Введение к работе
Актуальность, темы. В качественной теорій обыкновенных дифференциальных уравнений осцилдяционные спектральные свойства (вещественность и простота всех собственных значенні!, перемежаемость нулей собственных функций, чебышевосгь конечных отрезков из последовательности собственных функций и др.) занимают особое место. Впервые эти свойства были описаны в работах Штурма и Келлога для уравнений второго порядка. Келлог выделил класс интегральных операторов с непрерывными симметричными ядрами, для которых соответствующие краевые задачи обладают осцилляционными спектральными свойствами. Впоследствии такие ядра были названы ядрами Келлога.
Результаты Келлога послужили основой развития осцилляционной теории двухточечных задач для уравнений старша порядков. В ряде работ Ф.Р.Гантмахера и М.Г.Крейна изучены интегральные операторы с несимметричными ядрами и получены осцилляционные свойства спектра двухточечных задач для уравнений четвертого и выше порядков.
Дальнейшее развитие осцилляционной теории шло в направлении расширения классов краевых задач, функция Грина которых являлась ядром Келлога (работы А.Ю.Левина, Г.Д.Степанова, Ю.В.Покорного, А.Л.Тептина, В.И.Юдовича и др.). существенным продвижением в этом направлении явилось получение специальных оценок функции Грина Ю.В.Покорным. Полученные оценки позволили описать спектральные свойства для многоточечных задач Балле Пуссена и для некоторых нестандартных (переопределенных) задач. Отметим, что изучаемые краевые задачи были регулярными (имели непрерывную функцию Грина). И, наконец, распространение результатов Келлога на интегральные операторы с разрывными ядрами (Ю.В.Покорный, А.В.Боровских) позволило установить осцилляционные спектральные свойства для так называемых "разрывных" краевых задач.
Вопросы асимптотики спектра и разложимости функций в ряд по
_ 4 -
собственным (корневым) функциям рассматривались в работах А.П.Хромова, М.Г.Завгороднего и др.
Сингулярные краевые задачи (задачи с особенностями) изучены недостаточно.Теоремы существования и единственности решений, априорные оценки решений и другие вопросы для таких задач изучались И.Т.Кигурадзе и его учениками. Отметим также ряд результатов Р.Лангера в этом направлении. Спектральные свойства ими не рассматривались. Одни из первых результатов по спектральным свойствам сингулярных задач были получены В.И.Юдовичем. Им установлены осци-лляционные свойства спектра для задачи на оси для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Эти исследования получили свое продолжение в работах Ю.В.Покорного и Л.В.Боровских. Результаты В.И.Юдовича были распространены на дифференциальный оператор с . переменными коэффициентами. Задачи со слабыми особенностями на отрезке изучались Ю.В.Покорным и К.П.Лазаревым.
Осцилляционые свойства задач с сильными особенностями (когда порядок особенности может быть как угодно близок к порядку дифференциального оператора) в осцилляционной теории практически не рассматривались.
Цель работы. Развитие методов исследования спектральных сеойств двухточечных и многоточечных краевых задач с сильными особенностями, а так же изучение спектральных свойств интегральных операторов, порождаемых этими задачами. Изучение свойств спектра двухточечной краевой задачи для дифференциального уравнения старшего порядка типа уравнения Бесселя.
Метолика исслепования. Применяются методы качественной теории краевых задач, общей и спектральной теории линейных интегральных операторов, а так же методы теории операторов в полуупорядоченных пространствах.
'Научная новизна. Доказаны осциллящюнные свойства спектра озухточечных и многоточечных краевых задач с особенностями при гсловиях Балле Пуссена. В том числе изучен случай сильной особен-юсти. Изучены свойства интегрального ояератора, возникающего яри юращении двухточечной краевой задачи с особенностями для диффе-эенвдального уравнения второго порядка. Изучены спектральные івойства інтегральних операторов, порождаемых многоточечными сраевымя задачами с особенностями. Описан вид уравнений, к которым -водится дифференциальное уравнение с особенностями при замене геременных. Доказана осцилляционность спектра двухточечной краевой задачи для уравнений старших порядков типа уравнения Беселя.
Все результаты диссертации являются ноеыми,
Пщктическая.и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы з спектральной и качественной теории двухточечных и многоточечных краевых задач с особенностями, в теории интегральных операторов.
Апробация рароты. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научной школе-семинаре "Разрывные динамические системы" (Унгород, 1991); на Воронежских весенних математичес-ческих школах "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1992), "Понтрягинские чтения - IV" (Воронен, 1993); на Воронежских зимних школах "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (Воронеж,1993), "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994), "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронен, 1997); на научно - практических конференциях ВВШ МВД России (Воронек, 1995, 1998), а так же на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В.Покорного.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в двенадцати
работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы. Она содержит 123 страницы, включая библиографический список из 57 наименований. Нумерация приводимых в автореферате теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
