Содержание к диссертации
Введение
1 Задача Шварца и ее связь с задачей Дирихле для эллиптических систем 11
1.1 Определение J-аналитических функций 11
1.2 Постановка задачи Шварца 15
1.3 Однородная задача Шварца в специальных случаях 16
1.4 Граничные свойства А-голоморфных функций 20
1.5 Теоремы существования и единственности решений для эллиптических уравнений и систем 26
1.6 Редукция задачи Шварца к задаче Дирихле для систем 36
1.7 Существование и единственность решений для специальных
2 Задача Шварца для размерности п = 2 48
2.1 Редукция к скалярному уравнению 48
2.2 Теорема единственности решения для матриц с кратными собственными числами 62
2.3 Об одном соотношении между вещественными и голоморфными функциями 65
2.4 Методы построения примеров неединственности решения. Специальная классификация 2 х 2-матриц 71
3 Нарушение принципа максимума модуля для J аналитических функций 86
3.1 Основная теорема 86
3.2 Нарушение принципа максимума модуля в общем случае 89
Заключение 96
Список сокращений и условных обозначений 100
Список литературы 1
- Постановка задачи Шварца
- Граничные свойства А-голоморфных функций
- Теорема единственности решения для матриц с кратными собственными числами
- Нарушение принципа максимума модуля в общем случае
Постановка задачи Шварца
В частности, эти функции продолжаются до непрерывных по Липшицу функций на замыкание D = D U Г и из условия (1.5.6) следует, что qx(z) = -s z) = g(z) на границе Г. Так как функция g(z) удовлетворяет условию Липшица на Г, то множество д(Г) имеет конечную одномерную меру Хаусдорфа (см. [8, Глава 2]). Следовательно, Int д(Т) = 0 и по теореме 1.4.1 qx(z) = s z) = С = const. Поэтому, f(z) = С - С = 0, что и требовалось доказать
Рассмотрим теперь случай (см. [25]), когда А ф /І, но Im А и Im/І имеют одинаковый знак. В этом случае по теореме 1.4.2 существуют квадратичные А-голоморфная функция gx(z) и /і-голоморфная функция g z) в области D, ограниченной некоторым эллипсом Г, которые совпадают на Г. Тогда функции
Таким образом, доказана (Е.Ю. Панов, [25]) следующая Теорема 1.5.3. Пусть А ф /І, но Im А и Im/i имеют одинаковый знак. Тогда, при подходящем выборе области D, множество решений однородной задачи Дирихле (1.5.6) для уравнения (1.5.1) бесконечномерно, то есть задача не является фредгольмово разрешимой. Покажем, как можно применить полученные выше результаты. Дальнейшее исследование в этом параграфе будет посвящено изучению задачи Дирихле для вещественных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка вида (В2 + а2Е)- -2а- + р2 = 0, и\Г = ф). (1.5.7) Здесь вещественная n-вектор-функция и{х,у) Є C2(D), кривая Г = 3D, число аєі, матрица В є Mnxn, det В ф 0.
На основании теоремы 1.5.2 отсюда д2 = 0. Применяя далее тривиальную индукцию заключаем, что вектор-функция p(z) = 0, то есть и w(a;,y) = Q.p( ) = 0. Теоремы 1.5.2 и 1.5.4 будут использованы в 1.7 при изучении задачи Шварца. Так же в 1.7 будет использована следующая Лемма 1.5.1. Пусть матрица В в (1.5.7) не имеет собственных чисел вида ti, t Є R, а ее жорданова форма диагональна, то есть существует базис, состоящий из собственных векторов В. Обозначим через Q матрицу, столбцы которой образованы базисными собственными векторами. Тогда общее решение системы (1.5.7) имеет вид
Система (1.6.1) имеет п уравнений, а неизвестной величиной является вещественная n-вектор-функция и(х,у) = Reф(г). Таким образом, на основании приведенного выше алгоритма справедливо следующее Следствие 1.6.1. Если существует нетривиальное решение ф(г) однородной {if = 0) задачи (1.2.1), то существует и ненулевое решение задачи Дирихле и{х,у)\г = 0 для системы (1.6.1).
Но при этом, разумеется, должно выполняться условие (а, с, Ь) 0. Здесь А (а, с, Ь) есть полином степени п от трех переменных.
