Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Краевые задачи для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными 32
1.1. Постановка классической и обобщенной задач Дарбу для вы рождающегося гиперболического уравнения второго порядка
со спектральным параметром 32
1.2. Обобщенная задача Дарбу для волнового уравнения 34
1.3. Обобщенная задача Дарбу для уравнения Геллерстедта 40
1.4. Обобщенная задача Дарбу для телеграфного уравнения 44
1.5. Об одном методе решения задачи Дарбу для телеграфного уравнения 51
1.6. Обобщенная задача Дарбу для оператора Геллерстедта со спек тральным параметром 53
1.7. Задача Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана 59
1.8. Задача Гурса в интегральной постановке для уравнений ги перболического типа 68
1.9. Задача Гурса в интегральной постановке для специальных
дифференциальных уравнений гиперболического типа 83
Глава II. Краевые задачи со смещением для локальных и нелокальных уравнений второго порядка параболического типа 90
2.1. Краевая задача с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности з
2.2. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диф фузионного уравнения 101
2.3. Редукция задачи Самарского для нелокального диффузион ного уравнения к локальным краевым задачам 107
2.4. Первая краевая задача в интегральной постановке для урав нения теплопроводности 112
2.5. Постановка краевых задач с интегральным смещением для ли нейного уравнения параболического типа и определение обоб
щенного решения 116
2.6. Вторая краевая задача в интегральной постановке для урав нения параболического типа 123
2.7. Первая краевая задача в интегральной постановке для урав нения параболического типа 126
2.8. Задача со смешанным сдвигом для класса уравнений парабо лического типа 134
Глава III. Краевые задачи с интегральным смещением для эллиптических уравнений 141
3.1. Краевая задача с интегральным смещением на двух гладких
непересекающихся частях границы для уравнения Лапласа 141
3.2. Краевая задача с интегральным смещением на двух непересе кающихся гладких частях границы для эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части 145
3.3. Краевая задача с интегральным смещением на одной гладкой части границы для уравнения Лапласа и её связь с составного типа уравнением Адамара 152
3.4 Краевая задача с интегральным смещением на двух гладких соприкасающихся частях границы для уравнения Лапласа и ее связь с составного типа уравнением Адамара четвертого
порядка 157
Глава IV. Краевые задачи для уравнений смешанного типа 161
4.1. Об одном представлении дробного интеграла М. Сайго и его приложении к нелокальной задаче для уравнения смешанного типа 161
4.2. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами 173
4.3. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нело кальным условием сопряжения 185
4.4. Нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе 199
4.5. Нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи Кобера для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами 206
4.6. Аналог задачи А. А. Дезина для уравнения смешанного гиперболо параболического типа 211
Заключение 219
Список литературы
- Обобщенная задача Дарбу для волнового уравнения
- Редукция задачи Самарского для нелокального диффузион ного уравнения к локальным краевым задачам
- Краевая задача с интегральным смещением на двух непересе кающихся гладких частях границы для эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части
- Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена линейным краевым задачам со смещением для основных и смешанных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, относящихся к важнейшим прежде всего благодаря своим приложениям к динамическим системам с распределенными параметрами, проблемам газовой динамики, безмоментной теории оболочек и математического моделирования нелокальных физических процессов. Трудность проблем теории уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их задания, чрезвычайно стимулировала и продолжает стимулировать интенсивные исследования в области нелокальных краевых задач, в особенности задач со смещением. Подтверждением сказанному являются многочисленные научные публикации отечественных и зарубежных авторов за последние пятнадцать лет, отмеченные в монографиях М.С. Салахитдинова и А.К. Уринова («Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром». - Ташкент: ФАН, 1997), Т.Д. Джураева и А. Сопуева («К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка». - Ташкент: ФАН, 2000), В.И. Жегалова и А.Н. Миронова («Дифференциальные уравнения со старшими производными». -Казань: Казанское математическое общество, 2001), A.M. Нахушева («Дробное исчисление и его применение». М.: Физматлит, 2003; «Задачи со смещением для уравнений в частных производных». - М.: Наука, 2006), М.С. Салахитдинова и М. Мирсабурова («Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами». -Ташкент: Universitet, 2005), А.В. Псху («Уравнения в частных производных дробного порядка». - М.: Наука, 2005), Л.И. Сербиной («Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах». -М.: Наука, 2007), О.А. Маричева, А.А. Килбаса и О.А. Репина («Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными ко-
эффициентами». - Самара: Изд-во СамГЭУ, 2008).
