Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Литературный обзор 8
1.1. Пространственно-временная динамика популяций на примере модели сообщества хищник-жертва и модели стаеобразования 8
1.2. Кросс-диффузия в популяционной системе "хищник-жертва" 12
1.3. Популяция бактерий как многоуровневая структурированная система 20
1.4. Закономерности движения одиночной бактерию , 23
1.5. Структурообразование в бактериальных популяциях 29
1.6. Хемотаксисная агрегация кластеров в бактериальных колониях 33
1.7. Ветвящиеся (фракталоподобные) бактериальные структуры 37
1.8. Роение и спиральные структуры в популяции бактерий Proteus mirabilis 42
1.9. Процессы самоорганизации в популяциях миксобактерий 47
1.10. Различные системы с кросс-диффузией 50
1.11.Автоволны. Солитоны. Солитоноподобный режим взаимодействия автоволн 58
Глава II. Свойства бактериальных популяционных волн при устойчивом распространении 64
2.1. Математическая модель формирования и распространения бактериальных волн на многокомпонентной питательной среде 64
2.2. Механизм взаимодействия бактериальных популяционных волн 67
2.3. Формирование вторых бактериальных популяционных волн при изоляции центра инокуляции 69
2.4. Управление пространственными структурами бактериальных колоний 73
2.5. Солитоноподобный режим взаимодействия бактериальных волн 79
Глава III. Неустойчивые режимы развития в популяционных системах 82
3.1. Нестационарная динамика бактериальных популяционных волн 82
3.2. Динамика популяций в распределенных математических моделях с учетом возраста особей 90
3.3. Нарушение симметрии волновых картин, формируемых бактериями 96
Глава IV. Ветвящиеся (фракталоподобные) структуры в бактериальных популяциях
4.1. Ветвящаяся самоорганизация в популяциях бактерий E.coli. 101
4.2. Механизм формирования ветвящихся структур 104
4.3. Математическое моделирование формирования ветвящихся структур 108
4.4. Условия возникновения ветвящихся структур 111
4.5. Кросс-диффузионная система "фаг-бактерия" 116
Глава V. Основные свойства популяционных таксисных волн.
5.1. Математическая модель 120
5.2. Волны в системе "реакция-диффузия-таксис" (^=0.01) 121
5.3. Волны в системе "реакция-диффузия-таксис" (^0.016) 130
5.4. Механизм квазисолитонного взаимодействия таксисных волн. „ 134
Глава VI. Таксисные волны в двумерных средах.
6.1. Математическая модель 137
6.2. Спиральные волны . ...138
6.3. Альтернативное поведение волновых разрывов 141
6.4. Частичное отражение и самоподдерживающаяся активность 143
6.5. Необычные волновые явления: "бегущий хвост" и "бегущий разрыв" 149
Глава VII. Полусолитонное взаимодействие популяционных таксисных волн .
7.1. Одномерный случай 157
7.2. Двумерная среда 164
7.3. Такситоны. Зависимость режима отражения от угла взаимодействия таксисных волн 167
7.4. Полусолитонное взаимодействие "бегущих хвостов" 170
Глава VIII. Волны в возбудимых средах с линейной кросс-диффузией .
8.1. Математическая модель и детали численного моделирования 171
8.2. Эволюция формы волны 172
8.3. Отражение волн при взаимодействии 175
Приложение. Численные схемы аппроксимации таксисных членов 178
Заключение
- Кросс-диффузия в популяционной системе "хищник-жертва"
- Механизм взаимодействия бактериальных популяционных волн
- Динамика популяций в распределенных математических моделях с учетом возраста особей
- Механизм формирования ветвящихся структур
Введение к работе
Актуальность темы. Особенностью, присущей исключительно нелинейным системам, является возможность реализации в них множества различных режимов функционирования, которые зависят от начального состояния, параметров системы и внешних воздействий. Процессы самоорганизации, проявляющиеся в образовании, эволюции и распаде сложных пространственно-временных структур, относятся к числу специфических нелинейных эффектов. Поиск универсальных закономерностей самоорганизации, изучение структур и свойств эволюционных процессов в нелинейных динамических системах сформировали ядро активно развивающейся междисциплинарной науки синергетики. Эти закономерности находят свое отражение в общности математических моделей и описываемых ими процессов.
Способность к спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных динамичных и статичных структур является одной из особенностей биологических систем. В результате самоорганизации у системы могут появиться свойства, которыми не обладала ни одна из ее составляющих. Формирование упорядоченных в пространстве и времени структур является ключевым для понимания развития отдельных стадий морфогенеза, динамики популяций и экосистем, возбудимых тканей и нейронных сетей и т.п. Простейшие примеры морфогенеза связаны с образованием многоклеточного "организма" популяциями одноклеточных организмов, которое чаще всего происходит в экстремальных для популяции условиях. Создание эффективных моделей биологических явлений, как на уровне тест-систем в экспериментах in vitro, так и математического моделирования, является одним из базовых подходов в биологии и медицине.
