Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов Токова Алла Аскербиевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Токова Алла Аскербиевна. Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02.- Нальчик, 2006.- 84 с.: ил. РГБ ОД, 61 07-1/415

Содержание к диссертации

Введение

1 Задачи с локальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа 21

1. Общее представление решений 21

2. Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи 27

3. Задача с условиями Пуанкаре 32

2 Задачи с нелокальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа 40

1. Задача с условием первого класса 40

2. Задачи с локальным смещением 44

3. Теорема существования и единственности решения задачи

4. Теорема существования и единственности решения задачи

3 Нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанно-параболического типа 57

1. Общее представление решений 57

2. Задачи с локальным смещением 62

3. Теоремы существования и единственности решений задач с локальным смещением 64

Заключение 70

Список литературы 72

Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи
Задачи с локальным смещением
Теорема существования и единственности решения задачи
Теоремы существования и единственности решений задач с локальным смещением

Введение к работе

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями, К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирования процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления, исследованные в работах А.В. Бородина [7], Н.Н. Кочиной [32] - [34], Р.Г, Карданова, A.M. Нахушева [21] - [23], [40] - [43], [83], В.А. Нахушевой [54], Л.И. Сер-биной [60], СМ. Тарга[б1].

Термин «нагруженное уравнение», впервые появился в работах Кнезера применительно к интегральным уравнениям. Среди посвященных нагруженным уравнениям особо следует отметить работы А. Кнезера ([80], [81] 1914 г.), Л. Лихтенштейна ([82] 1931 г.), Н.М. Гюнтера ([10] 1932 г.), Н.Н. Назарова ([36] 1948 г.), А.Ш. Габиб-заде ([11] 1959 г.), Б.М. Будака и А.Д, Искендерова ([6] 1967 г.), Э. Эшдавлатова ([75], [76] 1976 г.).

Определение 0.1. Пусть О, - n-мерная область евклидова пространства Rⁿ точек х = (жі, ...,ж_п). Заданное в области И дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию П многообразиях размерности меньше п [39].

В дальнейшем к исследованию нагруженных уравнений обращались многие авторы. Отметим работы [1] - [3], [5], [7] - [9], [12] - [27], [29] -[31], [35], [39] - [44], [49], [56], [57], [74], [78], [79].

Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений.

В шестидесятых годах А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными. Для реализации этой проблемы A.M. Нахушев в 1969 году предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [37], [38], [50], [53].

Важное значение нагруженные уравнения имеют также для методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции дифференциальных уравнений к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [47].

Определение 0.2. Функция й D(L) называется приближенным решением задачи (0.1), если она является точным (или приближенным) рошенном аппроксимирующей задачи (0.2) [47].

Сущность метода редукции к нагруженным уравнениям раскрыта в [9], [19], [21] - [23], [40] - [44], [50] на некоторых модельных задачах.

Важные вопросы тепломассообмена в каппилярно-пористых средах, например, вопросы долгосрочного прогноза солевого и уровенного режимов в почвогрунтах, при определенных допущениях сводятся к следующей задаче Коши.

В области П = {(я, у) : 0 <у <Т, 0 < х < I < со} требуется найти регулярное решение и = и(х,у) линейного параболического уравнения и_у = Lu = а(х, у)и_хх + Ь(х, у)и_х + с(х, у)и + /(я, у), (0.3) если на кривой а = {(х,у) : ху ~ 0, 0 < у < Т, 0 < х < 1} задано условие Коши, то есть если известно, что и(0,у)=т(у), u_x(Q,y) = v(y), у Є [0,7^і], u(x,0) =

В работе [21] A.M. Нахушевым и Р.Г. Кардановым предложен метод регуляризации задачи Коши со смешанным негладким носителем, суть которого состоит в замене уравнения (0,3) нагруженным дифференциальным уравнением одного из следующих видов

Я 1 (* g-J / u{_ty)d = Lu, Іфсо

Л Д 1 Р q- Yl^а%(^х>у)^и(^х»у) = ^Lu> -^- / ^WK>уЖ = ^Lu> где х\, Х2, , х_т - заданные характерные точки из полусегмента [0,1).

