Качественное исследование интегральных уравнений Вольтерра и Гаммерштейна с многозначными нелинейностями Свенцицкая, Татьяна Алексеевна

//-//-

в гильбертовом пространстве п=- А/ . Доказана следующая

Теорема 1.4.2. Пусть для любого Lf& fj( выполняется неравенство

причём L\₀ - L _у Cj&> 0 , где <А₀ - наибольшее собственное значение оператора К . Тогда существует решение интегрального включения (13).

Теоремы о структуре спектра и существовании непрерывных ветвей собственных векторов многозначных операторов, близких к линейным.

Рассмотрим интегральное уравнение Гаммерштейна с многозначной нелинейностью: где JL - ограниченное замкнутое множество конечномерного пространства; ($) [S G dk) - искомая функция со значениями в Лі- - мерном евклидовом пространстве f\ ; Щ$;т) - матрица - - ядро, измеримая по совокупности переменных; /( -v - многозначная функция oL - непрерывная по X и измеримая по Т и действующая из множества JL Я в пространство d - вещественный параметр. Запишем (2.1.) в операторном виде: где W2 Кг , К - линейный интегральный оператор, порожденный ядром \Ji (S, k). Будем предполагать, что оператор л действует из гильбертова пространства л , функций с суммируемым квадратом на JLi , в И . г - многозначный оператор, определяемый многозначной функцией f(tj J и ставящий в соответствие каждой измеримой Х непустое множество: - I { : { " из Рима и почти всвду Предполагается также, что оператор г действует из г/ в X . При этом многозначный оператор И/ действует из пространства и в Coft/fli .В частности, указанные предположения имеют место, если ядро JvfS/ т) суммируемо с квадратом на Лм Л , а многозначная функция Г[Т ) такова, что выполнено 1- - положительная постоянная, Пусть линейный оператор л является вполне непрерывным, а многозначный оператор г - В - непрерывным, тогда согласно [29] многозначный оператор V/ будет замкнутым и компактным, т.е. вполне непрерывным. Вектор Х п , IIJillф 0 , будем называть собственным вектором многозначного оператора И/ , если существует такое число t\ , что Число vA при этом называется собственным значением многозначного оператора . Совокупность собственных значений многозначного оператора W называется его спектром. В настоящем параграфе исследуется спектр вполне непрерывного многозначного оператора, близкого к линейному оператору. В частности, спектр, содержащий интервалы; анализируется вопрос о структуре совокупностей собственных векторов. Найдены условия существования ограниченных и бесконечных ветвей собственных векторов. В полученных теоремах существенную роль играет кратность собственных значений различных линейных операторов. Исследование использует методы, развитые Красносельским М.А. ( [20 ] ) и Борисовичем Ю.Г. и др. ( (22,23 J ) - при помощи топологического инварианта - вращения многозначного векторного поля.