Математические модели, описывающие формирование и распространение нелинейных волн, и процессы структурной самоорганизации в физических, химических, биологических и социальных системах, в значительной степени основаны на системах типа "реакция-диффузия", где нелинейные члены описывают кинетику, а процессы переноса представлены изотропной диффузией. Оказывается, что в не меньшей степени важны более сложные механизмы диффузионного типа - нелинейная, анизотропная и перекрестная диффузия (кросс-диффузия). Во множестве случаев при моделировании распределенных популяционных систем типа "хищник-жертва", "паразит-хозяин", а также бактериальных популяционных волн необходимо учитывать кросс-диффузию [Mimura, 1980; Lauffenburger, 1984; Murray, 1993; Pettet, 2000;]. Кросс-диффузионные системы играют основную роль при математическом моделировании пигментации животных [Murray, 1993,1994; Maini 1991; Myerscough 1998]. В последние десять лет при исследовании роста и развития опухолей активно применяются математические модели с кросс-диффузией [Chaplain, 1993; Perumpanani 1996,1999; Owen 1997; Webb 1999; Sherratt
1999; Jackson 2002; Byrne 2004], а также системы типа "реакция-диффузия-адвекция" [Kolobov, Polezhaev, 2001].
Исследованию кросс-диффузионных систем посвящена диссертационная работа.
Рассмотрим следующую систему двух уравнений в частных производных для одномерного случая:
ди ,, ч п д2и , з(_, .аЛ
ot дх ax у ox J
dv . , n 82v , д (n ґ ЗиЛ
При h] =tt2 = 0 математическая модель (1) представляет собой систему типа "реакция-диффузия" с коэффициентами диффузии D\ >0, D2 >0 (по крайней мере, один D, ф 0). В случае, когда хотя бы один из коэффициентов ht * 0 (знак может быть любым), то система (1) является кросс-диффузионной. Линейной кросс-диффузии соответствует Q,(u,v) = const, для i=l, 2; нелинейной кросс-диффузии - Qi(u,v) ? const, хотя бы для одного і. Кросс-диффузия выражает перемещение/поток одного вида особей/веществ за счет наличия других.
Основным примером нелинейных кросс-диффузионных систем являются таксисные волны. В диссертации представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов распространения и взаимодействия таксисных волн на примере бактериальных популядионных волн, а также возникающих при этом пространственно-упорядоченных структур. На математических моделях исследованы свойства волн в системах, как с нелинейной, так и с линейной кросс-диффузией.
Пространственно-временные популяционные структуры, возникающие в процессе деления микроорганизмов и их взаимодействия между собой, с окружающей средой и с вирусами, зависят от состояния клеток (возраста, подвижности, реакции на субстрат и т.п.). Экспериментальные исследования на популяционном уровне позволяют не только описать поведение клеточных ансамблей, их реакцию на инфицирование вирусами, на действие антибиотиков или на изменение условий окружающей среды, но и получить труднодоступную информацию о функциональном состоянии самих клеток. Использование математических моделей для описания динамики образующихся надклеточных структур позволяет выявить основные параметры, управляющие, как состоянием отдельных клеток, так и клеточных ансамблей в целом. Бактериальные популяции очень удобны при модельном подходе к анализу одной из основных задач математической биофизики экологических сообществ - исследованию устойчивости того или иного режима функционирования экосистем. Характерные для микробных популяций особенности - такие, как многочисленность, быстрая смена поколений,
возможность управления условиями роста, богатство разнообразных форм структурной самоорганизации - делают их объектом для экспериментальных и теоретических исследований в совершенно неожиданных областях. Так, например, в работе Рона с соавторами [I. Ron et at, Physica A, 2003] некоторые из структурных форм развития бактериальной колонии рассмотрены как возможные модели роста опухоли.
В большинстве случаев возникновение, как стационарных, так и нестационарных структур в бактериальных популяциях непосредственно связано с подвижностью бактерий и их способностью скапливаться в местах наиболее благоприятных для существования, т.е. с таксисом. Систематическое изучение подвижности и хемотаксиса бактерий началось с работ Адлера [Adler, 1966, 1969]. В этих работах было показано, что хемотаксис может приводить к формированию бактериальных популяционных волн. В природе бактериальные колонии должны часто справляться с неблагоприятными условиями. Чтобы это делать, бактерии развили способность к кооперативному поведению и средства общения [Shapiro, 1988, 1998; Buderene, 1991, 1995; Ben-Jacob, 1998, 2000, 2002-2004]. Такие способности включают в себя прямое (cell-cell) межклеточное физическое взаимодействие через особые мембранные (extra-membrane) полимеры [Kaiser, 1989], коллективное производство внеклеточной "смачивающей" жидкости для движения на жестких поверхностях [Harshey, 1994], дальнодействующий химический сигнал [Budrene, 1995], коллективную активацию и деактивацию генов [Shapiro, 1991] и даже изменение генетического материала [Miller, 1998]. Используя эти возможности, бактериальная колония развивает сложные пространственно-временные структуры в ответ на изменяющиеся условия роста.
