Содержание к диссертации
Введение
1 Обрывы двумеризованной цепочки Тоды 21
1.1 Алгоритм нахождения интегрируемых обрывов двумеризованной цепочки Тоды 21
1.2 Новый пример 28
1.3 Как построить пару Лакса для цепочки с краевым условием? 33
1.4 Преобразование Мутара и краевые условия 34
2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости 39
2.1 Краевые условия для уравнения КП 39
2.2 Мастер-симметрия и граничные условия 44
2.3 Обрывы цепочки Тоды и уравнение КП 47
2.4 Преобразование Беклунда и граничные условия 49
2.5 Модифицированное уравнение КП 51
2.6 Уравнение Веселова-Новикова 54
3 Алгоритм построения частных решений краевой задачи для уравнения КП 57
3.1 Краевое условие, совместимое с парой Лакса . 58
3.2 Краткое изложение метода одевания для уравнения КП 61
3.3 Редукции уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко и граничная задача 62
3.4 Явные частные решения граничной задачи для уравнения КП2 66
3.5 Краевая задача в полосе 0 < у < 1 71
Список литературы
- Как построить пару Лакса для цепочки с краевым условием?
- Преобразование Мутара и краевые условия
- Обрывы цепочки Тоды и уравнение КП
- Краткое изложение метода одевания для уравнения КП
Введение к работе
Метод обратной задачи рассеяния, открытый в 1967 в работе [1], положил начало нового этапа в развитии теории нелинейных уравнений математической физики. Важную роль в становлении и развитии метода сыграли работа Лакса [2], в которой предложена удобная для обобщений альтернативная алгебраическая формулировка МОЗР, и работа Захарова и Шабата [3], где была найдена новая спектральная задача, позволившая авторам "проинтегрировать "нелинейное уравнение Шредингера и выявившая перспективы метода.
Первые успехи метода обратной задачи связаны в основном с построением и исследованием точных явных решений нелинейных уравнений. Одним из наиболее ярких результатов здесь явилось создание теории конечнозонного интегрирования в работах Новикова, Дубровина, Итса, Матвеева, Лакса, Марченко, Маккина и ДР. № И, И, [7], [8].
Заметной вехой в развитии солитонной теории стала работа Захарова и Манакова [9], где МОЗР был успешно применен для исследования асимптотики на больших временах решения задачи Коши с произвольным начальным условием для ряда нелинейных уравнений математической физики, таких, как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, sine-Gordon и др. Позже идеи этой работы нашли приложение в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений -уравнений Пенлеве, где с помощью метода изомонодромных деформаций, некоторой модификации МОЗР, в работах известных математиков, таких как Г.Флашка, А.Ныоелл, А.Итс, В.Новокшенов
и др. был решен круг проблем об асимптотиках, вынесенных на повестку дня еще в начале прошлого века (см. монографию [10]).
Усилия математиков Санкт-Петербургской школы (Фаддеева, Тахтаджяна, Корепина, Склянина, Кулиша, Реймана, Семенова-Тян-Шанского, Изергина и др.) по переосмыслению МОЗР с точки зрения гамильтоновой механики привели к открытию квантового варианта метода обратной задачи рассеяния (см. [11], [12], [13]).
Схема метода обратной задачи в дальнейшем была распространена на дифференциально-разностные уравнения (нелинейные цепочки) и уравнения в частных разностях (дважды дискретные модели). Манаков [17] и, независимо, Флашка [18] погрузили в схему МОЗР известное уравнение, описывающее цепочку с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими соседями (цепочку Тоды [14]), взяв в качестве L-оператора классическое трехчленное рекуррентное соотношение (дискретный аналог стационарного одномерного уравнения Шредингера). Абловитц, Ла-дик [19] и Шабат [20] предложили дискретную версию спектральной задачи Захарова-Шабата и выписали цепочки, связанные в контексте МОЗР с этой спектральной задачей. В работах, перечисленных выше, а также во многих других работах (см. монографии [21], [22] и обзор [23]) рассматривались предельные переходы от дискретных уравнений к непрерывным при сгущающейся пространственной и пространственно-временной сетке. Например, в [24] уравнения в частных разностях пропагандируются в качестве разностных схем для численного расчета задачи Коши для нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Как известно, уравнения, интегрируемые методом обратной зада-
чи рассеяния, имеют бесконечные серии законов сохранения. При предельном переходе законы сохранения дискретных уравнений, как правило, переходят в законы сохранения непрерывных аналогов. Иначе говоря, эти разностные схемы являются в известном смысле "сверх-консервативными".
Любопытно, что цепочка Тоды, появившаяся в работе [14] как модель системы частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием ближайших соседей, оказалась одномерной редукцией некоторой бесконечномерной системы уравнений в частных производных гиперболического типа, исследованием которой занимались еще великие французские математики, такие как Лаплас, Лиувилль, Дарбу, Гурса, Мутар и др. Для этой системы, носящей в современной литературе название двумеризованной цепочки Тоды, классиками уже в 19-ом веке была создана соответствующая теория (см. [15], [16]), содержащая, в частности, методы построения решений системы. Следует отметить, что двумеризованная цепочка Тоды имеет массу приложений в геометрии, в теории поля, а также в самой теории интегрируемости. Так в недавних работах А.Жибера, В.Соколова, а также Н.Камрана и И.Андерсона было доказано, что гиперболическое уравнение является интегрируемым (в смысле А.Шабата) тогда и только тогда, когда ряд инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения является конечным.
