Введение к работе
Предмет исследования. Диссертация посвящена актуальным вопросам исследования резонансов в маятниковых системах с 3/2 и двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым.
Актуальность темы. Данная работа относится к области качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, малыми возмущениями отличающихся от консервативных нелинейных интегрируемых уравнений. Основными методами исследования подобных систем являются: метод малого параметра А. Пуанкаре, метод определения устойчивости А.М. Ляпунова, методы усреднения, развитые в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем, разработанные А.А. Андроновым, Е.А. Леонтович, Л.П. Шильниковым и др.
До настоящего времени в нелинейной динамике (теории колебаний) наиболее популярны и разработаны методы исследования квазилинейных систем. Разработке и обоснованию этих методов и приложению их к решению конкретных задач посвящена обширная литература. Укажем только основополагающие работы. Это фундаментальные работы по разработке асимптотических методов исследования нелинейных систем Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, работы Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронова, А.А. Витта, работы Б.В. Булгакова. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение невозмущенной системы.
Нелинейные же системы (в том числе неконсервативные, близкие к нелинейным консервативным) освещены в литературе лишь частично. Значительная часть работ по исследованию существенно нелинейных систем посвящена вопросам существования и устойчивости периодических решений, инвариантных торов, наличию нерегулярной динамики и другим вопросам. Меньшая часть работ связана с исследованием глобального поведения решений и опирается в основном на численный анализ исходных систем.
Важную роль в исследовании некоторых классов динамических систем (например, квазигамильтоновых многочастотных систем) играют резонансы, возникающие при соизмеримости собственных частот системы. Исследования резонансных явлений берут свое начало от классических работ А. Пуанкаре. Отметим здесь работы В.М. Волосова и Б.И. Моргунова, которые предложили методику нахождения стационарных резонансных режимов, а также определения их устойчивости. Дж. Гукенхеймер и Ф. Холмс рассматривали вопрос о нерегулярной динамике и бифуркациях в нелинейных системах. Тот же круг вопросов, включая исследование резонансов, рассматривал в своих работах S. Wiggins. Отметим также работы Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова, Страбла.
Исторически резонансы в нелинейных динамических системах изучались в первую очередь в гамильтоновых системах, которые возникали в задачах небесной механики. В XX веке усилиями А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, Ю. Мозера была развита теория малых возмущений в классе гамильтоновых систем, которая получила впоследствии название КАМ-теории. Вопросы интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновых систем, в том числе из-за наличия резонансов, изучались в работах В.В. Козлова.
В теории нелинейных колебаний можно выделить основные (эталонные) уравнения и системы, играющие фундаментальную роль. Их анализ крайне важен для построения общей теории. К ним относятся маятниковые уравнения, уравнения типа Дюффинга, системы лоренцевского типа. Особый интерес, с точки зрения теории нелинейного резонанса, представляют маятниковые уравнения, так как при исследовании резонанса в любой системе задача сводится к исследованию системы маятникового типа.
Несмотря на большую историю в исследовании маятниковых уравнений, мы еще далеки от полного понимания глобального поведения их решений. Основные проблемы в исследовании маятниковых уравнений связаны с резонансами и возможностью существования гомоклинических структур Пуанкаре.
Простейшим маятниковым уравнением является уравнение колебаний математического маятника.
X + sin x = 0. (1)
К этому уравнению, а также его возмущениям приводят многие задачи га- мильтоновой механики. Некоторые из них рассмотрены в работе В.В. Козло- ва: плоские колебания спутника на эллиптической орбите, одномерное движение заряженной частицы в поле волнового пакета, ограниченная задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ограниченная задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости.
К исследованию маятниковых уравнений приводят задачи фазовой синхронизации, которые интенсивно исследовались в 70-х годах XX века в работах В.Н. Белых[2] и Л.Н. Белюстиной.
Во многих работах рассматриваются лишь малые углы отклонения маятника от положения равновесия, в связи с чем синус приближенно заменяется своим аргументом, а уравнение (1) - простым линейным уравнением. В некоторых работах синус заменяется своим разложением до третьего порядка, и тогда уравнение (1) заменяется уравнением Дюффинга. Однако, если рассматривать немалые колебания маятника или его вращения, то необходимо обратиться к исходному уравнению (1).