Разнообразие различных форм самоорганизации в бактериальных популяциях, полученных в экспериментах, ставит перед исследователями естественный вопрос -является ли такое многообразие форм результатом различных эффектов или управляется некоторыми общими, лежащими в их основе, принципами? Чтобы ответить на этот вопрос с теоретической точки зрения были предложены различные типы непрерывных и дискретных математических моделей [Keller & Seggel, 1971; Wakita, 1994; Golding, 1998; Ben-Jacob, 1994; Kawasaki, 1997; Kozlovsky, 1997; Lacasta, 1999; Mimura, 2000; Czirok, 2001; Igoshin & Oster, 2004], ряд математических моделей предложен в наших работах.
Достаточно широкий круг процессов описывается математическими моделями с линейной кросс-диффузией: динамика популяционных систем [Jorne, 1977; Shigesada, 1979; Okubo, 1980; Murray, 1993; Dubey, 2001; del Castillo Negreto, 2002, Wu, 2005]; в физических (физика плазмы) [del Castillo Negreto, 2002], в химических (динамика электролитических растворов) [Jorne, 1975] и в биологических (кросс-диффузионный транспорт) [Almirantis & Papageorgion, 1991] системах; в экологии (динамика возрастной
структуры леса.) [Kuznetsov, 1994]; в сейсмологии - модель Бурридж-Кнопоффа, описывающая взаимодействие тектонических плит [Burridge & Knopoff, 1967; Cartwright, 1997]. В то же время, в отличие от систем с нелинейной кросс-диффузией, число публикаций по исследованию систем с линейной кросс-диффузией сравнительно небольшое, т.е. это направление пока не получило должного внимания. Возможно, что результаты наших исследований свойств волн в кросс-диффузионных системах, опубликованные в последние несколько лет, привлекут внимание исследователей к ним как к особому классу нелинейных волн.
Цель и задачи исследования.
Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в процессах самоорганизации в кросс-диффузионных системах. Задачи исследования:
исследовать распространение и взаимодействие хемотаксисных бактериальных волн;
исследовать процессы формирования стационарных популяционных структур;
на основе экспериментальных результатов разработать математические модели процессов самоорганизации в популяционных системах;
исследовать свойства таксисных волн, описываемых нелинейной кросс-диффузией;
исследовать свойства волн в возбудимых системах с линейной кросс-диффузией;
6) на основе полученных результатов выделить общие свойства волн в таких системах.
Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты:
теоретически предсказан, экспериментально обнаружен и исследован новый тип взаимодействия бактериальных популяционных волн - солитоноподобный: при столкновении волны отражаются/проходят друг сквозь друга без существенных задержек;
в экспериментах выявлены условия различных режимов взаимодействия бактериальных популяционных волн при устойчивом распространении; а также исследованы процессы структурообразования в бактериальных популяциях -стационарные кольцевые структуры - при неустойчивом распространении волн;
получены ветвящиеся (фракталоподобные) структуры в популяциях бактерий Е сой, предложен механизм формирования таких структур;
разработаны математические модели формирования хемотаксисных волн и пространственно-упорядоченных структур в популяционных системах;
разработана новая численная схема ("up wind "-схема) аппроксимации нелинейных кросс-диффузионных членов;
в численных экспериментах в одномерных и двумерных средах на математической модели типа "хищник-жертва" с таксисом обнаружены неизвестные ранее волновые явления: полусолитонное взаимодействие, "бегущий хвост", "бегущий разрыв" и др.;
исследованы свойства нелинейных волн в математических моделях с линейной и нелинейной кросс-диффузией; выявлены параметрические области квазисолитонного и несолитонного взаимодействия таксисных волн, а также область распространения таксисных волн с расщеплением;
предложены механизмы квазисолитонных режимов взаимодействия, как для бактериальных волн, так и волн в математической модели типа "хищник-жертва" с таксисными членами;
на основании полученных экспериментальных данных и результатов численного моделирования волны в системах с кросс-диффузией выделены в особый класс нелинейных волн.
