], в том числе задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах [29], [32]).
Новое понятие корректности постановки таких задач в работах А.Н.Тихонова [66], [68], [69], М.М.Лаврентьева [51], [52], [55], и В.К.Иванова [33], [34], [35], отличного от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.
Долгое время математики уходили от обсуждения задач такого типа, считая их лишенными физического смысла. Впервые на примере обратной задачи теории потенциалов, имеющей непосредственное приложение в геофизике, А.Н.Тихонов [65], переосмыслив известные требования Адамара [1], предъявляемые к задачам математической физики, предложил для восстановления устойчивости сузить область решений до некоторого компакта. Физическим оправданием такого подхода служило то наблюдение, что на практике, как правило, об искомом решении имеется несколько больше информации, чем это отражено в уравнении. Так часто, если решение ищется, скажем, в С\0л, то из физических соображений известно, что а это уже есть компакт в Сил и т.п.. В математическом же отношении обоснованием такого сужения области определения с целью возвращения к задаче устойчивости служит следующая теорема из общей топологии. Теорема 1. Взаимнооднозначное непрерывное отображение А компакта К zX ъ хаусдорфово пространство Y есть гомеоморфизм, т.е. отображение А тоже непрерывно. Применительно к банаховым пространствам X,Y и оператору А (вообще говоря, нелинейному), отображающему компакт К с X непрерывно и взаимнооднозначно на ЛХ с Y, теорему надо переформулировать в следующем виде. Теорема 2. Существует непрерывная в нуле функция о)(є),а (0) = 0 такая, что для всех щ,и2 е К имеет место оценка где !; . - нормы в пространствах X и Y соответственно. В связи с этой теоремой естественно ввести следующее: Определение 1. Задача называется условно корректной (или корректной по Тихонову) на множестве KQD(A), если существует непрерывная в нуле функция со{є),є 0,CD(0) = О такая, что Чщ,и2єК [и, - и2\ со(\Аи} - Аи 3). ( ) Здесь А - произвольный, вообще говоря, нелинейный оператор с областью определения D{A)a:X;XJ- банаховы пространства. Множество К, на котором выполнена оценка ( ), называется множеством корректности {или классом корректности). Определение корректной по Тихонову задачи введено ММЛаврентьевым [51]. Наиболее полное изложение теории и приложений некорректных задач содержится в работах [24], [25], [26], [34], [35], [46], [51], [53], [54], [55], [57], [59], [60], [66], [69], [70], [71], [74], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [82], [83]. В настоящее время бурно развивается теория и приложения некорректных задач. В развитие теории и приложений некорректных задач весомый вклад внесли ученые М.М.Лаврентьев, А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П.Танана, В.Г.Романов, Ю.Е.Аниконов, С.П,Шишатский, В.А.Морозов, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, Н.С.Габбасов, С.И.Кабанихин, М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин и др.
О единственности решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
Остановимся на некоторых моментах развития теории обратных задач. Построена теория обобщенных решений интегральных уравнений первого рода и их аппроксимации при помощи методов теории сингулярных возмущений, разработан и применен к аппроксимации экспериментальных данных метод доказательного глобального поиска. (М.И.Иманалиев, П.С.Пашгав, С.Н.Алексеенко).
Вопросы регуляризации решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода в пространстве непрерывных функций изучали М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, С.И.Кабанихин, А.Асанов, А.Сражидинов и др. Один из классов некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода. К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, берется регуляризация решения, т.е. решения получаемые методом регуляризации. Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов регуляризации и единственности решений интегрального уравнений Фредгольма первого рода. Вопросы регуляризации для операторных и интегральных уравнений исследованы в работах многих авторов, например [4], [5], [6]-[12] [17]-[22], [25], [26], [30], [37], [49], [53], [54], [61], [63], [65], [69], [67], [73], [74], [75], [82]. Различные вопросы для интегральных уравнений Фредгольма первого рода рассматривались в [17], [18], [33], [36], [49], [50], [67]. Первые результаты по регуляризации уравнения Вольтерра было получено в [32]. Вопросы регуляризации, единственности и существования решений интегральных уравнений Вольтерра исследованы в [3], [4], [12], [31], [37], [38], [39], [63], [72], [73], [75], [82]. Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризация и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Научная новизна работы и ее основные результаты заключаются в следующем. 1.Доказаны теоремы единственности линейных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода. 2.Построены регуляризирующие операторы в пространстве / [ЙГ, ]. З.Получены оценки устойчивости в разных семействах множеств корректностей, Исходные данные некорректно поставленных задач, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешности, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный. В диссертации развивается метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач. Полученные теоретические результаты могут быть применены в различных областях науки и техники. Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из двух глав. В первой главе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