Помимо задачи Коши в математической физике часто встречается другая важная постановка - начально-краевая задача. Для нелинейных уравнений учет влияния границы сильно усложняет задачу. К середине 90-ых годов прошлого века стало ясно, что начально-краевая задача с произольньши начальными условиями
и краевыми условиями общего вида не согласуется со свойством интегрируемости уравнения. Для каждого интегрируемого уравнения типа Кортевега-де Фриза существует некий специальный класс краевых условий, полностью согласующихся с интегрируемостью.
За последние полтора десятилетия для моделей размерности 1+1, т.е. для уравнений с одной пространственной и одной временной переменной, были найдены эффективные алгоритмы поиска таких граничных условий, использующие законы сохранения и гамильтонову структуру [45], высшие симметрии уравнения [82], а также непосредственно пару Лакса [59], [124].
Для большинства известных уравнений размерности 1+1 интегрируемые краевые условия были перечислены в работах Е.К.Склянина [45], А.Б.Замолодчикова, Р.Ф.Бикбаева, В.О.Тарасова, В.Э.Адлера, М.Гурсеса, И.Т.Хабибуллина, Т.Г.Казаковой и др. Отметим, что хотя интегрируемые краевые условия охватывают сравнительно узкий класс краевых условий, тем не менее они представляют интерес для физики. Приложения граничных задач такого сорта обсуждаются, например, в работах G.Costabile, А.Б.Замолодчикова, Е.Корригана, С.Скорика и др. (см. [64], [65], [66], [67]).
Другая точка зрения к начально-краевым задачам, развиваемая в работах А.Фокаса, А.Дегаспериса, С.Манакова, П.Сантини, А.Буте де Мунвел и др., состоит в поиске новых, возможно менее эффективных обобщений метода обратной задачи рассеяния, которые были бы применимы к начально-краевым задачам с произвольными краевыми условиями и произвольными начальными условиями.
Краевые задачи для интегрируемых эллиптических уравнений с произвольным краевым условием также плохо поддаются исследованию при помощи метода обратной задачи рассеяния, но и здесь наблюдается тот же эффект: существуют специальные типы граничных условий, совместимых с МОЗР. Так в серии работ А.Б.Борисова, В.В.Киселева и Г.Г.Талуца (см., например, [61], [62]) показано, что математическая модель вихря в двумерном магнетике представляет собой ни что иное, как эллиптическую краевую задачу, подпадающую под действие МОЗР. Близкие результаты получены также в [63].
Отметим, что для уравнений с двумя и более пространственными переменными проблема граничных условий, согласующихся со свойством интегрируемости, остается мало исследованной. В качестве примеров можно упомянуть лишь несколько типов краевых условий для уравнения Ишимори, найденных в [58], и так называемые обобщенные цепочки Тоды - редукции бесконечной двумеризованной цепочки Тоды, связанные с классическими сериями алгебр Ли конечного роста (см., например, монографию [43]). Они получаются из бесконечной цепочки при наложении условий обрыва (краевых условий по дискретной переменной), согласованных с интегрируемостью. Алгоритм поиска интегрируемых граничных условий, использующий высшие симметрии уравнения, разработанный в статьях [81], [82], [83], [104], [115], [116], в случае уравнений размерности 2+1 является чрезмерно сложным. Причина этого кроется в том, что симметрии многомерных уравнений содержат нелокальности.
Цель настоящей диссертации состоит в разработке удобных и эффективных способов отыскания (а также классификации) ин-
тегрируемых граничных условий для многомерных интегрируемых уравнений типа двумеризованной цепочки Тоды и уравнения Кадомцева-Петвиашвили.
В работе используются основные методы теории интегрируемости: принцип L-A пары, классические и высшие симметрии, метод дифференциальных связей, метод одевания Захарова-Шабата и
ДР-
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Во введении кратко обсуждается история вопроса и содержание диссертации.
Первая глава посвящена изложению основного результата диссертации, эффективного теста, использующего понятие L-A пары, позволяющего выяснить, согласуется ли данное краевое условие со свойством интегрируемости уравнения. Предлагаемый тест является непосредственным обобщением результатов работ [124], [129] Аі-Н.Вильданова, Т.Г.Казаковой и И.Т.Хабибуллина по 1+1-мерным уравнениям. В работе [124] на уровне примеров уравнений КдФ, sin-Gordon и уравнения Гарри Дима было обнаружено, что при наложении на уравнение интегрируемого краевого условия второе уравнение пары Лакса приобретает дополнительную дискретную симметрию, что было положено в основу теста на интегрируемость.
Изложим кратко суть этого теста на нескольких примерах. Начнем с уравнения КдФ щ = иххх — QuuXi которое совместимо с краевыми условиями: и\х=о = а, ихх\х~о — Ь, где а и Ъ - произвольные действительные числа. Уравнение КдФ является условием совместности двух семейств линейных дифференци-
альных уравнений, "пронумерованных" спектральным параметром А Є С:
Yt=( Ux -А\-2и\
\ихх - (4А + 2и)(и - А) —их )
Вдоль прямой х = 0 второе из уравнений принимает вид:
Оно допускает инволюцию: А —у Д(А), У(А, і) —J- F(A, i)F(/i(A),). Другими словами, функция Yi(A, і) = F(A,)y(/i(A),i) также является решением системы уравнений (1), если (см. [124])
и(\\ -A + Vc - ЗА2 2
/t(A) = , с = За — о,
Появление дополнительной инволюции позволяет линеаризовать уравнение эволюции матрицы рассеяния (см. [131]) и тем самым "проинтегрировать"соответствующую начально-краевую задачу.
Уравнению Гарри Дима щ + игиххх = О с парой Лакса
У«(М,А)=( А 1AY{xtt1\)i
( v-x —2и\
и с интегрируемым краевым условием
u(Q,t) = 0, «а;(0,) = 6, b ~ const
соответствует инволюция:
А -» Д(Л),
Y (0,t,\)-*F{\t)Y(Q,t,h{\)) с функцией h(X) = А и матрицей сопряжения
F = I + ae4Xbt( У a = cone*.