Научно-практическое значение. Результаты, представленные в диссертационной работе, можно рассматривать как вклад в теорию нелинейных волн, синергетику, популяционную микробиологию, а также в математическую биофизику взаимодействующих популяций. Полученные данные и развиваемые методы могут быть использованы:
в исследованиях биофизических механизмов морфогенеза;
в исследованиях поведения популяционных систем;
в экологии - исследование поведения гетерогенных сообществ микроорганизмов при действии неблагоприятных факторов окружающей среды.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах и научных конференциях Института биологической физики АН СССР, Liverpool University (UK), Leeds University (UK); на I, II и III Биофизических съездах СССР и России (Москва, 1982, 1999; Воронеж, 2004), на международных симпозиумах по Синергетики (Пушино, 1983,1990), 10-th International Biophysics Congress (Vancouver, Canada, 1990), International Conferense "Spatio-Temporal Organization in Nonequilibrium Systems" (Dortmund, Германия, 1992), EUROMECH Colloquium (Leeds, UK, 2001), Internationa] Conference on Mathematical Biology (SMB-03 Dundee, UK, 2003), International Symposium "Biological motility" (Пущино, 1998,2001, 2004) и на других конференциях.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 печатных работ, из них 41 статей в российских и зарубежных журналах.
Кросс-диффузия в популяционной системе "хищник-жертва"
Реакционно-диффузионные модели активно используются в биологии, химии и физике при исследовании процессов формирования пространственно-временных структур [29; 145, 260]. А что такое кросс-диффузия (перекрестная диффузия)?
Кросс-диффузия означает, что пространственное перемещение одной из переменных происходит за счет диффузии другой переменной. На популяционном уровне простейший пример - паразит, находящийся внутри "хозяина", перемещается за счет диффузии хозяина. Термин само-диффузия (диффузия, прямая диффузия, обыкновенная диффузия) подразумевает перемещение особи за счет диффузионного потока из области высокой концентрации особей в область низкой концентрации. Кросс-диффузия выражает поток одного вида особей/вещества за счет наличия другого. Величина кросс-диффузионного коэффициента может быть положительной, отрицательно или равной нулю. Положительный коэффициент кросс-диффузии указывает, что движение особей происходит в направлении низкой концентрации других особей/веществ, а отрицательный коэффициент кросс-диффузии указывает, что движение одного вида особей происходит в направлении высокой концентрации других видов особей/веществ.
Исследование динамики взаимодействующих популяций с само- и кросс-диффузией начались относительно недавно, а исследованию в этом направлении посвящено еще достаточно небольшое количество работ. Сегел и Джаксон [299] были пионерами в исследовании таких систем. В этой и последующих работах других авторов, например, [139, 167, 175, 191, 192, 251, 266, 280] исследовались условия неустойчивости и глобальной устойчивости на математической модели типа Лотки-Волтерра. В большинстве экстенсивно исследуемых случаев рассматривается "прямая" диффузия N компонентов щ, k=l,...,N, описываемая уравнениями д1 рк +dxJk = Fk((/ j), где Jk = - Dk дьЩ , а коэффициенты диффузии / - константы. В этом классе систем процесс формирования пространственно-временных структур определяется коэффициентами диффузии Dk и специфической формой кинетической функцией реакционного процесса F& Случай, когда коэффициенты диффузии не являются константами, соответствует нелинейной диффузии. Примеры нелинейной диффузии имеют место в транспортных явлениях в пористых средах, а также в популяционных моделях, в которых "популяционный пресс" [266] приводит к зависимости коэффициентов диффузии от плотности популяции [196, 266; 252]. Естественное обобщение этих систем включает использование кросс-диффузии, для которой поток записывается, как Jk =- YJDkj( p)dj: pj. Нелинейной кросс-диффузии j соответствует диффузионная матрица, зависящая от р. Линейной кросс-диффузии соответствует диффузионная матрица с ненулевыми недиагональными членами Dig. Несмотря на то, что кросс-диффузия исследована значительно меньше, чем "прямая" диффузия, она известна во многих приложениях [36, 150,151,211,257,260,266, 312].
Рассмотрим несколько примеров математических моделей с линейной кросс-диффузией. Линейная кросс-диффузия в популяционной системе "хищник-жертва". I. Для модели типа "хищник-жертва" с само- и кросс-диффузией в работе Дабея с соавторами [153] получены критерии неустойчивости и глобальной устойчивости; исследовано влияние критической длины волны, которая может привезти кросс-диффузионную систему к неустойчивым режимам. Была рассмотрена следующая модель: (1.3) дх / ч , . г, З2 _ д2у — -xg(x)-yp(x) + Du -Y + Dn- ді ди ди = Х- ?(х) + д»(х)) + Ля +А,(0 dt ди ди с начальными условиями: х(и,0) 0, у(и,0) 0 дх , ду \ п и непроницаемыми границами: — =— оя=0 где x(u,t) и y(u,t) - популяционные плотности жертвы и хищника, соответственно.