Многие математические модели энерго - и массобмена в среде обитания растений сводятся к задаче отыскания коэффициентов а и Ь уравнениях в частных производных вида аи_хх + bu_xxt = u_t> 0 <х < I и решения и = u(x,t), удовлетворяющего начальному условию (0.4) ф,0) = ф)єС²[0,/] и как правило, одному из следующих локальных или нелокальных краевых условий u(

В работе [22] A.M. Нахушевым и P.Г. Кардаповым предложен способ идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги, который заключается в замене уравнения (0.4) нагруженными уравнениями следующих видов 'уіх] д f аи_хх + bu_xxt = — / и(х, t)dx, 0 < х < Ц p-adtj я ^п au_xx + bu_xxt = — S2^(x)u(x_ht), 0<х<1.

Здесь а, {3, Р^]{%)-> l{^x), ^xj, ⁿ считаются задаваемыми величинами.

Теми же авторами в работе [23] рассмотрено уравнение одновременного движения соли и воды вдоль оси х с постоянной скоростью фильтрации vo при условии независимости интенсивного растворения содержащихся в твердой фазе почвы солей от их объема и поверхности дС д²С дС _Л,_ „ где знак минус берется, если направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, и знак плюс - в противном случае, С(х, t) концентрация почвенного раствора в точке х в момент времени t; D коэффициент конвективной (фильтрационной) диффузии; v = vofm -фактическая скорость фильтрации; т - порозность; 0 - коэффициент растворения; С_т - предельная концентрация раствора. Пользуясь методом редукции к нагруженным уравнениям сформирован, алгоритм расчета коэффициента конвективной диффузии соли при полном насыщении почвы влагой.

В работах Илхана Озтюрка [20], [78], [79] для нагруженного уравнения с частными производными смешанно - параболического типа аи_хх -\- Ъи_х + си = sign а; |ж|^тй_у + f(x,y) и уравнения sign х \х\^т D_Qyu = и_хх - f(x, у), исследована первая краевая задача. Здесь й-- / u(x,y)dx, Dl_y - оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка \є\ с началом в точке 0 и с концом в точке у [52].

В работе [2] Амангалиевой М.М., Дженалиевым М.Т., Рамазано-вым М.И. для нагруженного дифференциального уравнения v"{t) - и_хх = /, {х, t) Є О, fi = {{х, t): 0

В монографиях В.А. Нахушевой [54], Л.И. Сербиной [60], А.В. Псху [55] исследованы новые нелокальные задачи для нагруженных уравнений параболического типа.

Доказаны теоремы существования и единственности решений локальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

3) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы из 83 наименований. Объем работы составляет 84 страниц.

Первая глава посвящена задачам с локальными краевыми условиями для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.

В 1 первой главы в области ft = {(ж, у) : 0 < ж < г, 0 < у < Т] рассмотрено нагруженное уравнение (Li+ «)и = /(1,^), (0.5)

Я2 я Я2 я ^Ll - ^afe)cV ⁺ ^Ку)д~х ⁺ ^Ф)' ^1г - ^Л{у)д? ⁺ ^В{у)ду~ ⁺ ^C{v)l 5и - среднее значение функции и(х,у) по переменной х на сегменте [0,г]: (5и)(у) = - u{x,y)dx, о a{v)>0,0

Уравнение (0.5) в области ft является уравнением параболического типа с характеристической формой 0(ж, у; ) = a(y)t;².

Определение 0.3. Регулярным решением уравнения (0.5) в области Q будем называть решение и ~ и(х,у), такое, что и Є С (Сі), и_хх Є C(Q), (<Ц(у)єС²(0,Г).

Обозначим D = Ь²(у) - 4а(у)с(у); 2А = Ь(у)/а(у); 2р = \/D/a(y); V р — е~^Хх [A ъЪ(рх) + р с\\(рх)\ t*i (я, у) = 2e"^Aa:ch(px); «г(а:, у) = -е~^Хх$\\(рх); w(x,y) = а(у)р(р² - А²) F(x,y) = -^Jsh\p(x-t)]e^X{t-^x)m,y)dt о

Доказана следующая лемма об общем представлении решения уравнения (0.5).

