Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Развитие науки о солитонах: движущие факторы эволюции, различные подходы к поставленным задачам 13
1.1 Важные открытия в истории науки о солитонах и факторы, их побудившие 13
1.2 Операторные структуры, приводящие к интегрируемым уравнениям 22
1.3 Методы построения точных решений, применяемые в работе к исследуемому уравнению 26
ГЛАВА 2. Исследование комплексного нелинейного уравнения в частных про изводных
2.1 Получение исследуемого уравнения с помощью операторной структуры нулевой кривизны 36
2.2 Получение другой коммутационной структуры в виде уравнения Лакса 41
2.3 Построение точных решений в виде бегущих волн 44
2.4 Применение метода Хироты 45
2.5 Свойство Пенлеве. Решение уравнения в виде ряда Лорана 52
2.6 Автомодельные решения 2.6.1 Автомодельные преобразования 63
2.6.2 Возможные случаи получения автомодельных решений 69
2.6.3 Случай получения решения, когда N = 1, к -1 2.6.3.1 Возникновение свободных и определение старших коэффициентов 71
2.6.3.2 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-!фО 74
2.6.3.3 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-! =0 88
2.6.3.4 Обобщение полученных результатов 95
2.6.4 Случай получения решения, когда N = -к-2, к —1 98
2.6.4.1 Возникновение свободных и определение старших коэффициентов 98
2.6.4.2 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-к-2ф0 100
2.6.4.3 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-к-2 = 0 107
2.6.4.4 Обобщение полученных результатов 109
2.6.5 Получение решений исследуемого уравнения 111
Заключение 127
Литература 128
- Операторные структуры, приводящие к интегрируемым уравнениям
- Методы построения точных решений, применяемые в работе к исследуемому уравнению
- Построение точных решений в виде бегущих волн
- Обобщение полученных результатов
Операторные структуры, приводящие к интегрируемым уравнениям
Термин «солитон» (от англ. «solitary» - уединенная, «solitary wave» - уединенная волна, греч. «-он» - типичное окончание терминов такого рода (например, электрон, фотон, и т.д.), означающее подобие частицы) стал использоваться в научной литературе относительно недавно, в середине 60-х годов XX века, но при всём том достаточно прочно утвердился в теоретической и экспериментальной физике нелинейных процессов. Впервые понятие «солитон» было введено американцами Н. Забуски и М. Крускалом в 1965 году, но заслуга открытия «большой уединенной волны» принадлежит британскому инженеру Дж. С. Расселу, который впервые дал описание наблюдения солитона в 1834 году [48], [49], [50], [57]. Гидродинамический солитон, открытый Расселом, - это уединенная волна на воде, движущаяся с постоянной скоростью.
Будем называть солитонами любые локализованные нелинейные волны, которые взаимодействуют с произвольными локальными возмущениями и всегда восстанавливают асимптотически свою точную первоначальную форму с возможным небольшим сдвигом фазы [58].
Теория нелинейных волн и в настоящее время считается всё еще молодой наукой, хотя исследования в этом направлении велись ещё в XIX веке, которые в основном были связаны с задачами газо- и гидродинамики. Приведем примеры ещё наиболее важных открытий того времени.
Солитонное решение - для длинных волн на поверхности жидкости - было впервые получено Ж. В. Буссинеском. Он получил нелинейное эволюционное уравнение, описывающее подобные волны, как в прямом, так и во встречном направлении, известное как уравнение Буссинеска [7], [8]: д и
В 1872 голу Буссинеск и Дж. У. Рэлей [47] в 1876 году независимо друг от друга нашли его солитонное решение в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде: Родоначальником солитона стало знаменитое уравнение Кортевега - де Ври-за (КдВ), которое описывает распространение волн в одном направлении по поверхности мелкого канала, полученное в 1895 году [18], [19], [27]: К(и)=и, +6ии +и „ = 0 . (1.1.1)
В дальнейшем выяснилось, что описание широкого класса волновых явлений сводится к уравнению КдВ [77]. Более позднее изложение результатов этих работ сделано Р. Миурой [38], [39], [40].
В конце 1960-х - начале 1970-х годах теория нелинейных волн сложилась как единая наука. В эти годы она пережила бурное развитие. Выявим причины такого значительного прогресса.
Во-первых, причиной этого послужило развитие вычислительной техники, предоставившей возможность непосредственного численного решения уравнений в частных производных, описывающих распространение волн в различных средах.
