Содержание к диссертации
Введение
1 Задача Дирихле . 21
1. Постановка задачи. Формулировка основного результата 21
2. Регуляризация задачи. Априорные оценки 25
3. Оценка модуля градиента в строго внутренних подобластях 29
4. Оценка модуля градиента на границе 42
5. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях. 49
6. Доказательство основного результата. Единственность решения 60
7. Некоторые обобщения. 63
8. Параболическая задача 79
2 Задача Неймана . 85
1. Постановка задачи. Формулировка основного результата 85
2. Регуляризация. Априорные оценки 90
3. Оценка максимума модуля градиента решения на границе области. 94
4. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях 116
5. Доказательство основного результата. Теорема единственности . 123
6. Некоторые обобщения 127
Список литературы. 138
- Регуляризация задачи. Априорные оценки
- Доказательство основного результата. Единственность решения
- Регуляризация. Априорные оценки
- Доказательство основного результата. Теорема единственности
Введение к работе
Актуальность работы. Теория разрешимости и регулярности решений краевых задач для неравномерных эллиптических уравнений начала формироваться во второй половине 20 века. В работах С.Н. Берн-штейна, И.Я. Бакельмана, Дж. Серрина, А.В. Иванова, О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой, Д. Гилбарга, Н. Трудингера и других авторов достаточно полно изучена проблема разрешимости и регулярности решений для различных классов эллиптических уравнений, характер неравномерности которых описывается специальными ограничениями на поведение квадратичной формы, образуемой матрицей старших коэффициентов, а также на согласование старших и младших членов уравнений [1-4].
В последнее десятилетие началось интенсивное исследование более широких классов неравомерно эллиптических уравнений, так называемых (р, q. Числа р и q характеризуют степенной характер роста собственных чисел главной матрицы уравнения относительно модуля градиента решения. К необходимости изучения уравнений и систем уравнений этих классов приводят некоторые задачи математического моделирования процессов, происходящих в материалах, обладающих способностью изменять свойства под действием электромагнитного поля и температуры.
Наиболее полные результаты о разрешимости и регулярности получены для решений вариационных задач с (р, локально внутри области рассмотрения. Отметим, что при доказательстве классической разрешимости краевых задач для неравномерно эллиптических уравнений одним из самых важных и трудоемких этапов является получение априорной оценки максимума модуля градиента решения в замыкании предписанной области. Наличие этой оценки позволяет применить к изучаемому уравнению известные результаты теории регулярности для равномерно эллиптических уравнений. Для наиболее общего класса (р, [7].
Цель работы. Целью диссертации является исследование разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана для класса (р,
указать допустимый интервал q — р для показателей неравномерности q и р уравнения, при котором существует классическое решение. Ключевым моментом доказательства разрешимости краевых задач является получение априорных оценок С1-норм решений регуляризованных задач в замыкании области рассмотрения, равномерных по параметру аппроксимации.
Методика исследования. Использованный в диссертационной работе математический аппарат представляет развитие методов исследования теории линейных и квазилинейных эллиптических уравнений. Существенно используются интегральные методы получения априорных оценок решений и их производных, теоремы вложения и интерполяционные неравенства для пространств Соболева, метод регуляризации, построение и применение различных итерационных схем. При изучении краевой задачи Дирихле применен принцип максимума Александрова.
Научная новизна и значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер, она вносит существенный вклад в теорию (р, [р,
Практическая ценность. Результаты работы могут быть применены в теории гидромеханики квазиньютоновских жидкостей, а также при изучении процессов, происходящих в жидкостях и материалах, обладающих способностью изменять свои свойства под действием электромагнитного поля и температуры.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математической физики СПбГУ и на семинаре лаборатории методов математической физики ПОМП РАН им. В.А. Стеклова. Основные результаты опубликованы в работах [1—3] (список приведен в конце автореферата).
Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 142 страницы, состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 40 наименований. Первая глава включает в себя 8 параграфов, вторая — 6 параграфов.
Регуляризация задачи. Априорные оценки
При условии р = q,p 1, уравнение (0.1) является равномерно эллиптическим. Теория обобщенной и классической разрешимости краевых задач для таких уравнений сформировалась к концу 60-х годов XX века. Основные результаты этой теории достаточно полно изложены в монографиях С.В.Money [33], G.Gilbarg a, N.Trudinger a [10] и О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [20].
Формирование теории разрешимости для квазилинейных уравнений началось с развития теории разрешимости линейных уравнений и исследования регулярности их решений. Так в 30-е годы J.Schauder oM была доказана теорема о существовании решений в пространстве Cl+a, I 2, первой краевой задачи для линейного уравнения с гладкими коэффициентами. Аналогичный результат для других краевых задач был получен к 1957 году C.Miranda и R.Fiorenza.