Лемма 1.1. Пусть f C(fi), f_y, f_yy Є C(fi), a(y),b(y),c(y) Є С[0,Г]пС²(0,Т), ЛМ.ВЫ.ОД Є С[0,Т], ЛЫ ^ 0 V у є [0,Т]. Тогда, любое регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (0.5) представимо в виде и(х, у) = (5(^-, у) + w(x, y)L₂ (Su) (у) + F(x, у), где (5и) (у) является решением уравнения ($и)(у) - (6w)(y)L₂(6u)(y) = (6Q)(y) + (№)(

Задача 1.1. Найти регулярное в области U решение и{х,у) уравнения (0.5), такое, что (5и)(у) Є С^Т), удовлетворяющее краевым условиям и{0,у) = <р(у), 0<у<Т, и{г,у) = ф(у), 0<у<Т, {5и)(0) = 5₀, {5и)'(0) = &_и где <р(у), ф{у) - заданные непрерывные функции, $q, Si - заданные числа.

На основании леммы 1.1 доказана теорема существования и единственности решения задачи 1.1.

Теорема 1.1. Пусть соблюдены условия леммы 1.1 и <р(у), ф(у) Є С[0,Т]ПС²{0,Т). ПриВ>0_} с(уЩу)фО дополнительно выполняется условие

2p[ch(rp) - ch(rA)] ф г(р² - Х²)зЦгр), (0.6) а при D < 0 выполняются условия (0.6) и _сШгЩ^м^ _t ₌ _0ili...

Тогда существует единственное решение задачи 1.1 .

В 3 первой главы в области Q = {(х,у) : 0 < х < г, 0 < у < Т} для нагруженного уравнения (ii + «)u = /(:r,j,), (0.7) д² д д² д ^Ll"^ ⁺ ^'^ ⁺ ^C^' ^ = М?,У)-Щр + В&у)щ + С{х>у)>

К^иЛ ^с(^ї/)> ^(г,у), В(х,у), С[х,у), /(ж,у) Є С(П) - заданные функции, причем Л (я, у) т^ 0 У{х,у) Є Q.

Исследована следующая задача с условиями Пуанкаре.

Задача 1.2. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (0.7) такое, что (би)(у) Є C^OjT], и_х непрерывна вплоть до точек (0, у) и (г, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее следующим условиям Aiu = ащ_х{0, у) + /?iu(0, у) = ?(у), 0 < у < Т, А₂и ~ а₂и_х(г,у) +Дт(г,у) = ф{у), 0 < у < Г,

Л₃<Ь = а₃(<Ь)'{0) + /ЗзН(0) = *„, A^u = а₄(6и)'(Т) + fa($u){T) = 61, где tp[y), тр{у) С[0,Т]пС²(0,Т) - заданные функции, а^ pi, 5q, 5i заданные числа, а] + /² ф 0, Уг Є {1,2,3,4}. Доказана

Теорема 1.2. Пусть z\(x,y) и Z2(x,y) - решения уравнения L\z(x,y) = 0, удовлетворяющие условиям A\Z\ = 0 и A₂zi = 0 сответ-ственно, и не обращающиеся в нуль в области О,; задачи

Ь_1Я{х,у) = 0, A_lZ = 0, A₂z = 0, (0.8) {8u)"(y)-{-K_l(y)(5u)'(y)^K₂(y)(Su)(y)^0, Arfu^Q, А*5и = 0, (0.9)

Г Г Т г Jdxf B{t, y)G{x, у, t)dt Jdxf C(t, y)G{x₇ y, t)dt + 1 _{Uv) =} _{V4 -} _Ш _{= 4^4 .} fdxf A(t, y)G(x, y, t)dt Jdxf A(t, y)G(x, y, t)dt G(x,y,t) - фу7ікция Грина задачи (0.8), имеют только тривиальные решения z(x,y) = 0 и (5и)(у) н 0. Тогда сушествует единственное регулярное решение задачи 1.2.

