Содержание к диссертации
Введение
1 Модели 10
1.1 Устройство синхронных электрических машин 10
1.2 Предположения 13
1.3 Новые математически модели четырехполюсных синхронных электрических машин 15
1.3.1 Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа 18
1.3.2 Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа 28
1.3.3 Модель четырехполюсной синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа 32
1.3.4 Модель четырехполюсной синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа 37
1.4 Анализ статической устойчивости синхронных электрических машин 42
2 Нелокальный анализ дифференциальных уравнений синхронных машин 49
2.1 Цилиндрическое фазовое пространство 50
2.2 Глобальная устойчивость дифференциальных уравнений синхронной электрических машины при отсутствии нагрузки . 56
2.3 Задача о предельной нагрузке 60
2.4 Дихотомичность уравнений синхронных электрических машин 62
2.5 Метод нелокального сведения для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин 68
2.6 Круговые решения и циклы второго рода 79
3 Численный анализ 91
Выводы 100
Литература 101
Приложение 1 108
- Новые математически модели четырехполюсных синхронных электрических машин
- Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа
- Глобальная устойчивость дифференциальных уравнений синхронной электрических машины при отсутствии нагрузки
- Метод нелокального сведения для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин
Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию устойчивости решений актуальных для современной техники дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством, описывающих динамику синхронных электрических машин.
Первые попытки исследовать синхронные электрические машины с точки зрения теории дифференциальных уравнений были предприняты известным итальянским математиком Ф. Трикоми. Он изучил простейшее дифференциальное уравнение синхронной машины — уравнение второго порядка, которое совпадает с уравнением математического маятника под действием постоянной силы — и провел глобальное качественное исследование этого уравнения, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров.
В настоящее время широкое распространение получили инженерные методы исследования устойчивости синхронных машин, основанные на математической теории локальной устойчивости. Однако многие прикладные задачи требуют не только установить факт локальной устойчивости, но и получить оценки области притяжения устойчивого состояния равновесия. Кроме того, необходимо определить условия, при которых решение не притянется к состоянию равновесия. Среди таких задач следует отметить задачу о предельной нагрузке и задачу определения условий существования круговых решений и циклов второго рода. Для решения задачи о предельной нагрузке в работе используется метод нелокального сведения [Леонов, 1984]- Идея этого метода заключается в том, что при построении функции Ляпунова используется информация о поведении траекторий специальной двумерной системы маятникого типа. На основе модифицированного метода нелокального сведения получен критерий существования круговых решений и циклов второго рода.
Все это позволяет повысить устойчивость работы синхронных электрических машин, что свидетельствует об актуальности работы.
Цель работы. Целью работы является вывод и исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений синхронных электрических машин с различными соединениями полюсов в системе возбуждения, развитие и модификация метода нелокального сведения, определение условий существования круговых решений и циклов второго рода для полученных систем, а также определение допустимой нагрузки на синхронные электрические машины.
Методы исследования. В работе применялись методы исследования устойчивости автономных систем: теорема устойчивости по первому приближению, прямой метод Ляпунова, метод нелокального сведения для исследования динамики автономных систем с угловыми координатами.
Результаты, выносимые на з а щиту.
Выведены дифференциальные уравнения четырехполюсных синхронных электрических машин с короткозамкнутой демпферной обмоткой и при различных способах соединения полюсов обмотки возбуждения.
Разработана модификация метода нелокального сведения для полученных дифференциальных уравнений синхронных электрических машин и исследована устойчивость решений этих уравнений.
Получен критерий существования круговых решений и циклов второго рода для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин.
Достоверность результатов. Все результаты, выносимые на защиту, строго математически доказаны.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут использоваться для анализа устойчивости конкретных моделей синхронных электрических машин.
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого) (Россия, Москва -2010, 2012), International Workshop "Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology" (Финляндия, Ювяскюля - 2010), 7th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC) (Италия, Рим - 2011), ТРИЗфест-2011 (Россия, Санкт-Петербург - 2011), международная конференция «VII Окуневские чтения» (Россия, Санкт-Петербург - 2011), 7th Vienna Conference on Mathematical Modelling (MATHMOD) (Австрия, Вена - 2012) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики (2010 - 2012).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 8 печатных работах, в том числе в 2 статьях [1, 2], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
В работах [1, 2, 5] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, все результаты получены диссертантом самостоятельно.
