Введение к работе
Актуальность темы.Градиентные системы-системы дифференциальных уравнений, у которых правая часть задается градиентом некоторой гладкой скалярной функции нескольких переменных или гладких функционалов, исследованы во многих работах.
Описанию структуры траекторий градиентных динамических систем, заданных на компактных многообразиях, посвящены работы С.Смейла, Да. Пали и ряда других авторов.
В ряде работ исследованы свойства решения градиентной системы в окрестности стационарного решения в тесной связи с различными свойствами критических точек скалярных функций многк" переменных и функционалов, заданных в гильбертовом пространстве. Классический метод исследования на экстремум функционалов состоит из двух этапов: первый этап-отыскание экстремалей-нулей градиента функционалов, второй этап-проведение дальнейшего исследования экстремума на минимум,максимум,седло и т.д. Для функ-ионалов определенных и дифференцируемых в некотором гильбертовом пространстве, второй этап многие авторы проводят с привлечением дифференциальных уравнений с градиентной правой чястью.Здесь важ ную роль кгрзот фундаментальное свойство градиентной системы состоящее в том, что вдоль ее нестационарного решения.функционал строго убывает или возрастает (основная идея второго метода Ляпунова). По этому, по поведении решения градиенной системы дифферен циальных уравнений в окрестности критической точки мояпо опреде-делить,является ли эта точка точкой минимума,максимума или седло вой точкой. В послздние года, для исследования дифференциальных уравнений с градиентной правой часть», были разработаны деформационные метода отыскания минимумов функционалов,позволявшие сводить исследование на минимум экстрэмаля одного функционала к пос троению повыроадаемой деформации этого функционала к такому Функ ционалу.для которого данная экстремаль является точкой минимума. К исследованиям такого характера мояно отнести работы Н.А.Бобылева.В одной из них показано, что, если скалярная функция многих переменных имеет единственную нулввуе критическую точку, которая
являотся точкой локального минимума, то нулевое решение градиентной системы асимптотически устойчиво в целом в случае, когда норма градиента равномерно отделена от нуля вне некоторого шара.В других его работах исследуется сохраняемость свойства устойчивости градиентной системы при ее деформации и полученные результаты применяются к анализу бесконечномерных экстремальных задач и т.д.
Следует отметить,что хотя введение и исследование дифференциальных уравнения с градиентной правой частью требует лишь, одно кратной дифферонцируемости функционала,тем не менее,это условие оказалось достаточно ограничительным.Здесь можно отметить работы Н.А.Бобылева, в которых рассматривается функционалы,заданные в гильбертовом пространстве. В этом случае для введения и исследования градиентных уравнений,т.о.систем фазовым пространством которых является гильбертово пространство необходимо,чтобы функционал имел непрерывный и удовлетворяющий условию Липшица градиент.Эти условия в гильбертовом пространстве резко сужают класс нелинейных функционалов. Многие функционалы вариационного исчисления либо нельзя определить в гильбертовом пространстве, либо они определены,но не дифференцируемы в нем. Вместе с тем, эти же функционалы могут Сыть определены и непрерывно дифференцируемы в некотором пространстве Банаха.Однако.в банаховом пространстве возникает другая трудность: так как градиент функционала действует из банахова пространства в сопряженное к нему, то градиентное уравнение теряет смысл.
В связи с вышеизложенным, актуальными являются следущио вопросы:
о построении такого отображения, которое действует в самом банаховом пространстве и имеет основные свойства градиента,т.е. градионтно подобного отображения;
о введении дифференциального уравнения с градиентно подобным отображением в банаховом пространстве и исследование поведения решений этих уравнения в' окрестности стационарного решения в связи со свойствами критической точки фуЕкадоіалз*
-5-Цвль работы. Для основного функционала вариационного исчисления:
-
выбрать пространство Банаха, в котором он имеет непрерывный градиент (боз выполнения тех аестких усоловий, которые возникает в гильбертовом пространстве);
-
построить градионтно подобное отображение, т.е. отображение, которое действует з самом банаховом пространство и имеот основные свойства градиента;
3) ввести дифференциальное уравнение с градионтно подобным
отображением в правой части и исследовать некоторые свойства
решения этого уравнения в окрестности стационарного решения в
связи со свойствами критической точки функционала.
Мэтодо исследования. Использованы общие метода теории дифференциальных уравнения и методы функционального анализа.
Научная новизна.Предложен способ ввэдения дифференциальных уравнений с градионтно подобными отображениями основного функционала вариационного исчисления,действувдими в банаховом пространстве и проведено исследование поведения решений дифференциальных уравнений вокруг стационарного решения.
Построены градиентно подобные отображения основного функционала вариационного исчисления в конкретных банаховых пространствах.
Доказана теоремы о компактности множества значений ограниченных решений, об асимптотической устойчивости стационарного решения дкфференциальнах уравнений с градиентно подобными отображениями и другие.
Изучены дифференциальные уравнения о градиентно подобными отобразениямк.завискщши от параметра.Доказана теорема о сохранении свойства асимптотической устойчивости стационарных решений этих уравнения при изменении параметра.
Практическая и теоретическая ценность.Работа теоретическая. В ней изучены: свези свойства изолированной критической точки основного функционала вариационного исчисления и асимптотической устойчивости стационарного решения .дифференциального уравнения с
градиентно подобным отображением в правой части; сохранение свойства асимптотической устойчивости стационарного решения дифференциального уравнения с градиентно подобным обряжением в правой части при деформации функционала.
Результаты работы найдут приложение в вариационном исчислении и задачах оптимизации.
Апробация работы. Отдельные части диссертации неоднократно докладывались ва" семинарах в Таджикском Госуниверситете (1990-1995 гг) и Худжандском Госунивэрситете (1995-1998 гг); на апрельских научно-теоретических конференциях профессорско- преподавательского состава в Таджикском Госуниверситете (г. Душанбе 1992 -1995 гг); на научно-теоретических конференциях молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области ( г. Худжанд 1996 -1997 гг); на Республиканской конференции -"Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (г. Ташкент, 1997 г); на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава,посвященной $5-летию Худжандского Госуниверситета (г.Худжзнд, 1997 г).
Публикации. Основные результата опубликованы в б научных работах,список которых приведен в конце автореферата.
Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены
автором самостоятельно.. -
Объем и структура работы.диссертация изложена на jJl страницах машинописного текста, состоит из введения, семи параграфов, приложения и списка цитированной литературы,включашего ,) наименований.