Другому типу интегрируемого краевого условия
ux(Q, t) = ші, «ая(0, і) = — и + -, a, d Є R
z и
соответствует инволюция выше с параметрами, заданными в виде:
\l(\-h(X)) h(X))'
, -d - 2А ± \/d2 - 4Ad - 12A2
ft = .
В случае нулевых (заведомо интегрируемых) краевых условий и(0, і) = 0, и(0, ) = 0 для нелинейного уравнения Шредингера
iut = — ихх + 2ии2,
—гг; = — vxx + 2uv2 второе уравнение Лаксовой пары
Уж(іМ,А)=(їА " )y(ffiji,A), \ w —гА/
/ —2гА2 — iuu —2Au + гих\
У«х,«,А= . .. х У*.*.А
\ —2Аи — 2 2гА^ + iuv j
принимает вид:
/-2г'А2 гих \ ,
и, очевидно, допускает инволюцию: А —> —А.
Основная цель первой главы - выработать аналогичный критерий для интегрируемых уравнений с большим чем два числом независимых переменных. Главная трудность связана с тем, что для 2+1-мерных уравнений Лаксова пара не содержит спектрального параметра. Точнее, можно считать, что спектральный параметр есть, но он принимает конечное число значений. Действительно, все модели, рассмотренные выше, имели ровно две неэквивалентные (не связанные калибровочным преобразованием) пары Лакса. Поэтому в 2+1 -мерном случае инволюция А —> h(X) есть ни что иное, как переход к неэквивалентной L — Л-паре. Матрица сопряжения F(А) заменяется дифференциальным оператором М = M(DX), где Дс - оператор дифференцирования.
Кратко объясним содержание теста в 2+1-мерном случае. В качестве иллюстративной модели возьмем двумеризованную цепочку Тоды. Суть нашего теста в следующем. Для заданного нелинейного интегрируемого 2+1-мерного уравнения берутся две неэквивалентные пары Лакса. Некоторая линия в плоскости пространственных переменных выбирается в качестве границы. Затем сравниваются операторы, задающие временную динамику собственных функций, каждой из пар Лакса. Вдоль границы на полевые переменные накладывается условие связи таким образом, чтобы эти операторы стали подобными. Точнее говоря, чтобы собственные функции операторов выдерживали некоторые линейные дифференциальные связи.
Например, цепочка Тоды
uxt(n) = exp{w (п — 1) — и (п)} — ехр{и (п) — и (п + 1)} (2)
допускает две неэквивалентные пары Лакса:
ф (п + 1) = (Д. + их (п)) < (п), (3)
&(п) = -ш{п - 1)Ф{п - 1) (4)
ф (п + 1) = (Д + «, (n)) < (n), (5)
фх(п) = -w(n - 1)^(п - 1). (6)
Исключая сдвиги по п из системы (3), (4), получим гиперболическое уравнение:
<ЫП) + их(п)фі{п) + w(n - 1)ф{п) = 0 (7)
и, аналогично,
V'kC") + щ(п)фх(п) + iu(n - l)^(n) = 0. (8)
Фиксируем п = 0. Выясним, какие условия связи нужно наложить на функцию и — u(x,i,n), чтобы существовал линейный дифференциальный оператор М с коэффициентами, зависящими от х, t такой, что ф = Мф.
В первой главе диссертации получена полная классификация таких условий связи для которых существует оператор порядка не выше третьего.
Имеет место следующее утверждение (см. Предложение 1.2 и Предложение 2.1) .
Предложение. Пусть существует дифференциальный оператор вида М = aDx 4- bDx + с такой, что при п = 0 для любого решения ф уравнения (8) функция ф = Мф является
решением уравнения (7). Тогда переменные и(0),и(—1) удовлетворяют одному из следующих соотношений:
6^ = 0,
«(-1) = 0 («(D) = 0),
«(-1) = -«(0),
(2а0(;гК(-1) + a0x(x))e^V = (cot(t) - c0(t)ut(0))e-^\
При этом соответствующий оператор М имеет вид:
M1 = a0euDl-h(boeu + aouxeu)Dx,
М2 = aQ(euD2x + uxeuDx) (М2 = со),
Мз = Ъ0еиОх,
М4 = a0{x)euDl + (а0{х)их + -a0x{x))euDx + со(і)е~и,
где Со, Ь0, и) - произвольные числовые параметры, и = п(0).
В списке, очевидно, отсутствует краевое условие, соответствующее обобщенным цепочкам Тоды серии D. Дело в том, что в предложении рассмотрены дифференциальные связи весьма частного вида. Если мы рассмотрим более симметричное условие связи:
(aDx + b)
то придем к краевому условию:
e«(-i) = e-u(U л- Ц*(0М0) 2sinhu(0)'
соотвествующему серии D.
В примерах мы ограничились сопрягающими операторами М = M(DX) не выше третьего порядка. С ростом порядка оператора вычислительные трудности быстро возрастают, а в краевые условия начинают входить нелокальные переменные.
В случае оператора третьего порядка, рассмотренного в работе [136], было получено краевое условие вида:
ДхЄ«(~2)+«(-1) _ >(Є-«(0)+и(-1)_
При этом сам оператор имеет вид:
М = eu{D2x + 2uxDx + ихх - ««(-1)+
+«2-„2(_1)-е-«(-Ч-»}2?я.
Во второй главе диссертации исследуется уравнение Кадомцева-Петвиашвили и близкие к нему уравнения, такие как модифицированное уравнение КП и уравнение Веселова-Новикова. При помощи операторного теста, предложенного в предыдущей главе, проводится классификация граничных условий, для которых оператор сопряжения имеет второй порядок.