Во второй главе исследованы задачи с нелокальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

В 1 второй главы рассмотрено модельное нагруженное дифференциальное уравнение ^)5 + ^/^^ = -^ (о-ю) где К (у), f(y) - заданные непрерывные на сегменте [0,Т] функции,

Определение 0.4. Регулярным решением уравнения (ОАО) в области С1 будем называть решение и = и(х,у), такое, что и Є C(U), u_xs Є С(П), {би)(у)єС%Т).

Исследуется следующая задача с условием первого класса.

Задача 2.1. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (0.10), с производной и_х непрерывной вплоть до точек (0, у) и [г, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям w(0,ff) = ?(y), 0<у<Т, аи_х(г,у) + Ри_х(д,у) = ф(у), 0<у<Т,

1 С ЛАС - \ u(x,Q)dx = 5q, Hm—~- / u(x,y)dx = 8\, г J у-югау J где (р(у), ф(у) - заданные непрерывные функции, Sq, 5\ = const, а² + (3²ф 0.

Решение задачи 2.1 выписано в явном виде, доказана

Теорема 2.1. Пусть j3 ф 2а, tp(y), ір(у) Є С¹[0,Т}П С²{0,Т). Тогда существует единственное решение задачи 2.1 .

В 2 рассмотрены задачи с локальным смещением для уравнения (0.5).

Задача 2.2. Найти регулярное в области О, решение и(х,у) уравнения (0.5), такое, что (ёи)(у) Є С^О,?¹), и_х непрерывна вплоть до точек (0, у) и (г,у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям u_x{r,y) = aiu{0,y) + a₂u(r,y), 0 < у < Г, и_х{0,у) = Piu{0,y) + fou{r,y), 0<у<Т, (Л*)(0)=*_о, (6и)'(0) = ё_и -15-где а,, Рі, (і = 1,2), (5q, Si - заданные числа, причем а\ + а\ ф 0,

Задача 2.3. Найти регулярное в области Q, решение и(х,у) уравнения (0.5), такое, что \5и)(у) Є С¹[0,Т), и_х непрерывна вплоть до точек (О, у) и (г, у), 0 < у < Т_} удовлетворяющее краевым условиям и{г,у) -аи(0,у), 0 < у <Т, %(Л!/) = Piu_x(Q,y) + (3₂u{Q,y), 0<у<Т, W (0) = Jo, (Su)'{0) = 5_lt где a, fii, fy, $в, Si - заданные числа, причем (5\ + /3| Ф 0

В 3, 4 на основании леммы 1.1 доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач 2.2 и 2.3 для уравнения (0.5). Теорема 2.3. Пусть соблюдены условия лельмы 1.1, и выполняются условия

ЛЫ = [uix{r, y)-2ui(r, у) J [и_2х(0, у)-Ріщ{0, у)-р₂и₂{^г, у)) ~ -(«ii(0,sO-Aui(0,y)-&ui(r,у)){и_2х{г,у)-аіи₂{0,y)~a₂u₂{r,y)J Ф 0 ₊ w_x(r,у) (биі){у) [Ріщ(0, у) + р₂и₂(г,у) - и_2х{0,у)J + (Su₂)(y)(u_lx{0,y) - р_іЩ{0,у) - Р₂щ{г,у)^ + +w(r, у) (5щ) {у) (а₂ [u2x(0, у) - Ріщ{0, у)} + р₂ [аім₂(0, у) - щ_х(т, у)]) + (Jw₂)(х/)(^а₂piit^O,yH/ix(0,2/)]-тт32[^^(r,7/)-01^/^0, у)])] 7^-А(ї/)(^(2/)-

Тогда существует единственное решение задачи 2.2.