Понятие обобщенного решения для различных типов уравнений начало формироваться еще в 20-30-е годы XX века в работах G.C.Evans a, N.Wiener a, С.В.Money, А.А.Фридмана, K.O.Friedrichs a, С.Л.Соболева, J.Leray, Н.М.Гюнтера и других математиков. Этими авторами был предложен ряд способов.определения обобщенных решений и доказаны первые результаты об их существовании. Анализируя все эти подходы, в конце 40-х годов О.А.Ладыженской было сформулировано ставшее впоследствии классическим определение обобщенного решения краевых и начально-краевых задач для! различных типов уравнений с помощью интегральных тождеств.
В начале 50-х годов K.O.Friedrichs oM, F.E.Browder oM, L.Nirenberg oM и другими математиками были установлены теоремы о существовании у обобщенных решений соболевских производных высоких порядков. В конце 50-х годов E.De Giorgi и J.Nash независимо друг от друга доказали теорему о С "-регулярности обобщенных решений линейных дивергентных уравнений простейшего вида (без предположения о гладкости матрицы старших коэффициентов). Спустя несколько лет в работах С.В.Money, G.Stampacchia, О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой этот результат был распространен на случай общего вида линейных уравнений дивергентной структуры. Дифференциальные свойства обобщенных решений краевых задач для линейных уравнений были позднее подробно исследованы в работах О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, О.А.Олейник, G.Stampacchia, J.Serrin a, N.Trudinger a и других математиков.
Для равномерно эллиптических квазилинейных уравнений дивергентного вида теория классической и обобщенной разрешимости краевых задач была разработана к началу 70-х годов. Результаты этой теории, а также основные теоремы о регулярности решений достаточно полно изложены в монографиях [10] и [20]. В случае двух независимых переменных (п = 2) исследование разрешимости и регулярности решений продвигалось значительно быстрее, чем в случае п 2. Наиболее значимые результаты при п = 2 были получены уже к концу 30-х годов С.Н.Бернштейном, Е.НорГом, J.Schauder oM, R.Cacciopolli и J.Leray. Начало 60-х годов отмечено большим количеством новых работ о классической и обобщенной разрешимости, а также регулярности решений многомерных краевых задач для квазилинейных уравнений дивергентного вида. Среди этих работ наибольшую известность приобрели публикации C.B.Morrey, G.Stampacchia, О.А.Олейник, О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, E.De Giorgi, M.Miranda и N.Trudinger a. Доказательство установленных теорем о существовании гладких решений краевых задач для эллиптических уравнений дивергентной структуры базируется на теоремах J.Leray и J.Schauder a о неподвижных точках вполне непрерывных операторов. Основным условием в этих теоремах является наличие глобальной априорной оценки норм решений в пространстве С1+а(р,). Для широкого класса уравнений эта оценка была выведена О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [20]. Существование обобщенных решений краевых задач равномерно эллип тических дивергентных уравнений было доказано применением теории монотонных операторов и метода Галеркина ( [27], [20]).
Доказательство основного результата. Единственность решения
Другой метод доказательства обобщенной разрешимости краевых задач основан на построении гладких аппроксимаций, применении для приближенных задач результатов теории классической разрешимости и получении равномерных по параметру аппроксимации оценок норм решений приближенных задач.Таким образом, выяснилась важная роль получения априорных оценок различных норм решений при исследовании вопросов разрешимости и регулярности.
С начала 60-х годов XX века большое внимание было уделено изучению различных классов неравномерно эллиптических уравнений. Как правило, характер неравномерности описывался условиями на поведение формы ai.(x,u,)\i\j в зависимости от угла между векторами и Л Є Rn. К таким уравнениям относятся, например, уравнения поверхностей с заданной средней кривизной. Исследование вопросов разрешимости задач Дирихле для различных классов неравномерно эллиптических уравнений проведено в обширной работе J.Serrin a [34].