Уравнение КП
vT + vxxx-6vvx = Swy, (9)
wx = vy,
имеющее приложение в ряде физических задач, например, в физике плазмы и теории океанских волн [110], имеет две неэквивалентные пары Лакса (см. [125]-[128]):
Фхх = іфу + ^ф, (10)
Фг — ~4фххх + 6уфх + S(vx + іги)ф (11)
Фхх - -гфу + уф, (12)
фт = -Щххх + 6ъфх + 3(vx - гю)ф. (13)
В работе доказано следующее утверждение.
Предложение 2.1. Пусть существует дифференциальный опе
ратор вида М = aD\ + bDx -+- с такой, что при у = 0 для
любого решения ф уравнения (13) функция ф = Мф является ре
шением уравнения (11). Тогда выполняется одно из следующих
соотношений:
|y=o = 0,
(vx -»«7)1^0 = 0, (14)
(wT - 2vxzy + 6ivyyx + Qvxw - 6vwx - 6iw2 - 12cvy}\y=o = 0,
где функция с = с(х, г) определяется из уравнения:
Or = (-и* + 2Ш)1у=о-При этом соответствующие операторы М имеют вид:
М = 1,
M = Dxt (15)
3) М = .^ + 0.
Из предложения 2.1 ясно, что краевые условия (14) совместимы с уравнением КП в смысле нашего определения. В этой же главе мы анализируем найденные краевые условия при помощи других тестов. Например, в разделе 2.2 проверяется, что эти краевые условия совместимы с бесконечной серией высших симметрии. А в разделе 2.3 показано, что решения краевой задачи с краевым условием вида (vx~iw)\y=o — 0 есть неподвижная точка композиции двух отображений: преобразования Беклунда и инволюции у -+ —у, что является косвенным подтверждением интегрируемости. Далее в этой главе найдены краевые условия для
модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (мКП) и уравнения Веселова-Но викова.
В последней третей главе установлено, что краевая задача совместима с методом одевания по Захарову-Шабату. При помощи этого метода можно построить широкий класс явных частных решений.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения КП:
Щ + иххх-6иих = — За2шу, а2 = ±1, (16)
wx — иу
на полуплоскости —со < х < оо, у > 0 с краевым условием
вида
(их + aw)\y=0 = 0. (17)
В работе [2] было показано, что краевое условие (17) в определенном смысле совместимо с парой Лакса уравнения КП, которая задается в виде следующей системы линейных уравнений:
Фхх = афу + иф, (18)
фь = -4фххх + 6ифх 4- 3(их + аю)ф. (19)
Двойственная пара Лакса для уравнения (16) имеет вид:
Фхх = —&Фу + иФ, (20)
фі — ~Ц>ххх + 6ифх + Ъ(их - аю)ф. (21)
Из результатов второй главы вытекает лемма.
Лемма 3.1. Решение и = и(х,у,) уравнения (16) удовлетворяет краевому условию (их + сш)|у=о = 0 ( или краевому условию ш|г/=о = Ф тогДа и только тогда, когда для любого
решения ф = ф(х, у, t) уравнения (19) функция ф — Вхф (соответственно, функция ф = ф) удовлетворяет уравнению (21) при 2/ = 0.
В литературе известны различные методы построения решений уравнения КП. Воспользуемся методом одевания по Захарову-Шабату. Напомним кратко суть метода одевания. Пусть щ - некоторое затравочное решение уравнения КП. Для простоты возьмем щ = 0. Пусть фо = фо(х,у,і) - некоторое решение ассоциированной системы уравнений (18), (19) с коэффициентом и = щ = О (затравочная собственная функция). Будем искать новое решение и уравнения КП. Найдем сначала решение ф = ф(х,у,і) ассоциированной системы, соответствующей новому потенциалу и. Для этого воспользуемся следующим интегральным оператором с вольтерровым ядром К = K(x,z,y,t):
ф(х,у,і) = фо{х,у,Ь)+
+ Г К(х, z\ у, і)фо^', у, t)M = (1 + К)фо. (22)
J —оо
Ядро К удовлетворяет уравнению Гельфанда-Левитана-Марченко:
K(x,z,y,t) + F(x,z,y,t)+
+ Г К{х, z', у, t)F(z', z, у, t)M = 0. (23)
J— со
Ядро уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко F, в свою очередь, является решением следующей системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
др d2F d2F п ,0.ч
*еіГл?+йУ = 0' (24)
OF AfdzF dzF. п .„,
*+4<« + w)ea (25)
Искомое решение нелинейного уравнения и выражается явно через ядро К по правилу:
и(х, у, t) = -2—К(ху х, у, t). (26)
Если в схеме метода одевания, изложенного выше, заменить пару Лакса (18)-(19) сопряженной парой Лакса (20)-(21), то система линейных уравнений (24)-(25) заменится следующей системой:
OF д2Р д2Р п
-"7*" ft? + ft? = ' ^
дР .дъР дъР. п
^ + 4(ft?+3?^0' (28)
а ядро К оператора преобразования, переводящего затравочную собственную функцию фо в собственную функцию ф нового ассоциированного уравнения:
ф(х, у, t) = фо(х, у, t) + Г К{х, z\ у, t)4>Q{zf, у, t)dz! (29)
J—oo
будет удовлетворять аналогичному уравнению Гельфанда-Левитана-Марченко:
K{x,z,y,t) + P(x,z,y,t)+
+ Ґ К(х, z\ у, t)P(z', z, у, t)dz' = 0. (30)
J—oo
Теорема 3.2. Пусть ядра F(x,z,y,t) и F(x,z,y,t) уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко (23) и, соответственно, (30), построенные по Лаксовым парам (18), (19) и (20), (21), определяют одно и то же решение и = u(x,y,t) уравнения КП; и пусть затравочное решение ио удовлетворяет краевому условию {их + скш)|у=о = 0 (или краевому условию «j|y=o ~ ^). Пусть, кроме того, ядра связаны условием инволюции:
BF дР
—{x1z,0,t) = ~-^(x,z,0,t) (31)
(или условием инволюции: F(x, z, О, t) = F(x, z, 0, і)). Тогда решение и = и(я,у, ) также удовлетворяет краевому условию (ux+aw)\y=o = 0 (соответственно, краевому условию w\u=q ~ 0). Выбрав функцию F в виде:
F(x,z,y,t) = Y, Cr1exp((^-pJ)y-4(^ + ^)i + gnz + pna;),
получаем явные частные решения краевой задачи.
