Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Алгоритмы построения периодических (многопериодических) решений общих линейных дифференциальных систем в частных производных 15
1.1. Вывод и обоснование алгоритма построения периодического многопериодического решений линейной дифференциальной системы первого порядка... 16
1.2 Методика построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительным "начальным" условием 28
1.3 Исследование алгоритма построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительными краевыми условиями по одной пространственной переменной 44
1.4 Алгоритм построения периодического решения линейной дифференциальной системы с краевыми условиями типа Гурса 56
ГЛАВА 2 Методы построения двоякопериодических решений канонических гиперболических систем и уравнений 63
2.1 Построение двоякопериодического решения канонической гиперболической системы с помощью характеристик 64
2.2 Построение периодического решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона методом последовательных приближений 74
2.3 Построение периодического решения линейного волнового уравнения с использованием метода Фурье 81
2.4 К вопросу о построении периодического решения нелинейного телеграфного уравнения 89
ГЛАВА 3 Алгоритмы построения решения задачи Коши для линейных нормальных систем в частных производных 98
3.1 Построение решения задачи Коши для линейной системы первого порядка методом последовательных приближений 99
3.2 О коэффициентных оценках решения задачи Коши и скорости сходимости метода последовательных приближений 105
3.3 О представлении периодических решений задачи Коши канонических гиперболических систем в виде быстро-сходящихся рядов 108
Использованная литература 115
- Методика построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительным "начальным" условием
- Алгоритм построения периодического решения линейной дифференциальной системы с краевыми условиями типа Гурса
- Построение периодического решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона методом последовательных приближений
- О коэффициентных оценках решения задачи Коши и скорости сходимости метода последовательных приближений
Введение к работе
Краевые задачи, связанные с изучением периодических решений дифференциальных уравнений в частных производных, имеют большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики, тех -ники (в последнее время биологии) и занимают важное место в сов -ременной теории дифференциальных и интегральных уравнений ( см., например,[I]). Исследование условий существования и единственности периодических решений осуществляется на основе хорошо разработанной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на основе методов функционального анализа, особенно интенсивно раз -вивающихся в последнее время.
Использование функционального подхода для изучения периоди -ческих решений нелинейных уравнений в частных производных обусловлено прежде всего необходимостью преодоления трудностей, связанных с "потерей производных" (см. [2-4] ), а также стремлением исследовать самые общие свойства операторов, отвечающих рассматривав -мым задачам. Функциональный подход позволяет устанавливать теоремы существования и единственности решения весьма сложных краевых задач в соответствующих пространствах (см., например, [4]). В то же время проблемам аналитического представления решений дифференциальных систем и эффективным конструктивным способам их построения не уделяется должного внимания, и эти вопросы менее разрабо -таны. Об этом можно судить, в частности, и по имеющейся литературе, посвященной данному кругу вопросов.
В связи с этим обстоятельством разработка конструктивных методов построения периодических решений и получение достаточных коэффициентных условий разрешимости соответствующих краевых задач представляются актуальными как с теоретической, так и с практической точек зрения.
В работах, посвященных конструктивному анализу дифференциальных систем в частных производных, выделим прежде всего задачи, поставленные для гиперболических систем и уравнений, как имеющие важное прикладное значение и тесно примыкающие к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для изучения квазиперио -дических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx/a = fax) с квазипериодической правой частью в монографии [5] изложен подход, основанный на рассмотрении вспомогательной системы в частных производных вида
t + fe + - + l=^--^
с периодической по ili}...Um правой частью. Это дало возможность записать условие квазипериодичности решения с помощью конечных уравнений (разрешимость которых устанавливается на основании теорем о неявных функциях) и получить ряд важных результатов.
В то же время выяснилось, что изучение этих и более общих систем в частных производных представляет известный интерес, так как они находят применение в некоторых разделах математики и в прикладных задачах. В связи с этим обстоятельством в монографии [б] были изучены многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью, содержащих различные малые параметры. Для таких систем удается избежать "потери производных", пос -кольку они сводятся к соответствующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разработан мощный аналитический аппарат. Тем не менее, там же отмечается, что такое сведение может привести к обеднению свойств уравнений в частных производных. Кроме того, многие системы в частных производных вообще не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому обобщение изло -
женных в монографиях [5,б] результатов представляет важную задачу.
