Введение к работе
Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова. Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова. СИ. Кабанихина, А.И. При-лепко. А.Х. Амирова, Е.Г. Саватсева, Е.С. Глушковой, Д.И. Смушковой, Т.Ж. Елдссбасва. A. Lorcnzi, A.M. Денисова. М. Grasscli. М. Клибанова, М. Ямамото. Следует отмстить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных нежели в настоящей работе методов и при этом разрешимость устанавливалась в других пространствах.
Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости, единственности и устойчивости нелинейных обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной цилиндрической области в случае неизвестных коэффициентов, зависящих от времени.
Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового нелинейного "нагру-жснного"уравнения. Доказывается существование регулярного решения прямой краевой задачи и возможность построения с его помощью решения исходной обратной задачи. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методе регуляризации и методе
неподвижной точки.
Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты:
Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.
Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.
Исследована разрешимость начально-краевых задач для нелинейных "нагруженных" гиперболических и пссвдогинерболичсских уравнений.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для других классов гиперболических уравнений.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:
на конференции "Студенческая наука в действии", г. Стсрлитамак, СГПИ, 2003 г.;
на семинаре по теории дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.н.. профессора К.Б.Сабитова, (г. Стсрлитамак, США, Стерлитамакский филиал АН РБ, 2003 2009гг.);
на конференции "Современные проблемы физики и математики", г. Стсрлитамак, 2004г.;
на семинаре "Нсклассичсскис уравнения математической физи-ки"под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И.Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им С.Л.Соболева СО РАН. 2005 2007гг.):
на конференции "Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования", (г. Ханты-Мансийск, 2005г.);
на конференции "Региональная школа молодых ученых", г.Стсрлитамак, 200G г.;
на International Conference "Tikhonov and contemporary mathematics". г.Москва, 2006г.
на XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 2006г.;
на семинаре "Дифференциальные уравнения"под руководством д.ф.-м.н., профессора Калиева И.А. (г. Стерлитамак, СГПА им. Зайнаб Вишневой, 2007-2009гг.);
- на конференции "Российско-китайский симпозиум "Комплексный анализ и его приложения", Белгород, БелГУ, 2009 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] (5|.Список работ приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие непосредственно автору. Работа [2] опубликована в журнале, входящем в список публикаций рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав содержащих 7 параграфов, дополнения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 93 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц.