Рассмотрим подробно случай аЪ - с2 0, то есть когда квадратичные формы в (1.6.4) положительно определены. Поскольку в этом случае а 0, то можно не умаляя общности можно положить а = 1. Тогда на основании (1.6.6) и свойств определителей получим следующую нелинейную алгебраическую систему относительно переменных с, Ь :
Здесь вещественные коэффициенты &т однозначно определяются матрицей J. Из приведенных выше рассуждений вытекает
Теорема 1.6.2. Существование (произвольного) решения системы (1.6.7) является необходимым и достаточным условием наличия для данной матрицы J Є Cnxn примера неединственности однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-функции.
Данный критерий очень сложно применить на практике. В 2.4 для матриц J Є C2х2 получен более простой критерий (см. теорему 2.4.4). Здесь ограничимся частным случаем и покажем, как пример неединственности можно построить с помощью полученных выше формул для п = 2.
Матрица J имеет собственное число Л = і кратности два, а ее единственный собственный вектор не кратен вещественному. Поэтому замечание 1.3.1 параграфа 1.3 здесь не применимо, то есть существование примера неединственности для данной матрицы возможно.
Пусть а = 1, а также для упрощения вычислений положим с = 0. Запишем систему (1.6.5) для данных матриц А}В :
Здесь мы добавили постоянный вектор с компонентами равными -1. Имеем: Reф(г)\ = 0 на эллипсе Г : х2 + Зу2 = 1, но ф ф const. Равенство (1.1.2) для данных функции ф(х) и матрицы J проверяется подстановкой.
Функция (1.6.9) доставляет пример неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-формы. Однако в силу замечания 1.6.1 предъявленный метод, строго говоря, не может быть назван алгоритмом построения таких примеров, так как на его основании возможно только "угадать" подходящую матрицу, но не понятно, как ее построить. Конкретные алгоритмы построения примеров неединственности будут приведены в параграфах 2.4 и 3.2.
Существование и единственность решений для специальных матриц Этот параграф посвящен применению результатов 1.4-1.6 к проблеме существования и единственности решения задачи Шварца (1.2.1) в п-мерном случае. Будут изучены функции, аналитические по Дуглису с п х п-матрицами J вида
По определению 1.1.2 матрица J не имеет вещественных собственных чисел. Следовательно, матрица В в (1.7.1) не будет иметь чисто мнимых собственных чисел ti,teR. Таким образом, оказываются выполненными условия теоремы 1.5.4. Согласно ей, однородная задача Дирихле и\г = 0 для (1.7.2) имеет только нулевое решение. Но тогда наличие нетривиального решения однородной задачи Шварца (1.2.1) противоречит Следствию 1.6.1.
Одним из основных результатов этого параграфа является приведенная ниже теорема существования и единственности 1.7.2. При ее доказательстве существенно использована теорема Пусть матрица J имеет вид (1.7.1), причем ее жорданова форма диагональна. Пусть граница Г односвязной области Del2 является линией Ляпунова. Тогда для любой граничной функции ф) Є Яа(Г), О а 1 решение ф(г) задачи Шварца (1.2.1) в классе функций ф(г) Є существует и единственно с точностью до постоянной іс, с Є Шп.
Доказательство. Система (1.6.1), построенная по матрице J (1.7.1), будет иметь вид (1.7.2), или, что то же, (1.5.7). По определению J-аналитической функции матрица В в (1.7.1) не может иметь собственных чисел вида Ы, t Є К. Таким образом, выполнены условия теоремы 1.5.5. Поэтому существует решение и{х,у) Є Ha(D) задачи Дирихле (1.5.7). При этом и{х,у) = Reф{г) имеет в силу леммы 1.5.1 форму (1.5.11).
Для доказательства существования решения задачи Шварца восстановим мнимую часть v{x,y) функции t = u + iv, соответствующей матрице (1.7.1). Для этого используем формулы (1.6.3).
Граничные свойства А-голоморфных функций
В этом параграфе проводится редукция неоднородной задачи Шварца при п = 2 к скалярным уравнениям — разным для кратных и для некратных собственных чисел. Такой метод позволит затем доказать теоремы единственности решения 2.1.4 и 2.2.1, а также построить примеры неразрешимости задачи Шварца (теорема 2.1.5).