Вопрос о существовании в пространстве п решений операторного включения (2.1.)к эквивалентен вопросу о существовании неподвижной точки многозначного вполне непрерывного векторного поля г= Г у W. Применение вращения многозначных векторных полей к вопросу о существовании неподвижных точек основано на том, что отличие вращения от 0 на границе области с/ влечет существование в области с/ неподвижной точки многозначного вполне непрерывного векторного ПОЛЯ. Многозначный оператор назовём близким к линейному вполне непрерывному оператору О в области с константой (у , если выполняется неравенство: Пусть хА0 не является собственным значением линейного оператора о , тогда оператор X - т- & имеет ограниченный об- ратный, т.е. . . , „ Лемма I.2.I. Пусть / - граница области, не содержащей 9 , причём Г С Щ и пусть J0 не является собственным значением оператора и . Вполне непрерывное многозначное векторное поле Р = I" т W , где w близко в J к и с постоянной \s , гомотопно на / полю если С &- Доказательство» Покажем, что при условии леммы многозначное поле г не имеет на / нулевых векторов. Пусть vX - / , тогда №ИФ0 . Следовательно, в силу условий леммы и леммы I.I.I., имеем: Рассмотрим вполне непрерывный многозначный оператор Ни при каких t , t Є ЩІ] векторное многозначное поле vX - й,( Х/) на не имеет нулевых векторов. Действительно, если при to (0,l) ,vy06f а0Є 0,( ,1), т.е. - 34 -а это противоречит следующей цепочке неравенств: Значит, по определению гомотопности, многозначное поле / и линейное поле л гомотопны на / . Лемма доказана. Замечание І.2.І. Заметим, что в условиях леммы, если / - граница окрестности » - } X IIЖII - tj$ то операторное включение имеет в шаре ЦЛІІІ. t} по крайней мере одно решение. Это следует из того, что многозначное поле г гомотопно на / линейному полю 7 , вращение которого на / равно /или / , т.е. отлично от нуля, а значит, такое же отличное от нуля вращение имеет многозначное поле г на границе / . Применяя предложение 1,1.7. получаем, что отображение И/ имеет неподвижную точку в V , а значит, существует по крайней мере одно решение операторного включения (2.4.). Рассмотрим многозначный интегральный оператор Пусть многозначная функция litt у) представима в виде где M ,-V - некоторая многозначная функция, и выполнено перово: s{mAji &dfM/ & - некоторая положительная постоянная. Тогда многозначный оператор W примет вид: Пусть U не является характеристическим значением оператора А тогда найдется такое (Xу 0 , что Для многозначного оператора W из условия (2.6.) и леммы I.I.3. имеем Следовательно, многозначный оператор W (2.5.) близок к линейному оператору и К (2.7.) с постоянной . Если предположить, что то выполнены условия леммы I.2.I. С учётом замечания I.2.I. получаем, что интегральное включение (2.4.) с многозначным оператором вида (2.5.) имеет в шаре { (№11 t-J по крайней мере одно решение. Точкой бифуркации многозначного оператора назовем такое число X 0 , что для любых чисел t 0 и о 0 могут быть найдены собственное значение Д и собственный вектор vV многозначного оператора W , удовлетворяющие условиям т.е. могут быть найдены сколь угодно близкие к J0 собственные значения оператора W , отвечающие собственным векторам, сколь угодно малым по норме. Число J 0 назовём асимптотическим собственным значением многозначного оператора И/ , если для любых Ч 0 и можно найти собственный вектор 0( и собственное значение J оператора W , удовлетворяющие условиям т.е. могут быть найдены сколь угодно близкие к сЛ с собственные значения оператора , отвечающие собственным векторам,сколь угодно большим по норме.

Определение I.2.I. Пусть W9-9 . Линейный оператор &, назовём производной Фреше в 9 многозначного оператора W , Определение 1.2,2, Линейный оператор и назовём асимптотической производной многозначного оператора vv , если Выясним при каких условиях будут существовать производная Фреше в и и асимптотическая производная многозначного оператора, определенного формулой (2.5.). Пусть для многозначной функции v (7 / выполнено условие: где Чэ[Т]Ж) _ некоторая многозначная функция, порождаемый ею оператор обозначим и . Пусть Q (9) = и . В этом случае многозначный оператор И представим в виде: где Линейный оператор Г\ будет являться производной Фреше в и многозначного оператора w , если норма многозначного оператора k есть величина более высокого порядка малости, чем ЇМ II . Действительно, оценим величину По лемме 1.1,3. имеем: Если , то последняя величина стремится к нулю при Hull - 0 , а это по определению I.2.I. и означает, что линейный оператор Л. является производной Фреше в 0 многозначного оператора w . Аналогичными рассуждениями получаем, что линейный оператор К является асимптотической произ- водной многозначного оператора tv , если -! - 0 при Ш\(— .В частности, это верно, если HQx.ll ограничена. Следующие утверждения являются обобщением результатов, полученных Красносельским М.А. ( /20 J) и Поволоцким А.И. ([25J) на случай многозначных операторов. Для производной Фреше в v и асимптотической производной многозначного оператора W имеет место утверждение: Теорема І.2.І. Если многозначный оператор vv вполне непрерывен, то его производная Фреше в 9 и асимптотическая производная являются вполне непрерывными операторами. Доказательство. Докажем утверждение теоремы для производной Фреше в U , для асимптотической производной доказательство аналогичное. Допустим противное, т.е., что оператор 0/ не вполне непрерывен. Тогда множество Ь и » где о - единичный шар пространства п , некомпактное.

