Содержание к диссертации
Введение... 4
Глава I. Задачи типа Триноми с алгебраической нелинейностью в краевом условии 9
§ І. "Задача для модельного уравнения в полярных координатах 9
1.1. Постановка задачи и её редукция к краевой задаче теории (аналитических функций 9
1.2. 'Задача о модуле аналитической сйгнкции 13
1.3. Случай разрешимости в явном виде 15
1.4. О распадении на линейные задачи 17
1.5. О разрешимости задачи при некоторых дополнительных условиях 20
1.6. ?езше 25
§ 2. Задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе 26
2.1. Формулировка задачи и сведение ее* к нелинейной краевой задаче типа Гильберта 26
2.2. Задача о модуле аналитической функции 29
2.3. второй случай разрешимости задачи (2.6) в явном виде . 31
2.4. Случай распадения на линейные задачи 34
2.5. Некоторые замечания 36
Глава П. Задачи со свободными границами 39
§ 3. Задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе 39
3.1. Постановка задачи и сведение её к смешанной краевой задаче теории аналитических функций 39
3.2. исследование смешанной краевой задачи при некоторых дополнительных предположениях 41
3.3. Продолжение 45
3.4. Продолжение 47
Применение конформных отображений 48
3.6. Резше 56
4.. Задача для уравнения с двумя линиями изменения типа 56
4.1. Постановка задачи и приведение её к краевой задаче со свободными границами для аналитических функций 56
4.2. Случай распадения на линейные задачи 59
4.3. Линейно-эллиптический случай 63
4.4. Другие случаи 66
4.5. Таблица случаев явной разрешимости 69
§ 5. Уравнение в полярных координатах 74
5.1. Постановка задачи, приведение её к смешанной краевой задаче теории аналитических функций 74
5.2. Исследование нелинейной смешанной краевой задачи со свободными границами 75
5.3. Применение конформных отображений 78
Глава ПІ. Задачи с "малой" нелинейностью 81
§ 6. Уравнение с круговой линией изменения типа 81
6.1. Постановка задачи и приведение её к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Гильберта 81
6.2. О разрешимости системы 84
6.3. Единственность решения 89
§ 7. Система дифференциальных уравнении первого порядка смешанного типа 94
7.1. Формулировка задачи и редукция её к системе нелинейных слнгулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши . 94
7.2. О разрешимости системы в частном случае 96
7.3. Продолжение 106
7.4. Другой случай разрешимости 107
Л.итиратура, . 117
Введение к работе
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа - один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Первая работа Ф.Трикоми [82] появилась около шестидесяти лет назад, однако период наиболее интенсивного развития этой теории приходится на последние тридцать лет. Начало этому периоду положено исследованиями советских математиков М.А.Лаврентьева,А.В.Би-цадзе, К.И.Бабенко, Ф.И.Франкля, И.Н.Векуа. Ими получены фундаментальные теоретические результаты и установлены СЕЯЗИ С задачами трансзвуковой газовой динамики [9,23,70,71], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [17], безмоментной теории оболочек [17]. Позднее были обнаружены и другие приложения: в магнитной гидродинамике [38], теории электронного рассеяния [8і], в прогнозировании почвенной влаги [49], в биологии [27,50] .Важные результаты по этой тематике в дальнейшем были получены в работах М.М.Смирнова,В.П.Михайлова,С.П.Пулышна,В.Ф.Волкодавова, Т.В.Чек-марева, В.Н.Врагова, А.М.Нахушева и их учеников. Обзор многих результатов тлеется в монографиях А.В.Бипадзе [12,13] , Л.Берса [ 9], М.М.Смирнова [67], М.С.Салахитдинова [63], Т.Д.Джураева [ 26].
В 60-х годах появились статьи В.И.Жегалова [28] и А.М.Наху -шева [ 5l], в которых впервые поставлены и изучены краевые задачи со сдвигами в гиперболической области, а также работа А.В.Бипадзе и А.А.Самарского [14] , где подобная задача рассматривалась для эллиптических уравнений. Эти задачи со "смещениями", или "нелокальные", как их назвали позже, быстро привлекли внимание математиков. В настоящее время имеется большое число работ, где такие задачи изучаются для дифференциальных уравнений различных типов.
Для уравнений смешанного и смешанно-составного типа систематике -ские исследования указанных задач ведутся в г.г.Ленинграде, ЕУй-бншеве, Ташкенте и Казани. Появились и приложения [49,50].
Во всех упомянутых выше работах рассматривались только линейные краевые задачи (как со смещениями, так и без смещений). Иссле-дованио нелинейных задач без смещений для уравнений смешанного типа началось сравнительно недавно. Первые работы относятся к 1966г. (Д.К.Г:зазава [20], И.В.Майоров [43], Г.Г.Салахиев [60-62]). В ста -тьях [(50-62])изучены задачи для систем уравнений смешанного типа, когда :з краевом условии присутствовал нелинейный член с малым параметром. В связи с этим применялись результаты теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений, полученные А.И.Гусейновым [24], В.К.Наталевичем [46,48], Е.И.Гехтом [21-22], В.Ф.Кропачевым [40] и другим (см.например, монографию А.И.Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова[25]). В работах Д.К.Гвазавн [20], И.В.Майорова [43], Л.И.Галиевой [18] нелине:їннми были исходные уравнения, в работах И.Н.РодионовоЙ [59], Р.М.За:їниева [ 33], И.Е.Солодовникова [68], нелинейными были условия склеивания.