Исследования Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама, выполненные в 1954-м году на одной из первых ЭВМ, имели огромное значение для теории нелинейных волн и вообще для нелинейной физики [14], [164]. Задача Ферми - Паста -Улама (ФПУ) состояла в исследовании поведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые первоначально были линейными, но в ко торые была привнесена нелинейность как возмущение [77], [135]. Уникальные свойства солитонов, объясняющие результаты ФПУ, были обнаружены Н. За-буски и М. Крускалом в ходе численного эксперимента [18], [29], [30], [31], [56], [57], [77].
Во-вторых, движущим фактором становления науки о солитонах стало создание мощного математического аппарата, допускающего осуществить точное аналитическое решение ряда нелинейных уравнений в частных производных.
Первооткрывателями МОЗР стали в 1967 году К. Гарднер, Дж. Грин, М. Крускал и Р. Миура [18], [19]. Они изобрели оригинальный и мощный метод аналитического решения уравнения КдФ, использующий идеи прямой и обратной задачи рассеяния. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и использован для анализа других нелинейных дифференциальных уравнений с со-литонными решениями [58], [77].
Одним из наиболее важных результатов на ранней стадии развития МОЗР было открытие бесконечного набора законов сохранения у уравнения КдВ (1.1.1) [40], [41]. Изучая найденные законы сохранения, а также законы сохранения у модифицированного уравнения КдВ (мКдВ),
Уже эти полученные результаты к тому времени показали мощность и многосторонность МОЗР для решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, интересных с точки зрения физических приложений [58], [82], [135]. Оперируя этими идеями Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур в 1973 - 1974 годах разработали метод, позволяющий найти значительно более масштабный класс нелинейных уравнений, которые можно решать, воспользовавшись прямой и обратной задачей рассеяния (МОЗР) [1], [3], [87], [92], [114]. Несколько позднее было показано, что существуют уравнения, связанные с задачами рассеяния для операторов более высокого порядка [25], [88], [89].
В-третьих, причина развития теории солитонов состояла в расширении интереса к нелинейным явлениям в различных областях физики, что дало стимул к формированию таких наук, как нелинейная акустика, нелинейная оптика, радиофизика, электроника, физика плазмы.
Далее совершенствование науки о солитонах происходило в следующих направлениях [87]: 1) выявление новых физически важных систем, интегрируемых методом обратной задачи или его обобщениями; 2) развитие методов теории рассеяния и алгебраической геометрии для нахождения точных решений; 3) построение и изучение квантовых релятивистски-инвариантных моделей, в которых сохраняется точная интегрируемость.
Методы построения точных решений, применяемые в работе к исследуемому уравнению
С учетом (2.5.17) первое равенство выполняется тождественно при г = 0;3, второе может также выполняться тождественно при г = -1;4, тогда с учетом поправки на наивысшую степень, получим, что произвольные коэффициенты для функции u(x,t) могут возникнуть только при п = \ (г = -1 дает степень п = -4, которая отсутствует в рассматриваемых системах), а для функции v(x,t) возникают при степенях п = -3; 0.
Теперь, выделив главную часть в разложении (2.5.1) с учетом М = 0, N = 1, запишем ряды в виде Функция u(x,t) имеет вид (2.5.10) поэтому её частные производные аналогичны. Частные производные функции v{x,t) вычисляются в виде рядов по формулам: Подставив данные ряды в систему (2.1.23), она распадется по степеням , откуда легко определяются коэффициенты ап,Ьп. При и = -3 получим (2.5.16). Далее, понижая порядок и, имеем: Используя ранее найденное значение для а х в виде (2.5.17), получим значения коэффициентов а0и Ь0: После подстановки ранее найденных значений (2.5.17), (2.5.19) и (2.5.20) первое равенство системы выполняется тождественно, следовательно, функция b2\t) остается произвольной, а второе соотношение системы дает значение для функции a2{t)\
Система уравнений для п - ой степени д совпадает с видом (2.5.13), (2.5.14), где необходимо положить b )=0, но это совпадение является формальным, так как младшие коэффициенты определенные в теореме 5 и теореме 6 различны. Следовательно, для получения рекуррентных формул достаточно в соотношениях (2.5.5) и (2.5.6) положить Ь x\t)= 0, при этом получим ап+2 и Ьп+2 в виде
В результате функции u{xj) и v(x,t) имеют локальное разложение, которое может быть записано в виде рядов Лорана (2.5.18) с тремя произвольными функциями, зависящими от t: g(t\ a3(t), b2{t), следовательно, свойство Пенлеве для системы уравнений (2.1.23) выполняется. Теорема доказана. Аналогичным образом исследуется третий случай, когда выполнима система уравнений (2.5.4). При этом условии получим симметричное решение к полученному во втором случае:
Для нахождения автомодельных решений рассматриваемого уравнения (2.1.1) воспользуемся эквивалентной ему системой уравнений (2.1.23). Выполним такие преобразования, которые позволят выразить одну функцию через другую и свести систему к одному уравнению.