Теорема 2.4. Пусть соблюдены условия леммы 1.1, и выполняются условия

А{у) = {au₂{Q,y)-u₂(r,y)) ріи_1х{0,у) - щ_х(т,у) + /?₂^i(0, ?/)j— -(aui(0,y)-Ui(r,y)J Au2i(0,y)-U2x(r₎y) + ^2«2(0₎y) 7^ > ₊ -A(y)(1){y)\U2_x{r,y)-l3iU2_x{0_iy)-'P2U2(0,y)j ₊ (<*u₂)(y) (A«ix(0, г/) - uii(r, y) + ftui(0, г/)J +ш_г(г,y) (Sui)(y)(au₂(0,y)-u₂(r,y)J + (5u₂)(y) (ui(r,у)-ащ(0,у)J . Тогда существует единственное решение задачи 2.3.

В третьей главе рассматриваются нелокальные краевые задачи с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

В 1 третьей главы в области Qi ~ {(ж, у) : а < х < (3, 0 <у <Т} рассмотрено нагруженное уравнение а{у)и_хх + b[y)u_x + с{у)и = sign х- \х\^т (ёи) (у) +Дж,у), (0.11) где а < О, Р > 0,т > 0 - действительные числа, а(у) ^ 0, 0 < у < Т, Ь(у), с(у) - заданные непрерывные функции, [$и)(у) - среднее значение функции и(х, у) по переменной х на сегменте [а, Р]: а Уравнение (0.11) после почленного умножения на сигнум-функцию переходит в нагруженное дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа со знакопеременной характеристической формой В(х, у; ) = а(у) sign-². Оно в определенном смысле апрок- симирует уравнение а{у)и_хх + Ь(у)и_х + с(у)и = sign х \х\^т и_у + f(x, у), которое принято называть уравнением смешанно-параболического типа или уравнением переменного типа, или же параболическим уравнением с меняющимся направлением по времени.

Краевые задачи с меняющимся направлением времени были рассмотрены в работах Н.Б. Кислова [28].

Определение 0.5. Регулярным решением уравнения (0Л1) в области 0\ будем называть решение и — и(х,у), такое, что и C(fii), и_хх С(Ог), (Su^eC^T). Обозначим D = Ь²{у) - 4а[у)с{у); 2А = Ь(у)/а(у); 2р = \/Ъ/а(у); ІгГ⁺¹ Г w(x,y) = ЦЦ~ / (1 - z)^msh(pxz) e~^Xxzdz-а{У)Р J о ui(i,y) = 2e~^Xxch(px), un(x,y) = -e~^Xxsh(px).

Доказана

Лемма 3.1. Пусть a(y)_yb{y)_tc(y) С%Т]Г\С\0,Т), f(x,y) Є 0(^), їуі^хіУ) Є С(^і) Тогда, любое регулярное в области 0\ решение и(х,у) уравнения (0.11) представимо в виде u(x,y) = Q(x,y) + w(x,y)(6u)'(y) + F(x,y), где (Su) (у) является решением уравнения (5u)(y) - (8w)(y)(5u)'{y) - Щ(У) + (<ИЫ, функция Q{x,y) является решением однородного уравнения а{у)и_ххЩу)и_х+с(у)и = 0.

Функции (5и)(у), (SQ)(y), (<5ш)(у), (6F)(y) означают интегральные средние значения по переменной х Є [0,г] функций и(х,у), Q(x,y), w(x,y)₁ F(x,y) соответственно.

В 2 третьей главы исследованы

Задача 3.1. Найти регулярное в области Q\ решение и{х,у) уравнения (0.11) с производной и_Х} непрерывной вплоть до точек (а,у) и {(3,у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям Aiu = ц_ги_х(а, у) + ft₂u(a, у) + да{& у) = <р(у), 0 < у < Т, А₂и = ъи_х{Р, У) + Ъи(а, у) + ^и{Р, у) = ф(у), 0 < у < Т,

Н(0) = й,

1и №j: {hj — 1j2, 3), 5$ - заданные числа, причем /^ + /^ + Дз 7^ 0;

71+72+73 7^0) /^1+7? 7^ 0) <р{у)>Ф{у) ~ заданные непрерывные функции.