Если говорить о неконсервативных автономных системах, то наиболее продвинуто исследование автономных уравнений с одной степенью свободы вида
x + sin x = є (a + cos nx)x, (2)
где є — малый параметр, n Є N. Основная проблема в исследовании таких уравнений - получение оценки максимально возможного числа предельных циклов в зависимости от n. Эта проблема является частным случаем «ослабленной 16 проблемы Гильберта» В работе А.Д. Морозова'' доказано, что при a = 0 уравнение (2) имеет при достаточно малых є = 0 ровно n — 1 грубых предельных циклов в области колебательных движений и не имеет предельных циклов (второго рода) в области вращательных движений. Если же параметр a = 0, то может существовать еще один предельный цикл в колебательной или вращательной области (в зависимости от значения параметра а). Таким образом, можно получить любое количество автоколебательных режимов, задавая соответствующее натуральное n. Уравнение (2) возникает в прикладных задачах, например, в задаче об индуцированных воздушным потоком колебаниях тел прямоугольной формы, подвешенных на тросах'', а также в теории нелинейного резонанса при описании топологии резонансных зон.
Для двухчастотных систем с 3/2 степенями свободы наиболее полное описание теории нелинейного резонанса представлено в работе А.Д. Морозова[3].
Резонансы и хаос в консервативных системах с 3/2 степенями свободы изучались в работах Г.М. Заславского, Б.В. Чирикова (перекрытие резонансов, стохастическая паутина, «перемешивание» траекторий). В диссертации основное внимание уделяется невырожденным резонансам в неконсервативных системах с 3/2 степенями свободы, а также в неконсервативных системах с двумя степенями свободы.
В связи с исследованием уравнения (2) возникает задача о воздействии на него периодического по времени возмущения (получаем систему c 3/2 степенями свободы). До сих пор был детально рассмотрен[3] лишь случай n = 1 (автономное уравнение имеет один предельный цикл). В диссертации рассматривается случай, когда автономное уравнение имеет пять предельных циклов в колебательной области, исследуются невырожденные резонансы, устанавливаются условия существования гомоклинической структуры Пуанкаре и перестройки фазовых портретов отображения Пуанкаре.
Вырожденные резонансы в системах с 3/2 степенями свободы и отображениях рассматривались в работах А.Д. Морозова[3], А.Д. Морозова и Дж. Хо- варда, однако до настоящего времени не было работ, в которых приводились бы примеры маятниковых систем с доказанным существованием вырожденных уровней определенного порядка вырождения. В диссертации приводится пример такой системы с немонотонным вращением, доказывается существование вырожденных уровней, а также рассматриваются вырожденные резо- нансы для случая гамильтонового возмущения. Вырожденные резонансы в случае негамильтоновых возмущений в системах с 3/2 степенями свободы рассматривались в работе.
Несмотря на то что теория нелинейного резонанса хорошо развита для систем с 3/2 степенями свободы, исследованию нелинейных систем с двумя и более степенями свободы посвящено малое число работ. В то же время, имеется много работ, в которых рассматриваются квазилинейные системы с двумя степенями свободы. Также немало работ по численному исследованию систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным гамильтоновым, например пионерская работа Хенона и Хейлеса по численному изучению стохастичности для двух связанных осцилляторов.
Частным случаем систем с двумя степенями свободы являются системы двух слабосвязанных осцилляторов, к которым приводят многие прикладные задачи. А.А. Андронов и А.А. Витт в работе рассматривали в общем виде квазилинейные системы двух слабосвязанных осцилляторов и дали математическую теорию периодических режимов в автономной автоколебательной системе с двумя степенями свободы, близкой к линейной консервативной системе. В качестве физического приложения в[9] рассмотрена система из двух индуктивно связанных контуров, из которых один возбужден катодной лампой, и дана строгая математическая теория «затягивания» частоты.
В работе Н.В. Бутенина, Ю.И. Неймарка, Н.Л. Фуфаева рассмотрена задача об автоколебаниях двух связанных маятников, соединенных пружиной, а также задача о колебаниях плоского гироскопического маятника в предположении, что на кожух гироскопа действует специальный момент, создаваемый с помощью асинхронного мотора. Обе полученные динамические системы квазилинейны, поскольку рассматриваются лишь малые колебания маятников.