Рассмотрены также краевые задачи в полосе 0 < у < 1 с интегрируемыми краевыми условиями вдоль прямых у = 0 и у = 1. В работе И.Т.Хабибуллина [130] было отмечено, что при рассмотрении краевой задачи для интегрируемого нелинейного уравнения следует ставить также ассоциированную краевую задачу для пары Лакса. При формулировке ассоциированной краевой задачи важную роль играют сопрягающие операторы М, Например, краевая задача для уравнения КП
Щ + иххх - 6иих = -Sa2wy, а2 = ±1, (32)
Wx = иу,
Ну=о = 0» Ну=і = 0 (33)
допускает следующую матричную пару Лакса (именно как краевая задача, а не просто уравнение). Решение первого уравнения пары Лакса
*ск х:ьс) «
удовлетворяет краевыми условиями
(ф-ф)\у=о = 0, {Ф~Ф)\у=х = Ъ (35)
вдоль тех же прямых у = 0 и у = 1. Здесь сопрягающие операторы оба равны единице. Краевые условия согласованы с эволюцией
по времени, которая очевидно задается в виде (второе уравнение пары):
.!---(th'-OHi
Ч: Х)-
Отметим, что хотя пара Лакса для уравнения КП является скалярной, но для краевой задачи пара уже матричная. Аналогично, краевая задача
Щ + иххх — 6иих = -Зск2Шу, а2 — ±1, (37)
wx = иу,
(vx + aw) \y=o = 0, (vx + aw) \y=1 = 0 (38)
допускает пару Лакса, состоящую из уравнения
о-с >юч:) «-»
с краевыми условиями
-^)1,,=0 = 0, (ф-фх)\у=1 = 0 (40)
вдоль тех же прямых у = 0 и у = 1. Здесь сопрягающий оператор имеет вид М = Dx. Второй оператор пары задается в виде:
.:- -ч:нч:к::
4::)0-
В работе показано, что краевые задачи (32), (33) и (37), (38) в полосе 0 < у < 1 имеют бесчисленное множество явных частных решений. Эти решения могут быть получены в рамках метода одевания по Захарову-Шабату.
Как построить пару Лакса для цепочки с краевым условием?
Дифференциальные связи вида (53) или равносильное условие (52) позволяют построить пару Лакса для оборванной цепочки. Проиллюстрируем как ищется пара Лакса для оборванной цепочки на примере цепочки Тоды, оборванной при помощи краевого условия, найденного в предыдущем разделе в Теореме 1.3.
Исключим из соотношения (0) Мгу(0), где оператор М% определен формулой (69), все производные Формула Dxe uy(0) = —е иу(—ї) помогает сократить вычисления. В результате всех преобразований получим следующую простую формулу: ф(0) = -у(-З) + (1 (-2) + ия(-1))у(-2) + ю(-1). (90) Дифференцируя полученное уравнение по t и снова заменяя производные через сдвиги, найдем: -Ц-1Ж-1) = (-ш(-З) + uxt(-2) + ия((-1)М-2) + + {М-2) + «я(-1))ш(-2) + /х М-1) + /ш(-1)у(0). Коэффициент перед у(—1) упрощается в силу краевого условия (67), а коэффициент перед у{—2) - в силу самой цепочки Тоды. В результате преобразований последняя формула приводится к виду: ф(-1) = у(-2)-м(0). (91) Рассмотрим теперь систему, состоящую из бесконечного набора уравнений: фх(п) = ф(п + 1) — их(п)ф{п) при п 0, (92) фі{п) = — w(n — l) (n — 1) при п 1, (93) ух(п) = -у(п - 1) + их{п)у{п) при п -1, (94) yt(n) = w(n)y(n + 1) при п — 2 (95) и еще двух дополнительных уравнений (они найдены в силу условий (90) и (91)): &(0) = -Ш(-1)Ї,(-2) + W(-1)W(0), (96) !fe(-2) - 0(0) - ия(-1М-2) - (-1). (97) Нетрудно убедиться, вычислив перекрестные производные, что системы уравнений (92)-(95), (96по х, выразив их через сдвиги в силу уравнений Лакса (44)-(45) и (47)-(48).)-(97) определяют пару Лакса для полубесконечной цепочки Тоды (42), (67).
