Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа Ефимова Светлана Витальевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Операторы дробного интегродифференцирования и некоторые их свойства 28

Глава 2. Некоторые краевые задачи для уравнений гиперболического типа 44

2.1. Об однозначной разрешимости одной нелокальной задачи для уравнения влагопереноса 44

2.1.1. Постановка задачи 2.1 44

2.1.2. Доказательство единственности решения задачи 45

2.1.3. Доказательство существования решения задачи 47

2.2. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса 49

2.2.1. Постановка задачи 2.2 49

2.2.2. Единственность решения задачи 50

2.2.3. Существование решения задачи 52

2.3. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с дробными интегралами в краевом условии 55

2.3.1. Постановка задачи 2.3 55

2.3.2. Единственность решения задачи 56

2.3.3. Существование решения задачи 57

2.4. Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области 58

2.4.1. Постановка задачи 2.4 58

2.4.2. Единственность решения задачи 59

2.4.3. Существование решения задачи 60

2.5. О задаче с операторами обобщённого дробного интегродифференцирования для уравнения влагопереноса с | а |< 1 в характеристической области 61

2.5.1. Постановка задачи 2.5 61

2.5.2. Получение интегрального уравнения 62

2.6. О задаче с операторами обобщённого дробного интегродифференцирования для уравнения влагопереноса с а = 1 в характеристи ческой области 68

2.6.1. Постановка задачи 2.6 68

2.6.2. Получение интегрального уравнения 69

2.7. О задаче с операторами обобщённого дробного интегродиффе ренцирования для уравнения влагопереноса с а = -1 в характеристи ческой области 74

2.7.1. Постановка задачи 2.7 74

2.7.2. Получение интегрального уравнения 75

2.8. Нелокальная задача для уравнения хи+ уи + а их + р иу = 0 80

2.8.1. Постановка задачи 2.8 80

2.8.2. Сведение к интегральному уравнению Вольтерра и разрешимость задачи 2.8 82

Глава 3. Некоторые краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа 89

3.1. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа 89

3.1.1. Постановка задачи 3.1 89

3.1.2. Единственность решения задачи 90

3.1.3. Существование решения задачи 1 93

3.2. Задача со смещением для одного уравнения смешанного типа ... 97

3.2.1. Постановка задачи 3.2 97

3.2.2. Единственность решения задачи 3.2 98

3.2.3. Существование решения задачи 3.2 100

3.3. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа 102

3.3.1. Постановка задачи 3.3 102

3.3.2. Сведения краевой задачи 3.3 к интегральному уравнению 103

3.3.3. Единственность и существование решения краевой задачи 3.3 107

Список использованной литературы

• Доказательство существования решения задачи
• Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области
• задаче с операторами обобщённого дробного интегродиффе ренцирования для уравнения влагопереноса с а = -1 в характеристи ческой области
• Задача со смещением для одного уравнения смешанного типа

Введение к работе

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена новым корректно поставленным задачам для уравнений смешанного типа -уравнений, которые «в разных частях рассматриваемой области» принадлежат «к различным типам» [7].

Теория уравнений смешанного типа, истоком которой стала известная задача Ф.Трикоми [71] о нахождении решения уравнения уи^ +и_уу = 0, принимающего заданные значения на эллиптической части а границы dD области рассмотрения уравнения D и на одной из двух характеристик, образующих гиперболическую часть Г границы dD = c[jr, получила бурное развитие начиная с 40-х годов двадцатого столетия. Последнее обстоятельство обусловлено как непосредственно связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теории интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами физики, механики, биологии, сводящимися к таким уравнениям. Отметим следующих учёных, внёсших большой вклад в разработку теории уравнений смешанного типа: А.В.Бицадзе, С.П.Пулькина, В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, Л.И.Чиб-рикову, В.И.Жегалова, А.М.Нахушева. Интересные результаты получены также в работах В.Ф.Волкодавова [8], В.Н.Врагова [10], К.Б.Сабитова [62], А.Н.Зарубина [21], [22], И.Е.Плещинской, Н.Б.Плещинского [84], Ф.Г.Мух-лисова [41], Р.С.Хайруллина [75], О.А.Репина [57], Л.С.Пулькиной [56], А.А.Андреева [2] и др.

В данной работе рассматриваются задачи для уравнения влагопереноса

у²и_хх -Uyy + аи_х = 0, уравнения хи^ + уи^ + аи_х + $и_у - 0, параболо-гипербо-

лического уравнения, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки.

Как известно, скорость каппилярного движения влаги со_кап для ряда капил-лярнопористых тел обратно пропорциональна пути движения х: со_кап=а₀/х, где а₀ - некоторая постоянная величина, зависящая от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости. В 1965г. А.В.Лыков [38] для плотности потока влаги j, проходящей через эти тела, вывел уравнение

— + —^х²—т ⁼ ^_т—2 (³Д^есь т. обозначает время, D_m - коэффициент диф-
дх a_Q дх дх

фузии влаги в теле). Отметим также, что для рассмотренного выше уравнения А.В.Лыков решил задачу в случае полу ограниченного тела, через открытую поверхность которого поступает постоянный поток влаги j₀ со следующими

краевыми условиями: j(0, т) = j₀, у(<х>, т) = 0, j(x, 0) = 0, ——^!— = 0. Однако в

1998г. В.М.Нахушева [52] обосновала некорректность такой постановки и, уточнив её, нашла конструктивную формулу решения вновь поставленной задачи через гипергеометрические функции.

Как оказалось, уравнение, полученное А.В.Лыковым, имеет место не только в физике, но и в биологии. Так, если за щ = ^(,, t) принять одномерний поток некоторой субстанции (например, биомассы микробной популяции) в точке % биологического реактора 0 < Ъ, < 1_Х в момент времени t, за D - коэффициент диффузии, за х_ъ > 0 - константу, связывающая скорость переноса v и путь движения следующим соотношением: у = (лг₃/)², то щ будет удовлетворять

_г___п дщ D _г2д²Щ ъд²Щ уравнению [50] —^L + —r-q —2~D—j-, которое отличается от уравнения,

dt х^ dt dt,

выведенного Лыковым, лишь обозначениями. Сделав в этом уравнении замену переменных согласно формулам x = t/t₀, у = \l\Jx₃t₀, и(х, у) = u_x{-yjx₃t₀y, xt₀) мы придём к более простому соотношению у²и_хх -Uyy +аи_х =0. Последнее в силу его физического смысла получило название уравнения влагопереноса.

7 В монографии А.М.Нахушева [50] также показано, что к уравнению влагопереноса можно прийти и с помощью линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида и, = [(aw + Р)"]^ + \ш - у и², где и = и(х, t) -скалярная функция точки х є R и времени /,асс,(3,ц.иу- постоянные величины.

Однако было бы исторической несправедливостью утверждать, что уравнением влагопереноса впервые заинтересовались физики. В своей книге [7], вышедшей в 1959г., А.В.Бицадзе рассматривает уравнение у²и_хх -и +аи_х =

д²и д²и , .ди ., .ди

= 0 как пример уравнения У-^-у j + ^а(^х> У)~ ⁺ К^Х>У) — ^{+ с}(^х>У)^и = 0,

-гт ~ тт ^{+ а}(^х> у)~г ^{+ ь}(^х> У)тг
дх ду ох ду

для которого при | а |< 1 задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на то, что нарушено условие

\-^т

Геллерстедта lim у ² а(х, у) = 0. Поэтому уравнение влагопереноса также на-

у->+0

зывают уравнением Бицадзе-Лыкова. Ещё ранее К.И.Карапетян [31] установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае | д |< 1/11, я = 1/2; Чи Минь-ю [78] исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно ещё и тем, что в случае а = 1 вторая задача Дарбу, заданная на одной из характеристик, оказывается некорректно поставленной [48], [50].