Было показано, что в случае Di2 0, D2i(t) = D 21 =const Ф 0, т.е. если особи хищника перемещаются в направлении высокой концентрации особей жертвы, а особи жертвы движутся вдоль градиента собственной концентрации, то состояние равновесия (Е (х , у )) является локально асимптотически устойчивым. В этом случае показано, что когда критическая длина волны (критическая длина волны l=BJnn, где R - протяженность системы, а 2я/п - период) достаточно мала, то хищники движутся в направлении низкой концентрации особей жертвы, что приводит к локальной неустойчивости состояния равновесия. Для случая Dn 0, D 21 -0 (особи жертвы диффундируют по направлению к низкой концентрации особей хищника, а особи хищника диффундируют вдоль собственного градиента концентрации), то состояние равновесия Е локально асимптотически устойчиво. Это равновесие Е становится неустойчивым, если критическая длина волны очень мала. Особи жертвы диффундируют по направлению к высокой концентрации особей хищника, а особи хищника диффундируют вдоль собственного градиента концентрации. В случае Dn 0, D 21 0 состояние равновесия остается устойчивым.
Был исследован также случай, когда кросс-диффузионный коэффициент хищника зависит от времени и дана оценка влияния зависящей от времени кросс-диффузии на устойчивость системы [153]. П. В работах дел-Кастило-Негретэ и Каррерас [151] была рассмотрена следующая кросс-диффузионная система: д(а + дх Ja = -цо + аац где потоки определены как: J„ = d2 + D2?j)dxcr D2adxTj Из (1.4) и (1.5) для Di = D2 = D nd; =d2=d следует: 5,7=у - л1 - v2v+о-зяа, V+ ?; т = -// т + aaij + Ddx (rja) + ddx a dh Dk a, i - константы. Модель (1.6) имеет богатую динамику. В работе [del-Castillo-Negrete, 2002а] представлены исследования формирования стационарных слоевых структур. В работе [151] основное внимание авторов бьшо сфокусировано на исследовании бегущих волн в системе (1.6). Интерес авторов к данной системе изначально исходил из исследований транспорта в магнитно удерживаемой расплавленной плазме. Сильно упрощенная модель этого процесса включает две компоненты: турбулентные флуктуации - TJ, и сдвиг в полоидальном плазменном вращении - а. В работе [150] для описания такой упрощенной модели были использованы модели типа "хищник-жертва". Система (1.6) соответствует одной из предложенных моделей, т.е. (1.6) - это упрощенная описание взаимодействия турбулентного и устойчивого сдвиговых потоков в магнитно удерживаемой расплавленной плазме. Отметим, что в системе (1.6) присутствует член с нелинейной кросс-диффузией (Ddx (т]сг)).
Механизм взаимодействия бактериальных популяционных волн
В наших работах 80-х - 90-х годов мы показали [14Б, 16Б, 25Б, 31 Б)], что движение колец таксиса имеет много общего с распространением возбуждения в биологических системах, являясь одним из примеров автоволнового процесса [19, 29, 34, 35]. Мы отмечали, что таксисные волны представляют собой особый класс автоволн из-за присущих только им свойств, которые не наблюдались в "классических автоволнах". В то же время результаты, которые получены в последних наших работах (2003-2005 года) по исследованию свойств популяционных таксисных волн, показывают, что эти волны представляют собой особый класс нелинейных волн. Результаты этих исследований представлены в главах 5-8. В настоящей же главе диссертации, а также в главах 3 и 4 будем придерживаться автоволновой терминологии.
Рассмотрим процесс формирования, распространения и взаимодействия бактериальных волн, исходящих из двух точек инокуляции бактерий (рис.2.3). Для бактериальных волн источником энергии движения является субстрат. Через — 3-4 часа из центров инокуляции выходят первые кольца хемотаксиса (рис.2.За), основным продуктом потребления бактерий из данных колец является серии (по Адлеру [82], а также по нашим экспериментам [16Б]), входящий в состав питательной среды (Табл.2.1). При столкновении первых колец хемотаксиса (рис.2.3Ь) формируется тонкая линия столкновения (рис.2.3с). Волны останавливаются, т.к. исчезает градиент субстрата. Из центров инокуляции формируются вторые кольца хемотаксиса (рис.2.3ф, для которых основным источником питания является аспартат (Табл.2.1). Можно было бы ожидать диффузионное размывание остановившихся колец. Однако этого не происходит, бактерии снова формируют волны. Из линии столкновения первых колец хемотаксиса через некоторое время т после столкновения формируются волны 2 (рис.2.3е). В наших работах [16Б] было показано, что распространение бактериальных волн 2 и 2 происходит за счет потребления бактериями идентичных компонент субстрата. Так в экспериментах, проведенных В.Шахбазяном [16Б, 25Б] на различных питательных средах и с различными штаммами бактерий, получено, что бактерии из фронтов 1 "переключаются" после столкновения на тот же аттрактант, по градиенту которого распространяется и волна 2 (в данном случае - аспартат) (Табл.2.1). Поэтому при столкновении волн 2 и 2 происходит формирование соответствующей линии (рис.2.3і). В наших работах [16Б, 31Б] было предложено рассматривать бактериальные популяционные волны 1 и 2 (2 ) как автоволны различной "модальности", а также как "цветные автоволны". В отличие от автоволн, исследовавшихся ранее в физике, химии и биологии, бактериальные волны различных модальностей могут трансформироваться друг в друга [16Б, 31Б].