Если во втором уравнении полученной системы добавить и вычесть uxvx, то можно выделить частные производные следующим образом: -(u2-v2)t+(uvx-vux\=0. Таким образом, мы получили уравнение (2.6.6), которое эквивалентно (2.1.23). Лемма доказана. Далее будем работать с равенством (2.6.6) с одной неизвестной w\x, t). Легко заметить однородность полученного соотношения, поэтому можно избавиться от знаменателя с помощью подстановки
Сравнивая структуру равенств (2.6.8) и (2.6.10) по содержанию и виду производных, можно сделать вывод, что для возникновения решений, обладающих свойствами подобия, достаточно, чтобы такими свойствами обладал трехчлен F (2.6.9). Проведем исследования на существование преобразования подобия, теоретически описанные в главе 1. Пусть f = xrfAt), t = xat\ (2.6.11) где a, ft,у -постоянные, определение которых будет дано в ходе построения решения, тогда частные производные определяются по формулам:
Вынесем общий множитель xa+rtp l и временно не будем его учитывать, обозначим полученное выражение как:
Доказательство. Подставив найденные значения а, Р и у (2.6.15) в многочлен Fx (2.6.13) и, выполнив элементарные преобразования, получим: Так как многочлен Fl или его производная входят в каждое слагаемое уравне ния (2.6.10) ,то общий множитель -= - многочлена F\q) будет и общим множителем в уравнении (2.6.10). Поэтому далее этот множитель в F\q) можно не учитывать и принять:
Выполнив подстановку значения функции F\E,) и её производных в уравнение (2.6.21), а затем - элементарные преобразования и группировку по степеням , получим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка (2.6.17), эквивалентное уравнению в частных производных (2.6.8). Что и требовалось доказать. 2.6.2 Возможные случаи получения автомодельных решений
Так как параметр к не определен, кроме ограничения к Ф -1, то нельзя однозначно сказать по внешнему виду уравнения, какой из членов имеет меньшую, а какой - большую степень, поэтому рассмотрим все возможные ситуации и определим связь между параметром N и к, при которых могут возникнуть наименьшие отрицательные степени. Перенумеруем по порядку члены в (2.6.23).
Построение точных решений в виде бегущих волн
Уточним, каким ограничениям должен удовлетворять параметр к. Для любого &є(-1,-о), единственное первое слагаемое содержит старшую отрицательную степень 2к +1, при которой уже найден коэффициет а_х. Определим, допускает ли к быть рациональным. Допустим к - рациональное, тогда при отличном от нуля а х для любого рационального к є (-1,- со) слагаемое с Е,к не будет иметь пары, и может обнулиться только при значении к = -1, не входящим в эту область. Следовательно, в данном случае к рациональным быть не может. Область значений к можно записать так: к є Z z [- 2, - со).
Для дальнейшего исследования потребуется сравнение степеней. Рассмотрим, как для любого целого к -2 меняется рост старших степеней уравнения (2.6.29) и запишем это во вспомогательной таблице 1. Таблица 1 - Рост старших степеней уравнения (2.6.29) для целого к - Показатель степени Значение показателя степени при к -2 Последующие степени Вхождение нет пары для старшего члена 2к + 3 -1 -3 -5 -7 -9 имеет 2к + 4 0 -2 -4 -6 -8 имеет к -2 -3 -4 -5 -6 не имеет к + \ -1 -2 -3 -4 -5 имеет к + 2 0 -1 -2 -3 -4 имеет -1 -1 -1 -1 -1 -1 не имеет 0 0 0 0 0 0 имеет Чтобы определить последующие коэффициенты ряда g (2.6.28) будем выписывать слагаемые при одинаковых степенях Е, равенства (2.6.29) в порядке роста степеней. Подставив значение а х (2.6.24) в уравнение (2.6.29), получим:
Для удобства и наглядности проводимых операций распишем в нем произведение сумм по степеням Е, следующим образом: Вводя во внимание эту форму записи сумм и преобразовав коэффициент ряда, стоящий под знаком суммы при %2k+2, уравнение (2.6.30) приобретет вид: Далее работаем с уравнением (2.6.31). Определим следующую по увеличению степень. Из таблицы 1 видно, что для каждого к порядок роста степеней не однозначен. Построим вспомогательную таблицу 2, в которой для к є [- 2; - б] запишем степени по возрастанию, поместив в одной ячейке совпадающие. Таблица 2 - Совпадения степеней слагаемых уравнения (2.6.31) для к є [- 2; - б] Проведем анализ совпадения и возрастания степеней слагаемых уравнения (2.6.31) с помощью таблицы 2.