Пусть матрица J Є С2х2 имеет собственные числа i, A, ImA 0. Будем рассматривать только нетреугольные матрицы, поскольку треугольные имеют вещественный собственный вектор, и для них них согласно замечанию 1.3.1 к теореме 1.3.2 однородная задача Шварца имеет только тривиальные решения. Приведенные ниже преобразования можно также найти в [22, 23].
Построим специальный базис Q матрицы J. Обозначим вектор х = (1,0), тогда вектор у = (J — ІЕ) -х 0, так как J — нетреугольная матрица. Из последнего равенства: Jx = у + їх. При этом Таким образом, матрица Зх = Q lJQ будет специальным базисом оператора J, приводящим его к треугольному виду. Как известно, при X = і матрица J\ называется жордановой формой матрицы J, а Q — ее жордано-вым базисом.
Везде ниже в этом параграфе будем предполагать, что собственный вектор у = (а, 6), соответствующий Л, не кратен вещественному. Согласно уже упомянутой теореме 1.3.2 в том случае, когда он вещественный, задача Шварца имеет только тривиальные решения.
Пусть 2-вектор-функция ф(г) является аналитической по Дуглису в области D С Ш2, то есть для нее выполнено равенство (1.1.2). Так как в силу (2.1.2) J = QJlQ \ то с учетом (1.1.2) имеем:
Пусть матрица J Є С2х2 имеет собственное число Л = і кратности два и собственный вектор, не кратный вещественному. Тогда существование в области D нетривиального решения ф(г) однородной (ср = 0) задачи Шварца (1.2.1) равносильно существованию непостоянных голоморфных в D функций f(z) Є C(D) и F(z), для которых верно равенство
Пусть выполнены условия теоремы 1.2.1 и пусть f (z) - определенное в области D С R2 решение неоднородной задачи Шварца (1.2.1). Тогда по j (z) можно построить голоморфные в D функции f(z) Є C(D) и F(z), для которых справедлива формула (2.1.12). Вещественные функции quq2 Є С(Г) могут быть найдены по формулам (2.1.10).
Таким образом, для А ф і получена редукция однородной задачи Шварца к уравнению (2.1.15). Если функции /, FA, удовлетворяющие (2.1.15), известны, то вектор-функцию ф(г) можно восстановить по формуле где матрица Q, как и выше, имеет вид (2.1.1). Следовательно, преобразования (2.1.3)-(2.1.16) обратимы, и поэтому имеет место
Теорема 2.1.3. Пусть матрица J Є С2х2 имеет собственные числа і, А, Im А ф 0, і ф А, а ее собственный вектор, соответствующий А, не кратен вещественному. Тогда существование в области D нетривиального решения ф(г) однородной задачи Шварца (1.2.1) равносильно существованию в D непостоянных функций f(z) Є C(D) и F\(z), для которых верно равенство (2.1.15).
Из теоремы 2.1.1 вытекает следующее утверждение, которое будет использовано ниже при доказательстве теоремы 2.1.5. Следствие 2.1.1. Пусть матрица J = A + Bi, где А}В є R2x2 удовлетворяет условиям теоремы 2.1.1. Тогда условие det В = 0 равносильно равенству \\ = 1 в (2.1.14).
Доказательство. Пусть det В = 0. Согласно теореме 1.3.3 существует непостоянная линейная вектор-функция ф(г), соответствующая J со свойством Reф = 0. Это означает, что формула (2.1.14) выполнена тождественно. В силу (2.1.4), (2.1.11), (2.1.14) функции /, F будут линейными, то есть можно обозначить
Из (2.1.17) вытекает, что а1 0, так как в противном случае Ь1 = 0, то есть ф = const, что противоречит сделанному предположению. Согласно (2.1.17)
Пусть теперь \\ = 1. Найдем с1 ф 0 из условия ц + а1 = 0. Это можно сделать, так как определитель получающейся однородной системы линейных алгебраических уравнений будет равен 1 - \\. Тогда при Ь1 = 0 и&0 = -а0 будет выполнено (2.1.17). Поэтому в силу (2.1.13) по функциям f(z) = a0+d1Z и F(z) = b0 можно построить линейную вектор-функцию j (z), которая будет решением однородной задачи (1.2.1). Очевидно, что в данном случае Re0(z) = 0, но в силу (2.1.13) j (z) ф const. Отсюда согласно теореме 1.3.3 имеем det Б = 0.