От чего зависит промежуток времени г, за который первые бактериальные волны при столкновении трансформируются в волны 2 , выходящие из линии столкновения? Оказывается, т имеет наименьшее значение при взаимодействии бактериальных волн, которые распространяются в установившемся режиме. Это видно из результатов наших экспериментов (рис.2.4), проведенных в чашке Петри большого диаметра (20см) с встроенными перегородками (рис.2.4а) [63Б]. В питательную среду инокулировались бактерии Kcoli J621 так, чтобы получить зависимость z(L) (рис.2.4в), где L - расстояние между центрами инокуляции. Известно, что в ходе распространения бактериальной волны плотность фронта увеличивается за счет деления бактерий и выходит на постоянный уровень в установившемся режиме [82, 83]. При столкновении колец хемотаксиса, исходящих из точек инокуляции, находящихся на малом расстоянии друг от друга, происходит столкновение фронтов с низкой бактериальной плотностью и, соответственно, остается еще достаточное количество первого субстрата - аттрактанта, а, следовательно, и больше времени требуется на переход к другому аттрактанту.
С целью выяснения зависимости формирования бактериальных волн от начальных условий, мы провели численные и натурные эксперименты по возмущению распространения двух последовательных колец хемотаксиса, изолируя область вокруг точки инокуляции, являющейся источником таких волн. Было показано, что такое возмущение не препятствует индукции второго кольца хемотаксиса [15Б].
Численные эксперименты проводились на математической модели распространения бактериальных популяционных волн (2.1) в двумерной среде размером LxxLy = 250x250 для двухкомпонентного случая (т=2) с X(Sl) = St/(Si+Sk)2 (5,) = 5,/(5,+5,) и начальными условиями: 5/ (х,у,0) =S2(x,y,0) =Sa хс = Lx/2,yc= Ly/2, где (хс, ус)- центр области (радиуса Ro) инокуляции бактерий {bo)- Результаты численных экспериментов представлены на рис.2.5. После формирования двух волн, распространяющихся, соответственно, по субстратам-аттрактантам Sj и 5 (рис.2.5, t 60), в момент времени / = 70 вырезалась окрестность центра инокуляции радиусом R =30 так, чтобы изолировать вторую волну: 5,(х,;у/)=52(х,.М ) = 0, Ь1(х,у/)=Ь2(х,у/) = 0, если -/(х-хс)2 + (у-ус)2 R
В процессе распространения волны по субстрату S/ из бактерий, отстающих от фронта первой волны, формируется вторая волна, потребляющая субстрат ,.
Каков механизм этого процесса? Из математической модели (2.1) следует, что переключение бактерий с одного субстрата на другой может происходить только при падении концентрации первого субстрата до порогового значения S ,i. Если допустить с некоторой погрешностью, что скорость распространения и бактериальная плотность первой волны постоянны, то через равные промежутки времени после прохождения фронта волны концентрация субстрата S;(x,y) в каждой точке опускается до величины S/,/-Соответственно, после изоляции центра инокуляции с окрестностью, в которой находится вторая волна, первыми начинают переключаться на потребление второго субстрата-аттрактанта бактерии на окружности радиуса R. В результате распространяется волна переключения бактерий, отставших от первого кольца хемотаксиса, на потребление субстрата ,. Необходимым условием существования хемотаксисной волны является наличие градиента концентрации субстрата-аттрактанта. Очевидно, что градиент концентрации субстрата .%, возникнув на окружности радиуса R, приводит к возникновению направленного движения бактерий. Пространственная плотность бактерий, распространяющихся в этом направлении по градиенту 3 усиливается за счет бактерий, последовательно переключающихся на потребление 5 при х R. Эти факторы и обусловливают формирование второго кольца хемотаксиса.
Динамика популяций в распределенных математических моделях с учетом возраста особей
Скорость расширения колец хемотаксиса и их "возрастная " структура.