Задача 3.2. Найти регулярное в области С1\ решение и(х,у) уравнения (0.11) с производной и_х> непрерывной вплоть до точек (а,у) и (ft, у), 0 < у < Т, удовлетворяющее краевым условиям BiU = 7iu(a,y) + 72u(Ay) = 4>{v), О < у < Т, В₂и = /iiu_x(a,у) + даДАу) + рзи(а,у) = <%), 0 < у < Т, (6и)(0) = 5о, где 7ь jUj, (г = 1,2; j = 1,2,3), Sq -заданные числа, причем 7і+7І Ф 0> Pi + А*2 + ^3 7^ О, Ді + /4 + 7г 7^ 0) vtsOilKsO ~ заданные непрерывные функции.

В 3 опираясь на общее представление решения уравнения (0.11), доказаны теоремы существования и единственности решений задач 3.1 и 3.2.

Теорема 3,1, Пусть соблюдены условия леммы 3.1, 2и₂) ф (А_хи₂) (А₂щ) (&щ)(у) Piu₂) (А₂ад) - (Л₂и₂) (A₁w)] + + (ои₂)(у) [(А₂щ) (Ліш)~(Лі_иі) (Л₂го)]^ ^(<5ш)(у) p_lW2) (Л₂«і) - (Лімі) (Л₂ы₂)]. Тогда существует единственное решение задачи 3.1.

Теорема 3.2. Пусть соблюдены условия леммы 3.1, ⁽р{у)іф{у) С[0,Т] П C^OjT), и выполняются условия (Віиі) {В₂щ) ф [В_хи₂) {В₂щ) (5щ)(у) [(Вт) (В₂ги)-(В₂щ) (Віш)] +

Цби₂)(у) [(В₂щ) (Віш)-(Віщ) (В₂ю)]ф ф{5ю)(у) \(В_ги₂) {В₂щ)~(В_1Щ) (В₂и₂)}.

Тогда существует единственное решение задачи 3.2.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [63]-[73].

Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи

Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. A.M. Нахушевым в [39], и приводится в работах [45], [46], [48]. Общее определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [51]. Определение 0.1. Пусть О, - n-мерная область евклидова пространства Rn точек х = (жі, ...,жп). Заданное в области И дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию П многообразиях размерности меньше п [39]. В дальнейшем к исследованию нагруженных уравнений обращались многие авторы. Отметим работы [1] - [3], [5], [7] - [9], [12] - [27], [29] -[31], [35], [39] - [44], [49], [56], [57], [74], [78], [79].

Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. В шестидесятых годах А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными. Для реализации этой проблемы A.M. Нахушев в 1969 году предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [37], [38], [50], [53].

Суть метода редукции к нагруженным уравнениям, состоит в замене дифференциального или интегро-дифференциального уравнения Lu = f(x), иеВД, (0.1) аппроксимирующим его с той или иной точностью нагруженым дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнением Lu = /(ж), и Є D(L) = D(L), (0.2) такого же типа и порядка. Определение 0.2. Функция й D(L) называется приближенным решением задачи (0.1), если она является точным (или приближенным) вб рошенном аппроксимирующей задачи (0.2) [47]. Сущность метода редукции к нагруженным уравнениям раскрыта в [9], [19], [21] - [23], [40] - [44], [50] на некоторых модельных задачах. Важные вопросы тепломассообмена в каппилярно-пористых средах, например, вопросы долгосрочного прогноза солевого и уровенного режимов в почвогрунтах, при определенных допущениях сводятся к следующей задаче Коши.

В области П = {(я, у) : 0 у Т, 0 х I со} требуется найти регулярное решение и = и(х,у) линейного параболического уравнения иу = Lu = а(х, у)ихх + Ь(х, у)их + с(х, у)и + /(я, у), (0.3) если на кривой а = {(х,у) : ху 0, 0 у Т, 0 х 1} задано условие Коши, то есть если известно, что и(0,у)=т(у), ux(Q,y) = v(y), у Є [0,7і], u(x,0) = p(x), x Є [0,1).