Об интегральных включениях в пространстве Орлича

Условия, наложенные на многозначный оператор ф в предыдущем параграфе, ограничивают возможный набор нелинейностей. Для расширения этого набора требуется переход к более широкому классу функциональных пространств. Таким классом пространств является класс пространств Орлича, содержащий, в частности пространства Напомним некоторые сведения из теории пространств Орлича ( [31, 32] ). Пусть Р (w и fy(s) - две непрерывные справа и неубывающие функции, "обратные" друг другу в том смысле, что и удовлетворяющие условиям Выпуклые функции JAM и IV{v) , определенные равенствами называются дополнительными друг к другу IV - функциями. Если при больших значениях аргумента то пишут JU(( ) " Д (її) . Если ЛД ) s/W ( W/) или Jyl W «МДК") , то /V -функции чМД ) и 4 (l ) назы- ваются сравнимыми. N - функции называются эквивалентными, если Говорят, что Л/(ц ) удовлетворяет А - условию, если при больших значениях аргумента N - іункции, удовлетворяющие А - условию, при больших значениях аргумента мажорируются степенной функцией. Пусть \j - ограниченное замкнутое множество конечно--мерного евклидова пространства, JK(U ) - некоторая М -- функция. Классом Орлича 1Ы\Щz Л/ц называется совокупность функций для которых Каждая суммируемая функция принадлежит классу Орлича. Класс Орлича является выпуклым множеством. Класс L/ц является линейным множеством тогда и только тогда, когда /v - функция М[ ) удовлетворяет А - условию . Линейная оболочка класса Орлича превращается в полное метрическое пространство ц , если ввести норму равенством Пространство L ц называется пространством Орлича. Если выпуклая функция \Щ ) удовлетворяет А - условию, то L ц совпадает по набору элементов с классом Орлича Ац . Вообще говоря, различные N - функции определяют различные пространства Орлича. Для того, чтобы имело место включение Ljif с ji м , необ-ходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение J/L(k) difi ) . При этом нормы согласованы: Слабая сходимость элементов в пространстве Л. м понимается в следующем смысле: последовательность U,h (X) 6 /, ц , И-{. J?.... слабо сходится, если последовательность сходится для каждой л/ . Пусть заданы дополнительные друг к другу выпуклые функ ции удовлетворяющие Д. - усло- вию. По ним строим пространства Орлича к, и А, д/ соот ветственно.