К задачам со смещением относятся такие классические задачи как задача Римана для голоморфных функций и задача Франкля для уравнений смешанного типа, которая была объектом исследования А.В. Би-цадзе, К. Моравец, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова. Задаче Дарбу, прямым и обратным краевым задачам с локальным и нелокальным смещением посвящены важные работы А.Н. Зарубина, Т.Ш. Кальмено-ва, А.И. Кожанова, Е.И. Моисеева, СМ. Пономарева, Н.И. Попивано-ва, А.И. Прилепко, Л.С. Пулькиной, К.Б. Сабитова, М.Х. Шханукова-Лафишева.
В.А. Стеклов обратил внимание, что различные задачи об охлаждении тел линейных размеров, переведенных на язык анализа, сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений параболического типа с краевыми условиями первого и второго классов. Эти краевые условия, имеющие, по словам А.А. Самарского, нестандартный вид, являются краевыми условиями со смещением. Фундаментальную роль в развитии методов исследования нелокальных краевых и внутренне-краевых задач сыграли работы А.В. Бицадзе и А.А. Самарского, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева.
Об актуальности темы и ее востребованности свидетельствуют материалы и труды международных конференций и симпозиумов, посвященных нелокальным краевым задачам для уравнений смешанного типа и родственным проблемам анализа и информатики.
Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов», утвержденному Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.
Цель работы. Главная научная цель диссертации состоит в разработке и развитии аналитических и функциональных методов поиска критериев однозначной разрешимости нелокальных краевых задач со смещением для основных типов линейных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами.
В работе доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического, параболического, эллиптического и смешанных (как эллиптико-гиперболических, так и параболо-гиперболических) типов, а также смешанных задач с локальным и нелокальным условиями сопряжения на многообразиях параболического вырождения соответствующих им дифференциальных уравнений. Основные усилия направлены на доказательство теорем существования и единственности решений следующих задач:
-
Обобщенной задачи Дарбу в нелокальной постановке для вырождающегося гиперболического типа уравнения второго порядка со спектральным параметром.
-
Задачи Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана.
-
Задачи Гурса в интегральной постановке для линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
-
Линейной краевой задачи с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности и задачи Самарского для нелокального диффузионного уравнения.
-
Краевых задач в интегральной постановке и задач со смешанным сдвигом для уравнений второго порядка параболического типа.
-
Краевых задач с интегральным смещением для линейных эллиптических уравнений с оператором Лапласа в главной части.
-
Нелокальной задачи Дезина, задачи Трикоми и внутреннекрае-вой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-
Бицадзе.
8. Внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера и аналога задачи Дезина для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.
Методы исследования. В основе методов исследования разрешимости рассматриваемых дифференциальных уравнений, описания качественных и количественных характеристик их решений лежат метод функций Римана и Грина-Адамара, метод интегральных уравнений, в том числе нагруженных и сингулярных, метод априорных оценок и необходимых краевых и внутреннекраевых условий, принципы Хопфа и Зарембы-Жиро, метод Фурье и специальные свойства функций типа Миттаг-Леффлера и Райта.
Научная новизна. В диссертации впервые разработаны следующие существенно новые теоретические положения, сформированные в виде теорем, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в области дифференциальных уравнений в частных производных:
-
Теоремы единственности и существования решения обобщенной задачи Дарбу с нелокальным условием на нехарактеристической части границы для волнового и телеграфного уравнений, для уравнения Геллерстедта и вырождающегося гиперболического уравнения с вещественным спектральным параметром.