В работах [3] диссертанту принадлежат вывод дифференциальных уравнений синхронных электрических машин в двигательном режиме и исследование их устойчивости. В работе [6] диссертант разработал модификацию метода нелокального сведения для системы дифференциальных уравнений, описывающей две синхронные машины. В [7] диссертант вывел уравнения синхронных электрические машины и разработал модифи-
кацию метода нелокального сведения для этих уравнений. В [8] диссертантом выведены дифференциальные уравнения четырехполюсных синхронных электрических машин.
Новые математически модели четырехполюсных синхронных электрических машин
В основе работы электрической машины лежит явление электромагнитной индукции, открытой Майклом Фарадеєм. Процесс электромагнитной индукции характеризуется: возникновением электродвижущей силы в проводнике, движущемся перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, и возникновением силы, действующей на проводник с током, который находится в магнитном поле. Данные явления сформулированы в виде законов электромагнитной индукции и электромагнитных сил.
Закон электромагнитной индукции [53]: если проводник перемещается относительно магнитного потока или поток перемепіается относительно проводника, то в нем индуктируется ЭДС, которую можно вычислить по формуле: e = Blv, (1.1) где В — магнитная индукция в месте нахождения проводника; I — активная длина проводника, т.е. длина проводника пересекаемого магнитным потоком; v — линейная скорость перемещения проводника относительно потока или потока относительно проводника.
Направление индуктируемой ЭДС определяется по правилу правой руки: магнитный поток перпендикулярно входит в ладонь, большой отогнутый палец показывает направление перемещения проводника относительно магнитного потока, тогда остальные четыре пальца будут показывают направление индуцируемой ЭДС (рис. 1.3).
Направление силы определяется по правилу левой руки: магнитный поток перпендикулярно входит в ладонь, четыре пальца по направлению тока, тогда большой отогнутый палец будет указывает направление действия силы .
В дальнейшем формулы (1.1) и (1.2) будут использованы для определения величин ЭДС и сил, действующих на обмотки ротора. Сформулируем законы, на основе которых будут строится дифференциальные уравне 17 ния для токов, протекающих в роторе: Первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком): п Второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет Э.Д. С., то суммарное падение напряжений равно нулю: п т р q Y ek = uLk + uRk + ]Г uCk, fc=l fc=l fc=l fc=l где uik - реактивная (индуктивная) мощность, URk - активная мощность, uck - реактивная (емкостная) мощность. Уравнение вращения ротора строится на основе уравнения движения вращающегося твердого тела. Оно определяется следующим образом: сумма моментов внешних сил, приложенных к телу, равна произведению его момента инерции на угловое ускорение: Jw = 5 m№), (1.3) г где J — момент инерции тела; m(Fj) — момент внешний силы Fi, принимаемый положительным, если он действует в положительном направлении оси вращения тела, и — скорость вращения тела.
Внешними силами, действующими на ротор, являются: электромагнитная сила, механическая сила, приложенная к валу двигателя, и силы трения (трение в подшипниках и о среду, в которой вращается ротор). Все выше описанное позволяет на основе общего подхода вывести новые дифференциальные уравнения описывающие синхронные электрические машины переменного тока с четырехполюсным ротором и с демпферной обмоткой в виде беличьей клетки. При этом рассматриваются различные типы соединения полюсов обмотки возбуждения и при сильном регулировании возбуждения синхронной машины [37, 12, 38, 39, 13].
Рассмотрим электромеханическую модель четырехполюсной синхронной электрической машины с демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа, изображенную на рисунке 1.5 (а). Этот тип соединения характеризуется тем, что все четыре полюса обмотки возбуждения подключены последовательно друг к другу и к одному источнику постоянного напряжения (рисунок 1.5 (б)).
Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа
Рассмотрим электромеханическую модель четырехполюсной синхронной электрической машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа, изображенную на рисунке 1.7 (а). Этот тип соединения характеризуется тем, что две пары полюсов последовательно идущих друг за другом (1, 2 полюса и 3, 4 полюса) подключены к двум источникам постоянного напряжения (рисунок 1.7 (б)). Рис. 1.7. Электромеханическая модель четырехполюсной синхронной электрической машины с демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа: а — электромеханическая модель; б — схема подключения плюсов обмотки возбуждения к источникам постоянного напряжения. Рассмотрим обмотку возбуждения. В отличии от предыдущей модели, в ней протекают два тока (гх,гу). Используем законы Кирхгофа для электрической цепи и закон электромагнитной индукции для вывода дифференциальных уравнений, описывающих эти токи. L\ix + R\ix = — riiSB[smO + cos 9]9 + ei, L\iy + R\iy — —niSB [ sin 9 + cos в]в + Є2-Здесь еі,Є2 — постоянные напряжения подведённые к парам полюсов обмотки возбуждения; остальные параметры имеют тот же смысл. Вращающий момент, создаваемый токами в обмотке возбуждения равен Mfiux = щSB [sin 9 + cos в\ (ix + iy).