Полагаем во всем параграфе, что \Щ ] такая функ ция, что выполнено включение в этом случае, очевидно, L С L Л/ Рассмотрим в пространстве м интегральное включение где r\ - интегральный линейный оператор, действущий из про-странства L в пространстве L ц \ Р - многозначный оператор, определяемый многозначной функцией и действующий из пространства L в пространство Л Многозначный оператор т ставит с соответствие каждой измеримой на [4у У функции множество fx = /f. /-из-ериыаип.в. fif/ДО е М І. Таким образом произведение операторов действует из пространства км в пространство i, 4. Ставится задача о существовании в L ц решения интегрального віслючения (4.1.) Задача будет решена при помощи многозначного аналога признака Красносельского. Пусть многозначная функция Щ?/ ) удовлетворяет следующим условиям 1) &(/ ) - ?L - непрерывная по vY и измеримая по t ; 2) для любой функции X(i) / множество 9 Л непус-то в пространстве Jt ; 3) при почти всех t l -j Ь} отображение $ )- Щ хШ) замкнуто в К Следуя Лялину Л.Н. (см. [29] ) можно показать следующее: I. Множество Щ - } I і - измерима и п.в. принадлежит пространству X V» 5 L м Ь замкнутый и & -- непрерывный. 3. Бели X - вполне непрерывный оператор, то многозначный оператор у/-- ц (р является замкнутым и компактным, т.е. вполне непрерывным. Действительно, первое утвервдение следует из свойства Z многозначной функции Покажем теперь, что многозначный оператор г является замкну-там и J - непрерывным. Возьмем последовательность функций \ Хп \ , 1 - Ь Я, , в пространстве ц . Пусть эта последовательность сходится к функции &$ L м . Выберем последовательность f V„J , такую, что Уиб 9vX . , и сходящуюся к функции Ч . Покажем, что почти всюду. Из последовательности \УЦ] можно выбрать подпоследова тельность \ U4. J сходящуюся почти всюду к функции U . Тогда не ограничивая общности можно считать, что подпоследователь ность { V} сходится почти всюду к 0( Благодаря тому, что отображение Л замкнуто, получаем, что почти всюду на [ kj і 1 выполнено включение и„ следовательно, \Lr тХ . Как следствие отметим, что для любой функции X & Л лу множество замкнуто в пространстве Л м . Осталось показать J2 - непрерывность многозначного оператора г . Пусть Хп] - последовательность в пространстве Л ц , сходящаяся к Л . Пусть Уц є Пк произвольная последовательность в пространстве л. ы . Предположим противное, т.е. что многозначный оператор Ф не является Р, - непрерывным. Тогда найдется 0 такое, что при 0(п X rXh Ф Wf (г-у. В множестве ф Хк выберем точку U такую, что і/ч 4 vi? u J . С другой стороны, в множестве \г( tj х) в силу предложения I.I.3. найдется измеримая непрерывная функция 9К ближайшая к (г такая, что при почти всех fe /дД Отсюда в силу непустоты множества у Х следует, что функция О, к лежит в пространстве к. д/ . В силу леммы І.І.І. имеем оценку Так как v ( ) oL - непрерывна по vX , то получаем, что при /1— « т.е. 1/и 5 й (%,) . Полученное противоречие доказывает у8 - непрерывность многозначного оператора г Последнее, третье, утверждение следует из свойств оператора г и того, что однозначный интегральный оператор г\ вполне непрерывный. Докажем теперь, многозначный аналог принципа М.А.Красносельского. Теорема 1.4,1. Пусть (\ - многозначный оператор J - - непрерывный в гильбертовом пространстве Н - L и для лю бого IT 4 Х в шаре 3(Ш±Я) выполняется соотношение где ( ; ) - скалярное произведение в Ц . Тогда включение J( б- // JC имеет решение в Доказательство.