Как уже было упомянуто выше, дифференциальные связи типа (43), (53) между решениями гиперболического уравнения и его сопряжением порождают краевые условия для цепочки Тоды. Отметим, что все примеры выше касались дифференциальных свя зей специального вида ф — Мф, т.е. функция ф всегда выражалась через ф и ее производные. Ниже мы рассмотрим более симметричный случай. (Отметим, что иногда удобнее пользоваться уравнением (54) в переменных ф нежели уравнением (49) в переменных у, т.к. некоторые формулы принимают более симметричный вид.) Ниже мы исследуем условие связи вида: фх = аф + Ьф + сфх, (98) где неизвестные функции а, Ь, с зависят от х, t. Возьмем от обеих сторон равенства (98) производную по і и заменим все смешанные производные в силу уравнений (46), (54): щф Л- афь + Ьіф + Ьфг + нфх + с(—щфх — ь)(—ї)ф) = =-ихфі --ш{-1)ф. (99) Потребуєм, чтобы уравнение (99) также имело форму (98): фь = Аф + Вф + Сфі (100) так, что коэффициент перед фх в (99) равнялся нулю, т.е. ct — ще = 0. Решая это уравнение, находим: с = са(х)еи. Не теряя общности можно взять со = 1, так как зависимость этого коэффициента от х можно убрать при помощи преобразования сдвига и — « + /( ) + «7(ж), которое не меняет цепочку Тоды. Стоит отметить, что пара уравнений (98), (100) определяет хорошо известное преобразование Мутара (см. [15]).
Возьмем производные от (100) по переменной х и заменим все смешанные производные в силу уравнений (46), (54): Ахф + Афх + Вхф + Вфх + Схфг + (104) +С( ихфі - ги(-1)ф) -щфх - ы(—1)ф. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (98), немедленно находим: С Co(t)eu (положим Co(t) 1). Дальнейшее сравнение позволяет выписать систему уравнений: аА + Лх - Cw(n - 1) = 0, (105) ЪА + Вх + w{n - 1) = 0, (106) сА + В + щ = 0. (107) Выразим переменные В и а из уравнений (ЮЗ) и (107). Найденные ответы: В = — щ — сА , а = —их — СЬ подставим в другие уравнения систем (101)-(103) и (105)-(107), В результате выведем обыкновенное дифференциальное уравнение на неизвестную А: Ах(1 - сС) + Аих(-1 - сС) = Сихи (108) которое легко может быть проинтегрировано, поскольку с = С = где к{Ь) - неизвестная функция одной переменной. Затем находим в=ц е;+:(і)е". (по) Аналогичным образом можно найти: ь = _и1 + тМ и а = ихе- + г(Д)е 2 sinh и 2 sinh и с неизвестной функцией одной переменной т(х).
Итак, мы нашли все искомые коэффициенты, использовав часть уравнений системы уравнений (101)-(103), (105)-(107). Но эта система переопределена, поэтому необходимо проверить, все ли уравнения удовлетворяются. В действительности, найденные коэффициенты удовлетворяют всем требуемым уравнениям, за исключением, быть может двух (101) и (106). Вычтем одно из этих уравнений из другого, чтобы получить: щ-Вх = 0. Перепишем его в развернутом виде: к{і)щеи cosh ик(і)щеи 2sinhu 2sinh и т(х)ихеи cosh ит(х)ихеп (112) 2sinhu 2sinh2u
Полученное уравнение показывает, что если не выполняется условие к(і) = т(х) = 0, то уравнения (101) и (106) порождают еще одну (дополнительную) дифференциальную связь. Но согласно определению интегрируемого краевого условия должна иметь место лишь одна связь.
Преобразование Мутара и краевые условия
Еще в конце 80-ых было обнаружено (см. [54], [55]), что преобразование Беклунда нелинейного уравнения тесно связано с интегрируемыми краевыми условиями для этого уравнения. А именно, при сопряжении преобразования Беклунда инволюциями типа отражения получается некоторое сквозное отображение, неподвижные точки которого удовлетворяют некоторому краевому условию. Фактически, это обобщение того тривиального факта, что уравнение, инвариантное относительно замены х — —ж, допускает решения, четные по х, т.е. удовлетворяющие простому краевому условию: 1=0 = 0.
Уравнение КП является интегрируемым уравнением, оно представимо в виде условия совместности двух линейных уравнений, допускает симметрии сколь угодно высокого порядка, а также допускает преобразование Беклунда. Для интегрируемых уравнений удобнее всего искать преобразование Беклунда в виде одевающего (по Захарову-Шабату) преобразования, определяемого как линейное преобразование, действующее в классе решений уравнения (118) по правилу: ф1 = (Dx + р) ф, (138) где P = \D-l{vi-v), и ф\хх -гфху + Ухфъ (139)
При этом дифференциальная связь (138) имеет место только в том случае, когда решения v и v\ уравнения КП связаны преобразованием Беклунда, имеющим вид нелокального уравнения в частных производных: vx + vlx = (v - vi) D l (v - vi) + i9D l (vy - vly). (140)
Напомним, что здесь v = v{x,y,r) и v\ = vi(x,y,r) - решения уравнения КП, 0 = 1. Преобразование Беклунда вида (140) с 9 = — 1 определяется уравнением вида (138), в котором вместо ф\ и ф следует взять решения ф\ и ф сопряженных уравнений: Фгхх = -іф\у + vi i, фхх = -гфу + уф.
Одевающее преобразование позволяет по известному решению v уравнения КП строить его новое решение. Действительно, пусть ф - некоторое решение уравнения (118). Выберем /3 = —Ох\пф и далее воспользуемся формулой: vi = v + 2Dx/3 = v- 2В1Ыф.
Интересно подчеркнуть, что здесь мы снова имеем дело с парами дифференциальных связей, наложенных на полевые переменные и на собственные функции ассоциированного оператора, как и в случае краевых условий. Но отличие в том, что здесь связь должна выполняться при всех значениях независимых переменных х, у, , а не только на выделенной границе области изменения этих переменных.