Как нетрудно видеть, класс регулярно эллиптических уравнений включает в себя класс равномерно эллиптических уравнений с "естественным" уело-виєм на порядок роста по градиенту функции правой части: \В(х,и,)\ с(1 + 2). Кроме того, в класс регулярно эллиптических уравнений входят (р, q)- нелинейные эллиптические уравнения, имеющие порядок неравномерности q-p l. (0.9)
Внимание к регулярно эллиптическим уравнениям обусловлено схожестью свойств их решений с решениями равномерно эллиптических уравнений. Для гладких решений регулярно эллиптических уравнений в работе [34] выведена априорная оценка 2). Использованный для этого метод основан на построении барьерной функции и применении принципа максимума. Таким же методом О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева [20], а также А.В.Иванов [18] установили оценку 2) для решений несколько более общих классов уравнений. Условие (0.8) авторами было заменено менее ограничительными условиями, которые, однако, не позволяют снять ограничение (0.9) на разброс q — р для (р, д)-нелинейных уравнений вида (0.1) даже в простейшем случае щ = a,i(ux), b = b(x).
Для решений регулярных по Серрину и близких к регулярным уравнений вида (0.5) при ограничениях специального вида на согласование порядков роста по градиенту функций A(j, В и их частных производных по своим аргументам в работах [34], [20], [17], [18], [10] установлены априорные оценки вида 3). Эти результаты позволили доказать существование классических решений краевых задач. Если уравнение (0.1) записать в недивергентной форме, то к нему можно применить упомянутые результаты лишь при выполнении дополнительных предположений на рост по аргументу первых и вторых частных производных функций Ь(х, и, ) и щ(х, и, ) соответственно. Однако, в настоящей работе уравнение (0.1) рассматривается в предположении меньшей гладкости образующих его функций.
В работах С.Н.Бернштейна, J.Leray, J.Serrin a, И.Я.Бакельмана и А.В.Иванова для некоторых классов неравномерно эллиптических уравнений, не являющихся регулярными, установлены априорные оценки решений вида 1), 2), 3) и доказаны теоремы о классической разрешимости. Это классы уравнений, главная матрица Ац и функция правой части В которых имеют специальную структуру, а кривизна границы области Q связана с функцией В условиями специального вида ( уравнения типа уравнений минимальной поверхности). Для изучаемого уравнения (0.1) в настоящей работе не предполагаются выполненными такие ограничения. Примерами уравнений из опи санного класса являются: 1) уравнение поверхности и = и(х) в пространстве R", имеющей заданную среднюю кривизну 1С ф 0: ((1 + К2)% - их.их.)их.х. = пЩ + К2)2; (0.10) 2) уравнение свободной поверхности и = и{х) покоящейся жидкости под действием сил гравитации и сил поверхностного натяжения: ((1 + \ux\2)5ij - ux.ux.)uXiX. = си(1 + \их\2) ] (0.11) Попытка получения аналогичных локальных оценок в приграничных подобластях приводит к необходимости распрямления границы. Однако, как легко видеть, при переходе к новым переменным у = у(х) в уравнении (0.12) условия (0.13)-(0.14) перестают выполняться. Этим объясняется невозможность применения вблизи границы тех методов, которыми были получены локальные внутренние оценки Ь-норм градиентов обобщенных решений уравнений вида (0.12) при условиях (0.13)-(0.14).
Регуляризация. Априорные оценки
Представляет интерес работа G.M.Lieberman a [25], в которой рассмотрен достаточно общий класс неравномерно эллиптических и параболических уравнений дивергентной структуры. Для максимумов модулей градиентов решений этих уравнений в ней получена локальная внутренняя оценка. Как отмечает G.M.Lieberman, этот результат, в частности, применим к уравнениям анизотропной структуры, а также — к (р, д)-нелинейным уравнениям в случае q — р 2. Кроме того, в работе [25] отмечено, что изложенный там метод может быть использован и для получения оценки максимума модуля градиента решения на границе области Q, но лишь в случае нулевого граничного условия Неймана.