Если существует элемент X Є Г , где Г- - граница шара , такой, что Л б Ах то теоре ма доказана. Допустим, что вполне непрерывное многозначное векторное поле не имеет на Г нулевых векторов. Тогда и поле Л - Л А Л , где 0 X і , тоже не имеет на / нулевых векторов. Действительно, для любого Дг - J( J 4 X имеем = Л- J Г , где Г 40( . Поэтому в силу условий теоремы Семейство вполне непрерывных многозначных векторных полей X - Л Я X гомотопно соединяет многозначное поле Х пХ с полем X , тогда поле JL А гомотопно полю J Как известно (см. /"20 J ) вращение поля I на сфере о (кII-Нравно , следовательно, такое же вращение имеет и поле Т А Значит, в силу предложения I.I.7. существует неподвижная точка поля I-/) внутри шара Теорема доказана. Пусть линейный интегральный оператор /\ в (4.1.) является самосопряженным положительноопределенным и вполне непрерывным. В силу /24 7такой оператор допускает расщепление, то Kz і L„- //, К х //- їм, . Так как К вполне непрерывный оператор, то и оператор К - также вполне, непрерывный. С учётом (4.2.) интегральное включение (4.1.) примет вид: Рассмотрим интегральное включение вида где оператор действует из Если есть решение интегрального включения (4.3.) - U0 , то & Мо - решение интегрального включения (4.1. )х. Действительно, применим к обеим частям включения (4.3.) оператор /[ , получим і Обозначим К U0 = vK 7 , тогда т.е. A U0 - решение включения (4.1.)х. Теорема 1.4.2. Пусть для любого ІГ 9х выполняется неравенство ( IT, ) С ( ОС/ОТ) 4 (І , причём сД0 : і , где \0 - наибольшее собственное значение оператора К , Є,ОІ 0- Є0и . lL(r \fj\j имеем в силу условий теоремы Ы)- (КЧ#)= Л К Тогда интегральное включение (4.3.) имеет неподвижную точку. Доказательство. Обозначим И/X - К Ф К Х Для любого Найдется настолько большое К # , что при ЫИ - к верно неравенство Тогда на сфере о{\\Ч\\=&) верно неравенство По теореме 1.4.I. интегральное включение (4.3.) имеет неподвижную точку. Теорема доказана. Теорема 1.4.2. дает условия разрешимости включения (4.3.) а следовательно, существует по замечанию перед теоремой и решение включения (4.1.)й, а значит, и включения (4.1.). I. Достаточные признаки существования решений интегральных включений. Непрерывная зависимость воронки решений от подынтегральной функции и начальных условий.

Оценки решений интегральных включений. Метод мажорант

Однозначная функция +- ( v $, V называется мажорантой многозначной функции 47(S, -V » если ,м i; S, )Су непрерывна по совокупности своих аргументов и для любого элемента Q множества v/Ч / выполняется неравен- ство В пространстве /\ рассмотрим интегральное включение Вольтер- Определение 2.2.2. Уравнение (2.2.) будем называть мажорантным для интегрального включения (2.1.), если функция +(у является мажорант;ой„ многозначной функции 7( 5, ) и И, (±) 5 . (О при ІГ&- [0J1. Под решением интегрального включения (2.1.) будем понимать непрерывную на 0} Т] функцию о( (i) , удовлетворяющую всюду на і0,7J интегральному включению (2.1.) Имеет место следующая Теорема 2.2.1. Пусть однозначная функция f-(n$; у (ijS & lOjT] Hull сл3) непрерывна по совокупности своих ар гументов и не убывает по [/у . Пусть vY (т) - какое-либо реше ние интегрального включения (2.1.) и ll0 ("k) 40 (\Ь) . Тогда при справедливо неравенство где (A, (4) - непрерывное решение интегрального уравнения (2.2.). Доказательство. При и-О неравенство (2.3.) выполнено. Допустим, что неравенство (2.3.) выполнено не при всех b lopf] , Тогда в силу непрерывности X (Ф) и i 6y существует i0 lJl такой, что 0((4,)= к, (і) и Л W + W , при t& Ці,} . Из (2.1.) и (2.2.) вытекает - по условию леммы ). Получили противоречие нашему предположению. Лемма доказана. Теорема 2.2.1. Пусть однозначная функция t\ j% Lt) (і$І0,Т] //w// ) является мажорантой J многозначной функции имеет решение при достаточно малых о ; (iy - непрерывная функция на to,rl. Пусть ft) - любое непрерывное решение интегрального включения (2.1.) fJtft)/J - , U - верхнее непрерывное решение интегрального уравнения (2.2.), где Тогда имеет место неравенств Доказательство. Введем в рассмотрение интегральное уравнение где 0 - достаточно малое, - /, ?,... . Обозначим через ft) решение интегрального уравнения (2.7.), определенное на [О. Tj , при каждом фиксированном.

