Введение к работе
Актуальность работы.
Спектральные задачи тесно связаны с несколькими разделами математики, такими как математическая физика, теория операторов, спектральная геометрия, алгебра.
Большое внимание исследователей было обращено исследованию задачи о колебаниях струны. Это прежде всего вызвано историческими причинами, влиянием того обстоятельства, что струна имела огромное значение в культуре и искусстве человечества. Чрезвычайна важна и глубокая математическая содержательность задач, связанных со струной.
Задача о спектре колебаний струны - задача поиска чисел Л, удовлетворяющих уравнению у" = — Л py, ще р - функция плотности струны. В качестве граничного условия обычно берут условие закрепления у(0) = у(6) = 0 (6 - длина струны); возможны и другие варианты закрепления.
Известно, что такая задача имеет решение- бесконечную последовательность положительных чисел, которая, будучи упорядоченной по возрастанию, устремляется к бесконечности.
Обратная задача для струны - задача поиска плотности по известному набору чисел {Лк}.
История вопроса берет свое начала с древних времен, когда представления исследователей ограничивались знанием о существовании единственной частоты колебания струны и, само собой, обратная задача считалась решенной вместе с прямой задачей.
Проблема обратной задачи была четко поставлена в речи Лоренца в 1913 году В своем выступлении Лоренц сформулировал интересную физико- математическую проблему: как изменяется спектр собственных коллебаний континуума при изменении его формы. Например, как изменяется спектр колебаний мембраны литавр при изменении формы ее контура?
В 1966 году Марк Кац своей статьей - «Можно ли услышать форму барабана?» обратил внимание математического мира на имеющуюся проблему в области обратных задач. В 1992 году опубликована ответная статья Вебба и Вольперта под названием «Нельзя услышать форму барабана» . Авторами представлены два барабана имеющих совпадающий спектр колебаний. Таким образом, вопрос о существовании изоспектральных барабанов был решен положительно и, соответственно, вопрос об определении параметров мембраны по спектру ее колебаний - отрицательно.
Известно, что по заданному набору чисел {А&} (спектру колебаний) плотность струны, вообще говоря, не определяется однозначно. Для однозначного определения плотности необходимо наложить на струну дополнительные условия.
Обычно, чтобы было возможно получить решение обратной задачи для струны (и задачи Штурма -Лиувилля), исследователи полагали заданными два набора спектра (меняя для этого условия закрепления на концах), либо накладывая ограничения на плотность струны.
Можно задаться другой целью - отказавшись от ограничений, искать задачи имеющие один и тот же спектр. Наиболее простая струна - однородная (р = const) и спектр такой струны мы можем найти в явном виде. Представляется интересным вопрос существования неоднородных струн, у которых спектр совпадает со спектром однородной струны.
Мы исследуем этот вопрос для чрезвычайно простого класса струн - для струн с кусочно постоянной плотностью.
В свете поставленного вопроса, представляются интересными подобные исследования также для других задач. Для родственных объектов - канонических систем и графов ставятся те же вопросы.
Мы называем струну квазиоднородной, если спектр её колебаний совпадает со спектром однородной струны и это понятие переносим на канонические системы и на спектральные задачи на графах, выделяя для каждого объекта исследования некую соотвествующую однородную задачу (задачу, в которой функции, служащие в качестве её параметров являются константами).
Цель работы.
Возникает ряд естественных задач, важнейшими являются выяснение условий квазиоднородности струны и канонической системы, изучение многообразия этих объектов, задача восстановления всей струны (плотности) по её части (при условии квазиоднородности), задача восстановления квазиоднородной канонической системы.
Метод исследования.
Метод исследования задачи заключается в ее алгебраизации. Мы связываем со спектральной задачей класс полиномиальных матриц.
Выясняется, что условие квазиоднородности удается выразить на чистом алгебраическом языке с использованием указанных матриц. Далее, задача восстановления квазиоднородной струны по ее заданной части сводится к алгебраическим операциям с матрицами указанного класса.
Научная новизна.
В работе дано законченное решение указанных выше задач. Показано, что для достаточно простых объектов - струн с кусочно-постоянной плотностью, вопрос об их изоспектральности с однородной струной решается положительно. Указан алгебраический алгоритм, который приводит к построению квазиоднородных струн. Здесь проблема состоит в следующем: задается часть кусочно-однородной струны заданной звенности, требуется восстановить неизвестную часть в предположении, что струна квазиоднородна.
Метод алгебраизации, который был использован, позволяет привести исходную задачу к задаче связанной с матрицами специального вида; эти матрица мы называем выделенными. Изучение свойств этих матриц, позволяют решить задачи распознавания и восстановления квазиоднородной струны по
ее известной части.
Задача исследования канонических систем также (как и в случае со струной) сводится к работе с некоторым классом полиномиальных матриц; мы называем эти матрицы отмеченными.
Таким образом, метод алгебраизации оказывается одинаково успешен успешен для обеих типов задач (для струн и канонических систем).
Практическая и теоретическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы специалистами в области дифференциальных уравнений, теории операторов, спектральной теории.
Данное исследование показывает, что явление изоспектральности проявляется уже в классе весьма простых объектов исследования, например, струн с кусочно постоянной плотностью. Можно надеяться, что предлагаемый подход найдет применение и в других, сходных с представленными, задачах.
На примере рассмотренных задач, выработан определенный подход к решению (алгебраизация), который оказался успешен и использование которого позволило получить результаты работы. Предлагаемый при решении подход, состоящий в использовании кусочно-постоянных функций, есть способ упростить задачу и может применяться для исследования в других, сходных задачах.
Одна из постановок задачи сейсмики - определение по сейсмограмме некоторых характеристик среды (функции плотности и упругости, называемой жесткостью) как функции глубины . Такую задачу решают, принимая, что в месте исследования земля есть плоская слоистая среда, поперечное колебание в которой задается уравнением Штурма - Л ну вил ля. Один из способов практического решения задачи состоит в исключении из рассмотрения сильно осциллирующих функций.
Можно надеяться, что намеченный в нашей работе способ алгебраиза- UIiii окажется полезным для этого круга задач.
Основные результаты, которые выносятся на защиту.
-
Условия квазиоднородности для струны с кусочно-постоянной плотностью.
-
Алгоритм восстановления квазиоднородной струны по ее части.
-
Условия квазиоднородности канонической системы.
-
Алгоритм построения квазиоднородных канонических систем.
-
Квазиоднородность спектральной задачи на графе.
Аппробация работы.
Представление материала диссертационной работы на:
-
-
Конверенции МГТУ «Студенческая научная весна - 99» (условия квазиоднородности для струны);
Публикации.
По теме диссертационной работы опубликовано 3 работы.
Похожие диссертации на Квазиоднородные спектральные задачи
-