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой - гиперболическое, было указано в 1959г. И.М.Гельфандом [15]. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окружённом пористой средой: в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Я.С.Уфлянд в статье [72], опубликованной в 1964г., описывает задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке 0 < х < I полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть

8 линии рассматривается как кабель без утечки. В результате он приходит к системе уравнений, которую можно привести к виду

0 =

afu_xx-u_yy,0

^a2^Uxx —U_y,l+00,

и краевым условиям, которые можно записать как

и(х, 0) = 0, и_у(х, 0) = 0, 0 < х , и(х, 0) = 0, / < х < +оо, и(0, у) = Е(у),

R^yc limи{х,у) = 0,и(1-О,у) = и(1 + О,у), и_х{1 + 0,у) = — \и_х(1 -0,ц)с1ц,

где а l=\l{LC_x), a²₂=l/(RC₂); L, С_х - самоиндукция и ёмкость (на единицу длины) первого участка линии; R, С₂ - сопротивление и ёмкость второго.

Исходя из вышесказанного, становится понятно, почему в первых работах, посвященных обсуждаемым уравнениям, изучались либо аналоги задачи Три-коми, либо задачи, краевые условия которых содержали заданные значения искомой функции или её производных на участках границы области, где рассматривалось уравнение, в том числе задачи Дарбу и Гурса. В качестве примера для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, здесь можно привести статьи А.М.Нахушева [42], [47], [48], Т.Ш.Кальменова [26], [27], [28], В.Н.Врагова [11], С.К.Кумыковой [35], для уравнения хи^ + уи^ + аи_х + $и_у = 0- статью Хе Кан Чера [76], для параболо-

гиперболических уравнений - статьи Г.МСтручиной [69], С.И.Гайдука, А.В.Иванова [13], Л.А.Золиной [23], Х.Г.Бжихатлова, А.М.Нахушева [5], В.Н.Абрашина [1], В.А.Елеева [17]. Следует также отметить, что интерес к подобного рода проблемам не ослабевал и в дальнейшем (см. работы А.М.Нахушева [43], Р.Н.Хубиева [77], М.М.Смирнова [66], Н.Ю.Капустина [29], [30], К.Б.Сабитова [61], А.Сопуева, Т.Д.Джураева [67], Б.Исломова [25], М.Е.Лернера [37]).

Однако в задаче Трикоми одна из характеристик в гиперболической части Г границы смешанной области свободна от граничных условий. Поэтому точки Г не являются равноправными носителями граничных данных. Такая

9 ситуация имеет место и в задаче С.Гелл ерстедта [81], в «ударных» задачах Ф.И.Франкля [74], в задаче А.В.Бицадзе с отходом от характеристики [6]. Это обстоятельство вызывает принципиальные затруднения при построении теории краевых задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях. В связи с этим в 60-х годах А.В.Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных данных.

Одной из первых работ в этом направлении стала статья В.И.Жегалова [19], в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения на одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования А.М.Нахушева [45], [49]. Он предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Эти задачи явились непосредственным и существенным обобщением задачи Трикоми. В отличие от задачи Три-коми здесь задаётся условие, связывающее значение искомого решения или его производной, в том числе, дробного, в трёх точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.

Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечалось ещё В.А.Стекловым [68]. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах [50], математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера [80], при изучении процессов размножения клеток [92]. На задачи подобного типа, как качественно новые и возникающие при решении современных проблем физики, указывает в своей обзорной статье А.А.Самарский [63]. В своей содержательной и полезной с практической и теоретической точек зрения монографии [65] Л.И.Сер-

10 бина показывает, что именно нелокальные краевые условия играют важную роль в математических моделях движения грунтовых вод и почвенной влаги.

Значительные результаты по краевым задачам со смещением для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, получены в работах С.К.Кумыковой [34], А.А.Килбаса, О.А.Репина, М.Сайго [82], [83], О.А.Репина [60], для уравнения хи_хх+ уи_уу+аи_х+^и_у=0 - в работе

С.С.Исамухамедова, Ж.Орамова [24], для параболо-гиперболических уравнений - в работах Х.Г.Бжихатлова [4], В.А.Елеева [18], О.А.Репина [58], А.А.Килбаса, О.А.Репина [33], А.А.Керефова, А.О.Желдашевой [32].

А.М.Нахушев [44] подчёркивал, что интерес к двумерным краевым задачам со смещением объясняется не только тем, что они представляют собой существенное обобщение задачи Трикоми и имеют многомерные аналоги, но и тем, что содержат широкий класс корректных самосопряжённых задач.

Отличительной особенностью задач, рассмотренных в диссертации, является наличие в краевых условиях операторов дробного интегродифференциро-вания с гипергеометрической функцией Гаусса, введённых М.Сайго в работах [85], [87], [88]. Эти операторы представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана-Лиувиля [64], которые имеют многочисленные практические приложения. Так, поток газа Трикоми на звуковой линии прямо пропорционален дробной производной порядка 2/3 от функции тока [51], фрактальная размерность множества Кантора совпадает с дробным показателем интеграла, уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторых физических систем с потерями, причём дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за время эволюции t [53], турбулентный поток пропорционален дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности [65]. В 1996 году в Институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН на основе операторов непрерывного и дискретного интегродифференцирова-ния разработаны компьютерно реализуемые математические модели различных биосистем [51]. Как отмечает А.М.Нахушев [51], без развития дробного

исчисления невозможно реализовать алгебраизацию теории уравнений смешанного типа, кроме этого, в настоящее время дробное дифференциальное и интегральное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред.

Таким образом, уравнение влагопереноса, уравнение хи^ + уи^ +аи_х +

+ fiu_у = О и уравнения параболо-гиперболического типа, а также краевые задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегродифференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, её результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.

Цели и задачи исследования. Целями и задачами исследования являются:

а) доказательство свойств для композиции \I^'^q'^r\I[_'^s''f)(v))(x),0в
случае q = р +1, t = -р и г = О, s = 0;

б) постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса, урав
нения хи^ + уи^ + аи_х+$и_у=0 и уравнения параболо-гиперболического ти
па, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности,
в нижней - влагопереноса и доказательство теорем существования и единст
венности решения этих задач;

в) выделение случаев, допускающих возможность получения явных решений
исследуемых задач;

г) выявление условий на параметры операторов, заданных констант и задан
ных функций, позволяющих максимально широко охватить класс рассмот
ренных в работе задач.