Отметим, что класс уравнений рассматриваемой: нами структуры (0.1),(0.3)-(0.5), включают в себя уравнения Эйлера для различных классов функционалов. Например, с начала 70-х годов XX века и по настоящее время интенсивно изучались вариационные задачи для функционалов с неравномерным ростом интегранта. В частности, был рассмотрен интегральный функционал вида F[u;Q]= ff{ux)dx, (0.15) где Q — ограниченная область вЖп, п 2, и : Q ч- RN — вектор-нозначная функция, N 1, / : RnN -ї R. Основным предположением являлось условие (р, q) - роста интегранта /: к\р-сг т с2(і+т, кр д. (Оле) В скалярном случае (N = 1) P.Marcellini в [29] и [30] доказал локальную Нерегулярность экстремалей функционала F при условии / Є С2 и т(1 + КГ2)А2 JT fu Wi М(І + f Г2)Л2, \,І Є Г, (0.17) Этот результат был установлен при следующих условиях на показатели р и 9 2 Р q р. (0.18) п Позднее, в статье L.Esposito, F.Leonetti, G.Mingione [И], были ослаблены требования на интегрант /: условие С2-гладкости было заменено требованием / Є С1, а вместо условия (0.17) для / предполагалось выполненным следующее требование выпуклости: а/Й) + (1 - )/(&) - /Ki + (1- а)6) т(1-а)(1 + Єі2 + 62)ІЄі-62, где i, 2 Є R", а Є (0,1]. В этих предположениях в [И] установлена локальная непрерывность по Липшицу локального минимайзера функционала F при ограничении 72 + 1 ,„ п, і Р q р- (0.19) п Случай N 1 изучен в предположении, что интегрант функционала F зависит только от модуля градиента функции и. Для таких функционалов в работах итальянских математиков L.Esposito, F.Leonetti, G.Mingione, P.Marcellini, E.Mascolo, G.Cuipini, M.Guidorzi, F.Siepe, A.P.Migliorini ( [28], [11], [31], [23], [24], [9]) исследовалась регулярность локальных минимайзе-ров функционалов вида (0.15). В частности, было показано, что локальный минимайзер локально непрерывен по Липшицу, а его градиент принадлежит пространству WlioJfi)- Для функционалов с интегрантом f{ux) = g{Wx\) в статье H.J.Choe [7] доказана С1+а- гладкость локально ограниченных ми-нимайзеров при условии д Є С3 и ограничении l p q p+l. Отметим также, что в работе P.Marcellini [28], а также в работе G.Cuipini, M.Guidorzi, E.Mascolo [9] установлена локальная ограниченность градиента локального минимайзера для интегрального функционала более общего вида, чем (0.15). Точнее, там изучены функционалы, интегранты которых имеют вид / = f(x, \их\).
Развернутый анализ известных к настоящему времени результатов о существовании и регулярности локальных минимайзеров интегральных функционалов, в том числе и функционалов с неравномерным ростом интегранта, приведен в обзорной работе G.Mingione [32].
В работе M.Bildhauer a [5] сформулированы достаточно общие условия на поведение интегранта функционала, позволяющие доказать существова-..ние, единственность и регулярность (локальную, внутри области рассмотрения) решения соответствующей вариационной задачи.
Ограничение (0.28) гарантирует выполнение следующего свойства для ми-нимайзера и класса V функционала (0.27): \их\р G L1+5(Vt) с некоторым S 0, причем норма иа;р ін- (п) оценивается через данные задачи ( [16]). В работе [3] при условии (0.28) на показатель р{х) получена локальная априорная оценка нормы Гельдера решений уравнения Эйлера для функционала (0.27). При том же ограничении на показатель р(х) для локальных минимайзеров функционалов вида (0.24) при условии (0.25) в [1], [37] установлена локальная непрерывность по Гельдеру в случае N 1. Более того, если дополнительно предполагать функцию р(х) непрерывной по Гельдеру, а интегрант f(x, и, ) - С2-гладким по переменной , то при некоторых условиях на порядки роста по вторых производных функции / в работах [1], [8] установлена локальная непрерывность по Гёльдеру градиента локального минимайзера функционала (0.24) при условии (0.25), N 1.
Анализируя приведенные факты, заключаем, что большинство результатов о регулярности для решений неравномерно эллиптических уравнений, а также для минимайзеров интегральных функционалов с неравномерным ростом интегранта, получены для строго внутренних подобластей области рассмотрения. Установленные же к настоящему времени граничные оценки для градиентов решений неравномерно эллиптических уравнений требуют существенных структурных ограничений на функции, составляющие уравнение. Как было отмечено выше, в данной работе мы не предполагаем выполненными такого рода структурные ограничения.
Доказательство основного результата. Теорема единственности
Большое количество работ разных авторов посвящено исследованию начально-краевых задач для параболических уравнений. Основные результаты о разрешимости и регулярности решений для линейных, а также квазилинейных равномерно параболических уравнений были установлены к 70-м годам XX века. Наиболее подробное изложение этих результатов приведено, например, в монографиях [21], [26]. Там же, а также в [25], [18] изучены и некоторые классы неравномерно параболических уравнений. В сущности это классы параболических аналогов неравномерно эллиптических уравнений, исследованных в [20], [10] и [18]. В работах [18], [21], [25], [26] установлены как строго внутренние, так и граничные априорные оценки норм решений рассматриваемых там классов неравномерно параболических уравнений, причем достаточными условиями для получения граничных оценок являются ограничения специального вида на порядки роста по градиенту для функций, образующих уравнение. Основные работы для неравномерно параболических уравнений последних пяти лет посвящены исследованию вопросов регулярно сти решений параболических уравнений и систем, характеризующихся p(x,t) - ростом по градиенту собственных чисел главной матрицы (см., например, [2], [4]). Однако, полученные для таких уравнений результаты носят строго локальный характер, до настоящего времени остается нерешенным вопрос о регулярности их решений вблизи боковой поверхности цилиндра.