Известно, что для бактерий характерны периодические фазоспецифические изменения клеточных функций. Подготовка, реализация и согласование этих процессов требуют целого комплекса изменений концентрации высоко- и низкомолекулярных компонентов клетки, активности ферментов и ферментативных систем, состава и структуры мембран и т.п.. Нетрудно предположить, что эти изменения могут отразиться на функциях, непосредственно не связанных с прохождением клетки по циклу, в частности - на подвижности и таксисе. В нашей работе [27Б] по исследованию зависимости подвижности бактерий Е.соН от "возраста" клеток экспериментально было показано, что "юные" клетки демонстрируют пониженную подвижность по сравнению со второй половиной их жизненного цикла. По достижении клетками (в процессе их роста) длины -1.8 мкм наблюдается рост подвижности. Можно предположить, что подвижность бактерий определяется двумя конкурирующими процессами: а) ростом числа флагелл и б) увеличением клеточной массы. Как влияет неоднородность по подвижности в зависимости от возраста на динамику распространения бактериальных волн?
В связи с этим мы предприняли попытку экспериментально и теоретически выяснить, могут ли фазоспецифические изменения клеточных функций уменьшить возрастную гетерогенность бактериальных популяций, образующих расширяющиеся кольца хемотаксиса, и обусловить периодическое уменьшение скорости их расширения. С этой целью проведено экспериментальное исследование возрастной структуры колец хемотаксиса Е. coli J621 при устойчивом распространении.
В наших экспериментах [29Б] бактерии высевались на агаризованную питательную среду (пептон 1%; NaCl 0,5%; агар - 0.35%; рН-6,3) и инкубировались при температуре 36 С. Отбор бактериальных проб (3 мкл) осуществлялся после расширения колец хемотаксиса в точках, расположенных на кольце, а также за ним. Каждая из проб растворялась в 100 мкл 4%-ного раствора формальдегида.
Приготовление и фиксация мазков осуществлялись по стандартной методике [69]. Для окрашивания бактерий использовали сафранин Т или амидочерный. В приготовленных таким образом мазках проводили измерения распределения числа бактерий в зависимости от их длины (в согласии с известными экспериментальными данными [321] поперечный размер бактерий в ходе их роста меняется незначительно). Измерения длины клеток проводили с помощью специализированного пакета программ, разработанного нами для анализа изображений микрообъектов. длина бактерий ЦптО а
На рис.3.4а дана экспериментальная гистограмма распределения числа бактерий в зависимости от их длины (L) в пробе, отобранной непосредственно на расширяющемся кольце хемотаксиса. Такие пробы брались каждые 10 минут. Бактерия растет практически на протяжении всей ее жизни [144]; следовательно, гистограмма на рис.3.4а фактически отображает распределение бактерий по возрасту. Уже из общего вида распределения (рис.3.4а) ясно, что бактерии E.coli в составе колец хемотаксиса не синхронизованы по клеточному циклу. Вопрос о частичной синхронизации клеток снимается при анализе положения максимума данного распределения в процессе расширения кольца хемотаксиса. А именно, это распределение должно изменяться со временем в частично синхронной популяции и оставаться неизменным - в несинхронной, т.е. в частично синхронной популяции максимум распределения (достигаемый при некоторой длине L = L,") должен постепенно смещаться вправо, в область больших значений Ґ, а затем, по истечении времени удвоения клетки, - резко влево. В таких популяциях величина L должна периодически меняться приблизительно в 2 раза, В наших экспериментах колебания L не превышали 4% (рис.3.4Ь). Все гистограммы имели вид, сходный с показанным на рис.3.4а (практически независимо от того, соответствовали они точкам на кольце хемотаксиса или внутри его). Таким образом, бактерии Есоїі в составе колец хемотаксиса не синхронизуются по клеточному циклу. Возможно, это обусловливает и неизменность скорости расширения колец хемотаксиса при устойчивом режиме распространения.
При каких условиях величина скорости распространения колец хемотаксиса V может зависеть от времени? Нами была предложена математическая модель типа "реакция-диффузия-таксис", представляющая собой модифицированные уравнения (2.1) для однокомпонентнои среды, в которых дополнительно учтена зависимость подвижности бактерий от их возраста: Из проведенных нами численных экспериментов (некоторые их результаты показаны на рис.3.5) следует, что скорость расширения V волнового фронта, формируемого несинхронными клетками (т = Т), при а 1/3 практически остается постоянной. Для бактерий E.coli обычно ст 1/6 1/3. При этом V=const (рис.3.5), что совпадает и с результатами наших экспериментов [29Б]. Периодические изменения V (для J 1/3) могут наблюдаться только в изначально частично или сильно синхронизированных популяциях бактерий. Так как бактерии Е.соИ в составе кольца хемотаксиса не синхронизируют свои клеточные циклы (о чем свидетельствуют результаты экспериментов, представленные на рис.3.4), то и скорость расширения колец хемотаксиса достается постоянной.
Как показывают наши результаты, статистическое усреднение по всей популяции Е.соИ в составе кольца хемотаксиса фазоспецифических, периодических процессов, протекающих в отдельной бактериальной клетке, дает в результате линейное (V=consf) расширение кольца хемотаксиса.