Демпферная обмотка синхронной электрической машины была рассмотрена выше. Поэтому, система дифференциальных уравнений, описывающих четырехполюсную синхронную электрическую машину при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа может быть записана в следующем виде Js = ms + mSBsin(fl + l)(ix + iy) + 10IB 2 4 cos{9 + Щ - M, =і 2 Lib + Riix = -niSB[sm9 + cos9]s + eb (L19) Liiy + R\iy = —тії SB [sin в + cos 9]s + Є2, L2ik + R24 = -ЫВ cos(9 + )s, к = l...n2. Преобразуем систему (1.19) к виду более удобному для дальнейшего зо исследования. Рассмотрим преобразование преобразование координат 9i = -0- J, S = —s, Г — j _J_ j _ Е1+Є2 Га — — — Єі Є2 п2 г/ 2Z,2 г = п2 fc = Е fc+i - ctg(H Vfc = 2"-(n2 - !) j—-m Покажем, что преобразование координат является неособым, для этого достаточно показать, что определитель матрицы -10 0 0 0 0-100 0 М= 0 0 110 0 0 1-10 0 0 D отличен от нуля.
Электромеханическая модель синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа изображена на рисунке 1.8 (а). Этот тип соединения характеризуется тем, что противолежащие пары полюсов (полюса 1, 3 и полюса 2, 4) последовательно подключены к двум источникам постоянного напряжения (рисунок 1.8 (б)). Рассмотрим далее обмотку возбуждения. В ней протекают два тока (гх, ъу). Используя законы Кирхгофа для электрической цепи и закон электромагнитной индукции, получим дифференциальные уравнения, описы а б Рис. 1.8. Электромеханическая модель четырехполюсной синхронной электрической машин с демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа: а — электромеханическая модель; б — схема подключения плюсов обмотки возбуждения к источникам постоянного напряжения. вающие токи в обмотках возбуждения L\ix + R\ix = — 2niSB6 cos в + еі, L\iy + R\iy = — 2niSBO sin 0 + ег Здесь еі,Є2 — постоянные напряжения подведённые к парам полюсов обмотки возбуждения; остальные параметры имеют тот же смысл, что и в случае последовательного соединения полюсов обмотки возбуждения.
В этом параграфе диссертации будет построена новая математическая модель четырехполюсной синхронной машины. Для этого рассмотрим электромеханическую модель четырехполюсной синхронной электрической машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа, изображенную на рисунке 1.7 (а), при этом соединении все полюса обмотки возбуждения независимо друг от друга последовательно подключены к источникам постоянного напряжения (рисунок 1.9 (б)).
Глобальная устойчивость дифференциальных уравнений синхронной электрических машины при отсутствии нагрузки
В первой главе диссертации показано, что система дифференциальных уравнений (1.21) описывает динамику синхронной электрической машины с четырехполюсным ротором, демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения. Теорема 4. Если 7 = 0, то системы (1.21) являются системой градиентного типа. Доказательство. Рассмотрим систему (1.21) при 7 = 0 ё = —/is + ах sin 0 + by — ip(9), х =—с\х — dsm0s. (2-4) У = -С2У -zs-s, z = — c z + xs. Здесь функция p(0) — bsinO. Введем цилиндрическое фазовое пространство R5/H, где Н = {h = (2тгА:, 0,0,0,0)(Л; Є Z}. Используем теорему 3. Покажем, что функция в Л Т\ к г V2A{9, s, х, у} z) = -s2 + Ydx2 + 2у2 + 2 + I (№ о удовлетворяет всем условиям теоремы 3. Первое условие теоремы 3. Необходимо показать , что функция V2A 27Г периодическая по переменной в 9+2жк V2A(0 + 2тгк, s,x,y,z) = ±4+ ±х2+ № + & + J ЖК = о 9 0+27rfc о о = V2A(6,s,x,y,z) — 6[cos(# + 2тгк) — cos 9] = V2A(9,T),X,y). Второе условие теоремы 3. Необходимо проверить У2л(9, s, ж, /, 2-) + (92 — +оо (0, s, х, у, z)T —v 00. Это очевидно, т.к. в ftp(Od{ C, УвеК о Третье условие теоремы 3. Покажем, что на решениях системы (2.4) функция V2A является не возрастающей. 2.4.(0j s. ж, у, z) = s(—fis + аж sin 6 + by — ір(в)) + +ж(—сіж — as sin б) + by(—c2y — sz — s) + bz(—c2z + sy) + p{0)s — = -as2 - fx2 - c2by2 - c2bz2 0, (2.5) Третье условие теоремы 3. Пусть (#(), в(),ж(), /(), z(t)) -решение системы (2.4) такое, что V2A(9(t),s(t),x(t),y(t),z(t)) = V2A(9(0),s(0),x(0),y(0),z(0)). Тогда из оценки (2.5), следует, что s(t) = 0, x(t) = 0, у (і) = 0, z(t) = 0. Но тогда ё = 0, x(t) = 0, у (і) = 0, z(t) = 0. Таким образом, s(t) = 9(t) = 0, и следовательно, решение является состоянием равновесия.
