Введение к работе
Актуальность темы
В природе часто встречаются процессы, описываемые системами сравнений Гамильтона, отличающимися от интегрируемых малым воз-^гущением. В качестве примера можно привести движение планет вокруг Солнца. Задачу о влиянии малых гамильтоновых возмущений на интегрируемую гамильтовову систему А.Пуашсаре назвал основной задачей динамики. Для изучения подобных задач развиты метопы теории возмущений. Фазовое пространство интегрируемой системы состоит из инвариантных торов / = const, где 1,<р — переменные "действие-угол". Георема К AM (см. [1], [2]) утверждает что в случае общего положеная при малом возмущении системы большинство этих торов сохраняется, лишь слегка деформировавшись. В [2] показано, что в случае двух степеней свободы, при условии изоэнергетической невырожденности, отсюда следует вечная устойчивость всех решений. В случае большего числа степеней свободы, вообще говоря, переменные действия могут сколь угодно далеко уходить ог своих начальных значений. Однако в [3] бьіла доказана теорема, утверждающая, что при выполнении "условий крутизны" для невозмущенного гамильтониана, которые имеют место в случае общего положения, "время удержания" точки /(() вблизи
[1] Колмогоров A.R. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН. 1954. Т. 98 N. 4. с. 527-530.
[2] Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохра
нении условно-периодических движений при малом шменении функции
Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18 N. 5. с. 13-40.
[3] Нехорошее Н.Е. Экспоненциальная оценка времени устойчивости
гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // УМН. 1977. Т.
32. N.6. с. 5-66. .
1(0) экспоненциально велико по сравнению с величиной, обратной порядку возмущения. В дальнейшем эта оценка была значительно усилена в частном случае, когда невозмущенный гамильтониан является квазнвьшуклым, см. [4], [5], [6], [7].
Особую роль в теории возмущений играют нормализующие замены переменных, в результате которых на некотором множестве удается задать такую систему координат, в которой функция Гамильтона приобретает вид, более удобный для исследования поведения решений. В частности, на участке фазового пространства, расположенном в пересечении окрестностей некоторых резонансных поверхностей, с помощью процедуры Цейпеля можно построить координаты, близкие к исходным, в которых разложение Фурье возмущенного гамильтониана не имеет не-резонансяых гармоник с точностью до экспоненциально малого остатка. Такое утверждение было получено в [8] и являлось важнейшим элементом доказательства экспоненциальной оценки в [3].
Цель работы. В диссертации решается задача получения более сильных, чем у
[4] Лошак Л. Кононическая теория возмущений: подход, основанный
на совместных приближениях // УМН. 1992. Т. 47 N. 6 С. 59-140.
[5] Lochak P. Stabilite en temps exponentielles des systemes Harniltoniens
proches de systemes integrables: resonanses et orbites fermes' // Preprint
Laboratoire de i'Ecole Normale Siiperiore. 1990.
[6] Poschel J. Oa Nekhoroshev's Estimate for Quasi-Convex Hamiltonian;
II Preprint, Forschungsinstitut fur Mathematik ETH. Zurich. 1991.
[7] Poschel J. Nekhoroshev estimates for quasi-convex hamiltonian system
И Math.' Z. 1S93. Bd. 213. Nr. 2. S. 187-216.
[8] Нехорошее H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости
гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. II // Труды семинг
раим. Петровского. 1979. N. 5. С. 5-50.
предшественников, опенок при нормализации возмущенной гамильто-новой системы вблизи резонансных поверхностей. Рассматривается вопрос о близости нормализованного гамильтониана к усреднению по быстрым фазам исходного. Решается задача об уточнении экспоненциальной оценки устойчивости переменных действия в случае крутого невоз-мушенного гамильтониана.
Научн&я новизпа. ,В диссертации доказан новый вариант теоремы о нормализации гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой, в резонансной зоне. При этом получены более сильные, чем у предшественников, оценки отличия нормализующей замены переменных от тождественного преобразования, экспоненциально малого остаточного члена. Доказана также малость разности нормализованного и усредненного гамильтонианов. На основе полученной теоремы доказана экспоненциальная оденка времени устойчивости переменных действия в случае крутого невозмущен-ного гамильтониана, значительно более сильная, чем п [3].
Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Методы исследованы. В диссертации используются методы теории возмущений (процедура Цейпеля последовательного исключения быстрых фаз), а также методы теории функций комплексного переменного.
Теоретическая и практическом значимость.
Результаты диссертации являются продвижением в теории возмущений гамильтоновых систем. Они могут найти применение в задачах гамильтоновой механики.
" Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара имени Петровского и ММО в 1993 г., а также научно- исследовательских семинарах кафедр дифференциальных уравнений (под рук. доц. НЛ.Нехорошева) и теоретической механики (под рук. проф В.В.Козлова).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, вторая из которых разбита на 4 параграфа, и списка литературы, содержащего 24 наименования. Общий объем диссертации 100 стр.