-
Теорема единственности и существования регулярного решения обобщенной задачи Дарбу в локальной постановке для линеаризованного уравнения Сен-Венана при различных, в том числе критических, значениях числа Фруда.
-
Решение проблемы поиска условия эквивалентности задачи Гур-са в интегральной постановке системе двух линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода и метода ее редукции к локальной краевой задаче для дифференциального уравнения в частных произ-
водных четвертого порядка; теорема единственности решения задачи Гурса с интегральными данными.
-
Доказательство однозначной разрешимости краевой задачи с нелокальным смещением на нехарактеристической части границы; обоснование метода Фурье решения видоизмененной задачи Самарского для уравнения фрактальной диффузии и развитие метода ее эквивалентной редукции к локальным краевым задачам для такого же типа уравнений или же для уравнения третьего порядка составного типа.
-
Теоремы единственности и существования решения первой, второй краевых задач в интегральной постановке и задачи со смешанным сдвигом для линейных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа.
-
Исследование на корректность краевой задачи с интегральным смещением на двух непересекающихся гладких частях границы для линейного эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части как двумерного аналога одномерной нелокальной задачи В.А. Ильина и Е.И. Моисеева для оператора Штурма-Лиувилля; теорема об экстремальных свойствах решения этой задачи.
-
Исследования краевых задач с интегральным смещением на одной и двух частях границы для уравнения Лапласа и реализация метода их редукции к локальным краевым задачам для составного типа уравнений Адамара третьего и четвертого порядков соответственно.
-
Теорема о представлении дробного интеграла М. Сайго в виде взвешенной суперпозиции операторов Римана-Лиувилля и ее применение к уравнению смешанного типа.
-
Теоремы единственности и существования решения задачи А.А. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами и исследование задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием линейного сопряжения.
10. Исследование нелокальной внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами, а также аналога задачи А.А. Дезина для такого же типа уравнений в частных производных второго порядка.
Теоретическая и практическая значимость. Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в теории динамических систем с распределенными параметрами и при математическом моделировании нелокальных физических процессов.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами.
Апробация работы. Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях: научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Нахушев A.M.); объединенного научно-исследовательского семинара кафедры Вычислительной математики (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Шхануков-Лафишев М.Х.) и кафедры Теории функций и функционального анализа (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Елеев В.А.) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения ВПО "Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова"; научно-исследовательского семинара кафедры Функционального анализа и его применения (руководитель семинара академик РАН Моисеев Е.И.) факультета Вычислительной математики и кибернетики Федерального государственного образовательного учреждения ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова"; научно-исследовательского семинара кафедры Диффе-
ренциальных уравнений (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Шамаев А.С.) Механико-математического факультета Федерального государственного образовательного учреждения ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова", а также прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:
-
Всесоюзная научная конференция "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений". Алма-Ата, 1991 г.
-
Вторая Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.
-
Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003 г.
-
Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 26-28 мая 2004 г.
-
Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004 г.
-
Третья Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006 г.
-
Всероссийская научная конференция "Самдифф"—2007. Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2007 г.
-
Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2008 г.
-
Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященная 90-летию академика А.А. Самарского. Москва, 2009 г.
10. Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения
смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2009 г.
-
Шестая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 2009 г.
-
Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2010 г.
-
Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010 г.
-
Второй Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2011 г.
-
Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 2011 г.
-
Второй Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Терскол, 2012 г.
В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (2000-2002 гг.), 06-01-96627-р_юг_а «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энерго- и массооб-мена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.
Результаты диссертации внедрены соискателем в учебный процесс Третьей Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик - п. Эль-
брус, 2005 г.).
Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 38 работах автора. В том числе одна монография [18], 12 публикаций в рецензируемых журналах, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК РФ [1], [2], [8], [11], [12], [14]-[17], [19]-[21].