Система (2.4) соответствует работе рассматриваемой синхронной электрической машине на холостом ходу. В цилиндрическое фазовое пространстве R5/H, система (2.4) имеет единственное асимптотически устойчивое по Ляпунову состояние равновесия. Поэтому эта система является глобально устойчивой.
Следующая теорема доказывает, что система (1-24) при 7 = 0, которая описывает динамику синхронной машины с четырехполюсным ротором, демпферной обмотке в виде беличьей клетки и при параллельной соединении полюсов обмотки возбуждения, так же является системой градиентного типа. Теорема 5. Если 7 = 0, то системы (1.24) являются системой градиентного типа. Доказательство. Рассмотрим систему (1-24) при 7 = 0. 6 = s, s = -lis + aiyi + а2у2 - р(0), Xl = -cixi+yis, (2.6) Уі = -с\У\ - X\S - s, Х2 = С2Х2 + V2S, 2/2 = С2У2 - X2S - S, Здесь функция /?(#) = bsin6. Аналогично предыдущей теореме используем теорему 3. Для этого введем цилиндрическое фазовое пространство R6/H, где Н = {h = (27тк, 0, 0, 0,0, 0)\к Є Z} и рассмотрим функцию е . . \ п CL\ п СЬ\ п 0,2 о 0 2 2 / / А\ V2.6{6, S, Xi,yi,X2, У2)У2.6 = -s + —хх + —уг + —х2 + у2/2 + / (С) С 0 Аналогично рассуждениям проведенным в теореме 4, можно показать, что функция V2.6 удовлетворяет всем условиям теоремы 3. Проверим третье и четвертое условия теоремы 3. На решениях системы (2.6) имеет место У2.б{в, s,хъуъх2,1/2) = s(-fis + аіуі + а2у2 - р{в)) + aiSi(-ci:Ei + yis) +alyi(-cly1 - xis -s) + a2x2{-C2X2 + y2s) + a2y2{-c2y2 - x2s - s) + s p(s) = = -/is2 - axcix\ - aicxyl - a2c2x\ - a2c2y\ 0. (2.7) Следовательно, функция V2. является не возрастающей на решениях системы (2.6). Пусть теперь (#(), s(t), x\(i), yi(t), x2(t), y2(t)) — решение системы (2.6) такое, что V2.6(6(t), s(t), жі(і), 2/і(і), x2(t), y2{t)) = У2.6{в{0), з(0), Xl(0), 2/i(0), x2(0), 2/2(0)). Тогда из оценки (2.7), следует, что s(t) = 0, x\(t) = 0, y\{t) = 0, x2(t) = 0, y2(t) = 0. Но тогда s = 0, x\(t) = 0, 2/1 () = 0, x2(t) = 0, y2(t) = 0. Таким образом, s(t) — в it) = 0, и следовательно, решение является состоянием равновесия. П Теоремы 4 и 5 доказывают, что при 7 = 0 любое решение дифференциальных уравнений синхронных электрических машин притянется к одному из устойчивых состояний равновесия. Таким образом показано, что синхронные электрические машины на холостом втянутся в синхронизм при любом начальном положении ротора относительно статора. Устойчивость синхронных машин на холостом ходу позволяет применять такие машины в энергетических системах в качестве синхронных компенсаторов, что увеличивает устойчивость работы таких систем.