В силу леммы 2.1.3. получаем, что и пользуясь леммой 2.2.1., имеем В результате получим, что последовательность решений интегрального уравнения (2.7.) \№ (Ъ)} монотонная ограниченная, следовательно, она имеет предел Переходя к пределу в (2.7.) при h- «« получаем, что №( ) является решением интегрального уравнения (2.2.), где . Далее, переходя к пределу в неравенстве (2.8.) при h -» сх получим, что J(( v Ur(v) . Легко ви деть, что Ш (тг) = IMV9 то есть Wft)является верхним реше нием уравнения (2.2.), где . Теорема доказана. С помощью этой теоремы и теорем об интегральных неравенствах для однозначных функций I ( A v уравнений ( см. [33j ) приведем примеры конкретной оценки для решений интегральных включений. Теорема 2.2.2. Пусть однозначная функция где ( t) , R(s) - неотрицательные, интегрируемые функции, является мажорантой многозначной функции Пусть vX (т) - непрерывное решение интегрального включения: Тогда справедлива оценка: Доказательство. Обозначим Очевидно, W(0) 0 , ИГ = j(i)iA,(i) . Умножим уравнение (2.9.) на $() и учитывая обозначение (2.10.) имеем Введем в рассмотрение функцию M v равенством: Но так как по теореме 2.2.1. X (і) и, (+) , то требу оценка доказана. Анаїїогичньте регультаты можно получить для многократных интегральных включений Вольтерра с конкретным указанием соответствующих мажорант. Интегральным включением Вольтерра с запаздывающим аргументом в /п- -мерном векторном евклидовом пространстве К назовём соотношение вида Здесь X(vJ - искомая векторная функция со значениями в л; ; Т\к) - непрерывная неотрицательная скалярная функция, опреде ленная на [0/ ТI и ограниченная: - непре рывная функция со значениями в R и 11кУ0( )И - t f 1 0 , tts є [OjTj с R ; многозначная функция С/(Ч , v определена в области и действует в пространство ШЬАГ К . Ставится задача об отыскании непрерывной функции X (к) 9 удовлетворяющей всюду на І0,1 \ интегральному включению (I.I.). Всюду ниже будем предполагать, что многозначная функция Зч А-v oi -непрерывна по Г равномерно относительно s , X ; ji -непрерывна по Л при фиксированных т , s ; измерима по S при фиксированных І , . При доказательстве теорем будем пользоваться следующей леммой. Демма З.І.І. ( 18,19 J ). Пусть однозначная функция (т и) нещ)ерывна по совокупности своих аргументов в области U/I Ъ и не убывает по 6С . Пусть непрерывная функция РЩ, (f(i) Ъ, удовлетворяет условию где ( ft) и і ft) определены и непрерывны на (Цо)?- Ь(0) - Пусть, наконец, уравнение имеет единственное решение.

Имеет место следующий достаточный признак существования решений интегрального включения (I.I.). Теорема 3.I.I. Пусть для многозначной функции выполнено и функция является правильной с функцией ЩІ, и,) удоізлетворяющей условиям леммы З.І.І., причём уравнение (1.2.) имеет лишь нулевое решение при Тогда интегральное включение (I.I.) имеет решение Л(Т/ , определенное на [0;Т J и являющееся пределом последовательных приближений Тонелли Доказательство. Обозначим через (" //последовательные при(5лижения Тонелли, построение которых аналогично построению указанному в теореме 2.1.2., они будут иметь вид Покажем, что последовательность функций является фун-даментальной. Пусть для определенности К й- и оценим , пользуясь условиями теоремы Переходя к пределу при п,к- - в этом уравнении получим, что tljj к \Ь) стремится к решению уравнения (1.2.), а так как оно по условию теоремы нулевое, то получаем причём сходимость равномерная по V " -"j Отсюда следует, что и последовательность функций фундаментальная, значит, имеет предел Переходя к пределу при Н- в (1.3.) с учётом предложения I.I.I. получим . j. Как видно из получившейся цепочки включений X \ ) является решением и интегрального включения (I.I.), полученное методом последовательных приближений Тонелли, что и требовалось доказать, Обозначим через К г - пространство непрерывных на функций со значениями в \ . Норму в нем определим так Через обозначим Рассмотрим в Л интегральное включение вида где 0 S т - / ; заданная функция Jf0 (т) непрерывна и лежит в шаре Ъ {X0l1() (/ + у ; фогакция HVHenPePbiBHa на LOJJ и 0±Т( )й V , а многозначная функция действует из области в ti)IW К.