Регуляризация и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода
Последние равенства дифференцируем еще раз по s, получим Ядро JW(/,J) удовлетворяет условию M(t,0)=M(t,\)=Q и формула(1.1.17)дает, p(o)=p(l) = 0, т.е. мы можем брать только те решения уравнения (1.1.18), которые удовлетворяют предельным условиям: р(0)= p{l) = 0. Уравнения (1.1.18) интегрируются в элементарных функциях и поставленная для него предельная задача может иметь решения, отличные от нуля только при Яп = п ж , и эти решения будут PAS) sinrtfls. Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1.17) К фАІ) можно убедиться, что Яп - характеристические числа, (p„{s) собственная функция уравнения (1.1.18). Отсюда мы имеем следующие формулы:
Отметим, что интегральные уравнения Вольтера первого рода или интегральные уравнения, сводящиеся к ним, ранее изучались частности в [4], [19], [37], [54], где были получены теоремы единственности, устойчивости и регуляризации. В данном случае, доказывали единственность решения уравнения (1.1.1), а теперь рассмотрим вопросы о регуляризации и устойчивости решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода в пространстве L2 [a,b\. Случай 1. Будем считать, что для ядра M\t,s) выполнено условие теоремы 1.1.1. Семейство множеств корректностей Mai зависящее от параметра СС, о0, 0 аг со, щ = Щср{ 1, (/=1,2,...). а Ясно, что если и\1)єМа, то u(t), — Будем предполагать, что f(t)eK(Ma). Тогда уравнение (1.1.1) имеет решение u(t)eMa и справедливо Таким образом, доказана Теорема 1.1.2. Пусть ядро Л/(ґ,я]положительно определено, K[Ma) z Ь2уаЬ - образ Ма при отображении К. Тогда на множестве К\Ма)оператор К \ обратный к К, равномерно непрерывен с гёльдеровым ОС показателем , т.е. справедлива оценка (1.1.22). 2 + а Покажем, что решение уравнения будет регуляризирующим для уравнения (1.1.1) на множестве М а. В самом деле, сделав следующую подстановку в уравнение (1.1.23) u(t,e)=u(t)+%(t,s), где ii\t)e Ма - решение уравнения (1.1.1), получим Отсюда учитывая (1.1.8), и умножая уравнения (1.1.24) на (/,) и интегрируя, имеем где 4І\Є)- коэффициенты Фурье для функции %(і,є), по ортонормированной системе І ДОіГ Применяя неравенство Гёльдера при Р Ч= , из (1.1.25) получим.
О единственности решений для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода
Физическим оправданием такого подхода служило то наблюдение, что на практике, как правило, об искомом решении имеется несколько больше информации, чем это отражено в уравнении.
Так часто, если решение ищется, скажем, в С\0л, то из физических соображений известно, что а это уже есть компакт в Сил и т.п.. В математическом же отношении обоснованием такого сужения области определения с целью возвращения к задаче устойчивости служит следующая теорема из общей топологии. Теорема 1. Взаимнооднозначное непрерывное отображение А компакта К zX ъ хаусдорфово пространство Y есть гомеоморфизм, т.е. отображение А тоже непрерывно. Применительно к банаховым пространствам X,Y и оператору А (вообще говоря, нелинейному), отображающему компакт К с X непрерывно и взаимнооднозначно на ЛХ с Y, теорему надо переформулировать в следующем виде. Теорема 2. Существует непрерывная в нуле функция о)(є),а (0) = 0 такая, что для всех щ,и2 е К имеет место оценка :м] - и2\ со ЦАи , - Аи 2), где !; . - нормы в пространствах X и Y соответственно. В связи с этой теоремой естественно ввести следующее: Определение 1. Задача Аи = /, А: D(A) - Y,D(A) с X называется условно корректной (или корректной по Тихонову) на множестве KQD(A), если существует непрерывная в нуле функция со{є),є 0,CD(0) = О такая, что Чщ,и2єК [и, - и2\ со(\Аи} - Аи 3). ( ) Здесь А - произвольный, вообще говоря, нелинейный оператор с областью определения D{A)a:X;XJ- банаховы пространства. Множество К, на котором выполнена оценка ( ), называется множеством корректности {или классом корректности). Определение корректной по Тихонову задачи введено ММЛаврентьевым [51]. Наиболее полное изложение теории и приложений некорректных задач содержится в работах [24], [25], [26], [34], [35], [46], [51], [53], [54], [55], [57], [59], [60], [66], [69], [70], [71], [74], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [82], [83].
В настоящее время бурно развивается теория и приложения некорректных задач. В развитие теории и приложений некорректных задач весомый вклад внесли ученые М.М.Лаврентьев, А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П.Танана, В.Г.Романов, Ю.Е.Аниконов, С.П,Шишатский, В.А.Морозов, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, Н.С.Габбасов, С.И.Кабанихин, М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин и др. Остановимся на некоторых моментах развития теории обратных задач.
Построена теория обобщенных решений интегральных уравнений первого рода и их аппроксимации при помощи методов теории сингулярных возмущений, разработан и применен к аппроксимации экспериментальных данных метод доказательного глобального поиска. (М.И.Иманалиев, П.С.Пашгав, С.Н.Алексеенко).
Вопросы регуляризации решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода в пространстве непрерывных функций изучали М.И.Иманалиев, А.С.Апарцин, А.Л.Бухгейм, А.М.Денисов, С.И.Кабанихин, А.Асанов, А.Сражидинов и др.