Опишем задачу о предельной нагрузке для синхронного электродвигателя, который может быть описан дифференциальным уравнением вида У = КУ), (2-8) Здесь y(t) — вектор-функция вещественной переменной t. Правая часть системы (2.8) является заданной вектор-функцией f(y) : ЯГ -+ Rn. Рассмотрим схему прокатного стана, изображенную на рисунке 2.1, в простейшем случае, когда синхронный двигатель на прямую подключен к валкам прокатного стана. Следовательно, потерями в передаточных механизмах можно пренебречь. Модель прокатного стана в этом случае описывается системой дифференциальных уравнений синхронного двигателя Пока раскаленная металлическая заготовка движется только по нижним валкам, можно считать, что нагрузка на вал синхронной машины равна нулю и машина работает в синхронном режиме.
Пусть рабочему режиму при отсутствии нагрузки на вал синхронной электрической машины соответствует решение y(t) = уо, где уо устойчивое состояние равновесия уравнения (2.8). Однако при t т режиму работы будет соответствовать решение уравнения (2.8) с начальными данными у(т) = уо. Такое решение уже не является состоянием равновесия, так как нагрузка уже не нулевая и, следовательно, правая часть системы изменилась. Поэтому необходимо определить условия, при которых синхронная машина не выпадет из синхронизма.
Таким образом, задача о предельной нагрузке может быть сформулирована следующим образом: найти условия при которых решение уравнения (2.8) с начальными данными у (г) = уо, оказалось бы в области притяжения нового устойчивого состояния равновесия.
Метод нелокального сведения для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1.21). 6 = s, s = —fis + ах sin в + Ъу — ср(в) + 7, х = — С\Х — dsmds, (1-21) У = -с2г/ -zs-s, z — -c2z + ys, где /?(#) = bsind. Она описывает динамику синхронной электрической машины с четырехполюсным ротором, демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения. Цилиндрическое фазовое пространство R5/H для этой системы было введено выше. В первой главе было найдено стационарное множество в случае І7І Imax, при этом асимптотически устойчивому состоянию равновесия соответствует точка (в0,0,0, 0, 0) R5/H, (р(6о) = 7, р (60) 0, а не устойчивому по Ляпунову (въ 0,0,0,0) Є R5/H, tpiOx) = 7, р (0і) 0-В случае І7І 7marc стационарное множество системы (1.21) пусто. Рассмотрим задачу о предельной нагрузке для системы (1.21). Выше было показано, что при 7 = 0, т.е. при отсутствии момента внешней нагрузки, любое решение системы (1.21) притянется к некоторому состоянию равновесия. Не умаляя общности, можно считать система будет находиться в устойчивом состоянии равновесия e = s = x = y = z = 0,B противном случае можно сделать соответствующую замену. Через некоторое время г происходит мгновенный наброс нагрузки 7 0. Новое устойчивое состояние равновесия имеет вид 9 = в, s = x = y = z = 0. Так же далее будем считать, что наброс нагрузки происходит в момент времени г = 0, иначе замена времени t\ = t + т.
Математическая постановка задачи о предельной нагрузке такова [11, 13]: найти условия, при которых решение 0(t), s(t), x(t), y(t), z(t) с начальными данными 0(0) = s(0) = х(0) = у(0) = .г(О) = 0 находилось бы в области притяжения стационарного решения 6(t) — #о s(t) — x(t) = y(t) = z(t) = 0, т.е. должны быть выполнены соотношения lim 9(t) = 0О, lim s{t) = 0, lim x{t) = 0, t—H-oo t—l+oo t— +00 fey г\л\ lim y(t) = 0, lim z(t) = 0. t—H-oo t—ї+оо Задача о предельной нагрузке сильно связана с задачей определения области притяжения устойчивого состояния равновесия. Следующая теорема позволяет решить задачу о предельной нагрузки для синхронных электрических машин при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения [69, 70]. Теорема 8. Пусть существует такое число Л 0; что выполнены следующие условия 1. A min{ ,ci,c2}; 2. решение системы дифференциальных уравнений & = г),і)= -2у/\(ц - Л)т7 - ср(а) + 1. (2.25) с начальными данными (7(0) = 0, 77(0) = О, удовлетворяет условию a(t) вг W 0. (2.26) Тогда решение системы (1.21) с начальными данными 6=s=x=y= z — 0 удовлетворяет соотношениям (2.24). Доказательство. В силу условия (2.26) [11] эквивалентное системе (2.32) уравнение F— = -2 /A(Ai - AF - р{а) + 7, (2.27) аа имеет решение F(9) такое, что F(0i) = O, F(a) 0, УаЄ[0,ві). (2.28) Введём функцию V(e,s,x,y,Z) = \s + -l-dx +b-y + b-zi-\Fi(0). В силу (2.27), на решениях системы (1.21) имеет место соотношение V + 2XV = -%CY- Х)Х2 - (а - \){у2 + z2) -(а - \У - \F\d) + ( - %F(9) - ір(Є))з -{ /JT Xs - \f\F(e))2 0. Таким образом, множество [43] n0 = {v{e,s,x,y,z) Q} является положительно инвариантным множеством.