Научная новизна. Научная новизна заключается а) в дальнейшем развитии идеи смещений в краевых условиях, выраженного во влиянии на корректность постановки задач слагаемых, содержащих либо

12 дробные интегралы от пределов искомой функции при у—>-0, у->+0 или

от пределов частной производной по у от искомой функции при у—>—0, у —» +0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от значений искомой функции или от значений частной производной по у от искомой функции при у = 0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от пределов искомой функции при у -> -0, у —> +0 или от пределов частной производной по у от искомой функции при у->-0, у -» +0, умноженных на заданные функции;

б) в выявлении влияния на корректность постановки задач степеней t и (1 -1)

в качестве множителей к значениям искомой функции на аффиксах, от которых берутся операторы дробного интегродифференцирования в нелокальных условиях этих задач;

в) в установлении эффекта влияния коэффициента при младшей производной
на корректную постановку нелокальных краевых задач для уравнения влаго-
переноса;

г) в выявлении условий, обеспечивающих выполнение принципа экстремума
для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дроб
ного дифференцирования порядка а < 1;

д) в выделении класса задач, для которых возможно получить решение в яв
ном виде;

е) в выяснении влияния параметров композиции [Io+'^q'^r {Ifj^s'' f)(v))(x) в случае
0<р<\ на параметры нелокального условия корректно постановленной за
дачи для уравнения влагопереноса.

Общая методика исследования. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории операторов обобщённого дробного интегродифференцирования, теории интегральных уравнений, теории дифференциальных уравнений с частными производными. В частности метод доказательства единственности решения задач для уравнения влагопереноса с помощью принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа

13 экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1, для параболо-гиперболических уравнений на основании специальных неравенств, связывающих произведения следов искомого решения и нормальной производной; методі доказательства существования решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, полного особого интегрального уравнения с ядром Коши в исключительном случае, интегрального уравнения Фредгольма второго рода; метод доказательства существования и единственности решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, интегрального уравнения Вольтерра. Отметим также использование преобразования Меллина в вопросе разрешимости задачи для уравнения хи^ + уи^ + аи_х + $и_у = 0.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, из которых две последние разбиты на одиннадцать параграфов, списка использованной литературы. Объём диссертации составляет 119 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

Первая глава диссертации посвящена операторам обобщённого дробного

интегродифференцирования в смысле М.Сайго {i^f^fjix), \1^'^ц/){х) [85], [87], [88]. Даны определения этих операторов. Показано, что дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля [50], [51], [64] (/./)(*), (I*f)(x), (jD./j(jc), \D"_f)(x) являются их частным случаем. Из многочисленных свойств операторов обобщённого дробного интегродифференцирования в смысле М.Сайго и дробных интегралов и производных Римана-Лиувилля выписаны необходимые в дальнейшем, причём следующие из них с доказательством:

(С/)(*) = (/"/)(*), если ДО) = 0,0 < а < 1; (1)

(С/)(*) = -(#V)(*), если /(1) = 0,0 < а < 1; (2)

(/of ^{P+U r}{l(: ^s* -^pf){v)\x) = x-\l - x)-^p~^s cosnpf(x) + JK(x, u)f(u)du,

x~^p'¹ u^p (1 - it)-*- 1 , Г0 - р)Г(1 -r + p) , _,

Г(р)Щ-р) и-х Г(г)Г(-г)

—x и X

х(1-и)~^Р~

p-s

гх ^{р 2} и^р (\-и)~

(1-_{г + Р})Г(р)Щ-р)

где K(x, и) = «

С іЛ

1,1-г + р;2-г + р;— , 0<и<х,

х)

х~^р-¹ и^р (1 - иУ"-' 1 гх~^р'¹ и^р~^у (1 - и)-*"
^v ' + - - X

ПР)Щ-Р) и-х (р-г)Г(р)Щ-р)

( А

xF 1, г - р\\ + г - р\— , х<и<\;
V и)

(/₀Т ^я' (#! ' 7)(v))(*) = *'-*(! - х)-" созжр f(x) + JK(x, u)f{u)du, (3)

K(x, и) = <

-х-^д-¹и^р(1-иУ ^ _{л л} , и

_г, ,_гл ^-^\1,р + 1,р + ґ,р + 1;-,и

Г(р)Г(1 - р) \ х

x-^qu^p-\\-uy _rf_{t1 л} х Л

. Г(р)Г(1-р) ^ и )

, 0<и<х,

F_x(a, b, V; с; x,y)=J] LIstsUsLJ^ 2L. _ функция Аппеля [3].
.«=o (c)_m+n ml n\

Отметим, что полные доказательства для двух частных случаев композиции (l~^p'^q'^r(l^p:^s'^lf)(v))(x),0а именно при q = p + l, t = -p и г = 0, s = 0, данных выше, приведены впервые.

Кроме этого, с помощью соответствующих лемм [64], [89] продемонстрированы действия рассматриваемых операторов в обычных и весовых пространствах Гёльдера: Я*" [0,1];' ЯJ [0,1] = {Дх) є Н^х [О,1]: /(0) = /(1) = 0};

Н\р; [0,1])={/(*): р(*)/(*) є Н^х[0,1]} ;Я₀\р; [0,1])={/(*): р(х)/(х) є єЯ₀^х[0,1]},где0<Х<1,р(х)>0.

Вторая глава диссертации посвящена нелокальным краевым задачам для уравнения влагопереноса в случае |а|<1, а = \, а = -\ и уравнения хи_хх + + уи^ + аи_х + $и_у = 0 с параметрами а > 1/2, 1/2< Р < 1.

В 2.1 рассматривается уравнение влагопереноса

^Lu = У^1ихх -Иуу+аи_х=0, \а|< 1, (4)

в области D = IkjD_xkj D₂, где / - интервал (0,1) оси OX, D_x - область, ограниченная интервалом / и характеристиками уравнения (4)

АС_Х = \(х,у):х- — = О,у<ОL ВС_Х = \(х,у):х + — = l,y₂- область,

ограниченная интервалом / и характеристиками уравнения (4)

АС₂ = \{х,у):х-^- = 0,у>о1, ВС₂ =\{х,у):х + ^ = \,у>ої, где ,4 = (0, 0),

5 = (1,0), =(1/2,-1), С₂ =(1/2,1). За Є<»(*), Є{^1}(*), 6?>(х), 0<²⁾(*) принимаются аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (4), выходящих из точки (х, 0) є/, с характеристиками АС_Х, ВС_Х, АС₂, ВС₂ соответственно. Формулируется задача 2.1.

Задача 2.1. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1. Lu = 0 в области D,uD₂;

2. u(x,y)EC{p)nC²(D\l);

3. и{х,-0) = и(х, + 0) (хе I), lim и (х,у)= Йти (х,у) (хєі);

^-»0- ^у ^->о+ ^у

4)4*'

^{v,0 v^[ej')(o] Ы+ад-*у U:«,0,*(1-о~Чв!'Чо]1(*)=}

= ,(*), хє/, / = 1,2;

где A_vA₂,B_l,B₂,r,s - такие заданные константы, что

Д. > 0,5,. > 0, / = 1, 2,

г > 1, s > 1,

Si (*)> Si (^х) - такие заданные функции, что g, (х) є С¹ (7) п С³ (/), / = 1,2.

Новизна постановки заключается в том, что в краевом условии 4) операторы дробного интегродифференцирования берутся не от значений искомой

I функции на аффиксах, а от произведения этих значений на множители t ² и

(1 - О ² в первом и втором слагаемых соответственно.

Доказательство единственности решения задачи 2.1 проводится на основании принципа экстремума для гиперболических уравнений [79] и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1, полученного А.М.Нахушевым в 1973г. [46]. Вопрос о существовании решения этой задачи сводится к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения [40] относительно т(х) = и(х, -0) = и(х, + 0)и получает положительный

ответ. Следует отметить, что данные методы исследования нелокальных краевых задач для уравнения (4) были ранее предложены в работах [35], [59].