Структура и объем работы. Диссертация объемом 237 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 148 наименования, и набрана с использованием пакета LaTeX.
Обобщенная задача Дарбу для волнового уравнения
Об актуальности темы и ее востребованности свидетельствуют материалы и труды международных конференций и симпозиумов [45]-[56], посвященных нелокальным краевым задачам для уравнений смешанного типа и родственным проблемам анализа и информатики.
Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов», утвержденному Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.
В.А. Стеклов [133] обратил внимание, что различные задачи об охлаждении тел линейных размеров, переведенных на язык анализа, сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений параболического типа с краевыми условиями первого и второго классов. Эти краевые условия, имеющие, по словам А.А. Самарского [127], нестандартный вид, являются краевыми условиями со смещением [64]. Фундаментальную роль в развитии методов исследования нелокальных краевых и внутреннекраевых задач сыграли работы А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [6], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [30], [31].
Главная научная цель диссертации состоит в разработке и развитии аналитических и функциональных методов поиска критериев однозначной разрешимости нелокальных краевых задач со смещением для основных типов линейных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами. В работе доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического, параболического, эллиптического и смешанных (как эллиптико-гиперболических, так и параболо-гиперболических) типов, а также смешанных задач с локальным и нелокальным условиями сопряжения на многообразиях параболического вырождения соответствующих им дифференциальных уравнений. Основные усилия направлены на доказательство теорем существования и единственности решений следующих задач: 1. Обобщенной задачи Дарбу в нелокальной постановке для вырождающегося гиперболического типа уравнения второго порядка со спектральным параметром. 2. Задачи Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана. 3. Задачи Гурса в интегральной постановке для линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. 4. Линейной краевой задачи с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности и задачи Самарского для нелокального диффузионного уравнения. 5. Краевых задач в интегральной постановке и задач со смешанным сдвигом для уравнений второго порядка параболического типа. 6. Краевых задач с интегральным смещением для линейных эллиптических уравнений с оператором Лапласа в главной части. 7. Нелокальной задачи Дезина, задачи Трикоми и внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. 8. Внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера и аналога задачи Дезина для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.
В основе методов исследования разрешимости рассматриваемых дифференциальных уравнений, описания качественных и количественных характеристик их решений лежат метод функций Римана и Грина-Адамара, метод интегральных уравнений, в том числе нагруженных и сингулярных, метод априорных оценок и необходимых краевых и внутреннекраевых условий, принципы Хопфа и Зарембы-Жиро, метод Фурье и специальные свойства функций типа Миттаг-Леффлера и Райта.
Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в теории динамических систем с распределенными параметрами и при математическом моделировании нелокальных физических процессов.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами.
Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях: научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Нахушев A.M.); объединенного научно-исследовательского семинара кафедры Вычислительной математики (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Шхануков-Лафишев М.Х.) и кафедры Теории функций и функционального анализа (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Елеев В.А.) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения ВПО
Редукция задачи Самарского для нелокального диффузион ного уравнения к локальным краевым задачам
В последнем параграфе первой главы доказаны единственность и существование решения задачи Гурса в интегральной постановке для гиперболического уравнения с нулевым инвариантом и других специальных дифференциальных уравнений, в том числе телеграфного, не удовлетворяющих условиям теоремы 1.8.2.
Вторая глава состоит из восьми параграфов и посвящена краевым задачам со смещением для локальных и нелокальных уравнений второго порядка параболического типа. Объектом исследования параграфа 2.1 является поиск условий однозначной разрешимости задачи S (a, b).
Задача S (a,b). Найти регулярное в области Q = {z : 0 х I, О у Т} и непрерывное в замыкании Q решение u(z) = u(x, у) уравнения теплопроводности uy = uxx со следующими свойствами: 1) функция u(z) удовлетворяет начальному условию и(х) = (р(х), 0 х /; 2) производная uy{z) является абсолютно суммируемой на сегменте [0, /] функцией пространственной переменной х для любого момента времени у 0 и удо i влетворяет условию Самарского 4- Г u(z) dx = 0; 3) Mm ux(z) = ux(r,y) Є
Доказательство теоремы 2.1.1 опирается на 5 лемм, которые могут представлять самостоятельный интерес.
