Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации исследуются асимптотические свойства на бесконечности решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений с нелинейностью вида е". Уравнение
Ли = е", (1)
встречающееся в дифференциальной геометрии, в теории автоморф-ных функций, а также в ряде физических задач, было предметом изучения многих авторов. Одной из первых работ, посвященных изучению уравнения (1), является работа [1], где доказано, что в плоской области, ограниченной гладкой кривой, существует решение уравнения (1), принимающее на границе бесконечные значения. Аналогичный результат был получен в работе [2] в случае ограниченной трехмерной области. В работе [3] уравнение вида (1) было рассмотрено в связи с изучением поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, так как если первая квадратичная форма поверхности имеет вид
ds2 = e"(dx2+dy2), то ее гауссовая кривизна вычисляется формулой
К[х,у) = Ли.
v ,yj 2е"
Далее, в работе [4] было доказано, что положение равновесия заряженного газа в сосуде описывается с помощью уравнения (1). В частности, в случае идеального газа показано, что функция
и(х) - Ыр(х) + Ь (47г-^г),
1h. Bieberbach, Аи = е" und die automorphen Funktionen, Math. Ann., Vol. 77, 1916, 173-212.
2H. Rademacher, "Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik", edited by P. Frank and R.v. Mises, I., pp. 838-845, Braunschweig, Vieweg, 1935.
3И.Н. Векуа, О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса, Труды Матем. ин-та ям. В.А. Стеклова, 64 (1961), 5-8.
где р(х) — функция распределения плотности газа в сосуде, а, т., R,T — постоянные, характеризующие данный газ, удовлетворяет уравнению (1).
В последние годы появился ряд работ, посвященных изучению уравнений типа (1). Например, в работе [5], которая обобщает результат, полученный в [1] и [2], уравнение
Аи=р(х)еи (2)
рассматривается в ограниченной области Q С R". Здесь доказано, что если непрерывная функция р(х) удовлетворяет условию кг < < р(х) < к2 в П при некоторых kltk2 = const > 0, то уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию ?х(а;) —» оо при d(x) — 0, d(x) = dist(a;,9Q), и это решепие удовлетворяет оценке \и(х) — ]nd~2(x)\ < const.
Некоторые работы посвящены исследованию асимптотических свойств решений краевых задач для уравнений вида (1) в цилиндрических областях. В работе [6] получены асимптотики решений уравнения (1), удовлетворяющих на боковой поверхности цилиндра однородным граничным условиям Дирихле и Неймана. Эти результаты приведены при изложении 2 и 4 диссертации. Также следует отметить работу [7], где исследованы асимптотические свойства решений эллиптического уравнения
Е(а'(*КЛ,=е"
в полубесконечном цилиндре, удовлетворяющих на боковой поверхности однородному условию Неймана.
4J.B. Keller, The equilibrium of a charged gas in a container, J. Rational Mech. Anal., Vol. 5, No. 4, 1956, pp. 715-724.
5A.C. Lazer, P.J. McKenna, On a problem of Bieberbach and Rademacher, Nonlinear Anal., 21 (1993), no. 5, 327-325.
6B.A. Кондратьев, О.А. Олейник, Об асимптотике решений нелинейных эллиптических уравпепий, УМН. 1993. Т. 48, вып. 4. С. 184-185.
Несомненный интерес представляет также изучение уравнения
Ды + к(х)е" - 0 при к(х) > 0. (3)
Например, в работе [8] уравнение изучалось при к(х) = 2 в связи с задачей о тепловом самовоспламенении. В работе [9] получены необходимые условия существования решения и(х) уравнения (3) в пространстве Rn, указывающие характер поведения решения и(х) в окрестности бесконечности, а также необходимые условия существования решения в неограниченных областях с компактной границей. В случае ограниченных областей для уравнения (3) рассмотрена задача Дирихле и указаны необходимые условия существования решения этой задачи.
Цель работы — исследование асимптотических свойств регпе-пий нелинейных эллиптических и параболических уравнений с нелинейностью вида е" в бесконечных областях.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории линейных и квазилинейных уравнений с частными производными (различные варианты принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, оценки ПТаудера, теоремы сравнения, а также метод усреднения).
Научная новизна. 1. Для некоторых классов уравнений вида (1) исследованы асимптотические свойства решений краевых задач в полубесконечном цилиндре.
-
Получены асимптотики на бесконечности решений краевых задач для уравпения (1) в плоском угле.
-
Получены необходимые условия существования решений задачи Неймана для уравнения (3) при к(х) = 1, указывающие характер поведения решений на бескопечпости.
7J.N. Flavin, R.J. Knops, L.E. Payne, Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations on the half-cylinder, Z. Angew. Math. Phys., 43 (1992), no. 3, 405-421.
8И.М. Гельфанд, Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМН. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 87-158.
9И. Каметака, О.А. Олейник, Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, Мат. сб., 1978. Т. 107. в 4. С. 572-600.
4. Получены асимптотики решений при t —> оо основных краевых задач для параболического уравнения щ — Ды — eu.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и электрогидродинамики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара И.Г. Петровского и Московского математического общества, на семинарах кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, 7 параграфов и списка литературы, содержащего 26 наименований. Объем диссертации 95 страниц.