В этом же параграфе приводится замечание о том, что аналогично доказывается существование и единственность решения задачи, если А_{ < 0, B_t < 0,

/ = 1,2.

Обратим внимание, что обозначения I, D_lf Q^\x), бі'Ч*)» б^Ч*)» 0[²⁾(х), данные выше, будут использоваться на протяжении всей диссертации.

В 2.2 для уравнения (4) в той же области D ставится следующая задача.

Задача 2.2. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

4. Lu = Q в области Z), uD₂;

5. и{х,у)е С(р)п C²(D\/);

6. и(х, - 0) = и(х, + 0) (х є /), lim и Ах, у) = lim и (х, у) (хєі);

>>->о+

о+

4) А,

^a"*~^a'^a*~\[Q«\t)]\(x) + A_[

f _a+ta

(x) = g_l(x), Ух e I,

f a+l

a+-

Я.

( e+n ( a+3\
a,- a+ ,- a+

L ^{[ 4 J l 4} МЄІ²⁾(01

(x) + B₂

l_x_ ⁴ u[t, + 0]

(x) = g₂(x), Vxel,

где A_l,A₂,B_l,B₂,a - заданные константы, причём

і

а\-\

4 4'

8\ (^х)> Si (^х) - заданные функции, причём

_g((x)eC^(W(7)nC²(/) (1/2<Х,<1), / = 1,2, g,(0) = g₂(1) = 0. Решение этой задачи ищется в классе функций и(х, у) таких, что

\їти(х,у)єН^х(х^{,1;[0,\]), 0<Х<\.

у-+0- ^у

Исследование проводится теми же методами, что и в случае задачи 2.1. Вопрос о существовании решения задачи 2.2 сводится к вопросу разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке [64] относительно функции |і(лг) = x^1/2v(x), где v(x) = lim u_v(x, у) = lim u_v(x, у), и по-

у-+0~ ^у у^0+ ^у

лучает положительный ответ. Отметим, что при доказательстве принадлежности правой части этого уравнения классу Гёльдера используются свойства (1), (2). Решение задачи 2.2 даётся в явном виде. Полученный результат формулируется в виде двух теорем.

В 2.3 для уравнения влагопереноса в случае а = 1, т.е. для уравнения

Lu = y²u_xx-u_yy + u_x=0, (5)

в той же области D рассматривается задача 2.3. Задача 2.3. Найти функцию и(х, у)со свойствами:

7. Lu = 0 в области D_x uD₂;

8. u(x,y)eC(p)nC^l(p\l)nC²(D\l);

9. u(x,-Q) = u(x, + 0) (xє I),limu(x,y)= limu_v(x,y) (jcel);

y->0- ^y y-+0+ ^y

A)A, (/₀>[9⁽>)])(*) + B_x(/>[*,-0])(x) + C_x[C^+U2 \imu_y[t,y]j(x) = _gl(x), Vjcg/,

А_г (/о>Й²⁾(/)])(*) + В₂ [Qu[t, + 0])(х) + С₂(l^^+m lim u_y[t,у]\х) = g₂(x),

\/хеІ,

где g_{(x), g₂(x) - заданные функции такие, что

_g/(x)G#₀^x<[0,l],/ = l,2, (6)

А,, А₂, В_х, В₂, С_х, С₂, а,, а₂ Д_х Д₂ - заданные константы такие, что

(A_l+BjA₂+B₂) |[2C^VSn(2^ + V^] '

2С_Х(А₂+ В₂)-2С₂(А_Х+ В_х)- 4ti(A_xB₂+2A₁A₂+ А₂В_Х)*Ъ, (8)

а,. > 0, i = 1,2, (9)

а,. +1/2 < Я., <1, /' = 1,2. (10)

Новизна постановки заключается в том, что в левых частях краевых условий 4) содержатся вторые слагаемые, представляющие собой дробные интегралы от пределов искомой функции при у->-0, у—>+0 соответственно,

умноженные на константы, и третьи слагаемые, представляющие собой дробные интегралы от пределов частной производной по у от искомой функции

при у->-0, _у-»+0 соответственно, умноженные на константы, а также в

более общем характере параметров этих условий.

Исследование проводится теми же методами, что и в случае задачи 2.1. Вопрос о существовании решения задачи 2.3 сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения относительно функции v(jc), где

v(x)= lim и (х,у)=\\ти Jx, у), и получает положительный ответ. Решение

у-±0- ^у у-*0+ ^у

задачи 2.3 даётся в явном виде. Полученный результат формулируется в виде теоремы 2.3.

Теорема 2.3. Пусть функции g_x(x), g₂(x) удовлетворяют условиям (6), действительные константы А_х,А₂,В_х,В₂,С_х,С₂,а_х,а₂,Х_х,Х₂- условиям (7)-(10). Тогда задача 1)-4) для уравнения (5) имеет единственное решение с

2.4 посвящен задаче 2.4 для уравнения влагопереноса в случае а = —1, т.е. для уравнения

Lu = y²u„-u_jy-u_x=0, (11)

в прежней области D.

Задача 2.4. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) Lu = О в области D,uD₂;

2)u(x,y)GC(p)nC^l(p\l)nC²(D\l);

3. м(х, -0) = и{х, + 0) (хє /), limи (х,у) = limи (х,у) (xel);

4. и(0, -0) = и(0, + 0) = 0;

5)А_Х {iZr^'^MWiWYx) + 5,(/S«[f, - 0])(х) +

+ C_x[q^+x \imu_y[t, y]j(x) = g_x(x), Vx є I,

a₂{q^-^U2^MQ? (>)])(*)+я₂(/₀^аГ^1+ї1Ф, + 0])(x) +

+ C₂(C⁺¹ lim u_y [t, yfyx) = g₂ (x), Vx є /,

где g_x (x), g₂ (x) - заданные функции, причём

g/(x) є Я*< [0,1], / = 1, 2, (12)

g,(0) = g₂(0) = 0, (13)

А_х,А_2УВ_ї,В₂,С_х,С₂,а_х,а₂,у_х,Х_х,Х₂- заданные константы, причём
В_ХВ₂{2С_Х -А_Х){2С₂ + А₂)<0, (14)

2В₂С_Х -А_ХВ₂- 2В_ХС₂ ~А₂В_хфО, (15)

0 F(\,l-r,l-p;l-w)dw,

о V " ;

которое с учётом формулы [91]

Jv^e4(l - y)^d~^l (1 - zv)-^fF(a, b;d;l- v)dv =

r(d)r(e)T(d + e~a-b)

(1.38)

₃F₂(e, f, d + e - a - b; d + e - a, d + e - b;z),

T(d + e-a)T(d + e-b) определений (1.34), (1.3) и соотношения (1.31) перепишется в виде:

x~^pu^p~^l(l-u)~^p~^s ( хЛ

А₇(х,и) = F\ 1,г-р\\ + г - р;~ \.

² (г~р)Г(_Р)Щ-р) {' ^{Fi Р,}и)

Рассмотрим функцию

Х—Е

4(*) =

\ A^x,u)f(u)du+ \А₂(х,и)f(u)du

> = А^(х, x — s)f(x — s) —

-«

х+е

. о

х-г , 1 ,

-А₂(х,х + е)/(х + г)+ [—A_i(x,u)f(u)du+ \—A₂(x,u)f(u)du.