Следует сказать, что задача о периодических решениях линей -ных и нелинейных гиперболических систем и уравнений явилась предметом многочисленных исследований. Обширная библиография по этому вопросу содержится в [1,7] (см. также [8-Ю] ).
Отметим работы [10,11-14], в которых построение периодичес -ких решений осуществляется на основе метода последовательных приближений. Обратим внимание также на идею Проди [4, стр. 502], которая связана с представлением периодического решения.
Изучению периодических решений автономных волновых уравнений посвящены работы [15-18] (см. также и библиографию в них). Специфика этих задач заключается в том, что период искомого решения является неизвестной величиной и определяется в процессе построения решения. При этом, как правило, искомые период и решение представляются в виде степенных рядов по малому параметру.
Для линейных гиперболических уравнений и систем с постоянными и переменными по Ї коэффициентами, рассмотренных в [7], периодические решения предлагается строить в виде рядов Фурье по незави -симьм переменным. Возникающие при этом трудности в обосновании сходимости этих рядов связаны с проблемой малых знаменателей.
Для непосредственного построения периодических решений некоторых линейных гиперболических уравнений целесообразно использовать метод поэтапного разделения переменных, предложенный в работе [l9].
В последнее время в связи с биологическими и другими приложениями интенсивно исследуются периодические решения систем уравне -ний параболического типа [20-27] . Менее разработана теория перио -дических решений систем уравнений эллиптического типа (см., например, [28-30] ). Наиболее изученными в этом плане можно считать лишь скалярные параболические и эллиптические дифференциальные уравне -ния. В частности, отметим работы В.А.Треногина, А.М.Тер-Крикорова
[31
., посвященные исследованию длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений, работы А.Б.Васильевой [32,33], связанные с изучением периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, а также работы Ю.А.Дубинского [34], в которых исследуются перио -дические решения нелинейных уравнений бесконечного порядка. Заметим, что периодические решения общих (без ограничения на тип) линейных систем в частных производных слабо изучены.
С точки зрения конструктивных методов отыскания периодических решений дифференциальных систем в частных производных также пред -ставляют интерес работы [35-38] , в которых рассматриваются некоторые специальные системы в частных производных.
Основная цель настоящей работы - разработка эффективных ана -литических методов построения периодических решений дифференциальных систем в частных производных и нахождение достаточных коэффи -циентных условий разрешимости рассматриваемых краевых задач, а также - исследование возможностей конструктивного способа преодо -ления трудностей, связанных с "потерей производных".
Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.
В первой главе на основе подхода, предложенного в [39] и ос -нованного на идеях метода малого параметра и учете аналитической структуры матрицы Грина периодической краевой задачи, развивается методика построения периодических и многопериодических решений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от X коэффициентами, и обо -сновывается конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных".
В частности, в 1.1,1.2 разработаны алгоритмы построения периодических по | и многопериодических решений линейной системы вида
If + I CL(1) ft. = АШи + ^)
с периодическими по і коэффициентами, а также алгоритмы построения периодических решений этой системы с дополнительным условием
В последующих двух параграфах разработаны алгоритмы построения решений следующих краевых задач:
U(i*iH,x) = LL(i.X),
1^(0,-^....^^..**).
где К(Ъ\д/дх) - любая линейная комбинация операторов дифференцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, и) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от і ;
J. Ы
(M»)-M»),
где /У/С*; 3/91,,%) - любая линейная комбинация операторов диффе -ренцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, И) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от
і .
Обоснование сходимости всех предложенных алгоритмов построе -ния периодических решений указанных выше задач проведено в соответствующем банаховом пространстве, которое позволяет преодолеть трудности, связанные с "потерей производных". Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных задач.
Во второй главе эта же методика применяется к гиперболическим системам и уравнениям, которые, как известно, допускают интегрирование с помощью итерационных методов, у которых не происходит "потери производных".
В первом параграфе с помощью характеристик строится двоякопе-риодическое решение полулинейной гиперболической системы вида
где С(1) - диагональная матрица.
