Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая схема метода Римана в Rn и некоторые подготовительные результаты 13
1. Существование и единственность решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи 13
2. Построение решений задач в терминах матрицы Римана 16
3. Об одном частном случае системы с некратным дифференцированием 23
4. Однозначная разрешимость одного класса систем интегральных уравнений 29
Глава 2. Система с двукратными старшими частными производными в R2 36
5. Теоремы существования и единственности решения трех задач 36
6. Применение метода Римана к тем же задачам 42
6.1. Матрица Римана, ее основные свойства и матричное тождество 42
6.2. Решение основной характеристической задачи 48
6.3. Другой вариант участия нормальных производных в граничных условиях 49
6.4. Построение решения задачи Коши 64
6.5. Формулы решения смешанной задачи 65
7. Задачи с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника 66
7.1. Задачи с условиями на трех характеристиках 66
7.2. Задачи с условиями на всех сторонах характеристического прямоугольника 71
Глава 3. Задачи в пространстве Я3 75
8. Постановка основных задач. Теоремы существования и единственности 75
9. Метод Римана 84
9.1. Определение матрицы Римана 84
9.2. Решение основной характеристической задачи 86
9.3. Построение решения задачи Коши 88
9.4. Формулы решения смешанной задачи 90
10. Задачи с граничными условиями на четырех, пяти и шести сторонах характеристического параллелепипеда 92
10.1. Задачи с условиями на четырех характеристиках 92
10.2. Задачи с условиями на пяти характеристиках 103
10.3. Задача с условиями на всех сторонах характеристического параллелепипеда 111
Глава 4. Некоторые обобщения на случай пространства произвольного числа измерений 116
11. Теоремы существования и единственности 116
12. Метод Римана 121
Литература 129
- Построение решений задач в терминах матрицы Римана
- Однозначная разрешимость одного класса систем интегральных уравнений
- Применение метода Римана к тем же задачам
- Задачи с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника
Введение к работе
Исходным моментом для темы предлагаемой диссертации послужили работы ряда авторов по исследованию системы уравнений первого порядка — Х]0^"^1' * >xn)uk + fi{xl,- ,3Jn)) * = 1,. . ,П, (1) г fc=l интересной, в частности, с точки зрения применения получаемых результатов к изучению важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа (например [3], [6], [7], [36], [39], [47], [48], [49], [58], [65]).
Аналогичная система высокого порядка имеет, очевидно, вид
ОХа V OXs dXs J
О '—* -L s % tv* где /s — линейные относительно аргументов vi, ... , д-^-г^ функции. Путем введения новых искомых функций можно представить (2) как частный случай системы
Щх} = ^)2, ац{хи ... ,хп)щ -\- fi(xi,... ,хп)^ 1 < / ^т — ^кі, (3) *=і *=1 ЄСЛИ 1 ^ / ^ &1, TO J = 1, ЄСЛИ ^1 + 1 ^ / ^ All + ^2з то І = 2, если ^1 + ^2 + 1 < I К h + k2 + kz, то j = 3, ... , если Yh=i &* + 1 ^ ^ ^ X)?=i ^*» то j = п. Именно (3) и является предметом исследования в настоящей работе.
Основным инструментом служит адаптация метода Римана к рассматриваемой системе уравнений. Для гиперболического уравнения иху + а(х,у)их + Ь(х,у)иу + с(х,у)и = /(я, у), (4) а также системы (в этом случае а, 6, с — известные матричные функции, / — известная, и — искомая векторные функции) этот метод хорошо известен и применяется при построении решений и исследовании широкого круга задач [1], [4], [8], [9], [40], [50]. В ряде работ В.И. Жега-лова и его учеников этот метод был распространен на класс уравнений со старшими частными производными (Dl + D2)u = J{xu...,xn), (5)
3*1++*„ D\ — ; г-, дх\1...дхкг? a / линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из D\ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования [18], [19], [20], [21], [22], [24], [25], [26], [27], [28], [41], [42], [43], [44], [45], [54], [55], [56], [59], [60]. Одним из основных моментов в работах этих авторов было определение функции Римана как решения уравнения типа Вольтерра. Другие варианты метода Римана предлагались в работах многих российских и зарубежных математиков [12], [13], [57], [61], [70], [71], [73], [79], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88].