Объектом исследования в параграфах 2.2 и 2.3 является видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения
В параграфах 2.4-2.8 дается постановка и исследование краевых задач с интегральным смещением для линейного уравнения параболического типа второго порядка вида A(z)uxx +
Первая краевая задача в интегральной постановке - это Задача 2.5.1. Найти решение и = и(х,у) уравнения (0.23), удовлетворяющее начальному условию и(х,0) = т(ж), 0 х а оо, и нелокальным условиям
Доказано, что при є = 1 задача 2.5.1 однозначно разрешима. Доказательство реализовано методом функции Грина первой краевой задачи для уравнения (0.23) в области Q. В случае уравнения теплопроводности иу = ихх задача 2.5.1 сводится к задаче Бицадзе-Самарского.
Третья глава состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию краевых задач с интегральным смещением для уравнений эллиптического типа в области Q = {z : а х Ь, 0 у Т}. Задача 3.2.1. Найти регулярное в области Q решение u = u(z) уравнения
Единственность и существование решения задачи 3.2.1 в случае, когда Л1 (у) = 0, Х2(у) = 0, f(z) = 0, Aj(y) = 0 и Bj{y) = 0 (см. задачу 3.1.1) доказывается в 3.1.
Уравнение (0.24) является частным случаем уравнения эллиптического типа Azv + A(z)vx + B(z)vy + C(z)v = F(z) (0.25) с оператором Лапласа Az = д2/дх2 + д2 /ду2 и с непрерывными в Q коэффициентами A(z)} B(z)} C(z) и правой частью F(z). Задача 3.2.1 инициирует следующую задачу. Задача 3.2.2. Найти регулярное в области Q решение v(z) уравнения (0.25), непрерывное в Q и удовлетворяющее краевым условиям задачи 3.2.2 при ра{у) = Ф/з(у) = 0 и F(z) = 0. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции v(z) на компакте Q не могут достигаться в точках z = а + iy или z = b + iy.
Одним из объектов исследования параграфа 3.3 является Задача 3.3.1. Найти регулярное в области D = {z : 0 х а, 0 у Ъ] решение u(z) = и(х,у) уравнения Лапласа Azu = 0, непрерывное в D и удовлетворяющее локальным краевым условиям о Эта задача простой заменой v(z) = D u + iy) редуцируется к локальной краевой задаче: v(iy) = 0, v{x) = VQ(X), v(x + ib) = V\(x), v(a + iy) = (p(y), vx(a + iy) = ift(y), 0 x a}0 y b} для уравнения Адамара dAv/дх = 0 (см. задачу 3.3.2).
Пусть (р(у) Є C2[0,b]. Тогда задача 3.3.1 эквивалентна следующей задаче. Задача 3.3.3. Найти регулярное в области D и непрерывное в D решение u(z) уравнения Azu = 0, удовлетворяющее краевым условиям: и(х)=то(х), u(x+ib)=Ti(x), 0 х a; u(a+iy) = ф(у), ux(iy) = ux(a+iy)+ + "(y),0 y b.
К задаче Бицадзе-Самарского сводится важная в приложениях Задача 3.3.4. Найти регулярное решение u(z) уравнения Лапласа Azu = 0, непрерывное в D и удовлетворяющее условиям: и(х) = то(х), и(х + ib) = ті(х), 0 х а,
Последняя IV глава диссертации, состоящая из шести взаимосвязанных параграфов, посвящена разработке и развитию методов постановки и исследования новых краевых задач для уравнений смешанного как эл-липтико-гиперболического, так и параболо-гиперболического типа второго порядка в специальных смешанных областях.