Используя инвариантность системы (1.21) относительно сдвига на 2тгк, к Є Z по координате в, получим положительную инвариантность множеств П = {Ш,,х,у,z) = \s + + Ь-у + \? - \вЦв) О}, где Fk(cr) - сдвинутое на величину 2-кк решение F(a). В силу условия (2.28) дифференциальное уравнение (2.27) имеет решение F{a) такое, что либо существует точка 92, удовлетворяющее F{92) = F(91) = О, F(a) О, 92 О, Va Є (02, #і); либо для решения выполнено неравенство F{a) 0,Уст Є (-оо,6»і). В первом случае положительно инвариантное множество О,о является ограниченным. Во втором случае множество О, = О і П о является ограниченным. Очевидно, что множество Q также является положительно инвариантным, так как является пересечением положительно инвариантных множеств. Покажем, что при выполнении условий теоремы множества Q и QQ содержат начальные данные 9 = s = x — y = z = 0n состояние равновесия системы (1.21) 9 = 9Q,S = х = у = z = 0. Так как 9$ (0, 9\) и выполнено F(a) 0 для всех а Є (0,в\), то (00,0,0,0,0) Є fi, (00,0,0,0,0) Є По. Из инвариантности уравнения (2.27) относительно сдвига на 2кк, к Є Z и условия (2.28) следует 1 (0,0,0,0,0) = -Ffc(0) = -F(0) 0. Таким образом, получаем (0,0,0,0,0) ЄП, (0,0,0,0,0) еп0. Дихотомичность системы (1.21) была показана в теореме 6. Отсюда, из ограниченности, положительной инвариантности множеств П и По и из включений №,0,0,0,0) Є П, №,0,0,0,0) є п0. (0,0,0,0,0) є П, (0,0,0,0,0) е п0. следует (2.24). Следующее следствие является обоснованием широко применяемого в инженерной практике метода площадей. Следствие 1. Пусть выполнено J МО - 7R 0. (2.29) о Тогда решение системы (1.21) с начальными данными 9=s=x=y= z = 0 удовлетворяет соотношениям (2.24).
Доказательство. В [11] показано, что решение уравнения (2.27) с начальными данными F{0i) = 0 может быть оценено следующим образом т JMO - тк о Следовательно, в силу (2.30) выполнены все условия теоремы 8. Таким образом, по теореме 8 решение системы (1.21) с начальными данными в = s = x = y = z = 0 удовлетворяет соотношениям (2.24). Следующее следствие улучшает оценку Следствие 2. Пусть с = min{ci,C2} и выполнено 2 JШ - dC -Г6І (2.30) где ,-2 г={ Ь » 2с с(/л — С), р, 2с Тогда решение системы (1.21) с начальными данными 0 = s = x = y = z = 0 удовлетворяет соотношениям (2.24). Доказательство. Из положительности параметров системы (1.21), следует существование такого числа Л 0, что Л min{/i, с}. Следовательно, Г(Л) = Л(д - Л) 0. В [11] показано, что решение уравнения (2.27) с начальными данными F{@i) = 0 может быть оценено следующим образом F(0) 2J(ip(()-1)d( + r(\)9l Очевидно, что наилучшая оценка достигается при максимальном Г(Л). Учитывая Л miri{//, с}, получим - ii 2c 4 max Г(А) = { с{ц — с), \i 2с Следовательно, в силу (2.30) выполнены все условия теоремы 8. Таким образом, по теореме 8 решение системы (1.21) с начальными данными в = s=x=y=z=0 удовлетворяет соотношениям (2.24). Покажем как метод нелокального сведения может быть применен при решении задачи о предельной нагрузке для синхронной электрической машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения.