Отметим, что некоторые частные случаи уравнения (5) при п = 2 исследовались с разных точек зрения многими авторами [10], [11], [15], [16], [17], [67], [68], [69], [72], [74], [75], [77], [78], [80], [81]. Интерес к уравнению (5) объясняется его приложениями в теориях фильтрации жидкости в трещиноватых средах, поглощения влаги корнями растений, колебаний стержней с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах.
Э. Хольмгрен [76] распространил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В работе Б.Н. Бурмистрова [7] результаты Хольмгрена развивались с целью решения задачи Коши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости. Л.А. Андреев [2] с помощью метода Римана изучил системы уравнений вида (4) при наличии у матриц-коэффициентов особенностей.
Вместе с тем многие авторы исследовали системы дифференциальных уравнений с частными производными, не прибегая к схеме, предложенной Э. Хольмгреном. Так, в работах Т.В. Чекмарева [62], [63], [64], [65] решение задачи Гурса для (1) с условиями
Щ\х{=х? ~
Таким образом, система (3) может рассматриваться как обобщение некоторых уравнений, изучавшихся в различных аспектах целым рядом авторов.
Главу 1 настоящей диссертации можно рассматривать как определенное распространение рассуждений из [76], [7] на случай системы (3). При этом используется указанная выше идея из работ В.И. Жега-лова и его учеников: элементы матрицы Римана вводятся как решения некоторых систем интегральных уравнений типа Вольтерра, решение каждой из этих систем существует и единственно в классе непрерывных функций (заметим, что в работе [7] матрица Римана также определялась как решение системы интегральных уравнений, но система там имела другой вид). Далее доказывается матричное дифференциальное тождество, интегрированием которого получены решения задач Гурса и Коши (при выводе формул решения задачи Коши существенно используется аппарат дифференциальных форм).
Очевидно, что вышеизложенные рассуждения проходят и в более простом случае, когда дифференцирование искомых функций системы (2) однократное. В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся полученные результаты с ранее изученными Т.В. Чекмаревым в [62], [63], [64], [65] случаями? В 3 с этой точки зрения рассматривается гиперболическая система
Щх = an(x,y)ui -\-а12(х,у)и2 +fi{x,y), (7) и2у = а2\(х,у)щ + ап(х,у)и2 + /2(х, у).
В 4 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости некоторой системы интегральных уравнений, на которую указаний в литературе автору обнаружить не удалось. Эти результаты требуются при доказательстве утверждений в главе 3.
Следующие главы посвящены исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными д2щ v^ і / \дщ . V^ о / ч ,
7^2- = 2^ aki(XU . , *п) о— + 2^ ab№> » Ж"К + Хк і=і ОХк i=l (8) + fk{xi,...,xn), к = 1,п.
На примере системы (8) хорошо видно, как результаты главы 1, относящиеся к системе (3), могут быть применены к системе (2) (алгоритм сведения (2) к (3) одинаков при любом порядке производных в левых частях уравнений системы (2)). В то же время для детального исследования требуется ограничиться каким-то более определенным классом систем (2). В качестве такого класса, на примере которого демонстрируются возможности метода Римана, в настоящей диссертации взяты системы с двукратными старшими производными. Представляется, что они являются моделями, на основе которых можно строить определенные предположения об изучении систем с производными любой конечной кратности. Наиболее подробно в диссертации рассмотрены системы с двукратным дифференцированием в Л2 и Д3. Это, в частности, связано с тем, что получаемые результаты легко интерпретировать геометрически.
В главе 2 рассмотрен случай п = 2: uxx=ai{x,y)vx + bl{x,y)u + ci{x,y)v +f\{x,y), vyy = ^2(2, у)иу + b2(x, y)u + с2(ж, y)v -f- f2(x, у).
При этом в замыкании рассматриваемой области D плоскости (ж, у) выполняются включения ai, а-2 Є С2, &і, &2) сь с2) /і) А Є О1. Решение (9) класса и, г> 6 C^Z?), г^, г>уу Є С(*) называем регулярным в D.
В 5 методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решений следующих задач.
Основная характеристическая задача. В области G — {xq < х < si, уо < у < уі} найти регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям ^0,2/) = ^i(y), (их - a1v)(xa,y) = (р2(у)> v(x,y0) =^1(2:), К-а2«)(а:,2/о) = ^(я),
Ыу)> ^Ы Є ^([уо.Уі]), ^і(я), Ws) Є CL([s0,3;i]).