І dx ^J dx

0 х+є

Найдём — A! (x, u). dx

Воспользовавшись (1.37), представим —A_{(x, и) следующим образом:

x~^pu^p-\\-u)'

(1-г + рЩ_Р)Г(1-р)х

^d л ґ \ ^d j

—A_l(x,u) = —<
dx dx

rP»P-^ln-,A-P-^s и ^ґ

l,l-r + p;2-r + p;-\} +

x.

(1.39)

dx[ Г(г)ЦІ-г) J

35 Докажем формулу:

—{xF(\,b;b + l;x)) = (l-b)F(l₉b;b + l;x) + -^-,\x\ (1.40)

dx 1-х

Согласно (1.3)

F(l,b;b + l;x) = jj-^-x",! х|<1. (1.41)

Тогда

~(хГ(иЬ;Ь + і;х)) = Г(1,Ь;Ь + их) + х^^~х^п =
dx dx_n=0b + n

= F(l,b;b + l;x) + x^~^-nxⁿ-^l=F(\,b',b + \;x)+ (1.42)

«=i

00 / I \ со со

-x".

+ хЩі—~ ^⁴=F(l,b;Z) + l;x) + xbXx"⁴-^-

„=іч +«; „=i _n=i^b+n

Как известно [73]

2>^и- -Г¹-.!*^¹- (1.43)

С учётом (1.41)
^x"=-^-x"-l = F(U;6 + l;x)-l. (1.44)

Подставив (1.43), (1.44) в (1.42) придём к (1.40).

Применив для вычисления первого слагаемого (1.39) формулу (1.40), второго - (1.31), получим

dx^lK'^J Пр)Т(\-р) и-х Г(г)Г(-г)

хм^г (І-w) ^я F l,l-r + p;2-r + p;- .

^ > (1-г + р)Г(р)Г(1-р) I' " ^'xj

Найдём — А 2 (х, w).

Воспользовавшись (1.38), представим —А ₂ (х, и) так:

l,r-p;l + r-p;-

¹ d (x-^p-^lu^p(\-uy^p-^s xj. . Х^Л

— A₂(x,u) =—<

dx dxUr- p)T(p)T(\ - p)u

(1.46)

Применив к (1.46) формулу (1.40), получим:

d _t , , x~^p~^xu^p{\-uY^p-^s 1 rx-^p~^xu^p-\\-uT^p-^s

— A₂(x,u) = +

dx ^П Цр)Ш-р) u-x (р-г)Г(р)Щ-р)

* F 1, r - p; 1 + r - p\ - J. Из определения /_E(x) и (1.30) следует, что

(1.47)

1{х) = Iim I (х) = Iim В(х, є)/(х) + |ЛГ(х, u)f{u) du.

є-*0 e->0 >

(1.48)

(x, є) = ЛІ! (х, х - є) - А 2 (х, х + є),

(1.49)

К(х, и) =«

Аі(х, и), 0<и<х, dx

А₂(х,и), х<и<\. .dx

(1.50)

Преобразуем Iim В(х, є). С учётом (1.49), (1.37), (1.38) его можно записать

є-»0

так:

Нш В(_х,г^^Пг-^рПІ-^{Г + р)}х-\і-хГ"-' +
є-»о Г(г)Г(1 - г)

x-\\-xy^p-^s ,../., _п , П

+ hm F 1,1 - r + р\ 2 - r + р; 1 - є -

x'\\~xY^p-^s .. _/, , , 1 ї

(г-р)Г(р)Г(1-р)в->о Применим к (1.51) формулу [91]

hm F\ 1, г - р; 1 + г - р\ 1 - s

x + ej

(1.51)

F(«, А; в + 6; 1 - рх) = -ff^fl + *>[-2(i) + _v (_а) + (6) + lnpx] + 0(1), (р -> 0),

Г(я)Г(6)

F\z)

где vf/(z) - логарифмическая производная гамма-функции [3]: i|/(z) =—^-=-, а

T(z)

^{цг-^га-г+р)^,} _р^_,₊^_

затем соотношение (1.31). В результате придём к равенству: lim В{х, г) =

(1.52)

е->о ' Г(г)Г(1-г)

x~¹(l-x)~^p~^s

+ [ш (г - р) - ЦІ (1 - г + р)].

(1.53)

С учётом формулы [3] \\i(z)-\\)(l-z) = -TictgKz

и (1.35) перепишем (1.52) следующим образом:

-[sinTCr - Smiip COS7l(r - /?)].

hm В{х, є) = —^ -

є-»о sin л (г - р)

Ho sin7ir - sin np cos %(r - p) = cosTipsin л(г - /?). Поэтому окончательно

1Ш15(л,8)=л"¹(1-л)'^Р"^ЛС087ир. (1.54)

s->0

Подставив (1.54) в (1.48), а (1.45), (1.47) в (1.50), на основании (1.29), (1.30) получим требуемый результат. Случай Fc.

(/оТ ^Я' %^Р- ' '/)(у)Ух) = х^(1-хГ^Рсо₅лр/(х)+ JK(x,u)f(u)du, (1.55)

_г, _ЛГЛ—f-FAUp + lp + bp + b-tti
К{х,и)-< і

1,1-р,p + t;l-р;— ,х \, х<и<\, и )

x-^qu^p-\\-uy [Г(р)Щ-р)

, 0 < и < х,

Здесь F_x(a,b, b^u, с; х,у)= ]Г (^a)»+n(b)_m(b)_n х_у_ _ ф_{ункция Аппеля} щ

(<0,

/я, л=0

ml п\

Доказательство. На основании равенства F(a, b; а; х) = (1 — x)~^b, которое следует из очевидного равенства F(a, b; с; х) = F(b, а; с; х)

и (1.28), соотношение (1.26) в нашем случае примет вид

1 d

r^q\{x-vy

Г(Р)Г(1 -p)dx

(l-_r^(l^'f)(v))(x)

( v\ I

xF q~p,l;l- p;l-- q>(v)dv\,

\ x) J

(1.56)

(1.57)

(1.58)

Ф (v) = (1 - vY^p-' j(u - v)^p~^l (1 - u)' f{u)du.

(1.59)

Введём обозначение:
1 d

(1.60)

I(x) =

x^p~^q j(x - vy^p F\ q - p, 1; 1 - p; 1 - - q> (v)dv

T{p)T{\-p)dx

С учётом формулы [3] F(a, b; с; x) = (1 - x)^c'^a~^b F{c -a,c~b;c,x) и (1.57) соотношение (1.60) перепишется так:

p, \-q\\- p;\ v~^qq(v)dv. (1-61)

x)

_dYx-v\^PJ . . . v^

I(_x) = _

T(p)r{l-p)dxi{ x j

Рассмотрим функцию

j х-Ьґ \-P

d r x-v^Л

F\- p,l-q;l- p;l--)v~^q q>(v)dv. (1.62)
V x)

/»(*) =

Г(/?)Г(1 -p)dx ₀- v х )

Выполним дифференцирование в правой части (1.62), принимая во внима' ние формулу [3] d

(1.63)

—(z^aF(a, b; с; z))= az^{a l}F(a +1, b; c; z) dz

и (1.56).