Во втором и четвертом параграфах обосновывается метод после -довательных приближений для решения классических краевых задач:
U(i + Zx,x)=LL(-t,v);
U(iO) = U(i,x) = 0,
В третьем параграфе на примере линейной краевой задачи
выясняются причины возникновения "потери производной" в методе Фурье.
Получены достаточные коэффициентные условия однозначной раз -решимости указанных задач.
Заключительная третья глава представляет собой дополнение к первьм двум главам. В ней рассмотрены некоторые вопросы, связанные с непосредственным построением решения задачи Коши как для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка, так и для канонических гиперболических систем. Кроме того, для линейной системы вида
с непрерывными по ъ и аналитическими по X коэффициентами и сво -бодным членом получены коэффициентные оценки аналитического по X решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности ме-
тода последовательных приближений.
Полученные результаты могут найти применение в научно-исследовательских работах, проводимых Могилевским отделением Института физики АН БССР, на кафедре математики физического факультета МГУ, Львовским институтом прикладных проблем механики и математики.
Основные результаты исследований опубликованы в работах [59, 60,65,66,69,70,ПО] и обсуждены на семинаре Ю.А.кубинского по дифференциально-операторным уравнениям, на семинаре А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова по теории сингулярных возмущений, на семинаре В.Я.Ско-робогатько, Б.И.Пташника по теории дифференциальных уравнений и их применению, на семинаре А.И.Перова по нелинейным колебаниям, на семинаре П.Е.Соболевского по дифференциальным уравнениям.
На защиту выносятся следующие результаты:
В результате проведенных исследований разработана методика по -строения мало изученных периодических и многопериодических ре -шений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от х коэффициентами. Получены коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных краевых задач. Обоснован конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных".
На основе этой методики для гиперболических систем и уравнений разработаны эффективные методы решения классических краевых задач, имеющих важное прикладное значение. Впервые сформулированы достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости этих задач.,
Для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка и канонических гиперболических систем разработаны эффективные методы решения задачи Коши. Получены коэффициентные оценки аналитического по х решения задачи Коши, а также коэффи-
циентные оценки погрешности метода последовательных приближений, которые улучшают уже известные результаты.
Методика построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительным "начальным" условием
Краевые задачи, связанные с изучением периодических решений дифференциальных уравнений в частных производных, имеют большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики, тех -ники (в последнее время биологии) и занимают важное место в сов -ременной теории дифференциальных и интегральных уравнений ( см., например,[I]). Исследование условий существования и единственности периодических решений осуществляется на основе хорошо разработанной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на основе методов функционального анализа, особенно интенсивно раз -вивающихся в последнее время.
Использование функционального подхода для изучения периоди -ческих решений нелинейных уравнений в частных производных обусловлено прежде всего необходимостью преодоления трудностей, связанных с "потерей производных" (см. [2-4] ), а также стремлением исследовать самые общие свойства операторов, отвечающих рассматривав -мым задачам. Функциональный подход позволяет устанавливать теоремы существования и единственности решения весьма сложных краевых задач в соответствующих пространствах (см., например, [4]). В то же время проблемам аналитического представления решений дифференциальных систем и эффективным конструктивным способам их построения не уделяется должного внимания, и эти вопросы менее разрабо -таны. Об этом можно судить, в частности, и по имеющейся литературе, посвященной данному кругу вопросов.
В связи с этим обстоятельством разработка конструктивных методов построения периодических решений и получение достаточных коэффициентных условий разрешимости соответствующих краевых задач представляются актуальными как с теоретической, так и с практической точек зрения. В работах, посвященных конструктивному анализу дифференциальных систем в частных производных, выделим прежде всего задачи, поставленные для гиперболических систем и уравнений, как имеющие важное прикладное значение и тесно примыкающие к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для изучения квазиперио -дических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx/a = fax) с квазипериодической правой частью в монографии [5] изложен подход, основанный на рассмотрении вспомогательной системы в частных производных вида с периодической по ili}...Um правой частью. Это дало возможность записать условие квазипериодичности решения с помощью конечных уравнений (разрешимость которых устанавливается на основании теорем о неявных функциях) и получить ряд важных результатов.