Непрерывная зависимость воронки решений от подынтеграль ной функции, начальных условий и запаздывания

В последнее время появилось много исследований в теории дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями / так называемых дифференциальных включений/, т.е. соотношений вида где X () - искомая функция, Ч 1 / - заданная многозначная функция. Как оказалось, к дифференциальным включениям вида (I) могут быть сведены многие задачи из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, неравенств и т.д. Приведем несколько примеров. В работе [I ] рассматриваются дифференциальные неравенства вида где Xz (х, ..., Л , ) - Ш - мерная вектор-функция в пь -- мерном векторном евклидовом пространстве К , однозначная функция iCfyiff) определена в пространстве Л переменных і , «f , Ч и при каждом , Л неравенство / ty x ) ,0 определяет в /и - мерном пространстве К непустое замкнутое ограниченное множество 5(% ,непрерывное в хаусдорфовой метрике по t , X . Под решением неравенства (2) понимается непрерывно дифференцируемая функция X(i) , определенная на некотором интервале и всюду на нём удовлетворяющая неравенству (2). Ясно, что задание (2) равносильно заданию множества Щ х) , а разрешимость (2) равносильна разрешимости уравнения с многозначной правой частью В работе [ I ] при некоторых условиях на доказана теорема существования решения неравенства (2). К дифференциальному включению (I) может быть сведена задача о разрешимости уравнений с параметром /например, задача об оптимальном управлении/. где Л - Л № и и/ = и,(ту - искомые функции и при каждом значение паде а . Такого рода задача была рассмотрена в работе [2J Филипповым А.Ф.. Уравнение (3) сводилось к дифференциальному включению где Щ )- {(t, ,&). В работе [3 ] Барбашиным Е.А. и Алимовым Ю.И. предложена идея рассмотрения релейных дифференциальных уравнений в качестве уравнений с многозначной правой частью. Уравнение движения в нормальной форме записывается в виде где e (t,J, ) и d ( к,#) - непрерывные функции, характеристика релейного звена.

Применяя на поверхностях переключения простую аппроксимацию релейной характеристики где 7к может быть любым числом из промежутка можно считать, что на поверхностях (5) правые части системы (4) задают не одно, а целый конус направлений, т.е. множество { {о (% j ())} векторов 10 (% ,1к ) , соответствующих всем числам Уд из (6). Впервые в работах /4,5 J для дифференциального включения (I) рассматривалась задача Коши для отыскания решения этого дифференциального включения, удовлетворяющего начальному условию Задача Коши (I), (7) приводит к интегральному уравнению с многозначной правой частью (интегральному включению) вида Поэтому возникает интерес к изучению таких интегральных включений. Дальнейшее развитие теории дифференциальных включений вида (I) связано с работами японских математиков Хукухара М. и Кукичи Н. 8,9 J . В работе [7] рассмотрены множества wna byi Low t 9 где - линейное метрическое пространство; Соньр Е - совокупность всех непустых замкнутых компактных подмножеств из fc ; U)WL -- совокупность всех непустых замкнутых выпуклых компактных под- множеств из t. . Далее, в [l J дано определение топологической степени многозначного отображения и с её помощью доказан принцип неподвижной точки Какутани (многозначный аналог принципа Брауэра). Заметим, что Боненбласт Х.Б. и Карлин С. ( [ю] ) обобщили принцип Какутани на банаховы пространства. В работе [6] дано определение интегралов Римана и Лебега от многозначной функции, выяснен ряд свойств этих интегралов С подробнее см. 1 гл.1). Используя результаты работы [б J в [8,9 J исследованы вопросы разрешимости дифференциальных включений типа (I) так называемых уравнений в контингенциях. В настоящее время широкое развитие получила теория нелинейных интегральных уравнений. Классические методы математического описания задач механики и автоматического регулирования в ряде случаев приводят к нелинейным интегральным уравнениям вида При этом &$,$, ) может быть и разрывной по X . Вопросами разрешимости такого вида интегральных уравнений занимались Азбелев Н.В., Рахимханов Р.К., Фадеева Л.Н., Ли Мун Су и другие ( см.напр, [II J ). Лялин Л.Н. в 112 J показал, что вопрос о существовании обобщенного решения уравнения (8) может быть сведен к аналогичному вопросу для интегрального включения по % (t!$ , ) исходя из определения решения уравнения (8), а интеграл от многозначной функции понимается в смысле Хукухара. Исследованы топологические свойства интегрального оператора, стоящего в правой части (9) и обосновано применение принципа неподвижной точки многозначного оператора при решении вопроса существования его решений.