Краевая задача с интегральным смещением на двух непересе кающихся гладких частях границы для эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части
В области Q = {(х,у) : 0 х 1} 0 у Т} евклидовой плоскости точек (ж, у) рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности
Объектом исследования этого параграфа является поиск условий однозначной разрешимости следующей задачи. Задача S@ (a,b). Найти регулярное в области Q и непрерывное в замыкании Q решение u = и(х, у) уравнения (2.1.1) со следующими свойствами: 1) функция и(х,у) удовлетворяет начальному условию и{х,0) = (р{х), 0 х 1; (2.1.2) 2) производная иу{х, у) является абсолютно суммируемой на сегменте функцией пространственной переменной х для любого момента вре мени у 0 и удовлетворяет условию Самарского
Главным результатом этого параграфа является основная Теорема 2.1.1. Пусть -1 @ а 1; р(х) Є С2[0, /]7 ф) Є С [О, Т], D] ac(rj) Є С]0,Т] иф) Є С"а[0,Т] при а 0; а -Ь и скр(0)-Ь(р(1) = = Нт DQ C(TJ) при а = /3; а Ф 0 при а /3 и aip(0) = \im D c(rj); b(p(l) = — lim DQ C(T]) при a = 0. Тогда существует единственное решение и(х,у) задачи S (a,b), и оно удовлетворяет оценкам А и В - положительные постоянные, не зависящие от р{х) и с(у). о Задачей Sa(a, b) назовем краевую задачу, которая отличается от 5 (а, Ь) лишь тем, что условие (2.1.4) заменено условием
Заменой зависимой переменной по формуле-и = ди/дх задачу Sa(a, Ь) в соответствующем классе функций можно свести к задаче S (a,b) относительно v = v(x,y). Такой подход обоснован в работе [67] (см. также [69]) для нелокальной задачи в более общей постановке. Приведем доказательство ряда лемм о граничных следах решения задачи S (a, b).
Введем в рассмотрение операторы Щ и N y, которые действуют на функции f(y) Є L[0}T] и F{x) Є L[0}1] по формулам
При постановке и исследовании как локальных, так и нелокальных краевых задач для уравнения (2.1.1) важную роль играет следующая теорема, сформулированная в [62, с. 275].
Теорема 2.1.2. Пусть и(х,у) - регулярное в области Q решение уравнения (2.1.1), обладающее тем свойством, что и(х, у) Є C(Q), их(х, у) Є (7(0 х /, 0 у Т), их(0, у) и их(1, у) принадлежат L[0, Т]. Тогда функция и(х, у) удовлетворяет нелокальным условиям
Очевидно, включению (р(х) Є С[0, /] отвечает включение Ф(у) Є С[0,Т]. Следовательно, единственное решение w(у) интегрального уравнения Воль-терра второго рода (2.1.16) принадлежит пространству С[0,Т].
Лемма 2.1.2. Пустыр(х) Є С2[0,/]7 (0) = (/(/). ТогдаФ(у) Є Сг[0}Т], Ф(0) = р(0) + р(1), Ф (0) = р"(0) + рГ (1); w(y) Є С1[ Т], Ц0) = Ф(0)7 «/(()) = Ф (0). Доказательство. Замена = 2у/р; переменной интегрирования позволяет записать формулу (2.1.15) в виде
Лемма 2.1.3. Пусть существует решение и(х,у) задачи S (a,b). Тогда функция и(0, у) удовлетворяет уравнению ( aD + bDQu(0,ri) = bDllyw(ri)+c(y), 0 у Т, (2.1.18) где w(y) однозначно определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (2.1.13).