Получим

/«(*) =

дг-8

пр)т-р)

{-p)x^p-^q j(x-v)-^p-\(v)dv + (x-8y

xF\-p,l-q'A-p',- ф(х-5)|

X,

(1.64)-

х-Ь

Замечая, что (~р) \ (х ~ v) ^{р 1} ф (v) dv = — f(x - v)~^p ф (v) dv - 5 ^рф (х - 8),

Цр)Г(І-р)

перепишем (1.64) в виде

_хр-я d *-s х^р~^чЪ~^р

J(jt-v)~^p

/₈W^:

Ї fx - v)~^p (D (v)dv 4

T{p)T(l-p)dx ₀

-1 х_у

-p,\-q'A~P\

Г v V г

ф(х-8)х

(1.65)

Согласно (1.61), (1.62) /(x) = lim/₈(x).

8->0

( ЬЛ (

Так как F — р, — р\— =1 + 0

х) \

учитывая (1.59), найдём

, то переходя к пределу в (1.65) и

p-q

х і

1(х) =

J(x - vY^P{\ - v)-^p-' dvj(u - v)^p'^l(l - u)'f(u)du. (1.66)

Г(/>)Г(1 -p)dxj Меняя в (1.66) порядок интегрирования, придём к соотношению

(1.67)

I(x) = x^p'^q —< Ы^х, u)f{u)du + \А₂{х, u)f(u)du к

АЛх, и) = —2—^ \(х - vX^P(\ - vy^p-'(u - v)'"¹ dv,

(1-й)

t x

A₂(x,u) = -

j(x - v)-^p (1 - vy^p4 (и - vY~^l dv.

Г(р)Г(1-р)₀ Преобразуем А_г(х,и) и А₂(х,и)

40 Сделав в А_х(х, и) замену v = uw, придём к равенству

Г(р)Г(1-р)$ \ x J

которое с учётом формулы [3]

Jv-i (і - v)—¹ (1 - xvy^b (1 - yvy" dv = ^Г(а)^^С'- ^a) F_x (a, b, V> с, x, y),

Re a > 0, Re (c - a) > 0,

и равенства (1.31) перепишется так

. , . х~^ри^р(\-и)' _,. , и _ч ,_л ^_ЛЧ

А₁(х,и)= Л, F_x(\,p,p + t;p + \;-,u). (1.69)

pT{p)Y{l-p) х

Сделав в А₂(х, и) замену v = xw, придём к равенству

_{л^ и">=ССп1"^ У1 - wHi - ~w)P ^ - ш^'р" dw>}

П»Г(1-р) о V и )

которое с учётом (1.68) и (1.31) перепишется так

_л, , x^l-^pu^p-\\-u)' _rL х \

М*>«) = Тг чгЛт-п F\\,\-p,p + t;2-p;-,x\ (1.70)

(І-р)Г(р)Щ-р) { и J

Рассмотрим функцию

/_е(х) = х^р~⁹—\ I А!(дг,и)f(u)du+ \А₂(х,и)f(u)du\ =
dx [ І _xi J

= x^p~^q\A_x(x, x - є)/(х - є) - А₂(х, х + z)f(x + є)]+

х-е J її

п-а " л / \ // \ т Г п-а LI

dx _xi_z dx

+ \х^рч—A_x(x,u)f(u)du + \х^РЧ—A₂(x,u)f(u)du.

Найдём — A j (x, и). dx

Воспользовавшись (1.69), представим —A _l (x, и) следующим образом:

d _A, _ч d\ (1-й)' (uY J, , и Y|

Применим к правой части (1.71) формулу [86]:

—[x^bF_x(a, b, b¹; с; х, у))= bx^b~^xF_x(a, b + \, b'; с; х, у), dx

Получим

—А_х(х,и) = — F_x \lp + lp + t,p + l;~,u

dx Г(р)Г{1- р) V х

Найдём — А 2 (х, и) dx

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

(1.72)

Воспользовавшись (1.70), представим —А₂(х, и) так:

d _А , _ч d Г и^р'\\-иУ !___Л _t 1

—А₂{х,и) = —< х ^PFA 1,1-р,p + t;2-р;— х,х

dx * сЬс[(1-р)Г(р)Г(1-р) \ и J

Применим к правой части (1.73) формулу [86]

—\z^cF_l(a, b, b^x\ с +1; xz, yz))=cz^c~^lF_l(a_i b, b^x\ c; xz, yz). dz

(1.73)

Получим:

d . _{t ч} x-^pu^p-\l-u)' _Л . x

—A₂(x,u)= -F_x\\,\-p,p + t;l-p;-,x

dx Г(р)Г(\-р) V ^u

Из определения І_г и (1.67) следует, что

і / = lim L = x^p'^q lim В(х, s)f(x) + \К(х, u)f(u)du,

(1.74)

(1.75)

В(х, є) = А_х(х> х - є) - А₂(х, х + є),

(1.76)

(;t, и) = *

я⁷⁷ *—А_х(х,и), Q

x^p'^q—А₂(х, и), х<и<1. dx

(1.77)

Преобразуем lim В(х, є) . С учётом (1.76), (1.69), (1.70) его можно записать

Б-»0

так:

( 1

— ІітК 1,1- р, p + t;2- р;1-є , х

(1-р)Г(р)Г(1-/,)-0 \'

(

(1-Х)'

lim B(x, с) = ——— ІітК

(1-х)'

<~ рГ(р)Щ-р)^ '

Применим к (1.78) формулу [3]

¹ 1, р, р +1; р + 1; 1 - є —, х - є

x + s

(1.78)

F_l(a,b,b';c;x,y) = (l-x)^c-^a-^b(l-y) ~^b F\c-a,c-h-b\V\c\x,

У-х

у-У

Придём к равенству

lim В(х,є) = —⁽¹~^{Х) Р} х

рГ(р)Щ-р)

(

xlimF,

p,l-p-t_tp + t;p + l;\-e—,l-s--

в->0

у X х(1~Х + є)

(1.79)

(\-р)Г(р)Г(\-р)

х limi*j I- р, I- p-t, p + t;2- р;1-& , 1 - є

Е-»0

Х + Є

(х + є)(1-х)

С помощью формулы [91]

F_x{a, b,V;a + b + 6'; І - рх, І - py) = ^v / x

Z>'

>>

Г(<з)Г(/3 + о)

x^

1-^ LF₂ l,l,6'+l;2,/5 + 6'+l;l-^ -

fe + 6'

Мі-р)-уШ

- [-2\|/ (1) + \|/ (a) + \\f (b + 6') + In px]} + 0(1), (p -> 0), и (1.31), соотношение (1.79) примет вид (1-хГ

lim В(х, є) =

Г(р)Г(\-р)

Принимая во внимание (1.53) и (1.35), найдём

lim В{Х, S) = (1 - X)^-^ COS7T/7.

є->0

(1.80)

Подставив (1.80) в (1.75), а (1.72), (1.74) в (1.77), на основании (1.58), (1.60) получим требуемый результат.

43 Кроме вышеизложенных фактов, нам будут нужны свойства операторов (1.1)-(1.2), (1.4)-(1.7), действующих в пространствах гёльдеровских функций.

Пусть для 0 < X < 1, р(х) > О Я [0,1] - класс функций, удовлетворяющих на отрезке [0, 1] условию Гёльдера порядка А,; Н[0,1]={/(х) є Я [0,1]: ДО) = /(1) = 0}; ЯЧр; [0,1])={/(*): р(*)Д*) є Н^х[0,1]}; #₀Чр; [0,1]) = ⁼{/(^х) ' р(^х)/(^х)^є Hq [0,1]}. Тогда известны следующие леммы [64], [89].