В работе {іЗІЛяпин Л.Н. рассматривается определение интеграла от многозначной функции, отличное от определения, введенного Хукухара (см. подробнее в 1 гл.1). Известен ряд работ Мамедова Я.Д., Аширова С.А., Сеидова З.Б. и других (см., например,[14, 15, 16, 17, 18, іф, где рассматривались нелинейные уравнения Вольтерра Для нахождения решений такого уравнения строились различные итерационные процессы, доказывалась их сходимость и определялась скорость этой сходимости. Метод основан на применении теорем о неравенствах для интегральных операторов Вольтерра. Естественным обобщением уравнений (10) являются интегральные включения Вольтерра В качественной теории уравнений нашла широкое применение построенная Красносельским М.А. теория вращения векторных полей ( [20, 21J ). Существует обобщение на случай многозначных векторных полей (см. /22,23j). Существенное место в теории многозначных отображений занимает исследование неподвижных точек многозначного векторного поля. Один из подходов к рассматриваемой проблеме, аппроксимативный, основан на замене исследуемого многозначного отображения однозначным, в определенном смысле близким к нему или гомотопным. Этот подход был впервые применен для определения топологических характеристик многозначных отображений с выпуклыми образами (см. подробнее 1 гл.1). Применение теории вращения многозначных векторных полей явилось одним из важных методов изучения интегральных включений в настоящей работе. Особенно это относится к интегральным включениям типа Гаммерштейна Настоящая диссертация посвящена отдельным вопросам теории интегральных включений Гаммерштейна и Вольтерра. Диссертация состоит из трех глав. Первая глава содержит четыре параграфа. В 1 вводятся основные определения, обозначения, используемые в диссертации; изложены вопросы, связанные с измеримостью и интегрируемостью многозначных функций, а также дано понятие вращения многозначного векторного поля.

Похожие диссертации на Качественное исследование интегральных уравнений Вольтерра и Гаммерштейна с многозначными нелинейностями

Некоторые задачи теории дифференциальных уравнений с нелинейностями диодного типаСевастьянова, Елена Владимировна

Динамика системы дискретных уравнений с квадратичной нелинейностьюПанкратова, Ирина Николаевна

О глобальном поведени решений задачи Коши для полулинейных дифференциально-операторных уравнений с нелокальными нелинейностямиГумбатов, Фуад Дурсун оглы

Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностьюКрыжевич, Сергей Геннадьевич

Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностямиБорздыко Вероника Ивановна

Эллиптические уравнения с разрывными нелинейностями и некоторые вопросы оптимального управленияЦибулис, Андрей Брониславович

Стабилизация решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областяхЛеонтьев, Алексей Александрович

Эволюционные дифференциальные уравнения с нелипшицевыми нелинейностямиЗубелевич Олег Эдуардович

Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностьюАсхабов, Султан Нажмудинович

Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностямиВинокур Вадим Вильямович