Эта задача играет существенную роль при исследовании других, рассматриваемых далее, задач.
Задача Коши. Пусть D — треугольная область плоскости (х,у), ограниченная характеристиками х = xi, у = у]_, х\ > 0, у\ > 0, и отрезком кривой Е: у = сг(х), &'(х) < 0 (S — кривая класса С2). Для определенности положим уі = с(0), cr(a:i) = 0. Требуется найти регулярное в D решение (9), удовлетворяющее условиям ди дп = и10(а;), "Is = «о(а;)» «|а = vQ(x), = vl0(x), n— внешняя нормаль к Е, щ, Vq Є С2([0,жі]), u\q, v\q Є С1([0,х\]).
Смешанная задача. Пусть Do — область плоскости (я, у), ограниченная характеристиками х = х\, у = у\, х\ > 0, уі > 0, осями координат и отрезком АВ кривой Е: у = с(я), &'{х) < 0, принадлежащей классу С2. При этом кривая отсекает от характеристического прямоугольника угол с вершиной (0,0), А = (ж2>0), В ~ (0,2/2)- Обозначим Y = {х2 < х < xi, у = 0}, X ~ {х = 0, у2 < у < у{\.
Требуется найти регулярное в Dq решение (9), удовлетворяющее на характеристиках х = 0, у — 0 условиям рассмотренной выше характеристической задачи, а на Е — условиям Коши = «ю (у), иких = Му)> ^ IeuF = ио(ж), -к- = -уіо(ж), (uz - aiv)\x = (р(у), (vy - а2и)\у - ф(х), dv дп Е п — внешняя нормаль к S, и0, <р Є C^fe,^])» «о» ^ Є ^([зг, i])> «ш C2([2/2,2/i])i ^io Є ^([^гі^і])- Кроме того, должны выполняться условия согласования их С(Е U X), vy Є C(S U У).
В 6 в терминах матрицы Римана строятся формулы решений сформулированных выше задач.
При рассмотрении граничных условий основной характеристической задачи нетрудно заметить, что эти условия отличаются определенной несимметричностью. В том же б исследуются условия разрешимости задачи 2.1 с более «симметричными» условиями (производные искомых функций входят в граничные условия равноправно).
Задача 2.1. Найти регулярное в G решение системы (9), удов- летворяющее условиям и(хц, у) = х(у), v(x, уо) = fi{x), ап(у)их(х0, у) + au(y)vx(x0, у) = тпг(у), ап(х)иу(х,у0) + a22{x)vv(x1y0) =m2(x).
Предполагается, что выполняются условия гладкости а.ц, а12 Є
СЧЬо)ї/і])) а2Ь ^22 Є СЧі^о^і]), mi Є С?1([уо,2/і])ї 2 Є С1^^]), причем а11 + а12 7^ > а21 + а22 7^ 0.
Исследуется задача 2.1 путем сведения к основной характеристической задаче. Оказывается, что эта задача может быть разрешима как однозначно, так и с точностью до одной или двух произвольных постоянных. Задачи со сходными линейными комбинациями в граничных условиях исследовались В.И. Жегаловым и Н.Х.Х. Зомотом для системы (1) при п = 2,3ив общем случае [23], [27], [30], [32], [33].
В 7 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического прямоугольника G = {xq < х < хи Уи < У < У\} с граничными условиями на трех и четырех сторонах G. При этом указанные задачи редуцируются к основной характеристической задаче. Приведем некоторые примеры.
Задача 2.2. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям (vy - a2u)(x,yQ) = фі(х), v(x,yi) = х(з)»
Ф\(у\ Ыу) є СНЬ^і]), Фі(х), x(x) Є C^QcrcZi]).
Обозначим Сщ = Сі — aix, 62(J — b2 — CL2y.
Теорема 2.5. Если аь a2 Є C2(G)} by, b2(i, c1Q, c2, fi, f2 Є G1(G), c2(%->y) )0 eG, mo существует единственное решение задачи 2.2.
Задача 2.4. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям u{x0ly) =
Теорема 2.7. Если аи а2 Є C2(G), b\} b2Q, cw, с2, /і, /з Є Cl(G) и в G выполняется одно из условий аі(х,у) = cl0(x,y) = c2(x,y) = 0, h(x,y) ^ 0,
61(2:,2/) = а2(я,ї/) = bw(x,y) = 0, 2(0:,2/) ^ 0, то решение задачи 2.4 существует и единственно.