Лемма 1.1. Пусть 0<-ос<А<1ир< min[0, г) +1]. Тогда Ijjf*: Н^х [0,1] -> ->Я^тіп[х+а'-^р][0,1].

Лемма 1.2. Пусть а > 0, р < min[0, ц +1], 0 < X < 1. Тогда /₀^а;^М, /'^М:

Я^х[0,1]->Я^тіп[;і'"⁽³¹[0,1].

Лемма 1.3. Пусть 0<-ap-l. Тогда/^^^[0,1]-> -> Я^я+а(х^р; [0,1]); /Р-ч :Я^Х[0,1] -» Я^х+а((1 - д:)^р; [0,1]).

Лемма 1.4. Пусть 0 < а < X < 1 и р(х) = х^ц,где 0<р,<А,-а + 1. Тогда Z>₀^a₊: Я₀^х(р; [0,1]) -» Я₀^х~^а(р; [0,1]).

Лемма 1.5. Пусть 0<а<1, 0<Я,< 1, А, + а < 1 и р(х) = х*\ где 01. Тогда /₀^а₊: Я₀^х(р; [0,1]) -> Я₀^х+а(р; [0,1]).

Доказательство существования решения задачи

Из установленных свойств ядер K2k_l(x,B))-K2k(x, ),k = l,4, можно сделать вывод о том, что ядро К(х, ) дважды непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 х, t, 1 при Ъ, & х и допускает следующую оценку: К(х, ) = = 0(1)( -х)-1, где 0(1) означает ограниченную в 1x1 величину. Из вида функции F(x), свойств дробных интегралов и функций g,(x), / = 1,2, заключаем, 4TOF(X) є С1 (/) и при х = 0 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1/2. Следовательно, уравнение (2.12) есть сингулярное интегральное уравнение [40]. Условия (2.2) и (2.3) гарантируют существование регуляриза-тора, приводящего уравнение (2.12) к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Из возможности приведения нашей задачи к эквивалентному уравнению Фредгольма второго рода и единственности решения следует существование решения поставленной задачи.

В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [79] положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х, у) достигается в областях D\ и Di в точке (х0,0)є/. Пользуясь тем, что дробные производные (D 2T)(X) И (р Чдх) в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [46], и учитывая (2.13), получим: Vi(xo) 0 (v,(x0) 0), v2(x0) 0 (v2(x0) 0). Это противоречит условию сопряжения 3). Значит, наша задача имеет единственное решение.

Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [46], и учитывая (2.36), получаем: Vj(x0) и v2(x0)- разных знаков. Это противоречит условию сопряжения 3)В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [79] положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х, у) достигается в областях Di и Di в точке (х0, 0) el. Пользуясь тем, что в силу (2.51) дроб ные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [46], и учитывая (2.49), получаем: v Xo) и v2(x0)- разных знаков. Это противоречит условию сопряжения 3). Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи.

Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи. Пусть для функций Tt(x), g(jc) выполняются условия (2.86), (2.87), для параметров а, Р, 5, п, уД,Д2 - (2.88), (2.90)-(2.93), для констант B,F - (2.89). Пусть ах{х), я2(х), F{x) определены соответственно формулами (2.104)-(2.106).

Так как краевое условие 1) не противоречит обозначениям (2.4), то мы по-прежнему будем их придерживаться. Тогда «[{ (х)] будет определяться (2.54). Будем искать решение уравнения (2.132) в виде ц(х) = ц. (х)(1 - x)_ct_1, где [і\х) = ха+\(х)єНх[0,1], ц(х)єЯх((1-х)а+,;[0,1]), 0 А, 1. Вычислим индекс %, используя (2.138), (2.116), (2.120) и то, что в нашем + п0 + пх -1 = 0, 0(1)" 2% случае п0 = 0, пх = 1: %

Пусть для функций {(x), g(x) выполняются условия (2.113)-(2.115), для параметров а, р, 5, (2.116), (2.119)-(2.122), для констант В, D, F -(2.117),(2.118). Тогда задача 1)-2), (2.123) для уравнения (2.46) имеет единственное решение и(х, у), определяемое формулой (2.53) в случае і = 1, где vt(x)= = x_a4(l - x)a+l\i(x). Здесь [i(x) имеет вид (2.139), а ах{х), а2(х), F(x), Z0(x), А{х), 0(х), G(x) даются соответственно равенствами (2.133), (2.134), (2.135), (2.140), (2.141), (2.137), (2.136). Замечание 2.3. Теорема 2.10 остаётся верной и в том случае, если краевые условия (2.116), (2.122) заменить либо условиями 0 a +1 min{A,j Д2}, 5 0, г = 0, у -1, либо условиями 0 a +1 min{A,i +5Д2}, 0 -8 Хх, г = 0, у -1, либо условиями

Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена новым корректно поставленным задачам для уравнений смешанного типа -уравнений, которые «в разных частях рассматриваемой области» принадлежат «к различным типам» [7].

Теория уравнений смешанного типа, истоком которой стала известная задача Ф.Трикоми [71] о нахождении решения уравнения уи +иуу = 0, принимающего заданные значения на эллиптической части а границы dD области рассмотрения уравнения D и на одной из двух характеристик, образующих гиперболическую часть Г границы dD = c[jr, получила бурное развитие начиная с 40-х годов двадцатого столетия. Последнее обстоятельство обусловлено как непосредственно связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теории интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами физики, механики, биологии, сводящимися к таким уравнениям. Отметим следующих учёных, внёсших большой вклад в разработку теории уравнений смешанного типа: А.В.Бицадзе, С.П.Пулькина, В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, Л.И.Чиб-рикову, В.И.Жегалова, А.М.Нахушева. Интересные результаты получены также в работах В.Ф.Волкодавова [8], В.Н.Врагова [10], К.Б.Сабитова [62], А.Н.Зарубина [21], [22], И.Е.Плещинской, Н.Б.Плещинского [84], Ф.Г.Мух-лисова [41], Р.С.Хайруллина [75], О.А.Репина [57], Л.С.Пулькиной [56], А.А.Андреева [2] и др.

В данной работе рассматриваются задачи для уравнения влагопереноса у2ихх -Uyy + аих = 0, уравнения хи + уи + аих + $иу - 0, параболо-гипербо лического уравнения, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки. Как известно, скорость каппилярного движения влаги сокап для ряда капил-лярнопористых тел обратно пропорциональна пути движения х: сокап=а0/х, где а0 - некоторая постоянная величина, зависящая от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости. В 1965г. А.В.Лыков [38] для плотности потока влаги j, проходящей через эти тела, вывел уравнение обозначает время, Dm - коэффициент диф дх aQ дх дх фузии влаги в теле). Отметим также, что для рассмотренного выше уравнения А.В.Лыков решил задачу в случае полу ограниченного тела, через открытую поверхность которого поступает постоянный поток влаги j0 со следующими краевыми условиями: Однако в 1998г. В.М.Нахушева [52] обосновала некорректность такой постановки и, уточнив её, нашла конструктивную формулу решения вновь поставленной задачи через гипергеометрические функции.