Общий подход к исследованию резонансов в системах двух слабосвязанных осцилляторов представлен в монографии А.Д. Морозова[3]. Если говорить о консервативных нелинейных системах двух слабосвязанных маятников, то следут отметить работы по исследованию резонансов в системе Фрё- шле (Froeschle).
В.Н. Белых и Е.В. Панкратова исследовали систему, которая описывает динамику маятников (часов) на общей опоре (задача Гюйгенса). При этом нелинейность в виде синуса аппроксимировалась кубическим многочленом, что привело к уравнениям типа Дюффинга. Исследованию систем двух связанных нелинейных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля в резонансных зонах посвящены работы Р.Е. Кондрашова'. Хаотизация колебаний двух связанных математических маятников исследуется в работе В.В. Козлова и Н.В. Денисовой.
Хотя имеется[3] общий подход к нахождению трехмерных усредненных систем для исследования поведения решений систем двух слабосвязанных осцилляторов в резонансных зонах, до настоящего времени не было примеров нелинейных маятниковых систем с двумя степенями свободы, для которых были бы найдены указанные трехмерные усредненные системы и проведено их исследование. В диссертации приводится пример четырехпараметрическо- го семейства маятниковых систем, вычисляются и исследуются аналитически и численно трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений в резонансных зонах, расположенных как в колебательных, так и во вращательных областях.
Цель работы. Основной целью диссертации является изучение поведения решений маятниковых систем дифференциальных уравнений с 3/2 и двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в резонансных зонах. Это приводит к построению и исследованию двумерных и трехмерных усредненных систем.
Общие методы исследования. В работе используются методы усреднения, а также методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем.
Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим их.
1. Исследована задача о воздействии периодического по времени возмущения на автоколебательное маятниковое уравнение с пятью предельными циклами: получены усредненные системы, описывающие поведение решений в невырожденных резонансных зонах, найдено условие существования гомоклинической структуры Пуанкаре, проведено численное исследование отображения Пуанкаре.
-
Исследовано маятниковое уравнение с немонотонным вращением. Доказана теорема существования вырожденных уровней определенного порядка вырождения.
-
При наличии периодического по времени возмущения установлены возможные структуры вырожденных резонансных зон с максимальным порядком вырождения.
-
Для системы двух слабосвязанных маятниковых уравнений доказаны теоремы, устанавливающие конкретный вид трехмерных усредненных систем, описывающих поведение решений в резонансных зонах, расположенных в колебательных и вращательных областях.
-
Проведено аналитическое и численное исследование этих систем. Получены условия существования простых состояний равновесия.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории динамических систем, в теории колебаний. Развитая в диссертации техника может быть использована в дальнейшем при исследовании конкретных моделей.
Результаты диссертационной работы являются частью научно-исследовательских работ, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-00270 на 2006-2008 годы, проект 09-01-00356 на 2009-2011 годы), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П/13 на 2009-2011 годы, проект № 14.В37.21.0361 на 20122013 годы).
В 2008-2009 г. исследования автора по теме диссертации были поддержаны аспирантской стипендией имени академика Г.А. Разуваева.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в Нижнем Новгороде (2006), Международной конференции И.Г. Петровского в Москве (2007), Международной конференции Л.С. Понтрягина в Москве (2008), Международной конференции, посвященной 70-летию В.А. Садов- ничего в Москве (2009), Международной конференции по математической теории управления и механике в Суздале (2009), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим система в Суздале (2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в Нижнем Новгороде (2011), IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка в Нижнем Новгороде (2012).
Также были сделаны доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители: профессор А.Д. Морозов, профессор Л.М. Лерман).
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 18 работах, указанных в конце автореферата. Из них 3 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций. Все основные результаты диссертации принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с А.Д. Морозовым, Т.Н. Драгуновым автору принадлежат доказательства всех основных результатов, А.Д. Морозову принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой, Т.Н. Драгунову принадлежит программная реализация построения функции периода движения по замкнутым фазовым кривым.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Главы разделены на параграфы, параграфы - на пункты. Объем диссертации составляет 142 страницы. Диссертация содержит 35 иллюстраций и 95 наименований литературы.