Н злинейные краевые задачи со смещениями, насколько нам известно, пока никем не рассматривались. Поэтому целью настоящей диссертации является изучение нелинейных краевых задач со смещениями ДЛЇ некоторых модельных уравнений смешанного типа.
Отправной точкой для постановки изучаемых в диссертации задач поолужили работы В.И.Жегалова [28-32]. Рассмотренные здесь задачи яэляются линейными, но оказалось, что применяемая в этих работах методика может быть распространена и на нелинейные задачи, если привлечь еще результаты В.К.Наталевича [46,47] и Ю.В.Обносо-ва [53-55] по нелинейным краевым задачам теории аналитических функций, которые до сих пор в теории уравнений смешанного типа не исполь зовались.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Б главе I рассматриваются задачи типа Трикоми для уравнений г Ф±+ г - +ьоШ-г)&Ц- =0 . (0.2) беа to dtp2
Первое из них есть хорошо известное уравнение Лаврентьева-Би-цадзе, а второе - это же уравнение в полярных координатах. Уравнение (0.2) удобно тем, что имеет круговую линию изменения... типа, оно изучалось ранее в работах[78,77,57,8,П,34,72,7б]. Б диссертации левые части граничных условий в гиперболической области представляют собой полином второго порядка относительно значений искомой функции, вычисленной в трех различных точках границы области. При отсутствии нелинейных слагаемых рассматриваемая задача совпадает с частными случаями линейных задач, изученных В.И.Жега-ловым. Путем введения в эллиптической области гармонически сопряженной с искомой функции тг(а,и) и использования решения задачи Коши краевое условие в гиперболической области преобразуется в нелинейное условие на переходной линии. В эллиптической области получается нелинейная краевая задача для аналитической функции, при решении которой используются известные методы теории функции комплексного переменного, в частности метод аналитического продолжения функции в симметричную область [35,36,75].
Выявлен ряд случаев, когда задача допускает решение в явном виде. Дня этого краевое условие на переходной линии должно иметь специальную форму, например, I. П(а.и + Ьг-с.)=0; з. Ре(а-іЬ)(г 2 -суы=а, где ц/ - функция,аналитически продолжимая в область эллиптичности.
Задачг с условием I. представляет собой совокупность задач Гильберта с непрерывными и разрывными коэффициентами. Задачи с условиями 2.-3. путем введения вспомогательной функции сводятся к задачам Гильберта для аналитической функции, которые решаются методом, изложенным в работе Л.И.Чибриковой [75]. При этом на вспомогательную функцию накладываются дополнительные условия. Б первых дьух параграфах главы П (§ 3 - § 4) изучаются обобщения на нелинейный случай задач, рассмотренных в работах [29,30]. К решению их также привлекаются методы теории функций комплексного переменного. А именно, с помощью конформного отображения и анали-тичесБсго продолжения эти задачи редуцируются к основным обратным клевым задачам теории аналитических функций [ 69]. В § 5 подобная: задача рассмотрена для уравнения (0.2). При этом пришлось сначала исследовать линейную задачу. По сравнению с работами [29], [ЗО] гдесь могут получиться не только внутренние обратные краевые задачі;, но и внешние. Это зависит от того, принадлежит или нет начале координат искомой области. Указанное обстоятельство влияет и ка картину разрешимости задачи.
Заметим, что задача, рассмотренная в § 3, обобщает обрат -ную краевую задачу околозвукового течения газа [44].
Б главе Ш изучаются задачи с нелинейностями того же типа,что и у Г.Г.Салахиева [60-62], но присутствуют смещения. Фактически мы распространяем методику работ [ 60-62] на случай задач со смещениями. В § 6 рассматривается задача, для уравнения (0.2), а в § 7 - задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка смешанного типа с пятью смещениями в гиперболической части области. Получены условия, позволякщие применить для нахождения решения метод последовательных приближений.
На защиту выносятся следукщие основные результаты:
1) Постановка и решение в явном виде краевых задач типа Три-коми с полиномиальными условиями смещения для уравнений типа Лавре нтьева-Бицадзе (§§ 1-2).
2) Постановка и исследование разрешимости нелинейных краевых задач со свободными границами для модельных уравнений смешанного типа (§§ 3-5).
3 Постановка и решение некоторых нелинейных краевых задач с малым параметром для уравнения (0.1) и для одной системы уравнений первого порядка смешанного типа (§§ 6-7).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-7]. Они, по мере их получения, докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (1980, 1983), на конференции молодых ;гченых, посвященной 175-летию Казанского университета (1980), на Болзюком семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных в г.Куйбышеве в 1981, 1982, 1983 г. (руководитель - доктор фипико латематических наук, профессор В.Ф.Волкодавов); на секции "У])авнения смешанного типа и вырождакщиеся уравнения" всесоюзной школы-семинара по уравнениям неклассического типа в Новосибирске в "981 г., организованной институтом математики СО АН СССР и Новосибирским университетом; и неоднократно на семинаре по краевым задачам при Казанском университете (руководитель - доктор фи-ипсо-математических наук, профессор Л.И.Чибрикова).
В заключение пользуюсь случаем, чтобы выразить искреннюю благодарность профессору Любови Ивановне Чибриковой и доценту Валентину Ивановичу Жегалову за постоянное внимание и помощь в работе.