В то же время выяснилось, что изучение этих и более общих систем в частных производных представляет известный интерес, так как они находят применение в некоторых разделах математики и в прикладных задачах. В связи с этим обстоятельством в монографии [б] были изучены многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью, содержащих различные малые параметры. Для таких систем удается избежать "потери производных", пос -кольку они сводятся к соответствующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разработан мощный аналитический аппарат. Тем не менее, там же отмечается, что такое сведение может привести к обеднению свойств уравнений в частных производных. Кроме того, многие системы в частных производных вообще не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому обобщение изло женных в монографиях [5,б] результатов представляет важную задачу.
Следует сказать, что задача о периодических решениях линей -ных и нелинейных гиперболических систем и уравнений явилась предметом многочисленных исследований. Обширная библиография по этому вопросу содержится в [1,7] (см. также [8-Ю] ).
Отметим работы [10,11-14], в которых построение периодичес -ких решений осуществляется на основе метода последовательных приближений. Обратим внимание также на идею Проди [4, стр. 502], которая связана с представлением периодического решения.
Изучению периодических решений автономных волновых уравнений посвящены работы [15-18] (см. также и библиографию в них). Специфика этих задач заключается в том, что период искомого решения является неизвестной величиной и определяется в процессе построения решения. При этом, как правило, искомые период и решение представляются в виде степенных рядов по малому параметру.
Для линейных гиперболических уравнений и систем с постоянными и переменными по Ї коэффициентами, рассмотренных в [7], периодические решения предлагается строить в виде рядов Фурье по незави -симьм переменным. Возникающие при этом трудности в обосновании сходимости этих рядов связаны с проблемой малых знаменателей.
Для непосредственного построения периодических решений некоторых линейных гиперболических уравнений целесообразно использовать метод поэтапного разделения переменных, предложенный в работе [l9].
В последнее время в связи с биологическими и другими приложениями интенсивно исследуются периодические решения систем уравне -ний параболического типа [20-27] . Менее разработана теория перио -дических решений систем уравнений эллиптического типа (см., например, [28-30] ). Наиболее изученными в этом плане можно считать лишь скалярные параболические и эллиптические дифференциальные уравне -ния. В частности, отметим работы В.А.Треногина, А.М.Тер-Крикорова посвященные исследованию длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений, работы А.Б.Васильевой [32,33], связанные с изучением периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, а также работы Ю.А.Дубинского [34], в которых исследуются перио -дические решения нелинейных уравнений бесконечного порядка. Заметим, что периодические решения общих (без ограничения на тип) линейных систем в частных производных слабо изучены.
Алгоритм построения периодического решения линейной дифференциальной системы с краевыми условиями типа Гурса
Нетрудно проверить, что всякое решение (из рассматриваемого класса функций) интегрального уравнения (2.4.6) является решением задачи (2.4.1),(2.4.4),(2.4.5)..Заметим, что интегральный оператор, стоящий в правой части (2.4.6), преобразует множество непрерывно диф -ференцируемых по і , х , 2& -периодических по ,X и нечетных по X функций в себя. (Непрерывно дифференцируемые (один раз) по і ,х решения уравнения (2.4.6) из этого класса можно трактовать как обобщенные решения задачи (2.4.1),(2.4.4),(2.4.5)) Теорема 2.4.1 Пусть выполнены следующие условия: Тогда задача (2.4.1),(2.4.4),(2.4.5) имеет в области G- единственное обобщенное решение, которое можно построить обычным методом последовательных приближений.