Эта лемма является следствием лемм 2.1.1 и 2.1.2. Действительно, в силу леммы 2.1.2 функция D0 w(i]) Є С]0,Т] для любого числа (З Є [—1,1]. Поэтому и(1,у) из (2.1.12) можно поставить в краевое условие (2.1.4) и тем самым убедиться в достоверности уравнения (2.1.18). Лемма 2.1.4. Пусть (р(х) Є С2[0,1], с(у) Є С[0,Т\; и(0,у) - след решения и(х,у) задачи 5 (а,&) при а = —Ь. Тогда и(0}у) Є С[0,Т] тогда и только тогда, когда
Допустим, что и(0}у) Є С[0,Т]. Тогда и f(y) Є С[0,Т]. Для любой функции f(y) Є С[0,Т] справедлив закон композиции получается из него непосредственным дифференцированием. Согласно лемме 2.1.2 w(0) = (р(0) + (/?(/), а предел и(0}у) при у — 0 должен равнятся (/?(0). Поэтому необходимое условие (2.1.20) вытекает из (2.1.21) при у — 0. Лемма 2.1.5. Пусть (р(х) Є С2[0,1], с(у) Є С[0,Т\; и(0,у) - след решения задачи S (a,b) при а (3, а ф 0. Включение и(0,у) Є С[0,Т] имеет место тогда и только тогда, когда Doyac(r]) C[0,T}, (2.1.25) а (0) = Нт 7Ф?)- (2-1.26)
При выполнении этих условий функция и(0}у) представима в виде Доказательство. Подействуем на обе части равенства (2.1.18) оператором DQ""-1. В результате согласно (2.1.23) будем иметь
При соблюдении необходимых условий (2.1.25) и (2.1.26) единственное и непрерывное на сегменте [0,Т] решение и(х,у) уравнения (2.1.31) задается формулой Хилле-Тамаркина (2.1.27), которую можно записать в виде см. [13, с. 1231)
Откажемся теперь от условия а / 0 доказанной леммы. При а = 0 (Ь ф 0) или Ъ = 0 (а ф 0), 2о = a, Q) = с, щ = 6, с/ = —с, условие (2.1.4) имеет вид arD yu(r,r]) = cr(y), а Є [-1,1], г = 0,/. (2.1.33)
Для того, чтобы уравнение (2.1.33), где сг(у) Є С[0,Т], с начальным условием и(г,0) = (/?(г) имело решение и(г}у) Є С[0,Т], необходимо и достаточно, чтобы Doyc(ri) Є ?[0,Т], ar (r) = limD cvM. (2.1.34) При выполнении (2.1.34) решением (г, у) уравнения (2.1.33) единственное и имеет вид aru(r,y) = Dcr(ri). (2.1.35) Равенство (2.1.35) подтверждает, что задачи 5 (0, &) и 5 (а, 0) по существу совпадают с задачей Самарского.
Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами
Задача (4.6.3), (4.6.19) для уравнения (4.6.5) была поставлена Фурье и является задачей об охлаждении сплошного кольца [133, с. 64].
Рассмотрим вопрос о спектре однородной задачи, соответствующей задаче 4.6.2. При f(x) = 0, шг = 2тгп} п = 1,2,... начальная функция т(ж) = тп(х) = т(0)тсп(х) Н rsn(x).
Нетрудно проверить, что функции u{z) = ип(х,у) = тп(х) ex.p(—uj2y) в области Q+ являются собственными функциями однородной задачи (4.6.6)-(4.6.7) для уравнения ихх - иу = 0, (4.6.20) соответствующими собственному значению Хп = —(27гп/г)2. При п = 0 собственному значению Л0 = 0 отвечает с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция щ(г) = 1. В силу единственности решения задачи (4.6.6), (4.6.19) для уравнения (4.6.20) других отличных от un(z), п = 0,1, 2,... собственных функций у однородной (/ = 0) задачи 4.6.2 не существует.