Мы не будем проводить здесь подробный анализ имеющихся результатов для неравномерно параболических уравнений, поскольку не ставим своей целью исследование (р, -нелинейных параболических уравнений. Мы лишь покажем, что установленные в настоящей работе результаты разрешимости краевых задач для эллиптических (р, -нелинейных уравнений позволяют доказать существование решений начально-краевых задач для некоторого класса простейших (р, д)-нелинейных параболических уравнений (см. 8 первой главы).
Идея применяемого метода состоит в построении регуляризации для каждой из исследуемых краевых задач. Для норм решений регуляризованных задач в пространстве V = W Q) П W {0) будут получены равномерные по параметру глобальные оценки, что позволит использовать общую теорию разрешимости равномерно эллиптических квазилинейных уравнений ( [10], [20]).
Нетрудно видеть, что диапазоны q—p, при которых в диссертации установлены граничные оценки градиента решения при краевых условиях Дирихле и Неймана, являются более узкими, чем тот диапазон, при котором установлена локальная внутренняя оценка максимума модуля градиента решения в строго внутренних подобластях.
Полученные граничные оценки градиента решения при краевых условиях Дирихле и Неймана сформулированы в работе в виде самостоятельных утверждений. Эти утверждения являются принципиально новыми результатами. На их основе в работе впервые установлены априорные оценки максимума модуля градиента решения (р, д)-нелинейных уравнений в приграничных подобластях.
Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию краевой задачи Дирихле. В параграфе 1 описана постановка задачи и сформулирована основная теорема о ее.разрешимости. Построению регуляризации и получению равномерных по параметру приближения глобальных априорных оценок для норм решений приближенных задач в пространствах L(fi) и W (fi) посвящеіг второй параграф. В 3 для решений регуляризованных уравнений установлена равномерная по параметру локальная внутренняя оценка в пространстве V = W Q nW O). Для этого проведена модификация метода П.Марчеллини [30] получения оценки (0.29). В результате для решений регуляризованных задач оценка (0.29) установлена при менее жестких условиях на младшие члены уравнения, что существенно используется при рассмотрении параболических уравнений ( см. 8 главы 1). В четвертом параграфе получена равномерная по параметру оценка максимума модуля градиента решения регуляризованных задач на границе области рассмотрения. Этот результат позволяет вывести приграничные оценки норм решений приближенных краевых задач в пространстве V (см. параграф 5). В шестом параграфе на базе установленных априорных оценок норм приближенных решений доказан основной результат первой главы — теорема о разрешимости (формулировка этой теоремы приведена в 1). Там же рассмотрен вопрос о единственности решения изучаемой краевой задачи Дирихле.
Во второй главе диссертации исследована краевая задача Неймана. По становка задачи и формулировка основной теоремы о существовании клас сического и сильного обобщенного решения приведена в первом параграфе главы 2. В 2 описано построение регуляризации и установлены равномер ные по параметру глобальные оценки норм решений регуляризованных за дач в пространствах L(Q,) и И (Г2). Третий параграф посвящен получению равномерной по параметру приближения оценки на границе области для мак симумов модулей градиентов решений приближенных задач. На ее основе в 4 выведена глобальная оценка норм решений регуляризованных задач в про странстве V = W ity П W{&) Последняя оценка позволяет установить основной результат второй главы.
На основе этих оценок в третьем параграфе установим основную априорную оценку для решения и6 — оценку максимума модуля градиента на границе области Q. Для получения этого результата предварительно получим оценку в приграничных подобластях Lh- нормы полного градиента решения, h — h(n,p,q) р, через его же норму в пространстве LP. Далее, построим семейство некоторых функций Vm, т то = mo(n,p,q) О, каждая из которых составлена из суммы квадрата касательной компоненты градиента решения иг и квадрата его нормальной составляющей с весом специального вида. Мы выведем для этих функций интегральные неравенства, из которых с помощью итераций, устремляя параметр m к бесконечности, получим оценку нормы касательной составляющей градиента решения ие в пространстве L00 через оцененную на первом этапе іЛ-норму полного градиента ие. Тем самым, получим оценку максимума модуля касательной составляющей градиента в окрестности границы. Опираясь на краевое условие (2.2), отсюда выведем искомую оценку максимума модуля полного градиента на границе области Q.