Справедливость этой теоремы вытекает из принципа сжатых отображений, примененного к системе (2.4.6)-(2.4.8) (см. [5б]). Если дополнительно предположить, что существуют и непрерывны It 9V_ fi J±_ J4_ JV_ ti_ Ц_ _H_ то это обобщенное решение будет классическим решением задачи (2.4.1) (2.4.4),(2.4.5). В качестве приложения рассмотрим пример, взятый из [74]. Пример 2.3 Пусть где k(t,x) - 2& -периодическая по і , ос и нечетная по х функция класса Цх . В этом случае условия однозначной разрешимости примут вид Эта глава представляет собой дополнение (сюда вынесено рас -смотрение задачи Коши в нужном нам аспекте) к предыдущим двум главам. В то же время приведенные здесь результаты могут оказаться полезными при изучении периодических решений непрямьми методами, как неподвижных точек соответствующих отображений (см.,например, [1,4» 7б]). Кроме того, полученные коэффициентные оценки решения задачи Коши для общей линейной системы и оценки скорости сходимости метода последовательных приближений могут представить и самостоятель -ный интерес. Начиная с классической теоремы Коши-Ковалевской,задаче Коши посвящена обширная литература. И несмотря на это, она постоянно находится в поле зрения специалистов [54,77,78]. За это время был предложен ряд усовершенствований доказательства теоремы Коши-Ковалевской, а также ее обобщений в различных направлениях. В этой главе речь пойдет, в основном, о конструктивных методах решения задачи Коши. При отыскании классического решения задачи Коши для линейных и нелинейных систем и уравнений существенным является использова -ние метода последовательных приближений (см.,например, [48,54,79-87]). При этом особо следует выделить гиперболические уравнения и системы, для которых можно избежать "потери производных" и, следовательно, более эффективно их исследовать. Общее представление о методах и проблемах аналитического интегрирования систем нелинейных и квазилинейных уравнений дают ра -боты [46,88-95]. Отметим работы Г.С.Салехова и его последователей [96-ЮО], расширяющие и дополняющие классические представления о задаче Коши.
Большое количество работ посвящено различным способам интегрирования линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами (см.,например, [I0I-I04]). Некоторые методы [42,45,105-109] приме -нимы и в более общей ситуации. Тем не менее для аналитического построения решения задачи Коши в случае общей нормальной системы наиболее эффективным является метод последовательных приближений, для которого удается получить коэффициентные оценки погрешности.
Построение периодического решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона методом последовательных приближений
В работах, посвященных конструктивному анализу дифференциальных систем в частных производных, выделим прежде всего задачи, поставленные для гиперболических систем и уравнений, как имеющие важное прикладное значение и тесно примыкающие к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для изучения квазиперио -дических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx/a = fax) с квазипериодической правой частью в монографии [5] изложен подход, основанный на рассмотрении вспомогательной системы в частных производных вида с периодической по ili}...Um правой частью. Это дало возможность записать условие квазипериодичности решения с помощью конечных уравнений (разрешимость которых устанавливается на основании теорем о неявных функциях) и получить ряд важных результатов.
В то же время выяснилось, что изучение этих и более общих систем в частных производных представляет известный интерес, так как они находят применение в некоторых разделах математики и в прикладных задачах. В связи с этим обстоятельством в монографии [б] были изучены многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью, содержащих различные малые параметры. Для таких систем удается избежать "потери производных", пос -кольку они сводятся к соответствующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разработан мощный аналитический аппарат. Тем не менее, там же отмечается, что такое сведение может привести к обеднению свойств уравнений в частных производных. Кроме того, многие системы в частных производных вообще не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому обобщение изложенных в монографиях [5,б] результатов представляет важную задачу.
Следует сказать, что задача о периодических решениях линей -ных и нелинейных гиперболических систем и уравнений явилась предметом многочисленных исследований. Обширная библиография по этому вопросу содержится в [1,7] (см. также [8-Ю] ).
Отметим работы [10,11-14], в которых построение периодичес -ких решений осуществляется на основе метода последовательных приближений. Обратим внимание также на идею Проди [4, стр. 502], которая связана с представлением периодического решения.
Изучению периодических решений автономных волновых уравнений посвящены работы [15-18] (см. также и библиографию в них). Специфика этих задач заключается в том, что период искомого решения является неизвестной величиной и определяется в процессе построения решения. При этом, как правило, искомые период и решение представляются в виде степенных рядов по малому параметру.
Для линейных гиперболических уравнений и систем с постоянными и переменными по Ї коэффициентами, рассмотренных в [7], периодические решения предлагается строить в виде рядов Фурье по незави -симьм переменным. Возникающие при этом трудности в обосновании сходимости этих рядов связаны с проблемой малых знаменателей.
Для непосредственного построения периодических решений некоторых линейных гиперболических уравнений целесообразно использовать метод поэтапного разделения переменных, предложенный в работе [l9].