Слагаемое, содержащее Е,к, образует скользящую пару по очереди с одним из слагаемых, имеющих Е, , Е, , Е, .... Если обозначить этот ряд как ;2k+l, где / є Z 2, то совпадение степеней находим из равенства ;2k+l = ;к, откуда / = -к, то есть Е,к парно с Е,2к+2для к = -2; с 2к+ъ - для Ь-Зи так далее. Степени, предшествующие Е,к (для к -3), не считая старшую степень 2к + \, определяются неравенством 2к + / к, откуда I -к,и так как / 2, то 2 1 -к. Их количество меняется в зависимости от & и равно -к-2.
Степени, предшествующие _1, но следующие за д к (для к -3), определяются неравенством к + 1х -1, откуда 1Х -к -1, и так как 1Х 1, то 1 1Х -к -1. Их количество меняется в зависимости от к и равно -к-2. Последующие степени соответствуют неравенству т О и образуют закономерность совпадения согласно таблице 2.
Чтобы определить вид всех коэффициентов ряда (2.6.28) с а_хФ0, при любом целом к є [-2, -о), выделим следующие интервалы и значения степеней слагаемых уравнения (2.6.31) для рассмотрения равенств, соответствующих им:
И так далее для всех %2k+l, удовлетворяющих 2к +1 к, начиная с i -4 получаем ряд равенств, отличающихся значениями ии/и,а именно, с ростом / на единицу в показателе степени в первом слагаемом будет увеличиваться на единицу значение п, а во втором и третьем - значение т. Этот ряд завершается равенством при Е,к х, так как степень к-\ является предшествующей к, а все 2fe+/, удовлетворяющие I -к будут представлять собой Е,к х при определенных значениях к и /:
Второе и третье слагаемые последнего равенства равны нулю за счет найденных нулевых коэффициентов с а0 по а_к_3 (лемма 8). Поэтому при Е,к для всех к -2 определяется коэффициент а_к_2 однозначным образом. Подставим п = -к-2 в первое слагаемое, получим следующее равенство: откуда получаем формулу (2.6.33) для нахождения коэффициента a_k_2. Лемма доказана.
Все слагаемые кроме первого обнуляются за счет найденных нулевых (лемма 8), поэтому либо а_к_х, либо многочлен, стоящий в скобках при данном коэф фициенте должны обнулиться. Этот многочлен при подстановке значения п = -к-\ примет вид: Ъкъ +\6к2 + 23к + 6, корнями которого являются к = -3;- 2;—. Так как данное равенство рассматривается для всех целочисленных к -2, в данную область входит только корень к = -3 . Поэтому получаем, что при к = -Ъ коэффициент а2 - свободный, а при всех к -4 коэффициент
В данном равенстве также все слагаемые кроме первого обнуляются за счет предыдущих нулевых . Аналогично выясним какие значения может принимать коэффициент a_k. Имеем уравнение {ІЄ +2Ък2+Ъ1к-\5)а_ _к = О, которое имеет корни к = -5; - 3; —. С учетом ограничений на к получаем, что при к = -5 коэффициент аъ - свободный, а при к є -4 и [- 6;-о) - значение a_k =0. При Е,к+Ъ, где к + 3 -1, откуда к -4, имеем равенство:
Обобщение полученных результатов
Уточним значения &є(-1;+о). Значение N = -к-2 должно быть целым, и оно является таковым только при целых к. Поэтому к рациональные значения принимать не может, его область значений: bZc[0, +00). Определим, при каких степенях могут возникнуть произвольные постоянные, для этого положим
Для а_к_2 = равенство при г (к+2 после преобразований примет вид линейного уравнения - (г - 2к - 2) = 0, откуда г = 2к + 2. Тогда степень п = г - {к + 2), соответствующая этому корню, примет значение п = к. Так как старшая степень - {к + 2) должна быть меньше значения п, что в данном случае выполняется при любом к -1, то к - степень, при которой возникнет произвольный коэффициент.
Тогда степень п = г-{к + 2) примет значение п = -\. В сравнении со старшей степенью противоречий не возникает (степень-\к + 2) меньше -1 при любом к -\), поэтому -1 - степень возникновения произвольного коэффициента.