Приложения теорем 2.1.2 и 2.1.3 к задаче Шварца Сначала приведем некоторые утверждения из теории голоморфных функций [27, 28], которые будут использованы в дальнейшем.
Пусть функции 9l(z) и g2(z) голоморфны в областях Di и D2 соответственно, имеющих общую гладкую дугу 7- При этом gi{z) непрерывна на DiU-/ и q2(z)\ = Qi(z)\ -в смысле предельных значений. Тогда функция g2(z) есть аналитическое продолжение функции 9l(z) с области Di на область D1U-/UD2.
Доказательство можно найти в [27, 28]. Определение 2.1.1. Функция g(z) называется антиголоморфной в обла сти D С М2, если сопряженная к ней функция g(z) голоморфна в D. Таким образом, функция g(z) определяется уравнением
Несложно показать, что функция g(z) будет голоморфна в12\ При этом в силу условия леммы f(z)\r_ = g(z)L+, где Г ,Г+ — предельные значения функций изнутри и снаружи круга К соответственно. Отсюда в силу предложения 2.1.1 функция g(z) есть аналитическое продолжение f(z) через Г. Поэтому f(z) голоморфна во всей плоскости Ш2 и ограничена в силу определения g(z). Отсюда согласно теореме Лиувилля f(z), а следовательно и g(z), постоянна
Теорема единственности решения для матриц с кратными собственными числами
Напомним, что согласно теореме 1.4.1 при (Im Л)-(Im/І) О квадратичных форм /л,//х, совпадающих на эллипсе, не существует (более обще, не существует непостоянных Л- и /i-голоморфных функций, совпадающих на границе области). Следствие 2.3.2. Если А М, Д и Im (Д + Д) = 0, то А- и ц-голоморфные функции /А, Д - полиномы не выше второй степени.
При этом, если это условие выполнено, то квадратичная форма в Р(х,у) определена однозначно, с точностью до множителя. Доказательство. Необходимость докажем методом "от противного": пусть все функции вида (2.3.12) — полиномы второй степени, но при этом (2.3.13) не имеет места, то есть (3(аап + (За12) = а(аа21 + (За22). Несложно показать, что тогда аа\\ + (За\2 = Аск, аа2\ + /За22 = А/3, где А — одно из собственных чисел матрицы J.
Обозначим через f(z) произвольную А-голоморфную функцию. Тогда вектор-функция ф(г) = (a/, (5f) будет J-аналитической с данной матрицей J. Очевидно, что в этом случае Р(х,у) в (2.3.12) - реальная часть функции f(z), что противоречит сделанному предположению.
Достаточность. Пусть теперь (2.3.13) выполнено. Поскольку общий случай сводится к матрице J с собственными числами i, A, Im А ф 0, А ф -і, то рассмотрим только его. Обозначим: тогда для матрицы В = CJC l элемент Ь2\ ф 0. Это означает с учетом результатов 2.1, что для В можно построить жорданов базис Q вида (2.1.1). Заметим, что имеет место равенство где (см. 2.1) Ъ = баї ф 0, а = bn-i. Поэтому, Ц 1Сф = (rP-acg2 + ighcg2), где с = і/b ф 0. Тогда с учетом (2.1.2) соотношение (2.3.14) можно переписать в виде д гР - acg2 + igi\ (г 0 \ д ( гР - асд2 + іді
функции д2 и h — являются полиномами не выше второй степени, причем квадратичные формы в этих полиномах определены однозначно, с точностью до множителя. Поэтому, ф(г) = C lQ (h,cg2) является полиномиальной вектор-функцией не выше второй степени, квадратичная форма которой определена однозначно, с точностью до множителя. В частности, последнее верно и для квадратичной формы в Р{х,у). Следствие доказано.
Функция ф(г) будет аналитической по Дуглису с данной матрицей J при всех п Є N. Матрица J имеет собственные числа А = і и /І = 2г. Здесь соотношение (2.3.13) превращается в равенство при а = /3 = 1. Очевидно, что при п 3 функция ф(х) не будет полиномом второй степени.