Докажем единственность решения задачи Фурье (4.6.6), (4.6.19). Пусть u(z) - решение однородной задачи Фурье из класса C2(Q+)P\ P\Cl(Q ). Из уравнения следует равенство
В области Q собственные функции un(z) задачи 4.6.2 (при f(z) = О, Л = Лп) выражаются через тп(х) и vn(x) = — {2тт/г)2тп{х) по формулам, полученным в 4.2. В частности, в области f i функция определяется как решение задачи Коши для уравнения (4.2.6) с начальными данными тп(х) = ип(х,0) и vn(x) = ипу(х,0). Существенно новый результат этого параграфа можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 4.6.1. Задача 4.6.1 при Л 0 или А Хп = — {2тт/г)2, п = 0,1, 2,... имеет единственное решение u(z); числа Хп являются собственными значениями соответствующей ей однородной задачи; собственным значениям Хп отвечают собственные функции un(z), которые в области задачам для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа посвящены работы В.А. Елеева [19], [20].
Итак, в диссертации впервые разработаны следующие существенно новые теоретические положения, сформированные в виде теорем, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в области дифференциальных уравнений в частных производных:
1. Теоремы единственности и существования решения обобщенной задачи Дарбу с нелокальным условием на нехарактеристической части границы для волнового и телеграфного уравнений, для уравнения Геллерстедта и вырождающегося гиперболического уравнения с вещественным спектральным параметром.
2. Теорема единственности и существования регулярного решения обобщенной задачи Дарбу в локальной постановке для линеаризованного уравнения Сен-Венана при различных, в том числе критических, значениях числа Фруда.
3. Решение проблемы поиска условия эквивалентности задачи Гурса в интегральной постановке системе двух линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода и метода ее редукции к локальной краевой задаче для дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка; теорема единственности решения задачи Гурса с интегральными данными.
4. Доказательство однозначной разрешимости краевой задачи с нелокальным смещением на нехарактеристической части границы; обоснование метода Фурье решения видоизмененной задачи Самарского для уравнения фрактальной диффузии и развитие метода ее эквивалентной редукции к локальным краевым задачам для такого же типа уравнений или же для уравнения третьего порядка составного типа.
5. Теоремы единственности и существования решения первой, второй краевых задач в интегральной постановке и задачи со смешанным сдвигом для линейных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа.
6. Исследование на корректность краевой задачи с интегральным смещением на двух непересекающихся гладких частях границы для линейного эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части как двумерного аналога одномерной нелокальной задачи В.А. Ильина и Е.И. Моисеева для оператора Штурма-Лиувилля; теорема об экстремальных свойствах решения этой задачи.
7. Исследования краевых задач с интегральным смещением на одной и двух частях границы для уравнения Лапласа и реализация метода их редукции к локальным краевым задачам для составного типа уравнений Адамара третьего и четвертого порядков соответственно.
8. Теорема о представлении дробного интеграла М. Сайго в виде взвешенной суперпозиции операторов Римана-Лиувилля и ее применение к уравнению смешанного типа.
9. Теоремы единственности и существования решения задачи А.А. Дези-на для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами и исследование задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием линейного сопряжения.
10. Исследование нелокальной внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и уравнений смешан ного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами, а также аналога задачи А.А. Дезина для такого же типа уравнений в част ных производных второго порядка.
Как анонсировано во введении, краевые задачи со смещением, в том числе и интегральным, для уравнений в частных производных выступают математическими моделями различных нелокальных физических и биологических процессов. Известная в газовой динамике задача Трикоми, в случае газа, в дозвуковой области для уравнения Трикоми эквивалентно сводится к краевым задачам с интегральным смещением на участке звуковой линии. В случае уравнения Лаврентьева-Бицадзе задача Трикоми редуцируется к краевой задаче с интегральным смещением на нехарактеристической части границы области для одномерного волнового уравнения. Поскольку указанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе не является корректно поставленной в классе С2(Г2), где Q - стандартная смешанная область, то возникает проблема поиска нелокальных условий сопряжения на звуковой линии (см. 4.3). Различные приложения краевых задач со смещением приведены в работах [14]—[16], [21], [33], [62]-[64], [126], [132]. В частности, задача расчета нестационарного движения почвенной влаги сводится к краевой задаче с интегральным смещением для уравнения Аллера [64, с. 17]