Задачи с локальным смещением

Теми же авторами в работе [23] рассмотрено уравнение одновременного движения соли и воды вдоль оси х с постоянной скоростью фильтрации vo при условии независимости интенсивного растворения содержащихся в твердой фазе почвы солей от их объема и поверхности где знак минус берется, если направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, и знак плюс - в противном случае, С(х, t) - концентрация почвенного раствора в точке х в момент времени t; D - коэффициент конвективной (фильтрационной) диффузии; v = vofm -фактическая скорость фильтрации; т - порозность; 0 - коэффициент растворения; Ст - предельная концентрация раствора. Пользуясь методом редукции к нагруженным уравнениям сформирован, алгоритм расчета коэффициента конвективной диффузии соли при полном насыщении почвы влагой. В монографиях В.А. Нахушевой [54], Л.И. Сербиной [60], А.В. Псху [55] исследованы новые нелокальные задачи для нагруженных уравнений параболического типа.

В настоящей диссертации исследованы локальные и нелокальные краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов. 1) Доказаны теоремы существования и единственности решений локальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа. 2) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа. 3) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы из 83 наименований. Объем работы составляет 84 страниц. Первая глава посвящена задачам с локальными краевыми условиями для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. В 1 первой главы в области ft = {(ж, у) : 0 ж г, 0 у Т] рассмотрено нагруженное уравнение (Li+ «)и = /(1, ), (0.5) где Я2 я Я2 я Ll - afe)cV + Ку)д х + Ф) 1г - Л{у)д? + В{у)ду + C{v)l 5и - среднее значение функции и(х,у) по переменной х на сегменте [0,г]: г (5и)(у) = - u{x,y)dx, о a{v) 0,0 y T, f[x,y), Ъ{у),с{у), А(у), В{у), С (у) - заданные непрерывные функции. Через ft обозначим замыкание области ft. Уравнение (0.5) в области ft является уравнением параболического типа с характеристической формой 0(ж, у; ) = a(y)t;2. -10 Определение 0.3. Регулярным решением уравнения (0.5) в области Q будем называть решение и и(х,у), такое, что и Є С (Сі), ихх Є C(Q), ( Ц(у)єС2(0,Г). Обозначим D = Ь2(у) - 4а(у)с(у); 2А = Ь(у)/а(у); 2р = \/D/a(y); V р — е Хх [A ъЪ(рх) + р с\\(рх)\ t i (я, у) = 2e"Aa:ch(px); «г(а:, у) = -е Хх$\\(рх); w(x,y) = а(у)р(р2 - А2) х F(x,y) = - Jsh\p(x)]eX{t-x)m,y)dt о Доказана следующая лемма об общем представлении решения уравнения (0.5). Лемма 1.1. Пусть f C(fi), fy, fyy Є C(fi), a(y),b(y),c(y) Є С[0,Г]пС2(0,Т), ЛМ.ВЫ.ОД Є С[0,Т], ЛЫ 0 V у є [0,Т]. Тогда, любое регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (0.5) представимо в виде и(х, у) = (5( -, у) + w(x, y)L2 (Su) (у) + F(x, у), где (5и) (у) является решением уравнения ($и)(у) - (6w)(y)L2(6u)(y) = (6Q)(y) + (№)( /), функция Q(x,y) является решением однородного уравнения L\u = 0. Функции (5и)(у), (5Q)(y), (Sw)(y), (SF)(y) означают интегральные средние значения по переменной х Є [0,г] функций и(х,у), Q{x,y), w(x,y), F(x,y) соответственно. -11 B 2 первой главы рассмотрена первая краевая задача.