В главе 3 основные результаты главы 2 переносятся на трехмерное пространство.
В главе 4 рассмотрены основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача в пространстве любого конечного числа измерений.
Отметим, что как в главе 1, так и в последующих главах, рассматриваются сходные задачи (задача Коши, смешанная задача). Однако в постановке этих задач имеются значительные различия, связанные с различным порядком уравнений, входящих в системы (3) и (8). Например, в случае задачи Коши в граничных условиях для (8) присутствуют значения производных искомых функций, в то время как для (3) нужно задавать лишь граничные значения самих искомых функций. Это приводит к различиям в деталях доказательств и в формулировках теорем существования и единственности, а также в записи формул, дающих решение задач. Поэтому целесообразно получить формулы решения, например, задачи Коши для (8) в явном виде, а не ссылаться на соответствующий результат для (3).
На защиту выносятся следующие результаты.
Разработка нового варианта метода Римана для системы (3). Получение в терминах матрицы Римана решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи для (3).
Получение в терминах матрицы Римана решений основной характеристической задачи, задачи Коши и смешанной задачи для (8) в пространствах Я2, R и в пространстве любого конечного числа измерений.
Постановка различных характеристических задач для (8) в пространствах R2 и й3, исследование вопросов их разрешимости.
Основные результаты диссертации отражены в публикациях [89] - [97].
По мере получения они докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанскго государственного университета. Были сделаны доклады на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию Казанского государственного университета и 70-летию НИИ математики и механики имени Н.Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), на VII международной научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.).
Построение решений задач в терминах матрицы Римана
Коши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости. Л.А. Андреев [2] с помощью метода Римана изучил системы уравнений вида (4) при наличии у матриц-коэффициентов особенностей.
Вместе с тем многие авторы исследовали системы дифференциальных уравнений с частными производными, не прибегая к схеме, предложенной Э. Хольмгреном. Так, в работах Т.В. строится методом последовательных приближений. На полученных формулах основывается вывод формул решений задач Коши и Дарбу. Отметим также работу [5], в которой были предложены формулы интегрального представления решений задач Коши и Гурса для (1) при п = 2, позволяющие установить их структурные свойства. Таким образом, система (3) может рассматриваться как обобщение некоторых уравнений, изучавшихся в различных аспектах целым рядом авторов.
Главу 1 настоящей диссертации можно рассматривать как определенное распространение рассуждений из [76], [7] на случай системы (3). При этом используется указанная выше идея из работ В.И. Жега-лова и его учеников: элементы матрицы Римана вводятся как решения некоторых систем интегральных уравнений типа Вольтерра, решение каждой из этих систем существует и единственно в классе непрерывных функций (заметим, что в работе [7] матрица Римана также определялась как решение системы интегральных уравнений, но система там имела другой вид). Далее доказывается матричное дифференциальное тождество, интегрированием которого получены решения задач Гурса и Коши (при выводе формул решения задачи Коши существенно используется аппарат дифференциальных форм).
Очевидно, что вышеизложенные рассуждения проходят и в более простом случае, когда дифференцирование искомых функций системы (2) однократное. В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся полученные результаты с ранее изученными Т.В. Чекмаревым в [62], [63], [64], [65] случаями? В 3 с этой точки зрения рассматривается гиперболическая система В 4 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости некоторой системы интегральных уравнений, на которую указаний в литературе автору обнаружить не удалось. Эти результаты требуются при доказательстве утверждений в главе 3. Следующие главы посвящены исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными
На примере системы (8) хорошо видно, как результаты главы 1, относящиеся к системе (3), могут быть применены к системе (2) (алгоритм сведения (2) к (3) одинаков при любом порядке производных в левых частях уравнений системы (2)). В то же время для детального исследования требуется ограничиться каким-то более определенным классом систем (2). В качестве такого класса, на примере которого демонстрируются возможности метода Римана, в настоящей диссертации взяты системы с двукратными старшими производными. Представляется, что они являются моделями, на основе которых можно строить определенные предположения об изучении систем с производными любой конечной кратности. Наиболее подробно в диссертации рассмотрены системы с двукратным дифференцированием в Л2 и Д3. Это, в частности, связано с тем, что получаемые результаты легко интерпретировать геометрически.