В четвертом слагаемом наименьшая степень к - положительная. Для дальнейшего исследования потребуется сравнение степеней. Чтобы выявить закономерность возрастания и совпадения степеней для всех целых к є [0; + оо) в уравнении (2.6.43), построим вспомогательную таблицу 6, в которой для к є [0;3] запишем степени в порядке возрастания, поместив в одной ячейке совпадаю 101
Слагаемое, содержащее В,к, образует скользящую пару по очереди с одним из слагаемых, имеющих Е, к, к+2, +4; "fe+6... . Если обозначить этот ряд как E, k+h, где heZ 0, совпадение степеней находим из равенства E, k+h =Е,к:, откуда h = 2k ,то есть для = 0 fe парно с fe, для = 1 - с к+2, для к = 2 -с и так далее. Степени, предшествующие Е,к, не считая старшую степень -к-2, опреде 102 ляются неравенством - к + h к, где h є Z -1, откуда -1 h 2к. Их количество меняется в зависимости от к и равно 2к +1.
Последующие степени соответствуют неравенству т к и образуют закономерность совпадения согласно таблице 6. так далее при всех д д получим ряд равенств, отличающихся значениями верхних пределов суммирования, а именно, с ростом h на единицу их значения увеличиваются аналогично. Этот ряд завершится равенством при Е,к х.
При этих равенствах может возникнуть либо нулевой коэффициент, либо свободный. Выясним, возможно ли для любого к О между а_к_2 и ак возникновение свободных коэффициентов. Обозначим через % некоторую степень, удовлетворяющую неравенству - к -2 % к. Тогда при Е,х имеем равенство: которое выполнимо при к = -\, z = к (не удовлетворяют ограничениям, наложенным на к и х) или ах = 0 Следовательно, для всех к 0 коэффициент а = 0, то есть все коэффициенты с а_к_х по ак_1 принимают нулевые значения в количестве 2к +1. Лемма доказана. которое выполняется тождественно при подстановке значения а_к_2. Следовательно, для всех к 0 получаем свободный коэффициент ак. Вычисления, про 105 веденные в пункте 2.6.4.1 подтвердились. Лемма доказана.
Рассмотрев все слагаемые со степенями - k + h к, где -\ h 2k, выясним, когда между а_к_2 (2.6.39) и ак возникнет свободный ко 106 эффициент. Подставив в уравнение (2.6.47) значение а_к_2, получим % = -1, то есть для любых к 0 коэффициент а_х - свободный, все остальные коэффициенты между а_к_2 и ак равны нулю. Вычисления, проведенные в пункте 2.6.4.1 подтвердились. Лемма доказана.
Для всех целых к 0 в ряду (2.6.41), где а_к_2 = , последующие коэффициенты, начиная с ак+1, определяются по рекуррентной формуле (2.6.49). В доказательстве леммы 20 показано, что формула (2.6.49) имеет вид, допускающий применение любого из трех значений старшего коэффициента а_к_2. Рассмотрим СЛУЧАИ III (2.6.40). Воспользуемся рядом (2.6.41) для нахождения его коэффициентов и уравнением (2.6.43) в общем виде, допускающим применение любого из трех значений а_к_2.
Доказательство. Равенство при к (2.6.48) для любого ак обращается в ноль, то есть выполняется тождественно. Поэтому для всех к 0 коэффициент ак - свободный. Вычисления, проведенные в пункте 2.6.4.1 подтвердились.
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений вносят вклад в формирование правильного понимания качественных особенностей множественных процессов и явлений в разнообразных областях естествознания. В частности такие решения наглядно демонстрируют механизмы сложных нелинейных эффектов, применяются для иллюстрации теоретического материала в учебных курсах вузов. Автомодельные решения и решения в виде бегущих волн зачастую представляют собой асимптотики значительно более масштабных классов решений, которые соответствуют иным граничным и начальным условиям, что позволяет формировать заключения общего характера и прогнозировать динамику разнообразных процессов и явлений в природе. Даже полученные решения, не имеющие отчетливого физического смысла, могут найти применение при оценке точности, а также проверке корректности некоторых приближенных аналитических, асимптотических и численных методов. Вдобавок к этому точные методы и решения нелинейных уравнений используются в процессе разработки и совершенствования некоторых разделов компьютерных программ, назначением которых является проведение аналитических вычислений (MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD и др.). В дополнение ко всему, уравнения, имеющие точные решения, могут послужить началом к разработке новых приближенных, численных, асимптотических методов, позволяющих исследовать более трудные задачи, которые не имеют точных решений.