Теорема существования и единственности решения задачи

Задача 1.1. Найти регулярное в области U решение и{х,у) уравнения (0.5), такое, что (5и)(у) Є С Т), удовлетворяющее краевым условиям и{0,у) = р(у), 0 у Т, и{г,у) = ф(у), 0 у Т, {5и)(0) = 50, {5и) (0) = &и где р(у), ф{у) - заданные непрерывные функции, $Q, SI - заданные числа. На основании леммы 1.1 доказана теорема существования и единственности решения задачи 1.1. Теорема 1.1. Пусть соблюдены условия леммы 1.1 и р(у), ф(у) Є С[0,Т]ПС2{0,Т). ПриВ 0} с(уЩу)фО дополнительно выполняется условие 2p[ch(rp) - ch(rA)] ф г(р2 - Х2)зЦгр), (0.6) а при D 0 выполняются условия (0.6) и сШгЩ м t = 0ili... Тогда существует единственное решение задачи 1.1 . В 3 первой главы в области Q = {(х,у) : 0 х г, 0 у Т} для нагруженного уравнения -12 (ii + «)u = /(:r,j,), (0.7) где д2 д д2 д Ll" + + C = М?,У)-Щр + В&у)щ + С{х у) К иЛ с( ї/) (г,у), В(Х,У), С[х,у), /(ж,у) Є С(П) - заданные функции, причем Л (я, у) т 0 У{х,у) Є Q. Исследована следующая задача с условиями Пуанкаре. Задача 1.2. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (0.7) такое, что (би)(у) Є C OjT], их непрерывна вплоть до точек (0, у) и (г, у), 0 у Т, удовлетворяющее следующим условиям Aiu = ащх{0, у) + /?iu(0, у) = ?(у), 0 у Т, А2и а2их(г,у) +Дт(г,у) = ф{у), 0 у Г, Л3 Ь = а3( Ь) {0) + /ЗзН(0) = „, A u = а4(6и) (Т) + fa($u){T) = 61, где tp[y), тр{у) С[0,Т]пС2(0,Т) - заданные функции, а pi, 5Q, 5I заданные числа, а] + /2 ф 0, Уг Є {1,2,3,4}. Из условия (1.9) для нахождения (5и)(у) получим задачу Коши (&u)(0) = So, {5и) {0)=5и (1.15) для уравнения (1.14). Известно ([58], с. 84), что задача (1.14), (1.15) однозначно разрешима, когда К\(у) и Hi(y) - непрерывные функции, то есть когда К [у) ф 0. Следовательно, и решение задачи 1.1 определяется единственным образом. Нетрудно проверить, что функция и(х у), определяемая выражением (1.3), удовлетворяет краевым условиям (1.7) - (1.9). Теорема 1.1 доказана. Замечание 1.1. Если условие (1.10) теоремы 1.1 не выполняется, то существует единственное решение задачи (1.1), (1-7), (1.8). Замечание 1.2. В случае, когда функции А{у) = 0, В (у) ф 0 сформулированная теорема 1.1 справедлива, если в задаче 1.1 исключить условие (Suj (0) = Si. -31 v с 2гт / Пример 1.1. Пусть а = -=—-, Ь = -z—-. Тогда Iі — 1 г1 — 1 _ vb2 - 4ас _ 1 6 _ Р 2а г 2а г Условие (1-Ю) можно переписать в виде егР + е-тр _ еХг _ е-Хг =(Ц- iM (е - Є ГР) . (1.16) При выбранных а и Ъ (1.16) примет вид 5 И) НИН- (1л7) Графиком функции является парабола с вершиной в точке 0, - 4- - 1 и ветвями направлея V 4 е/ ными вверх. Так как - ( е + - ) 0, то парабола пересекает график 4 V е) функции у = сЫ в точках t = ±t$. То есть уравнение (1.17) всегда имеет решение. Если to является решением уравнения (1.17), то при выбранных а и b условие (1.10) нарушается. То есть 2p[ch(rp) — ch(rA)] = r(p2 — X2)sh(rp).

Теоремы существования и единственности решений задач с локальным смещением

Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы.

1. Доказана лемма 1.1 об общем представлении решения одного класса нагруженных уравнений с частными производными параболического типа с коэффициентами зависящими от одной переменной у в прямоугольной области.

2. Доказана теорема 1.1 существования и единственности решения первой краевой задачи для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

3. Доказана теорема 1.2 существования и единственности решения задачи 1.2 с условиями Пуанкаре для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

4. Доказана теорема 2.1 существования и единственности решения задачи 2.1с условием первого класса для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

5. Доказаны теоремы 2.3 и 2,4 существования и единственности решений соответственно задач 2.2 и 2,3 с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

6. Доказана лемма 3,1 об общем представлении решения одного клас -71 са нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

7. Доказаны теоремы 3.1 и 3.2 существования и единственности решений соответственно задач 3-ій 3.2 с локальным смещением для класса нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.