Однозначная разрешимость одного класса систем интегральных уравнений
В дальнейшем нам потребуются условия безусловной однозначной разрешимости некоторых систем интегральных уравнений, (указаний на этот вопрос в литературе автору обнаружить не удалось). В работе [52] показано, что интегральное уравнение Вольтерра с частными интегралами с непрерывными ядрами и свободным членом а также его n-мерныи аналог, имеют единственное решение в классе непрерывных функций. Точнее, справедливо следующее утверждение. (1,..-,) Є Qfe.n, / = l,n, F — непрерывные функции своих аргументов в соответствующих замкнутых параллелепипедах, то в параллелепипеде П = [ж5,ж] х х [ж,ж ] существует единственное непрерывное решение w(xi,..., хп) этого уравнения. Здесь предлагается обобщение этого результата на .несколько более широкий класс систем интегральных уравнений. где (Х,Ї/,2) e D = [z0,a:i] x [у0їУі] x fah i], 0 1, Уо Уи ZQ zu w — colon 1,..., wm), F = colon(/1,..., /m), Ku — матричные функции размерности m x m (здесь to — набор индексов). Коэффициенты и правая часть уравнения (4.3) предполагаются непрерывными в соответствующих замкнутых параллелепипедах.
Уравнение (4.3) кратко запишем в виде Не нарушая общности можно считать, что хо = уо = ZQ = 0 [55]. Для матриц A = (ajj), где функции ац заданы на ограниченном замкнутом множестве D, будем использовать норму [14, с. 410] непрерывных векторных функций. Пусть Wi и w2 — непрерывные векторные функции, заданные на множестве D. Тогда, очевидно, Ясно, что для любого є 0 найдется S = e/(12mMs), такое что из условия гиі — ш2 5 следует Bwi — Вшг є Непрерывность оператора В доказана. Покажем теперь, что некоторая степень оператора В является сжимающим отображением. Имеем Поэтому Вк является сжимающим оператором при некотором к. Если В — непрерывное отображение полного метрического пространства в себя, такое что некоторая его степень является сжатием, то уравнение имеет одно и только одно решение [37, с. 82] (которое, очевидно, является нулевым в нашем случае). Но тогда линейное уравнение (4.4) имеет единственное решение в классе непрерывных векторных функций [9, с. 39]. 2.
Общий случай. Проведенные выше рассуждения легко обобщаются для тг-мерного пространства (xi,..., хп). Рассмотрим уравнение F = colonf/1,..., /m), Кы — матричные функции размерности m x т. Коэффициенты и правая часть уравнения (4.5) непрерывны в соответствующих замкнутых областях. В операторной форме уравнение (4.5) имеет вид - Bnw = F. (4.6) Не нарушая общности можно считать, что х = 0, г = 1,п. Норма матрицы А — (а -), где функции а заданы на О, определяется соотношением
Применение метода Римана к тем же задачам
Перепишем (5.3) в векторно-матричной форме (6.2) (JJJ — символ Кронекера. Решения систем (6.2) существуют и единственны в классе непрерывных функций. Очевидно, что R по первой паре аргументов удовлетворяет сопряженной к (6.1) системе Покажем, что rij TjT}(x,yf ,7]) и все младшие производные rij(x,y, ,rj) по и т/, г,j = 1,4, непрерывны в замыкании рассматриваемой области D. Сделаем это в случае і — 3- Последовательно дифференцируем (6.2) при г = 3 по , 77. При этом /?, /ч означает дифференцирование функции /(#,/, , ту) по второй паре аргументов, /г, Последовательно рассматривая системы (6.3) - (6.10) замечаем, что все ядра и впеинтегральные члены непрерывны. Следовательно, непрерывны и решения каждой из этих систем интегральных уравнений. Имеет место тождество Интегрированием (6.11) могут быть получены решения всех трех основных задач.
Исследуем задачу 5.1), (6.17), (6.18) путем сведения ее к основной характеристической задаче. Решая основную характеристическую задачу методом Римана, получим (здесь и далее дифференцирование компонент г матрицы Римана по и у означает дифференцирование по последней паре аргументов): Будем рассматривать формулы (6.19) - (6.20) как представление решения через функции рі{у)і фі{х), р2{у) Ф2[х) (обозначения основной характеристической задачи). Поскольку первые две функции известны из (6.18), остается найти две последние из (6.18). Из (6.19), (6.20) вычисляем производные Получили очевидное следствие (6.18). Так как нам заданы и[х у) и у(х,уц) и мы можем дифференцировать эти данные вдоль соответствующих характеристик, то иу(хо,уо) и ух(хц,уо) известны.