Методы построения примеров неединственности решения. Специальная классификация 2 х 2-матриц Результаты этого параграфа опираются на теорему 2.3.1 2.3. Получен общий метод (теорема 2.4.1), позволяющий строить примеры неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм для матриц J Є С2х2 с произвольными комплексными собственными числами А ф Д [22].
Получен критерий (теорема 2.4.2), который позволяет определить: возможен или нет для данной матрицы J Є С2х2 с кратными собственными числами пример неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-формы.
Кроме того, построена специальная классификация матриц J Є С2х2, имеющих кратные собственные числа. Она основана на теореме 2.4.1.
В конце параграфа приведен еще один метод построения примеров неединственности решения.
Прежде всего, имеет место Теорема 2.4.1. Для каждой матрицы J Є С2х2, имеющей собственные числа А,/І Є С, где Im A, lm fi ф 0, существуют соответствующие ей квадратичные вектор-функции ф(г) вида (2.3.12). Если матрица J имеет кратное собственное число, либо треугольная, то квадратичные формы Р(х,у) в (2.3.12) могут быть только одного типа.
Тем самым доказано существование функций ф(г) вида (2.3.12) для нетреугольных матриц.
Здесь важно отметить, что по построению формулы (2.4.6), (2.4.7) справедливы также и для нижне треугольных (недиагональных) матриц. Соответственно, формулы (2.4.9), (2.4.10) применимы к верхне треугольным (недиагональным) матрицам.
Пусть матрица J Є С2х2 - треугольная или диагональная, и имеет невещественные собственные числа А,/І. Пусть ей соответствуют квадратичные вектор-функции вида (2.3.12). Тогда квадратичные формы Р(х,у) в (2.3.12) — знакопеременные.
Доказательство. Для диагональных матриц утверждение леммы очевидно. Рассмотрим верхне треугольные (недиагональные) матрицы. Пусть а = 0, [3 ф 0 в (2.3.12). Тогда в силу (2.4.9) квадратичная форма
В силу (2.4.9) матрице CJC-1 соответствует квадратичная функция ф4(г) со свойством Re04 = (О, Р4), причем Р3 и Р4 с учетом лемм 2.4.1 и 2.4.2 имеют одинаковый тип.
Из (2.4.11) следует, что матрице J соответствует функция С 1фА, где ReC"V4 = (О, Р4). Согласно условию, матрице J соответствует функция ф% где Re 02 = (О,/ )- Так как матрица J — нетреугольная, то в силу следствия 2.3.3 2.3 функции Р2 и Р4 отличаются множителем. Отсюда следует совпадение типов Р2 и Р3, то есть и Pi,P3. Теорема 2.4.1 доказана.
Формулы (2.4.6) и (2.4.9) дают общий метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм.
Действительно, при заданных числах А Ji находим квадратичную форму и(х,у) и число d Є С по формулам (2.3.4), (2.3.5) и (2.3.11). Затем нужно подобрать ненулевые коэффициенты а1Ъа21 Є С (или а22}а12 Є С) так, чтобы квадратичная форма Рх или Р2 в (2.4.6) или в (2.4.9) была положительно определенной и неособой.
После этого восстанавливается сама матрица J (по первому или по второму столбцу и собственным числам).
Нарушение принципа максимума модуля в общем случае
В диссертации исследованы граничные свойства функций, аналитических по Дуглису. При этом в первой и второй главах изучалась задача Шварца, а в третьей — нарушение принципа максимума модуля для изучаемых функций.
Первая глава посвящена определению и основным свойствам J-аналитических функций, а также вопросам единственности решения задачи Шварца для матриц J є Cnxn.
В 1.3 доказана теорема единственности решения для областей с произвольной границей. Метод доказательства существенно использует специальную структуру матриц. В дальнейшем его необходимо обобщить на более широкие классы матриц.
Другой подход к изучению задачи Шварца это ее редукция к граничным задачам для скалярных А-голоморфных функций. Краевые задачи для них изучались Е.Ю Пановым. Им установлена теорема единственности 1.4.1. С ее помощью в 1.5 исследована задача Дирихле для систем однородных уравнений в частных производных второго порядка. Работу в этом направлении предполагается продолжить.