Механизм формирования ветвящихся структур
Распространение нелинейных волн в возбудимых средах с диффузией играет фундаментальную роль в функционировании многих биологических систем, в том числе популяционных. Естественной формой волны возбуждения является регулярный кольцевой или плоский фронт: вследствие наличия диффузии, нерегулярные возмущения фронтов со временем обычно выпрямляются [210, 220]. Однако, при некоторых условиях (например, при определенных различиях в диффузии активных компонентов среды), на фронте бегущей волны могут развиваться неустойчивости, ведущие к ее разрушению и образованию пространственно-неоднородных структур. Получаемые при этом ветвящиеся структуры сходны с фрактальными, которые характерны для процессов роста в неравновесных системах с ограниченной диффузией, при электрохимической депозиции или электрических разрядах.
Для объяснения причин появления такой неустойчивости при распространении бактериальной волны нами были проведены исследования корреляции между скоростями распространения волн и плотностью бактерий на границе движущегося фронта при различных концентрациях питательных веществ и агара. Бактериальная культура (Е.соН JM109) точечно инокулировалась в центр чашки Петри, содержащей 8 мл. слабоагаризованной питательной среды LB (LB-medium, Lennox) с 25мМ MgSCU. Оказалось, что скорость распространения фронта зависит от концентрации питания при фиксированных значениях агара не линейным образом, а имеет "параболический" вид (рис.4.12). При низких концентрациях LB скорость распространения популяционной волны равняется примерно 1мм/час. С увеличением концентрации питания скорость распространения волны возрастает и достигает своего максимума (до 5-бмм/час) в пределах 1-2 кратной LB. При дальнейшем увеличении концентрации питания скорость распространения начинает убывать, вплоть до значения Імм/час. Если продолжать увеличивать концентрацию питания дальше (более 5xLB), образование хемотаксисной волны становится невозможным: колония в месте инокуляции несколько набухает, но бактериям не удается сформировать движущийся фронт.
При этом надо отметить, что помимо скорости распространения волны, концентрация питательного субстрата влияет на такой параметр роста популяции бактерий как время формирования популяционной волны от момента инокуляции культуры на чашке Петри. При более высоких концентрациях питания возрастало и время формирования хемотаксисной волны (рис.4.13).
Вместе с тем, исследования поведения бактериальной культуры, выращиваемой в жидкой среде при тех же концентрациях питательных веществ, показывают, что плотность клеток увеличивается с возрастанием концентрации питания (рис.4.11).
Таким образом, из выше приведенных экспериментов видно, что увеличение концентрации питательных веществ с определенного значения ведет к уменьшению скорости распространения бактериального фронта, но вместе с тем, плотность клеток продолжает увеличиваться. При соответствующих концентрациях компонент питательной среды любое возникновение неоднородности бактериальной плотности вдоль фронта волны может приводить к заметному отличию скоростей отдельных участков фронта.
При этом остается вопрос о том, какая из характеристик поведения индивидуальной бактерии вовлечена в изменение скорости распространения границы всей колонии. Можно предположить, что изменяется либо подвижность клеток, либо, каким-то образом теряется способность к хемотаксису. Дж. Адлером с соавторами были проведены исследования возможности бактериального хемотаксисного ответа с помощью капиллярного метода [86, 248]. Ими было показано, что бактерии имеют верхний и нижний предел чувствительности к концентрациям различных аттрактантов. Например, для аспартата диапазон чувствительности находится в пределах от Зх10"8М до 10" М, для галактозы - от 10"8М до Зх10 6М. Позднее, X. Берг с соавторами [117, 118], при исследовании молекулярного механизма хемотаксиса показали, что при повышении концентрации питания в окружающей бактерии среде, происходит адаптация молекулярного пути передачи сигнала, что приводит к частичному подавлению направленного движения клетки. Таким образом, можно утверждать, что при увеличении концентрации питательного субстрата, уменьшается способность клеток отвечать соответствующим образом на внешний стимул.
Действительно, мы показали, что ветвящиеся структуры, образованные бактериями E.coli, предпочтительно формируются при относительно высоких концентрациях питательного субстрата и агаризованности среды [8Б, 11Б]. При этом, оба эти параметра, вязкость и питательность среды для культивирования, вызывают уменьшение скорости роста пространственно-временной бактериальной структуры.
Г.Асланиди [2] были проведены микроскопические исследования плотности клеток на фронте бактериальной волны. Было показано, что плотность бактерий растет с увеличением концентрации питательного субстрата: при низких концентрациях питания расстояние между отдельными клетками на порядок превышает размеры самих бактерий, при увеличении питания это расстояние начинает сокращаться. При «высоких» концентрациях субстрата, соответствующих ветвистому росту популяции, расстояния между клетками сравнимы с их линейными размерами [2].