Таким образом, при ац(уо) ф 0, а22(х0) ф 0, постоянные щ(хо,у0), 1(2:0,2/0), входящие в OJ2(X) и в ь)\(у) соответственно, определяются. А постоянные Щу(х()}уа) и У1Х(хо}уо) не могут быть определены непосредственно из (6.25). Следовательно, они должны рассматриваться как произвольные постоянные. Значит, если рассматривать уравнения системы (6.25) совместно, то решение их будет зависеть от 0 до 2 произвольных постоянных из набора щу(х уо), 11(2:0,2/0) (а не от четырех постоянных).
Задачи с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника
Пусть Do — область плоскости (я, у), ограниченная характеристиками х = х\, у = у\, х\ 0, уі 0, осями координат и отрезком АВ кривой Е: у = с(я), & {х) 0, принадлежащей классу С2. При этом кривая отсекает от характеристического прямоугольника угол с вершиной (0,0), А = (ж2 0), В (0,2/2)- Обозначим Y = {х2 х xi, у = 0}, X {х = 0, у2 у у{\. Требуется найти регулярное в DQ решение (9), удовлетворяющее на характеристиках х = 0, у — 0 условиям рассмотренной выше характеристической задачи, а на Е условиям Коши = «ю (у), п — внешняя нормаль к S, и0, р Є C fe, ])» «О» Є ([зг, i]) «ш C2([2/2,2/i])i io Є ([ гі і])- Кроме того, должны выполняться условия согласования их С(Е U X), vy Є C(S U У). В 6 в терминах матрицы Римана строятся формулы решений сформулированных выше задач. При рассмотрении граничных условий основной характеристической задачи нетрудно заметить, что эти условия отличаются определенной несимметричностью. В том же б исследуются условия разрешимости задачи 2.1 с более «симметричными» условиями (производные искомых функций входят в граничные условия равноправно). Задача 2.1. Найти регулярное в G решение системы (9), удов- Предполагается, что выполняются условия гладкости а.ц, а12 Є причем Исследуется задача 2.1 путем сведения к основной характеристической задаче. Оказывается, что эта задача может быть разрешима как однозначно, так и с точностью до одной или двух произвольных постоянных. Задачи со сходными линейными комбинациями в граничных условиях исследовались В.И. Жегаловым и Н.Х.Х. Зомотом для системы (1) при п = 2,3ив общем случае [23], [27], [30], [32], [33]. В 7 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического прямоугольника G = {XQ х хи Уи У У\} с граничными условиями на трех и четырех сторонах G. При этом указанные задачи редуцируются к основной характеристической задаче. Приведем некоторые примеры. Задача 2.2. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям Задача 2.4. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям В главе 3 основные результаты главы 2 переносятся на трехмерное пространство. В главе 4 рассмотрены основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача в пространстве любого конечного числа измерений. Отметим, что как в главе 1, так и в последующих главах, рассматриваются сходные задачи (задача Коши, смешанная задача).
Однако в постановке этих задач имеются значительные различия, связанные с различным порядком уравнений, входящих в системы (3) и (8). Например, в случае задачи Коши в граничных условиях для (8) присутствуют значения производных искомых функций, в то время как для (3) нужно задавать лишь граничные значения самих искомых функций. Это приводит к различиям в деталях доказательств и в формулировках теорем существования и единственности, а также в записи формул, дающих решение задач. Поэтому целесообразно получить формулы решения, например, задачи Коши для (8) в явном виде, а не ссылаться на соответствующий результат для (3). На защиту выносятся следующие результаты. 1. Разработка нового варианта метода Римана для системы (3). Получение в терминах матрицы Римана решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи для (3). 2. Получение в терминах матрицы Римана решений основной характеристической задачи, задачи Коши и смешанной задачи для (8) в пространствах Я2, R и в пространстве любого конечного числа измерений. 3. Постановка различных характеристических задач для (8) в пространствах R2 и й3, исследование вопросов их разрешимости. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [89] - [97]. По мере получения они докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанскго государственного университета. Были сделаны доклады на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию Казанского государственного университета и 70-летию НИИ математики и механики имени Н.Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), на VII международной научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.).