Затем в 1.6 применена редукция однородной задачи Шварца к задаче Дирихле для систем в частных производных второго порядка. Это преобразование позволило в 1.7 применить результаты 1.4, 1.5 для доказательства трех теорем существования и единственности решения задачи Шварца. При этом в теореме 1.7.2 существенно использованы результаты А.П. Солдатова.
Здесь надо отметить, что в теореме 1.4.1 существенным является условие Int/(r) = 0, что несколько ограничивает возможности ее применения. Поэтому перспективным направлением исследований является доказатель 97 ство теоремы 1.4.1 для произвольных непрерывных в D функций. В этом случае результаты 1.4 можно будет применить к задаче Шварца для более широкого класса функций. Вторая глава посвящена изучению 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису.
В 2.1 проведена редукция задачи Шварца к скалярным функциональным уравнениям, отдельно для матриц с кратными и различными собственными числами. Эти уравнения равносильны исходной задаче в том случае, если она однородна. Поэтому их можно изучать вместо однородной задачи Шварца, что во многих случаях оказывается весьма удобным.
На основании такого подхода доказаны теоремы 2.1.4, 2.1.5 и 2.2.1. В первой из них для матриц с собственными числами А = ±ъ показана единственность решения задачи Шварца для произвольных областей. Перспективно распространение этого результата на случай структурных матриц более общего вида.
В теореме 2.1.5 показано, что при п = 2 задача Шварца для граничных функций ір Є Яа(Г), 0 а 1 может не иметь решений ф(г) Є Ha(D). Построен пример отсутствия ее разрешимости. Надо отметить, что данный метод существенно использует условие п = 2, поэтому в перспективе его следует обобщить на случай п 2.
В теореме 2.2.1 2.2 на основании результатов той же редукции доказана теорема единственности решения задачи Шварца в произвольном круге. Эти результаты следует обобщить на другие области.
Другой подход к проблеме единственности решения задачи Шварца - построение квадратичных 2-вектор-функций j (z), обладающих свойством Re0( )г = ОнаэллипсеГ. Такой метод построения контрпримеров основан на специальном соотношении между вещественными и голоморфными функциями, изложенном в теореме 2.3.1. Из нее вытекают три следствия касательно свойств J-аналитических 2-вектор функций ф(г). Согласно следствию 2.3.3, если реальные части такой функции линейно зависимы, то ф(г) есть векторный полином не выше второй степени (при выполнении простого необходимого условия). В перспективе следует изучить функции с указанным свойством для произвольного п 2.
С помощью теоремы 2.3.1 в 2.4 для матриц J Є C2х2 получен общий метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм. Кроме того, получена специальная классификация 2 х 2-матриц с кратными собственными числами. Она основана на следующем свойстве: если реальные части квадратичной вектор-формы, соответствующей такой матрице, линейно зависимы, то они как квадратичные формы могут быть только одного типа.
В перспективе нужно доказать данное свойство для матриц с различными собственным числами. Приведенные в 2.4 примеры его подтверждают. Кроме того, необходимо изучить возможность построения аналогичной классификации для матриц J Є Cnxn. В дальнейшем также следует построить примеры неединственности решения однородной задачи Шварца, отличные от квадратичных вектор-форм.
В 2.4 для матриц J Є C2х2 с кратными собственными числами получен специальный критерий tj. Он позволяет по коэффициентам матрицы однозначно установить, возможен или нет для нее пример неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-функции. В дальнейшем предполагается получить аналогичный критерий для произвольных матриц J Є C2х2. Кроме того, в конце 2.4 получен еще один метод построения примеров неединственности решения.
Как известно, он справедлив при п = 1. Однако, используя теорему 3.1.1, можно для п = 2 построить примеры 2-вектор функций, для которых данный принцип нарушен в некотором эллипсе. Метод построения таких примеров обобщен в 3.2 на произвольную размерность — доказаны теоремы 3.2.1 и 3.2.2 о нарушении принципа максимума модуля. В итоге установлено, что указанный принцип нарушается для широкого класса матриц J Є Cnxn,
Надо отметить, что техника, которая применялась при доказательстве теорем 3.2.1 и 3.2.2, во многом основана на теореме 2.3.1 2.3. Именно поэтому она позволяет вывести также метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм, но уже для матриц J Є Cnxn, п 3. В перспективе предполагается данный метод развивать.