Как оказалось, уравнение, полученное А.В.Лыковым, имеет место не только в физике, но и в биологии. Так, если за щ = (,, t) принять одномерний поток некоторой субстанции (например, биомассы микробной популяции) в точке % биологического реактора 0 Ъ, 1Х в момент времени t, за D - коэффициент диффузии, за хъ 0 - константу, связывающая скорость переноса v и путь движения следующим соотношением: у = (лг3/)2, то щ будет удовлетворять уравнению [50] -, которое отличается от уравнения, выведенного Лыковым, лишь обозначениями. Сделав в этом уравнении замену переменных согласно формулам x = t/t0, у = \l\Jx3t0, и(х, у) = ux{-yjx3t0y, xt0) мы придём к более простому соотношению у2ихх -Uyy +аих =0. Последнее в силу его физического смысла получило название уравнения влагопереноса. В монографии А.М.Нахушева [50] также показано, что к уравнению влагопереноса можно прийти и с помощью линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида и, = [(aw + Р)"] + \ш - у и2, где и = и(х, t) -скалярная функция точки х є R и времени /,асс,(3,ц.иу- постоянные величины.

задаче с операторами обобщённого дробного интегродиффе ренцирования для уравнения влагопереноса с а = -1 в характеристи ческой области

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой - гиперболическое, было указано в 1959г. И.М.Гельфандом [15]. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окружённом пористой средой: в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Я.С.Уфлянд в статье [72], опубликованной в 1964г., описывает задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке 0 х I полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки. В результате он приходит к системе уравнений, которую можно привести к виду

Исходя из вышесказанного, становится понятно, почему в первых работах, посвященных обсуждаемым уравнениям, изучались либо аналоги задачи Три-коми, либо задачи, краевые условия которых содержали заданные значения искомой функции или её производных на участках границы области, где рассматривалось уравнение, в том числе задачи Дарбу и Гурса. В качестве примера для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, здесь можно привести статьи А.М.Нахушева [42], [47], [48], Т.Ш.Кальменова [26], [27], [28], В.Н.Врагова [11], С.К.Кумыковой [35], для уравнения хи + уи + аих + $иу = 0- статью Хе Кан Чера [76], для параболо гиперболических уравнений - статьи Г.МСтручиной [69], С.И.Гайдука, А.В.Иванова [13], Л.А.Золиной [23], Х.Г.Бжихатлова, А.М.Нахушева [5], В.Н.Абрашина [1], В.А.Елеева [17]. Следует также отметить, что интерес к подобного рода проблемам не ослабевал и в дальнейшем (см. работы А.М.Нахушева [43], Р.Н.Хубиева [77], М.М.Смирнова [66], Н.Ю.Капустина [29], [30], К.Б.Сабитова [61], А.Сопуева, Т.Д.Джураева [67], Б.Исломова [25], М.Е.Лернера [37]).

Однако в задаче Трикоми одна из характеристик в гиперболической части Г границы смешанной области свободна от граничных условий. Поэтому точки Г не являются равноправными носителями граничных данных. Такая ситуация имеет место и в задаче С.Гелл ерстедта [81], в «ударных» задачах Ф.И.Франкля [74], в задаче А.В.Бицадзе с отходом от характеристики [6]. Это обстоятельство вызывает принципиальные затруднения при построении теории краевых задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях. В связи с этим в 60-х годах А.В.Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных данных.

Одной из первых работ в этом направлении стала статья В.И.Жегалова [19], в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения на одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования А.М.Нахушева [45], [49]. Он предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Эти задачи явились непосредственным и существенным обобщением задачи Трикоми. В отличие от задачи Три-коми здесь задаётся условие, связывающее значение искомого решения или его производной, в том числе, дробного, в трёх точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.

Задача со смещением для одного уравнения смешанного типа

Таким образом, уравнение влагопереноса, уравнение хи + уи +аих + + fiuу = О и уравнения параболо-гиперболического типа, а также краевые задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегродифференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, её результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.

Цели и задачи исследования. Целями и задачами исследования являются: а) доказательство свойств для композиции \I q r\I[_ s f)(v))(x),0 p l, в случае q = р +1, t = -р и г = О, s = 0; б) постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса, урав нения хи + уи + аих+$иу=0 и уравнения параболо-гиперболического ти па, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса и доказательство теорем существования и единст венности решения этих задач; в) выделение случаев, допускающих возможность получения явных решений исследуемых задач; г) выявление условий на параметры операторов, заданных констант и задан ных функций, позволяющих максимально широко охватить класс рассмот ренных в работе задач.

Научная новизна. Научная новизна заключается а) в дальнейшем развитии идеи смещений в краевых условиях, выраженного во влиянии на корректность постановки задач слагаемых, содержащих либо дробные интегралы от пределов искомой функции при у— -0, у- +0 или от пределов частной производной по у от искомой функции при у— —0, у —» +0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от значений искомой функции или от значений частной производной по у от искомой функции при у = 0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от пределов искомой функции при у - -0, у или от пределов частной производной по у от искомой функции при у- -0, у -» +0, умноженных на заданные функции; б) в выявлении влияния на корректность постановки задач степеней t и (1 -1) в качестве множителей к значениям искомой функции на аффиксах, от которых берутся операторы дробного интегродифференцирования в нелокальных условиях этих задач; в) в установлении эффекта влияния коэффициента при младшей производной на корректную постановку нелокальных краевых задач для уравнения влаго переноса; г) в выявлении условий, обеспечивающих выполнение принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дроб ного дифференцирования порядка а 1; д) в выделении класса задач, для которых возможно получить решение в яв ном виде; е) в выяснении влияния параметров композиции [Io+ q r {Ifjs f)(v))(x) в случае 0 р \ на параметры нелокального условия корректно постановленной за дачи для уравнения влагопереноса.

Общая методика исследования. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории операторов обобщённого дробного интегродифференцирования, теории интегральных уравнений, теории дифференциальных уравнений с частными производными. В частности метод доказательства единственности решения задач для уравнения влагопереноса с помощью принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а 1, для параболо-гиперболических уравнений на основании специальных неравенств, связывающих произведения следов искомого решения и нормальной производной; методі доказательства существования решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, полного особого интегрального уравнения с ядром Коши в исключительном случае, интегрального уравнения Фредгольма второго рода; метод доказательства существования и единственности решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, интегрального уравнения Вольтерра. Отметим также использование преобразования Меллина в вопросе разрешимости задачи для уравнения хи + уи + аих + $иу = 0.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, из которых две последние разбиты на одиннадцать параграфов, списка использованной литературы. Объём диссертации составляет 119 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

Первая глава диссертации посвящена операторам обобщённого дробного интегродифференцирования в смысле М.Сайго Даны определения этих операторов. Показано, что дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля являются их частным случаем. Из многочисленных свойств операторов обобщённого дробного интегродифференцирования в смысле М.Сайго и дробных интегралов и производных Римана-Лиувилля выписаны необходимые в дальнейшем, причём следующие из них с доказательством:

Похожие диссертации на Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Разностные методы решения краевых задач для уравнений параболического типа с дробной производной в граничных условиях Худалов Марат Захарович

Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряженияБарова Евгения Анатольевна

Осилляционные интегралы и их приложения к решению задачи Коши для уравнений типа ШредингераКуркиев, Ахмет Бесланович

Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа Хасанова Светлана Леонидовна

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядковРустамова Людмила Рустамовна

Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа Глушкова Дарья Игоревна

Краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиГучаева, Зера Хамидбиевна

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго родаЕгорова Ирина Петровна

Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождениемТрегубова (Сулейманова) Альбина Хакимьяновна