Предположим теперь, что решения v и vi уравнения КП, связанные преобразованием Беклунда (140), удовлетворяют следующему дополнительному условию инволюции: vі (х, у, т) = v (х, —у, т). Существование таких решений можно доказать пользуясь тем, что как само уравнение КП, так и его преобразование Беклунда не меняются при замене знака у. Дифференцируя условие инволюции данное выше, приходим к равенствам: v\x{x,y,r) = vx(x, y,r), fly (ж У,т) = - (я, -У» г). В силу найденных соотношений из формулы 140) при у=0 вытекает равенство: vx (х, 0, г) = —івВ гуу (ж, 0, г), совпадающее с краевыми условиями (122.2), (129.4), так как в = ±1.
Найдем краевые условия для модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (мКП), впервые появившегося в работах [118], [119]: vT + vxxx - -A3 + 3a2wy - 3avxw 0, (141) wx = vy, где о2 = ±1. Уравнение (141) является условием существования совместного решения следующей пары линейных уравнений: о-фу + фхх + УФХ = 0, (142) 3 Фт + Ьфххх + ъфхх + (Zvx - Зсгги + -У2)фх + 5ф = 0, (143) где 6 - произвольная постоянная.
Согласно тесту, предложенному выше в первом разделе для отыскания краевого условия, совместного с интегрируемостью, сначала требуется найти точечные дискретные симметрии уравнения (141). Легко видеть, что уравнение (141) не изменяется при замене у —У —у, v —у —v. При этой замене пара Лакса (142), (143) приводится к виду: сгфу — Фхх + Уфх = 0, (144) 3 Фт + 4фххх - 6уфхх - {3vx + Зстш - -у2)фх + 5ф = 0.(145)
Имея две неэквивалентные пары Лакса мы можем воспользоваться алгоритмом поиска краевого условия.
Предложение 2.3. Пусть существует линейный дифференциальный оператор первого порядка вида М = aDx+p такой, что при у = 0 для любого решения ф уравнения (145) функция ф = Мф является решением уравнения (143).
Обрывы цепочки Тоды и уравнение КП
Рассмотрим более подробно уравнение КП2, полагая во всех формулах а = 1. Пусть уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко имеет вырожденное ядро вида: N F(x,z,y,t) = СпЄф((&-1%)у- (%+РІ)і + Ьіг+Рпх)- (183)
В качестве затравочного решения возьмем нулевое решение. Пусть и(х, у, t) обозначает новое решение уравнения КП2. Найдем ядро F уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко, соответствующего сопряженной паре Лакса с тем же потенциалом и(х,у,і). Для отыскания F(x, zy г/, t) при известной F(x, z, у, і) достаточно в выражении для F поменять местами переменные xuz. Действительно, сравнение уравнений (170), (171) с уравнениями (173), (174) убеждает, что F(x, z, у, t) = F(z, x, у, t). Поэтому имеем: N F(x,z,y,t)= cnexp{(&-j)y-4{&+&)t + qnx+pnz). (184) n=l Допустим далее, что ядра F и F связаны дополнительным условием инволюции (177), которое может быть представлено в виде: N Y, СпРп exp{gn2 + рпх - 4( -I- p3n)t} = n=l N = - СпРп exp{g„a: + pnz - 4( + pl)t}. Отсюда немедленно следует, что Рп = &\Г-п+1» CnPn = -CN-n+iQn- (185) Таким образом, верно следующее утверждение. Предложение 3.3. При выполнении условий инволюции (185) решение уравнения КП, даваемое формулой: д2 u(xt у, г) = 2—2 ln det A (186) где А - матрица с элементами вида: Лпт = 5пт+ " exp({ql-p2n)y-4{ql+pl)t+{pn+qm)x), (187) Рп "Г Чт удовлетворяет краевому условию (161), которое в случае КП2 имеет вид: (их + w)y=o = 0. Краевое условие станет более наглядным, если его продифференцировать по х: (ихх + иу)\у=о — 0.
Ниже мы приводим три примера частных решений, иллюстрируя их рисунками. На рисунках по вертикальной оси откладывается переменная и (кроме Рис. 3), а оси х и у направлены, соответственно, слева направо и от читателя к плоскости чертежа. Пример 1. Рассмотрим более подробно решение (186) для N = 2. В этом случае определитель легко может быть переписан в виде: detA = 1 + 2esinh2(ту - lne)X + 62sinh2(lne)X2, (188) где (И п ч\ б = \ Р х _ С „-4(р3+93) +(р+9)э; " — Ч Pi Я P + 9 Р = Pi = 2, я = PP2 = ЧЪ cl = C c2 = -C-.9 Решение u, задаваемое формулой (186), содержит три произвольных вещественных положительных параметра с, р, д. Однако при таком выборе параметров нарушается условие регулярности (см. [125], стр. 295), так как константа oi принимает отрицательное значение, и поэтому решение и имеет полюсы, которые располагаются в нулях определителя матрицы А. Для описания линии сингулярностей найдем условия существования положительного решения X следующего квадратного уравнения: є2 sinh2(lne)X2 + 26sinh(ry - 1пє)Х + 1 = 0. (189) Очевидно, что положительное решение будет существовать лишь в том случае, когда дискриминант неотрицателен, а второй коэффициент отрицателен: 1) sinh2(ry - In б) - sinh2(ln6) 0; 2) sinh(ry-lne) 0.