В последнее время в связи с биологическими и другими приложениями интенсивно исследуются периодические решения систем уравне -ний параболического типа [20-27] . Менее разработана теория перио -дических решений систем уравнений эллиптического типа (см., например, [28-30] ). Наиболее изученными в этом плане можно считать лишь скалярные параболические и эллиптические дифференциальные уравне -ния. В частности, отметим работы В.А.Треногина, А.М.Тер-Крикорова посвященные исследованию длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений, работы А.Б.Васильевой [32,33], связанные с изучением периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, а также работы Ю.А.Дубинского [34], в которых исследуются перио -дические решения нелинейных уравнений бесконечного порядка. Заметим, что периодические решения общих (без ограничения на тип) линейных систем в частных производных слабо изучены.
С точки зрения конструктивных методов отыскания периодических решений дифференциальных систем в частных производных также пред -ставляют интерес работы [35-38] , в которых рассматриваются некоторые специальные системы в частных производных.
Основная цель настоящей работы - разработка эффективных ана -литических методов построения периодических решений дифференциальных систем в частных производных и нахождение достаточных коэффи -циентных условий разрешимости рассматриваемых краевых задач, а также - исследование возможностей конструктивного способа преодо -ления трудностей, связанных с "потерей производных". Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.
О коэффициентных оценках решения задачи Коши и скорости сходимости метода последовательных приближений
В третьем параграфе на примере линейной краевой задачи выясняются причины возникновения "потери производной" в методе Фурье. Получены достаточные коэффициентные условия однозначной раз -решимости указанных задач. Заключительная третья глава представляет собой дополнение к первьм двум главам. В ней рассмотрены некоторые вопросы, связанные с непосредственным построением решения задачи Коши как для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка, так и для канонических гиперболических систем. Кроме того, для линейной системы вида с непрерывными по ъ и аналитическими по X коэффициентами и сво -бодным членом получены коэффициентные оценки аналитического по X решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности метода последовательных приближений. Полученные результаты могут найти применение в научно-исследовательских работах, проводимых Могилевским отделением Института физики АН БССР, на кафедре математики физического факультета МГУ, Львовским институтом прикладных проблем механики и математики. Основные результаты исследований опубликованы в работах [59, 60,65,66,69,70,ПО] и обсуждены на семинаре Ю.А.кубинского по дифференциально-операторным уравнениям, на семинаре А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова по теории сингулярных возмущений, на семинаре В.Я.Ско-робогатько, Б.И.Пташника по теории дифференциальных уравнений и их применению, на семинаре А.И.Перова по нелинейным колебаниям, на семинаре П.Е.Соболевского по дифференциальным уравнениям. На защиту выносятся следующие результаты: 1. В результате проведенных исследований разработана методика по -строения мало изученных периодических и многопериодических ре -шений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от х коэффициентами. Получены коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных краевых задач. Обоснован конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных". 2. На основе этой методики для гиперболических систем и уравнений разработаны эффективные методы решения классических краевых задач, имеющих важное прикладное значение. Впервые сформулированы достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости этих задач., 3. Для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка и канонических гиперболических систем разработаны эффективные методы решения задачи Коши. Получены коэффициентные оценки аналитического по х решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности метода последовательных приближений, которые улучшают уже известные результаты.
Для линейных нормальных систем дифференциальных уравнений в частных производных не существует в общем случае итерационных методов построения классического решения, у которых бы не происходила "потеря производных" (см.[2]). Это обстоятельство в значитель -ной степени затрудняет разработку конструктивных методов построе -ния решений уже в случае задачи Коши (см.,например, [40-54] ).
В этой главе исследуется конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных", при отыскании периодических решений дифференциальных систем в частных производных. Показано, что существует определенный класс линейных дифференциальных систем с независящими от х коэффициентами, который допускает (в соответствующем банаховом пространстве) применение и строгое обоснование сходимости итерационных методов построения периодических решений, разработанных для систем обыкновенных дифференциаль -ных уравнений в работах [39,55,56]. Заметим, что в тех или иных вариантах идея сведения интегрирования дифференциального уравнения с частными производными к интегрированию обыкновенных дифференци -альных уравнений (или дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных) широко используется и в настоящее время (см.,например,[57,58]).