Для фиксированного значения времени t уравнение (189) определяет кривую на плоскости (ж,у), состоящую из сингулярных точек решения и. Рассмотрим отдельно случаи г 0 и г 0. а) Пусть г = q2 — р2 0, тогда є 1, In б = 5 0, и ИЗ Неравенств ВЫШе Следует, ЧТО у 1/0) гДе Ув = гЕ Это означает, что кривая расположена правее линии у = у0 0. Кривая напоминает параболу с ветвями, расположенными вдоль положительного направления оси х, с вершиной в точке (хо,уо), где 4(р3 + q3)t + ln(p + q) - ln(ce sinh ]5) X(j — P+Q Отметим, что в точке (хо, Уо) меняется характер сингулярности, так как в этой точке определитель матрицы А имеет двухкратный нуль, в то время как в остальных точках кривой определитель имеет простые нули. Фактически, решение и определено на всей плоскости (я,у), причем очевидно оно регулярно при у уо б) Если г 0, то є 1, In є = 5 0. Из этих нера венств следует, что у 0. Так что в этом случае все сингулярные точки расположены в левой полуплоскости у 0, ветви "парабо лы" направлены в отрицательную сторону. Вершина имеет коор динаты (х0,0) и поэтому она лежит на прямой у = 0, где заданы краевые условия (161). Ось "параболы"совпадает с прямой х = XQ (см. Рисунок 1).
Краткое изложение метода одевания для уравнения КП
Решение u, задаваемое формулой (186), содержит три произвольных вещественных положительных параметра с, р, д. Однако при таком выборе параметров нарушается условие регулярности (см. [125], стр. 295), так как константа oi принимает отрицательное значение, и поэтому решение и имеет полюсы, которые располагаются в нулях определителя матрицы А.
Для описания линии сингулярностей найдем условия существования положительного решения X следующего квадратного уравнения: є2 sinh2(lne)X2 + 26sinh(ry - 1пє)Х + 1 = 0. (189)
Очевидно, что положительное решение будет существовать лишь в том случае, когда дискриминант неотрицателен, а второй коэффициент отрицателен: 1) sinh2(ry - In б) - sinh2(ln6) 0; 2) sinh(ry-lne) 0.
Для фиксированного значения времени t уравнение (189) определяет кривую на плоскости (ж,у), состоящую из сингулярных точек решения и. Рассмотрим отдельно случаи г 0 и г 0. а) Пусть г = q2 — р2 0, тогда є 1, In б = 5 0, и
ИЗ Неравенств ВЫШе Следует, ЧТО у 1/0) гДе Ув = гЕ Это означает, что кривая расположена правее линии у = у0 0. Кривая напоминает параболу с ветвями, расположенными вдоль положительного направления оси х, с вершиной в точке (хо,уо), где 4(р3 + q3)t + ln(p + q) - ln(ce sinh ]5) X(j — P+Q Отметим, что в точке (хо, Уо) меняется характер сингулярности, так как в этой точке определитель матрицы А имеет двухкратный нуль, в то время как в остальных точках кривой определитель имеет простые нули. Фактически, решение и определено на всей плоскости (я,у), причем очевидно оно регулярно при у уо б) Если г 0, то є 1, In є = 5 0. Из этих нера венств следует, что у 0. Так что в этом случае все сингулярные точки расположены в левой полуплоскости у 0, ветви "парабо лы" направлены в отрицательную сторону. Вершина имеет коор динаты (х0,0) и поэтому она лежит на прямой у = 0, где заданы краевые условия (161). Ось "параболы"совпадает с прямой х = XQ (см. Рисунок 1). На Рисунке 1 показан график решения, соответ ствующего следующему выбору параметров: с2 = 1, Ci = -czqi/pu pi = q2t qi = 0.1, p2 = Чъ 42 = 0.6, t 4.
Отметим, что в обоих случаях, рассмотренных в Примере 1 выше, расстояние между линией сингуляркостей и границей у = 0 не изменяется со временем. Таким образом, краевое условие (161) можно интерпретировать как запирающее условие, не пропускающее локализованное решение через границу у = 0. Пример 2. Полагая N = 4 в формуле (183) и выбирая параметры так, чтобы выполнялись условия инволюции (185), находим, пользуясь (186), более сложное решение граничной задачи. Рисунок 2 соответствует такому решению при следующем выборе параметров: Pi = Я4у Р2 = 3i РЗ = 22, PA = 4U с\ = -ад/рц с2 = -с3д2/р2, с4 = 1, с3 = 1.1, gi = 0.1, 2 = 0,2, g3 = 0.6, q4 - 0.8, і = 0.4. На третьем рисунке представлен график функции иу + ихх (см. Рисунок 3). Он наглядно подтверждает, что краевое условие соблюдается. Пример 3. На последнем рисунке (см. Рисунок 4) изображено решение уравнения КП2 на полуплоскости у 0 с краевым условием (161), полученное из той же формулы (186), где N = 6. Здесь Pl—Qb, Р2 25, P3 — Q4, Pi = Q3, Р5 = Я2, Рб = Яи Cl = CGqi/ph С2 = -С5?2/Р2, С3 = -С4«а/Рз, С4 = 1.2, ев = 1.1, се = 1, gi = 0.1, 2 = 0.2, дз = 0.3, g4 = 0.4, q5 = 0.5, gG = 0.6, і = 0.01.
Из рисунка видно, что локализованное решение располагается в полуплоскости у 0. Можно показать, что при изменении времени і на всем интервале (—со, +оо) оно перемещается по полуплоскости у 0, не пересекая ее границу. Воспользуемся второй частью Теоремы 3.2. Пусть функции F и F удовлетворяют условию: F(x7 z, О, t) = F(x, z, 0, t). Тогда для случая вырожденных ядер имеем:
В предыдущем разделе была рассмотрена краевая задача для уравнения КП в полуплоскости с интегрируемым краевым условием вдоль границы. Заметим, что совместимость краевого условия со свойством интегрируемости факт сугубо локальный. Поэтому краевая задача в полосе 0 у 1 с интегрируемыми краевыми условиями вдоль обеих границ должна оставаться интегрируемой. Действительно, как будет показано ниже, краевая задача в полосе допускает бесконечное множество явных частных решений. Рассмотрим следующую задачу:
