Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование активации и инактивации сокращений сердечной мышцы 29
1.1 Постулаты математической модели 29
1.2 Уравнения математической модели 37
1.3 Краткое описание методики экспериментов, выполненных для верификации результатов моделирования 54
1.4 Результаты моделирования основных механических эффектов инактивации сокращений сердечной мышцы 55
1.5 Обсуждение результатов, вытекающих из основных постулатов модели 66
2 Моделирование механической функции сердечной мышцы с учетом кинетики кальция в кардиомиоцитах. анализ вклада кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма в активацию миокарда 71
2.1 Модуляция механической функции при замедлении поглощения кальция в СР. Роль ингибирования насоса 71
2.1.1 Уравнения модели для описания кинетики Са в кардиомиоцитах 72
2.1.2 Полная система дифференциальных уравнений модели, учитывающей кинетику внутриклеточного кальция 75
2.1.3 Результаты имитации сократительного акта в модели, учитывающей кинетику внутриклеточного кальция 77
2.1.4 Обсуждение результатов, связанных с кинетикой внутриклеточного кальция и функцией кальциевого насоса СР в модели 87
2.2 Модуляция механической функции при ускорении поглощения кальция в СР. Вклад этого ускорения в грузозависимое расслабление 93
2.2.1 Методы моделирования основных факторов, влияющих на грузозависимое расслабление при повышении температуры 98
2.2.2 Результаты моделирования грузозависимого расслабления при повышении температуры 102
2.2.3 Обсуждение результатов моделирования грузозависимого расслабления при повышении температуры 109
2.3 Детальное обсуждение механизмов, лежащих в основе эффекта грузозависимого расслабления и вклада кальциевого насоса СР в регуляцию этого эффекта 114
2.4 Дальнейшее развитие блока кинетики внутриклеточного кальция 133
3 Дальнейшее развитие механического блока модели 139
3.1 Уточненное описание кинетики прикрепления-открепления поперечных мостиков 139
3.2 Развитие реологической схемы модели. Учет вклада пассивной вязкости миокарда в его сократительную функцию 143
3.2.1 Модификация уравнений модели, связанная с учетом вязкости миокардиальной ткани 146
3.2.2 Выбор базовых параметров модели, соответствующих модифицированной реологической схеме 152
3.2.3 Численные эксперименты в модели, учитывающей мышечную вязкость, в сопоставлении с данными реальных экспериментов 155
3.2.4 Моделирование вклада вязкости в инотропные и лузитропные характеристики виртуальной сердечной мышцы 160
3.2.5 Обсуждение вклада вязкости в сократительную активность миокарда (по результатам моделирования) 164
3.2.5.1 Роль вязкости в механической активности миокарда 164
3.2.5.2 Специфика вязко-эластических элементов реологической схемы, проявляющаяся в механической активности виртуальной мышцы 170
3.3 Проверка в модели варианта кооперативности первого типа, локализованной
в пределах функциональной группы сократительных и регуляторных белков
A7TmTn 173
4 Моделирование электромеханических явлении в кардиомиоцитах с учетом механо- электрических обратных связей 180
4.1 Модель электро-механической активности кардиом иоцито в Екатеринбург-Оксфорд 180
4.2 Моделирование нарушений ритма, связанных с механическими факторами, в кардиомиоцитах с пониженной активностью натрий-калиевого насоса 185
4.2.1 Численные эксперименты: имитация нормальной и ослабленной функции Na+-K+-Hacoca. Анализ вклада механических факторов в нарушения ритма 190
4.2.1.1 Имитация одиночного кардиомиоцита с устойчивым нормальным ритмом и нормальной механической активностью 190
4.2.1.2 Имитация нарушений ритма и электромеханического разобщения в одиночных кардиомиоцитах желудочка при сниженной активностии Na -К -насоса без учета механических факторов 191
4.2.1.3 Имитация нарушений ритма и электромеханического разобщения в одиночных кардиомиоцитах желудочка при умеренном ингибировании Na+-K+-Hacoca в модели с учетом механической активности. Роль кооперативности первого типа в аритмогенезе 193
4.2.1.4 Имитация нарушений ритма в модели неоднородного миокарда (в виртуальном последовательном дуплете) с умеренно ослабленной функцией Na+-K+- насоса 199
4.2.1.5 Влияние механических условий на проявления аритмии в СК-образце при его сокращениях в изоляции 207
4.2.1.6 Определение диапазонов пониженной активности Na+-K+-насоса, в пределах которых аритмия в кардиомиоцитах индуцируются их механической активностью 210
4.2.1.7 Влияние вязкости на нарушения сердечного ритма в модели ЕО-2006 211
4.2.1.8 Восстановление нормального ритма в П-образце 217
4.2.2 Обсуждение результатов моделирования механозависимых нарушений ритма при перегрузке кардиомиоцитов кальцием 223
Заключение и выводы 236
Литература
- Краткое описание методики экспериментов, выполненных для верификации результатов моделирования
- Уравнения модели для описания кинетики Са в кардиомиоцитах
- Развитие реологической схемы модели. Учет вклада пассивной вязкости миокарда в его сократительную функцию
- Численные эксперименты: имитация нормальной и ослабленной функции Na+-K+-Hacoca. Анализ вклада механических факторов в нарушения ритма
Введение к работе
Актуальность исследования. Сердечная мышца - сложная многоуровневая система, механическое поведение которой определяется двумя компонентами - пассивным, связанным с упругими и вязкими свойствами мышцы как композитного материала, и активным, позволяющим сердцу выполнять свою основную функцию - обеспечение сосудистого кровотока. Механическая активность мышцы реализуется на уровне кардиомиоцитов и включает в себя процесс сокращения, как таковой, и его регуляцию. Силогенерация/укорочение на молекулярном уровне осуществляется в процессе прикрепления и открепления поперечных мостиков, сопровождаемого гидролизом АТФ. Мостики в ходе гидролиза осуществляют поворот, генерирующий напряжение и/или сдвигающий актиновые и миозиновые нити саркомеров друг относительно друга. Процесс регуляции сокращений включает в себя активацию актиновой нити и определяется ходом изменения концентрации цитозольного кальция во времени, который, в свою очередь регулируется электрической активацией клетки, т.е. развитием потенциала действия, деполяризующим клеточную мембрану. Потенциал действия возникает в клетках рабочего миокарда в ответ на внешний электрический импульс и формируется при участии целого ряда ионных токов через мембрану, включая кальциевые, натриевые и калиевые токи. Весь этот комплекс процессов, который и сам по себе далеко не прост, дополнительно усложняется наличием ряда обратных связей. Например, механические условия сокращений, а также процесс циклирования поперечных мостиков могут существенно влиять на кальциевую и электрическую активацию клеток.
Таким образом, сердечная мышца представляет собой сложно организованную контрактильную «машину», понять принципы организации и предсказать поведение которой можно только с помощью комплексного математического моделирования. К настоящему времени уже разработаны и продолжают разрабатываться математические модели, описывающие с разной степенью детализации те или иные из перечисленных
7 выше подсистем миокарда/кардиомиоцита. В частности, имеются модели пассивных механических свойств мышцы, модели активного механического поведения и модели электрической активности кардиомиоцитов. Однако до сих пор ощущается нехватка интегративных моделей, описывающих все эти подсистемы совместно с учетом прямых и тем более обратных связей между ними. Наше исследование призвано в какой-то мере восполнить этот пробел.
Наличие интегративной математической модели позволяет не только исследовать общие законы активного поведения миокарда, но также выяснять механизмы нарушений электрической и сократительной функции кардиомиоцитов при различных сердечных патологиях и методы коррекции этих нарушений. В нашей работе возможности этого важного для клинических приложений направления использования модели продемонстрировано на примере анализа механизмов и методов коррекции аритмии, возникающей в результате кальциевой перегрузки кардиомиоцитов, характерной для многих заболеваний сердца. Модель предсказывает важную роль обратных механо-электрических связей в развитии этих нарушений ритма, о чем раньше не было известно.
Наконец, наличие развитой комплексной модели кардиомиоцита открывает возможность в будущем строить одно-, двух- и трехмерные модели миокарда, в которых проведение электрического возбуждения и механическое взаимодействие сегментов будут сопряжены с развитием потенциалов действия и напряжения в клетках с учетом прямых и обратных связей, существующих между всеми этими процессами, как на внутриклеточном, так и на тканевом уровне.
Цели и задачи. Цела работы:
1. Создание интегративной математической модели механической активности
сердечной мышцы, включающей процессы кальциевой и электрической активации
сократительной функции кардиомиоцитов, с учетом обратных механо-кальциевых и
механо-электрических связей;
2. Использование построенной модели для имитации и объяснения сложных явлений,
8 наблюдаемых в физиологических экспериментах на мышечных препаратах или в интактном сердце, таких как:
влияние механических условий на активацию миокарда в цикле сокращение-расслабление (эффекты грузозависимого расслабления, циклических деформаций и др.);
влияние активности кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма на грузозависимое расслабление (исчезновение грузозависимости в гипертрофированном миокарде, уменьшение грузозависимости при повышении температуры);
влияние мышечной вязкости на активное механическое поведение миокарда (эффект «несогласованности» хода развития изометрического напряжения и хода укорочения/растяжения саркомеров и др.);
нарушение электро-механической функции кардиомиоцитов при кальциевой перегрузке.
Для достижения поставленной цели в ходе исследования были решены следующие задачи:
- разработка постулатов модели;
построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, реализующих блок пассивной упругости миокарда, блок укорочения/удлинения контрактильного элемента и генерации напряжения поперечными мостиками, блок кальциевой регуляции, а таюке прямые и обратные связи между этими блоками;
дальнейшее развитие механического блока модели, в т.ч. усовершенствование описания процессов прикрепления/открепления поперечных мостиков и расширение реологической схемы модели с учетом мышечной вязкости;
объединение последней версии модели активного механического поведения с моделью электрической активности кардиомиоцитов 'Noble-98'.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Разработанная модель механического поведения сердечной мышцы, включающая
9 описание электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах и их кальциевую активацию, адекватно воспроизводит широкий спектр экспериментальных данных из области биомеханики активного миокарда.
2. Ключевым звеном механизма, реализующего обратную связь между
механическими условиями и ходом активации кальцием тонких нитей саркомеров,
является кооперативность регуляторных и сократительных белков.
3. Как ускорение, так и замедление кальциевого насоса саркоплазматического
ретикулюма (если замедление вызвано ингибированием насоса) могут приводить к
ослаблению феномена грузозависимого расслабления.
4. Механические свойства пассивной миокардиальной ткани, в частности, ее вязкость
существенно модулируют активное механическое поведение сердечной мышцы.
При развитии острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, кооперативность регуляторных и сократительных белков, а также механические условия сокращений сердечной мышцы (такие как уменьшение длины или нагрузки) способствуют возникновению сердечной аритмии.
Обоснованные в модели методы воздействия на кардиомиоциты при острой сердечной недостаточности, связанной с их перегрузкой кальцием, дают теоретическую базу для разработки методов восстановления нормальной электромеханической функции миокарда при этой патологии.
Научная новизна
Все перечисленные ниже результаты были получены в работе впервые.
В рамках математической модели установлено, что кооперативность сократительных и регуляторных белков — основной механизм, ответственный за вклад механических условий в развитие кальциевой активации.
В модель включено описание зависимости присоединения мостиков от межфиламентарного расстояния, зависящее, в свою очередь, от длины мышцы, и
10 установлено, что в сочетании с механизмами кооперативности сократительных и регуляторных белков этот эффект является важным звеном механо-кальциевой обратной связи в миокарде.
Теоретически изучена роль ингибирования кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма в регуляции сократительного цикла сердечной мышцы.
В модели активного механического поведения сердечной мышцы, включающей процессы активации кардиомиоцитов, учтена вязкость миокардиальной ткани и исследован ее вклад в процессы сокращения и расслабления.
В рамках модели электромеханической активности сердечной мышцы проанализирована роль механических условий сокращений миокарда как аритмогенного фактора при умеренной перегрузке кардиомиоцитов кальцием; показано, что механизм, инициирующий экстрасистолы при такой перегрузке связан с кооперативностыо сократительных и регуляторных белков.
Построена математическая модель нарушений электромеханической функции миокарда при острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием; эта модель использована как инструмент для оценки эффективности различных терапевтических методов коррекции таких нарушений.
Научная и практическая значимость
Нами разработана новая интегративная математическая модель механического поведения кардиомиоцитов с учетом их электрической и кальциевой активации. Модель может использоваться и уже успешно использована для анализа проблем физиологии сердца.
Важными для патофизиологии приложениями работы являются:
- исследование причин исчезновения эффекта грузозависимого расслабления
миокарда при его гипертрофии;
- построение математической модели развития острой сердечной
недостаточности при перегрузке кардиомиоцитов кальцием и анализ различных методов восстановления электромеханической функции сердечной мышцы в этих условиях.
Предмет и методы исследования. В современной мышечной биомеханике накоплен огромный экспериментальный материал, свидетельствующий о том, что механические условия сокращения существенно модулируют сократительную активность мышц. Например, сдвиг и наклон нормированной изометрической кривой «рСа-сила», снятой при сокращениях скелетной или сердечной мышцы на разных уровнях постоянной кальциевой активации, заметно изменялись в зависимости от степени начального растяжения препарата. Эти результаты были многократно получены рядом авторов на сердечной мышце животных различных видов [167, 174, 55]. Следует отметить, что для сердечной мышцы (в отличие от скелетной) сокращение при постоянной активации является искусственным экспериментальным режимом, требующим, в частности, ее скинирования (демембранизирования). Гораздо более естественными для препаратов миокарда являются эксперименты, в которых в ответ на электрический импульс в цитозоле кардиомиоцитов происходит процесс, называемый кальциевым переходом: довольно быстрое нарастание концентрации кальция, сменяемое затем ее спадом (см. рисунок 0.1).
уии -і
(мкМ)
J ^4^,
0.5 с
Рис. 0.1. Примеры кальциевых переходов, зарегистрированных в кардиомиоците левого желудочка сердца собаки, стимулируемом с частотой (слева направо): 0.25Гц, 0.5Гц, 1Гц и 2Гц. Рисунок заимствован из работы Sipido и др. [67].
В самых общих чертах природа кальциевого перехода такова. Электрический импульс приводит к деполяризации клеточной мембраны, что вызывает медленный ток ионов Са2+ в кардиомиоциты извне. Небольшого количества Са"+, поступившего в клетку с медленным током, тем не менее, оказывается достаточно, чтобы инициировать процесс кальцием вызванного высвобождения кальция, который состоит в следующем. Поступивший извне кальций активирует кальциевые каналы внутриклеточных депо кальция (т.н. саркоплазматического ретикулюма), откуда ионы Са2+ перемещаются в цитозоль по градиенту концентрации. В цитозоле кальций частично находится в свободном состоянии, а частично вступает в кинетические реакции с различными внутриклеточными лигандами, образуя с ними легко распадающиеся комплексы. В том числе, образуются комплексы Са"+ с регуляторным белком тропонином С, отвечающим за активацию актиновой нити (см. ниже). Совокупность ионов Са2^, находящихся в свободном состоянии, соответствует кальциевому переходу, показанному на рисунке 0.1. Постепенно кальций выводится из цитозоля - главным образом обратно в саркоплазматический ретикулюм (и частично во внеклеточное пространство -посредством натрий-кальциевого обмена). Поглощение Са2+ в ретикулюм - активный транспорт, использующий энергию гидролиза АТФ.
В ответ на кальциевый переход в препарате развивается цикл сокращение-расслабление, соответствующий одному биению сердца. Ключевую роль в активации сокращения мышцы играет связывание кальция с регуляторным белком тропонином С (ТпС), локализованным в миофибриллах. Связывание кальция с ТпС вызывает конформацию тропом иозиновой нити, закрывающей активные центры на глобулах актиновой нити саркомера. Открывшийся активный центр становится доступным для прикрепления миозиновой головки, т.е. для образования поперечного мостика.
За счет аккумулированной ранее энергии гидролиза АТФ мостик совершает шаг, являющийся основой генерации мышечного напряжения и укорочения. По окончании каждого очередного шага и сброса продуктов гидролиза миозин присоединяет молекулу
13 АТФ и отсоединяется от актина. Чем выше концентрация кальция в цитозоле, тем больше комплексов СаТпС формируется, тем, соответственно, больше образуется поперечных мостиков, а значит, тем больше генерируемое напряжение и способность к укорочению. Постепенно, по мере выведения кальция, из цитозоля падает [СаТпС], что приводит к уменьшению количества поперечных мостиков, т.е. к расслаблению.
Наиболее распространенными экспериментальными режимами сокращения являются изометрический и изотонический [10]. Первоначально (до стимуляции) в обоих этих режимах к мышечному препарату прикладывается некоторая нагрузка (называемая преднагрузкой), растягивающая его на исходную рабочую длину.
В изометрическом режиме эта длина поддерживается постоянной и на ней развивается активная сила мышцы - сначала происходит рост силы (фаза сокращения), а затем ее спад (фаза расслабления).
Изотонический режим состоит из нескольких фаз. Сначала мышца сокращается изометрически - вплоть до момента достижения величины активной силы, равной приложенному к ней добавочному грузу, называемому постнагрузкой. После этого мышца укорачивается, поддерлсивая силу, равную этому грузу. Затем наступает фаза изотонического расслабления, т.е. мышца растягивается под тем же грузом вплоть до момента возврата на исходную длину, где она завершает свое расслабление изометрически.
Пример развития активной силы мышцы в изометрическом и изотонических циклах сокращение-расслабления показан на рисунке 0.2.
В этих экспериментальных режимах также обнаружен целый ряд эффектов, указывающих на то, что текущие механические условия сокращения влияют на последующий его ход.
Одним из них является эффект короткой циклической деформации [10]. Этот эффект наблюдается, когда в ходе изометрического цикла мышца подвергается быстрому изменению длины (удлинению или укорочению) на несколько процентов, а затем через
несколько миллисекунд ее возвращают на исходную длину. Оказывается, что после этого развитие изометрического напряжения на данной длине протекает иначе, чем в случае отсутствия деформации: происходит инактивация сокращения, т.е. после деформации уровень силы становится ниже, и цикл с о кращение-расслабление завершается быстрее [21, 91]. Инактивация оказывается тем сильнее, чем позднее в ходе цикла наносится деформация. Особенно выражен этот эффект при нанесении деформаций в фазу расслабления. В главе 1 приводятся примеры циклических деформаций (рисунок 1.12).
К числу наиболее важных эффектов, демонстрирующих влияние механических условий на развитие цикла сокращение-расслабление, относится феномен грузозависимого расслабления [10], пример которого показан на рисунке 0.2.
F «">
(г/мм2) 4.0
2.0
О 200 400 600 800 1000 Время (мс)
Рис. 0.2. Развитие напряжения (F) в изометрическом (верхняя кривая) и четырех изотонических циклах сокращение-расслабление в экспериментах на папиллярной мышце из правого желудочка крысы. Рисунок заимствован из работы Dobrunz & Вегтап [57].
Суть феномена грузозависимого расслабления, прежде всего, состоит в том, что
изотонические циклы завершаются быстрее изометрического. Причем, чем меньше груз,
тем больше различие между длительностью изометрического и соответствующего
изотонического цикла. Более того, кривые, показанные на рисунке 0.2, иллюстрируют
часто возникающую ситуацию, когда изотоническое расслабление под меньшим грузом
15 завершается раньше, чем под большим.
Это связано с парадоксальным свойством изотонических циклов: чем меньше груз, тем с большей скоростью мышца растягивается под этим грузом в фазу расслабления.
Кроме кратковременных циклических деформаций и грузозависи мости имеются и другие особенности сокращений сердечной мышцы, зависящие от механических условий: например, различные модификации эффекта циклических деформаций. Эти особенности будут продемонстрированы и обсуждены ниже (в частности, в главе 1).
Рис. 0.3 Схема взаимодействия регуляториых м сократительных белков поперечнополосатых мышц. Подробности - в тексте. Рисунок заимствован из работы Gordon и др. [81].
Наиболее естественным объяснением перечисленных выше явлений является предположение о том, механические условия модулируют кальциевую активацию сократительных белков, влияя на сродство тропонинаС к кальцию, поскольку именно кальций-тропониновые комплексы (СаТпС) играют ключевую роль в регуляции механической активности сердечной и скелетной мышц [62, 140, 152]. Дело в том, что образование комплекса СаТпС приводит к конформации нити тропомиозина в пределах функциональной группы, состоящей из фрагментов актиновых нитей (по 7 мономеров в каждом), из тропомиозиновой нити, закрывающей центры прикрепления миозиновых головок на актине, и из тропонина, расположенного на тропомиозине (см. рисунок 0.3).
В результате конформации тропомиозина открываются центры связывания на актиновои нити, что создает условия для образования поперечных мостиков. Поперечный мостик проходит несколько стадий своего существования, связанных с утилизацией энергии гидролиза АТФ. Основными из них с точки зрения его механической функции являются [75, 95]:
силогенерирующий поворот, являющийся источником активного мышечного напряжения и движения актиновых нитей отоносительно миозиновых (т.е. укорочения);
последующее открепление мостика, т.е. отсоединение миозиновой головки от актина.
В ряде специальных экспериментов было выявлено, что сродство тропонина С к кальцию, в свою очередь, зависит от механических условий сокращения. Так, используя люминесцентные метки кальция, Allen & Kentish [29, 32] изучали кальциевые переходы в мышечном волокне, подвергаемом кратковременным циклическим деформациям. Было обнаружено, что деформации вызывают дополнительное свечение. Сопоставляя этот факт с инактивацией способности мышцы к развитию напряжения после деформации, естественно предположить, что деформация уменьшает сродство тропонина С к кальцию. В результате было предположено, что механические условия (текущее напряжение мышцы или ее текущая длина) могут влиять на константу связывания/распада комплексов СаТпС [31, 33, 116].
Однако возникает вопрос: как, в принципе, механические условия, в которых находится макроскопический объект (мышца), могут влиять на биохимические процессы, определяющие сродство тропонина к кальцию? Для ответа на этот вопрос следует обратиться к экспериментальным исследованиям [140, 41, 42, 53, 167], в которых изучались молекулярные механизмы регуляции функциональных групп A7TmTn (7 мономеров актина на тонкой нити + тропомиозин + тропонин). Например, изучались
17 зависимости изометрического напряжения, развиваемого скинированным мышечным препаратом, от уровня постоянной концентрации кальция, с одной стороны, и от [ТпС] (при насыщающей концентрации кальция), с другой стороны [140]. Анализ полученных данных привел авторов к выводу о том, что одним из центральных механизмов регуляции функциональной группы является кооперативность. К такому же выводу приходят авторы и других работ [41, 42, 53, 167], хотя представление разных исследований о природе этой кооперативности не совпадают. Например, одни авторы предположили, что прикрепление поперечных мостиков к тонкой нити увеличивает сродство ТпС к Са2+ [167]. Другие считают, что прикрепление поперечных мостиков дополнительно сдвигает нить тропомиозина. Тем самым, дополнительное количество актиновых глобул становится доступным для головок миозина [41]. Выдвигалась также гипотеза о том, что одновременное связывание соседних молекул ТпС с кальцием увеличивает количество мономеров актина, дерепрессированных каждым из этих комплексов СаТпС [141]. В целом, механизмы кооперативности, предполагаемые разными авторами, делятся на две группы. Основная суть гипотетических механизмов из одной группы - это непосредственное усиление конформации тропомиозина и, следовательно, дерепрессии актина. Усиление является результатом либо прямого участия поперечных мостиков в дополнительном сдвиге тропомиозина, либо совместного действия соседних комплексов СаТпС, увеличивающего сдвиг тропомиозина по сравнению с суммарным эффектом локальных сдвигов, осуществляемых каждым из этих СаТпС по отдельности (т.е. без взаимодействия друг с другом).
Принципиально иные варианты механизмов кооперативности составляют вторую группу. Эти механизмы основываются на предположении о том, что кооперативность затрагивает кинетический процесс образования и распада самих комплексов СаТпС, влияя на сродство ТпС к Са2+.
Очень подробно концепцию кооперативности сформулировал Gordon в одной из своих работ [83]. Эта концепция изложена им на примере активации скелетной мышцы, в
18 которой одна молекула ТпС может связываться с двумя ионами кальция. Сердечный ТпС имеет только один центр связывания кальция и поэтому может связываться только с одним ионом Са~+. Однако это отличие не изменяет самой сути предложенной концепции. В кратком изложении та часть этой концепции, которая касается «кинетической» кооперативности, такова. Имеются четыре механизма кооперативности, влияющие на кинетику связывания комплексов СаТпС и последующее образование поперечных мостиков. Во-первых, связывание Са2+ с одним центром на ТпС увеличивает либо сродство к кальцию либо второго центра на этой же молекуле ТпС (в случае сердечной мышцы этот вариант не реализуется), либо молекул ТпС из ближайшей окрестности вдоль тонкой нити (Gordon обозначает второй вариант аббревиатурой п-п, т.е. "nearest neighbour") Во-вторых, сильное связывание поперечных мостиков в одной группе A7TmTn увеличивает сродство тропонина С к Са2+ в этой группе или в п-п группах. Gordon подчеркивает, что, хотя эта кооперативность невелика в скелетно-мышечных волокнах, она может быть очень важна в случае сердечной мышцы.
В главе 1 будут изложены результаты экспериментальной работы [53], авторы которой (Grabarek с соавторами) непосредственно в биохимических экспериментах установили реальное наличие кооперативной зависимости сродства ТпС к кальцию как от концентрации прикрепленных головок миозина, так и от самой [СаТпС]. Именно эти два типа кооперативности будут играть ключевую роль в наших исследованиях, изложенных в диссертации.
Итак, количество поперечных мостиков вблизи молекулы ТпС влияет на ее сродство к Са2+. С другой стороны известно, что вследствие постоянства объема кардиомиоцита при укорочении его поперечный диаметр растет, а нити актина и миозина несколько удаляются друг от друга. С учетом того, что позиции активных центров на глобулах актина в пределах функциональной группы соответствует расположению тропомиозиновой нити (см. рисунок 0.3), ясно, что конкретная свободная миозиновая головка имеет возможность связаться не более чем с двумя глобулами из
19 функциональной группы. Понятно также, что по мере удаления нитей актина и миозина друга от друга падает вероятность того, что эти подходящим образом ориентированные глобулы окажутся в пределах досягаемости миозиновой головки. Следовательно, вероятность прикрепления поперечных мостиков, а значит и их количество вблизи любой конкретной молекулы ТпС должны зависеть от текущей длины мышцы.
Принимая во внимание этот эффект и кооперативную зависимость сродства ТпС к Са" от числа мостиков вблизи ТпС, можно сделать вывод о наличии некоторого влияния механических условий (в частности, длины) на кинетику связывания и распада комплексов СаТпС в кардиомиоцитах. Однако, каково именно это влияние? Может ли оно объяснить перечисленные выше феномены инактивации мышцы как в изотонических условиях по сравнению с изометрией, так и при циклических деформациях? Ответам на эти вопросы посвящены исследования на математической модели, излагаемые в первой главе данной работы.
Выше мы привели исключительно умозрительное обоснование того, что зависимость вероятности прикрепления поперечных мостиков от длины саркомера влияет на кальциевую активацию тонкой нити. Однако имеются и реальные экспериментальные подтверждения этого влияния. Был проведен ряд исследований, в которых уменьшение толщины мышечных волокон и сближение в них миофиламентов прямо индуцировалось с помощью осмотического сжатия [134, 142, 164]. При регистрации кривой «рСа-сила» до и после этого воздействия было обнаружено, что ее кальциевая чувствительность после сжатии существенно возрастала. Авторы этих исследований интерпретировали свои наблюдения следующим образом: в результате сжатия возросла вероятность прикрепления поперечных мостиков, а это и вызвало рост кальциевой чувствительности посредством механизмов кооперативности.
В литературе вплоть до настоящего времени активно обсуждается совместная роль кооперативности и длинозависимости прикрепления поперечных мостиков в регуляции сокращений сердечных и скелетных мышц. В том числе опубликованы результаты
20 экспериментов, которые, по мнению их авторов, противоречат представлению о существенном вкладе этих феноменов в регуляцию [114, 115]. Однако их эксперименты допускают и совсем иные трактовки, отличающиеся от авторских. Поэтому представление о значительном совместном вкладе кооперативное и длинозависимости прикрепления поперечных мостиков в кальциевую активацию кардиомиоцитов по-прежнему преобладает [77, 139].
Как уже говорилось выше, одним из основных феноменов механо-химического разобщения, указывающих на существенный вклад механических условий сокращения в активацию миокарда, является грузозависимое расслабление. Однако грузозависимость расслабления наблюдается не у всех животных и не во всех состояниях сердечной мышцы. Например, этот феномен слабо выражен у холоднокровных. Кроме того, грузозависимость исчезает при гипертрофии миокарда [126]. В этом случае при любой постнагрузке кривая силы в завершающую изометрическую фазу расслабления, наступающую после возврата мышцы на исходную длину, практически ложится на кривую развития силы во времени, соответствующую полному изометрическому циклу сокращение-расслабление. Как исследователи впервые обнаружившие исчезновение грузозависимости при гипертрофии [126], так и другие авторы [35, 43, 44, 45] высказали предположение, что это исчезновение связано с замедлением кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма в гипертрофированном миокарде. Эта гипотеза будет проанализирована во второй главе диссертации.
Все вышеизложенное свидетельствует о том, что в мышце существуют обратные связи между механическими условиями сокращения и его кальциевой активацией. Более того, установлено, что механические условия влияют также и на электрическую активность кардиомиоцитов. Так Gordon и Ridgeway еще в 1976 году обнаружили длино-зависимые изменения мембранного потенциала в скелетной мышце [82]. В 1978 году Allen and Blinks показали, что механо-электрические эффекты, наблюдаемые в сердечной мышце, наиболее сильно выражены во время нисходящей ветви кальциевого
21 перехода - т.е. во временном интервале, близком к моменту пика мышечной силы [30]. Еще в целом ряде экспериментальных работ, проводимых в течение многих лет на препаратах миокарда и посвященных электромеханическому сопряжению в сердечной мышце, были представлены доказательства влияния механических условий сокращения на электрическую функцию. Так было показано, что увеличение начальной длины мышцы укорачивает длительность потенциала действия (ПД) в ходе изометрического сокращения, а в постнагрузочных сокращениях длительность ПД растет с уменьшением постнагрузки [74, 117, 118]. Аналогичные результаты были получены в экспериментах на изолированных кардиомиоцитах [113, 176].
На целом сердце также было показано, что увеличение конечно-систолического объема левого желудочка ведет к увеличению длительности ПД [38, 67, 76, 144, 145, 169].
A priori возможны различные объяснения обнаруженных механо-электрических обратных связей. Например, можно было бы предположить, что они являются следствием ионных токов через механо-чувствительные каналы. С другой стороны в экспериментах, в которых в ходе сокращений осуществлялась одновременная регистрация свободного внутриклеточного кальция и ПД, было установлено, что все изменения длительности ПД в ответ на изменяющиеся механические условия (активное укорочение, деформации, изменения нагрузок) всегда происходят одновременно с трансформацией формы и длительности кальциевого перехода [30, 118, 176,]. Эта согласованность дает основание полагать, что влияние механических условий на процессы возбуждения клеток и их электрической активности происходит опосредованно - через механические модуляции кинетики внутриклеточного кальция.
В столь сложных и многоуровневых системах, как миокард, трудно определить роль тех или иных конкретных механизмов, ответственных за наблюдаемые механо-кальциевые и механо-электрические обратные связи. Для этого необходимо использовать математическое моделирование. Например, на уровне модели кардиомиоцита
22 предположение о вкладе кинетики внутриклеточного кальция в механо-электрические обратные связи проверялось в работе Nickerson с соавторами [146]. Однако список подобных работ весьма невелик. Возможно, это связано с нехваткой моделей, в которых одновременно учитывались бы реальные внутриклеточные механизмы формирования ПД, регуляции сократительных белков кальцием, циклирования поперечных мостиков и подробно описывалось бы механическое поведение кардиомицита/мышцы.
В то же время существует немало работ, посвященных моделированию отдельных подсистем, отвечающих за сократительную активность кардиомиоцита. Например, кроме нашей модели активной механики кардиомиоцитов, учитывающей кальциевую регуляцию сокращений, которая подробно излагается в диссертации, опубликован целый ряд статей на ту же тему. Например, следует упомянуть модели, которые разрабатывали Landesberg [63], Rice [162, 163] и Hunter [92] с соавторами. Во всех этих моделях, так или иначе, учтены механо-кальциевые обратные связи и/или механизмы кооперативности. Правда, на наш взгляд, конкретные подходы, к описанию этих процессов, осуществленные в упоминаемых моделях не всегда достаточно корректны и последовательны. Кроме того, эти модели опубликованы позднее нашей статьи в Circulation Research (1991 г.), определяющей основные постулаты нашей модели (в т.ч., механизмы кооперативности и механо-кальциевые обратные связи).
Первая глава диссертации посвящена описанию этой математической модели активного механического поведения миокарда, основанной на описании кальциевой активации кардиомиоцитов и учитывающей обратные механо-кальциевые связи. А во второй и третьей главах изложено дальнейшее развитие этой модели. В первых трех главах также показаны примеры решения конкретных проблем из области физиологии сердечной мышцы с помощью этой модели.
Модели ионных токов, отвечающих за формирование ПД в клетке, тоже активно разрабатываются многими исследователями. Наряду с моделями Denis Noble [58, 112]
23 наиболее популярными являются модель Luo & Rudy [125] и ее модификации [71, 124, 180, 181, 185], а также модель, разработанная группой Winslow [103].
В последние годы появился еще целый ряд хорошо верифицированных моделей, очень хорошо описывающих специфику формирования ПД и кинетику кальция в кардиомиоцитах животных разных видов (например, модели мыши и крысы [23, 57], кролика [25], человека [26].
Известен ряд континуальных математических моделей макро-уровня, описывающих либо процессы механического взаимодействия [24, 93, 94], либо проведение электрического возбуждения [28, 109, ПО, 154, 155] в больших сегментах сердечной ткани. Более того, опубликованы континуальные модели электромеханического сопряжения в многоклеточном сегменте [146]. Однако во всех этих макроскопических моделях описание механизмов активации кардиомиоцитов, составляющих мышечную ткань, предельно упрощены; а внутриклеточные механизмы, отвечающие за обратные связи между электрической и механической активностью не рассматриваются вообще.
В четвертой главе диссертации описана разработанная нами в сотрудничестве коллегами из Оксфордского Университета модель электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах, основанная на модели механической активности, изложенной в первых трех главах, и на модели электрической активности 'Noble 98' [99], адаптированной нами. В той же четвертой главе эта объединенная модель используется для анализа одной из актуальных проблем патофизиологии сердца, связанной с нарушениями нормального сердечного ритма при кальциевой перегрузке кардиомиоцитов, и для поиска теоретически оправданных методов коррекции этой патологии.
На протяжении всей работы результаты моделировании сопоставляются либо с данными реальных физиологических экспериментов, выполненных коллегами автора специально для описываемых здесь исследований, либо с результатами экспериментов, доступными из литературных источников. Говоря о моделируемых мышцах/кардиомиоцитах, мы будем называть их виртуальными, чтобы в
24 соответствующем контексте различать их с реальными.
Электромеханическое поведение сердечной мышцы в наиболее полной версии модели, выносимой на защиту, описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В связи с большим количеством уравнений в системе (а именно, 25 дифференциальных уравнений) возможности ее качественного анализа крайне ограничены. Поэтому основным методом исследования является численное интегрирование. С учетом жесткости системы, описывающей электромеханическую активность сердечной мышцы, были выбраны методы ее численного интегрирования: использовался либо явно-неявный метод, учитывающий специфическую структуру уравнений модели, либо метод Эйлера с шагом интегрирования, обеспечивающим достаточную точность расчетов.
Большая размерность системы не позволяет провести математически строгую идентификацию параметров. Однако основные зависимости, заложенные в эти уравнения, были установлены в экспериментальных работах на мышечных белках или на пассивной миакардиальной ткани. В этих исследованиях были определены диапазоны возможных значений соответствующих параметров. Корректность выбора параметров из этих диапазонов значений в рамках интегративной модели была проверена нами в многочисленных компьютерных экспериментах, имитирующих активное поведение миокарда.
Как уже отмечалось выше, влияние механических условий на активацию кардиомиоцитов - очень сложное явление, затрагивающее целую цепь прямых и обратных связей между различными внутриклеточными событиями. Особенно сложным образом это влияние проявляется в условиях механической неоднородности миокарда.
Термином «Механическая неоднородность» обозначается различие основных механических характеристик соседних и/или удаленных друг от друга механически взаимодействующих друг с другом сегментов сердечной мышцы. Этим сегменты могут
25 быть малы по своим размерам (например, отдельные кардиомиоциты или даже саркомеры) или наоборот велики, включая большие зоны стенок камер сердца (например, ишемический очаг). Определенным образом организованная неоднородность - свойство нормального сердца [2, 27]. При большинстве сердечных патологий характерная для нормы структура неоднородности разрушается [27], а дисперсия механических свойств в стенке желудочка растет [8]. Механическая неоднородность существует также на молекулярном уровне, проявляясь в том, что соотношение разных изоформ миозина (V] и Уз) в кардиомиоцитах изменяется в зависимости от расположения этих кардиомиоцитов в стенке желудочка: в норме соотношение V1/V3 постепенно растет в направлении от эндо- к эпикардиальным слоям [89]. Известно, что конкретное соотношение Vi/Уз отражается на механических свойствах кардиомиоцитов: чем выше доля Уь тем быстрее циклирование поперечных мостиков, образуемых этой изоформой, и быстрее укорочение кардиомиоцитов [48, 143, 151]. Влияние изоформ миозина (VI, V3) на наклон кривых «рСа-сила» и «рСа-скорость» (иными словами, на коэффициенты кооперативности Хилла связей «рСа-сила» и «рСа-скорость») исследовалось на молекулярном уровне - в том числе, в работах с нашим участием [11, 18] - с помощью метода искусственных подвижных систем с регулируемой тонкой нитью. Было показано, что этот наклон изменяется в зависимости и от концентрации миозина в системе, и от типа изомиозина. Эти результаты свидетельствуют о возможном различии кооперативного вклада, вносимого изоформами миозина VI и V3 в кальциевую регуляцию тонких нитей и, следовательно, в механическую активность. Все это вместе взятое - с учетом различия в послойном распределении Vi/V3 - означает, что молекулярная неоднородность в свою очередь проявляется в механической неоднородности на макроуровне, т.е. в различном механическом поведении сегментов миокарда желудочка.
Итак, в неоднородной миокардиальной системе механические условия сокращения каждой клетки непосредственно зависят от механических свойств взаимодействующих с
26 ним партнеров (других кардиомиоцитов). Через цепь обратных механо-кальциевых и механо-электрических связей эти условия влияют на ход развития напряжения и/или укорочение данной клетки. А это обстоятельство, в свою очередь, изменяет механические условия сокращения для клеток-партнеров. Теперь уже в них цепь обратных связей продуцирует изменение механического поведения, а это вновь изменяет механические условия (поля напряжений и деформаций), которые клетки создают друг для друга. В таком непрерывном процессе взаимодействия динамически изменяются механические условия сокращения каждого элемента системы в зависимости от динамически изменяющихся свойств всех остальных элементов. Этот процесс непрерывной подстройки элементов друг под друга крайне усложняет возможность предсказания поведения как любого из них, так и всей системы в целом. Поэтому для исследования феномена механической неоднородности необходимы упрощенные экспериментальные и теоретические модели, которые позволяют выявить и проанализировать наиболее существенные свойства механического взаимодействия элементов неоднородной системы.
С этой целью в нашей группе под руководством члена-корреспондента РАН B.C. Мархасина разработан и активно используется метод мышечных дуплетов [8, 9, 27, 65, 96, 127, 132, 135, 136, 137]. Дуплет представляет собой пару последовательно или параллельно соединенных и механически взаимодействующих друг с другом мышц или кардиомиоцитов. Реализовано 6 конфигураций дуплета: последовательный и параллельный натуральный дуплет (т.е. 2 живые мышцы, соединенные либо последовательно, либо параллельно); последовательный и параллельный виртуальный дуплет (т.е. пара виртуальных мышц или виртуальных кардиомиоцитов, соединенных последовательно либо параллельно); последовательный и параллельный гибридные дуплеты, в которых живая мышца в режиме реального времени взаимодействует с виртуальным партнером (в последнем случае живая мышца прикреплена к рычагам установки, а виртуальный объект, так же как и вариант соединения элементов -
27 последовательный или параллельный - имитируется управляющим компьютером [96]). В различных версиях виртуальных и гибридных дуплетов виртуальные элементы были реализованы с помощью разных версий математической модели, излагаемой в данной работе, а именно, с помощью моделей активного механического поведения миокарда, описанных в первой и второй главе диссертации, и с помощью двух версий модели электромеханического сопряжения Екатеринбург-Оксфорд (ЕО-2003 и ЕО-2006), описанных в четвертой главе.
Кроме того, в четвертой главе одна из конфигураций мышечного дуплета — виртуальный последовательный дуплет, построенный на основе модели ЕО-2006 — используется для теоретического исследования вклада механических условий в аритмогенез при перегрузке кардиомиоцитов кальцием.
Завершая эту вводную главу, следует обратить внимание на один методологический принцип, которого мы стремились придерживаться при разработке математической модели механической активности (а позднее электро-механической) сердечной мышцы. Он состоит в том, что модель дорабатывается и усложняется только по мере необходимости, то есть тогда и только тогда, когда она используется для исследования нового круга явлений, которые не удавалось имитировать и объяснить в рамках уже имевшейся системы уравнений. Каждая следующая версия модели строится не путем отрицания отдельных элементов предыдущей версии, а путем расширения модели: в новую версию включается описание функционирования новых структур в дополнение к тем, что уже были описаны прежде. Причем, упомянутый выше принцип минимальной достаточности каждого следующего расширения позволяет не просто имитировать в модели новые явления, но и понять ключевую роль дополнительно включенных в модель процессов в реализации этих явлений.
В каждой новой версии модели сохранялись не только сами принципиальные блоки из предшествующих версий, но, как правило, и прежние математические описания этих
28 блоков. В исключительных случаях, некоторые упрощенные формулы заменялись на более точные математические формулировки того же процесса (см., например, уточненное описание кинетики прикрепления-открепления поперечных мостиков в главе 3 и новые формулы, задающие стационарные связи «сила-скорость» и «жесткость-скорость» мышцы при постоянной активации в зоне плато перекрытия толстых и тонких нитей, в той же главе).
Таким образом, разработанное нами семейство моделей по мере своего развития постепенно разворачивается в математическую теорию сокращения сердечной мышцы. Разумеется, пока нельзя утверждать, что такая теория уже построена. Представленная работа - этап на этом пути.
Благодарности. Автор искренне благодарен своему научному консультанту члену-корреспонденту РАН B.C. Мархасину; коллегам: О.Э. Соловьевой, Л.В. Никитиной, Ю.Л. Проценко, П.В. Коновалову и аспирантке Т.Б. Сульман за совместную работу по теме диссертации, а также выражает признательность за плодотворное сотрудничество П. Колю (Peter Kohl) из Оксфордского Университета (Oxford University, UK) и группе исследователей из Политехнической школы (Universite' Paris Sud 11, Le Kremlin-Bice'tre, France): Иву Лекарпентье (Yves Lecarpentier), Дени Шемла (Denis Chemla) и Катрин Коро (Katherine Coirault).
Необходимо отдать долг светлой памяти В.Я. Изакову, который принимал активное участие в этом исследовании на его ранних этапах.
Краткое описание методики экспериментов, выполненных для верификации результатов моделирования
Эксперименты проводились в соответствии с ранее описанной методикой [3] на тонких трабекулах (площадью поперечного сечения 0.2-0.4 мм2), выделенных из правых желудочков кроликов и кошек [54]. Мышцы помещались в ванночку с физиологическим раствором и стимулировались с интервалом 3.0 с. Один конец препарата прикреплялся к датчику силы, а другой - к рычагу сервомотора [3], конструкция которого позволяла осуществлять и регистрировать сокращения в различных условиях механического нагружения мышцы: - изометрическом (в т.ч. с возможными заданными заранее кратковременными деформациями); - изотоническом (с возможностью изменения величины постнагрузки в любой момент цикла сокращение-расслабление); - физиологическом, имитирующем последовательность нагрузок, характерных для миокарда интактного желудочка [3].
В последнем из вышеперечисленных случаев мышца сокращалась в изометрических условиях до момента достижения заданного уровня постнагрузки. Затем она укорачивалась либо под этой постоянной нагрузкой, либо под грузом, меняющимся пропорционально как величине, так и скорости укорочения (имитация сопротивления сосудистого русла сердечному выбросу). Длина препарата вновь фиксировалась, когда она достигала своего конечно-систолического значения (Lcs), после чего мышца расслаблялась изометрически на этой новой длине до тех пор, пока ее напряжение не уменьшалось до уровня преднагрузки. Последняя фаза регуляции состояла в растяжении препарата до конечно-диастолической длины (Led), которая совпадала с начальной.
В стандартных экспериментальных условиях в качестве начальной длины препарата выбиралась 0.951 , где Lmax обозначает длину препарата, на которой достигается максимальное активное напряжение. Для построения связей «длина-сила» (см. рис. 1.5) эксперименты проводились также на L и на длинах, меньших, чем 0.95Lmax.
Для оценки характерной относительной скорости расслабления в экспериментах использовалось характеристическое время расслабления (tao), т.е. время, за которое в ходе изометрического расслабления напряжение падало до 30% от своего начального значения в эту фазу.
Данные всех используемых здесь эксперименты были получены Ф.А Бляхманом и Т.Ф. Шкляр, которые являлись соавторами нашей работы [54], ответственными именно за проведение физиологических экспериментов. Изменение связи «длина-сила» в зависимости от уровня внутриклеточного/внеклеточного кальция
На рисунках 1.5А и 1.5Б показаны связи «длина-сила», полученные на трабекуле кошки в различных условиях нагружения: изометрическом - кривая 1, и изотоническом (под постоянной нагрузкой) - кривая 2. По оси абсцисс отложена начальная (неизменная) длина мышцы для изометрии и конечно-систолическая длина для изотонии. По оси ординат - конечно-систолическое напряжение для изометрии и постоянное напряжение (совпадающее с нагрузкой) для изотонии. Рисунки демонстрируют типичные различия в расположении и наклоне кривых связи «длина-сила» между изометрическим и изотоническим сокращениями. В случае увеличения концентрации кальция каждая из кривых располагается выше как в размерных, так и в нормализованных координатах. При этом наклон каждой из кривых в нормализованном виде становится менее крутым (рис. 1.5Б), а различие между изометрической и изотонической кривой становится менее выраженным (рис. 1.5А). Модель дает адекватную качественную симуляцию всех этих свойств (рис. 1.5В). Кроме того, для длин 0.98Lmax связь «длина-сила» в модели достаточно близка к линейной.
Анализ модели показал, что расхождения в кривых «длина-сила» для разных режимов нагружения связана с различной степенью активации тонких нитей ионами кальция при достижении максимального изометрического напряжения и при достижении пика изотонического укорочения. Такое различие возникает в модели, потому что скорость укорочения саркомеров является фактором, способствующим инактивации: чем выше скорость (и, следовательно, чем меньше число поперечных мостиков), тем ниже сродство тропонина к ионам кальция.
Влияние концентрации кальция на связь «длина-сила» воспроизводится в модели путем варьирования параметра Сат, задающего амплитуду кальциевого перехода. Чем больше Сат, тем выше лежит соответствующая кривая и меньше ее крутизна. Как уже отмечалось выше, влияние кальция на наклон кривой «длина-сила» не воспроизводилось в модели до тех пор, пока в нее не была введена кооперативность второго типа. Поэтому можно заключить, что именно эта кооперативность предопределяет данный эффект. Действительно, чем выше уровень кальция, тем больше [СаТпС] при прочих равных условиях (в том числе при равных длинах). А чем больше [СаТпС], тем, в свою очередь, медленнее распад этих комплексов (вследствие данного типа кооперативности). Таким образом, в описанных экспериментальных условиях кооперативность второго типа при повышении концентрации внутриклеточного кальция ослабляет длинозависимую инактивацию, вызванную кооперативностью первого типа. В результате относительное уменьшение активации при уменьшении длины мышцы становится не таким сильным, что и выражается на уменьшении наклона кривой «длина-сила».
Уравнения модели для описания кинетики Са в кардиомиоцитах
Как уже указывалось выше, описанная в предыдущей главе версия модели оказалась непригодной для имитации и объяснения исчезновения грузозависимости расслабления при гипертрофии, обнаруженного в экспериментальных исследованиях. Авторы этих исследований связывали полученный эффект с замедлением поглощения кальция продольным СР, свойственным гипертрофированному миокарду [126]. Этот недостаток модели указал на необходимость отображения в модели различий в развитии кальциевого перехода, возникающих в зависимости от механических условий сокращения. А для этого его следует описывать как результата динамически меняющегося соотношения между кальцием, поступившим в цитозоль и кальцием либо связываемым с ТпС и другими внутриклеточными буферными лигандами, либо вообще выводимым из цитозольного пространства.
Эта доработка модели будет сделана в данной главе. Пока будем учитывать только один путь выведения кальция, играющий главную роль в пределах одного цикла сокращение-расслабление - поглощение Са"+ в СР. Заметим, что при изучении многоцикловых процессов необходимо учитывать также выведение кальция с помощью натрий-кальциевого обменного тока. Этот процесс будет описан в модели позднее (см. Главу 4).
Экспериментально установлено, что наблюдаемые различия во временном ходе [Са"4] в цитозоле между изометрическим и изотоническими режимами, возникают только на нисходящих ветвях кривых кальциевого перехода [118]. Поэтому на данной стадии исследования мы по-прежнему описываем восходящую ветвь (которая в реальности определяется, главным образом, высвобождением кальция из СР) в виде явной параметрической функции времени. Однако нисходящая ветвь теперь будет формироваться на основе кинетических процессов связывания кальция с ТпС, СР и внутриклеточной кальций-буферной системой. Эта система включает в себя целый ряд компонентов, в том числе, кальмодулин, неспецифические места связывания на тропонине (которые могут образовывать кинетические комплексы либо с ионами Са"+, либо с ионами Mg"4), а также кальцийсвязывающие места на мембране СР и сарколемме. Однако с нашей точки зрения в рамках модели регуляции механической активности миокарда целесообразно описать кальций-буферную систему в виде единого обобщенного буфера.
С другой стороны, оказалось, что упрощенное описание поглощения кальция в СР в виде формулы насоса первого порядка, иногда используемой для моделирования этого процесса [49], не отвечает целям нашей работы. Нам пришлось принять во внимание экспериментальные данные о частичном ингибировании этого насоса, которое происходит по мере роста концентрации кальция, поглощенного продольным СР [98, 141]. Ниже будет показано, что именно усиление ингибирования насоса быть основной причиной исчезновения эффекта грузозависимости при гипертрофии [106].
На последующих этапах развития модели мы снимем ограничение, связанное с описанием восходящей ветви кальциевого перехода в виде явной функции времени, и опишем ее с учетом высвобождения ионов Са из СР, а также всех процессов выведения и связывания кальция (подробнее см., об этом в параграфе 2.3 данной главы).
Уравнения модели для описания кинетики Са + в кардиомиоцитах Введем в модели новую фазовую переменную Сас, задающей концентрацию свободного внутриклеточного кальция вместо явной функции Ca(t), с помощью которой мы описывали эту величину в предыдущей главе. Точнее говоря, для t tj (где td -момент пика кальциевого перехода) Сас, как и прежде задается в явном виде Сас =Ca(t) с помощью той же самой функции времени. Однако для t tj Сас является решением дифференциального уравнения Сас dCac/dt = -dA/dt - dB/dt - r(Cac) — „ (2.1) A +Can pump c с начальным условием: Cac(ta) = Cafta).
Здесь А, как и прежде - фазовая переменная, определяющая временной ход концентрации СаТпС, и задаваемая уравнением (1.6) из предыдущей главы.
В - еще одна новая фазовая переменная; она описывает обобщенный кальциевый буфер и задается уравнением dB/dt = bon- (Bs-B) Сас - boffB , (2.2) где Bs -емкость буфера, измеряемая, как и все другие концентрации, в долях от [ТпС]. Сас Выражение г(Сас) р, в уравнении (2.1) описывает скорость поглощения pump с Сас цитозольного кальция в СР. В этом выражении множитель взят из А л-\ аг pump с формулы насоса Михаелиса-Ментен. Множитель г(Сас) описывает отрицательную обратную связь, возникающую при функционировании кальциевого насоса СР: чем выше уровень концентрации свободного внутриклеточного кальция, тем сильнее подавление активности насоса, поглощающего его в СР. Функция г(Сас) как функция от переменной Сас должна стремиться к нулю с ростом своего аргумента. В модели эта функция задается в виде: г(Сас) = гСа ехр(- q0 -Са , где гСа и q„ — параметры модели. Ниже (см. раздел 2.1.3) мы обсудим физиологическую интерпретацию этой формулы, включая ее параметры.
Для того чтобы описание временного хода [Са24] в модели было более компактным, мы формально зададим ее как фазовую переменную Сас не только для f tj, а для всех t 0. Иначе говоря, при t td будем считать Сас решением дифференциального уравнения dCac/dt = Ca (t). Подразумевается, что производная по времени Ca (t) функции Ca(t) в этом уравнении в явном виде выражена через t, как это записано ниже (см. раздел 2.1. 2 - «Полная система дифференциальных уравнений модели, учитывающей кинетику внутриклеточного кальция»).
Заметим, что как ингибирование кальциевой АТФ-азы СР, так и кальциевый буфер заданы в этой версии модели в упрощенном виде. Ниже мы обсудим эти упрощения, а также укажем направления усовершенствований этих блоков модели, часть из которых нами уже осуществлена.
Развитие реологической схемы модели. Учет вклада пассивной вязкости миокарда в его сократительную функцию
В частности в работе, опубликованной нами совместно с группой профессора Lecarpentier в 2004 [100] году приводятся данные наших соавторов, воспроизводимые здесь на рисунке 3.1, которые показывают, что укорочение саркомеров в ходе изометрического цикла сокращение-расслабление продолжается уже после завершения роста мышечной силы. Как видно из рисунка 3.1, завершение укорочения саркомеров происходит почти на 100 мс позднее пика силы - более того, к моменту завершения укорочения саркомеров мышца успела расслабиться (в смысле развиваемого активного напряжения) на -15%. Аналогичные выводы можно сделать также на основе данных, опубликованных другими авторами. Например, в статье, опубликованной Stuyvers с соавторами в 2002 [66] году на рисунке 2 показаны изометрические сокращения, зарегистрированные на трабекуле, выделенной из правого желудочка мыши. В частности, при сравнении изображенных там кривых укорочения саркомеров и развития напряжения во времени, записанных при частоте стимуляции 0.2 Гц, видно, что пик укорочения заметно запаздывает относительно пика напряжения.
Из рисунка 3.1 следует, что ход развития активной силы рассогласован не только с укорочением саркомеров, но также и с их растяжением в процессе изометрического расслабления: растяжение длится заметно дольше, чем падение силы, так что на исходный уровень своих длин саркомеры вернулись на —100 мс позднее полного сброса активной силы.
Некоторые особенности изотонического расслабления тоже могут быть следствием мышечной вязкости. Эти особенности представлены на левых панелях рисунка 3.4. На этих панелях представлена серия из одного изометрического и шести изотонических циклов сокращение-расслабление, зарегистрированных в физиологических экспериментах на папиллярной мышце крысы (на соответствующих правых панелях приведены результаты численных экспериментов на математической модели) - пик скорости растяжения значительно растет по мере уменьшения нагрузки на реальную мышцу (панели В1); - при нагрузках, превосходящих 0.5F0 время достижения этого пика наступает несколько позднее в случае меньшей постнагрузки (панели В1); - в реальной мышце наблюдается очень постепенный гладкий переход от плато вокруг конечно-систолической длины к четко выраженному растяжению саркомеров в фазу изотонического расслабления (панель Б1).
Эти экспериментальные данные заставили нас модифицировать реологическую схему модели, введя в нее вязкие элементы [100, 60]. Ниже будет показано, что модифицированная модель позволяет воспроизвести как эти данные, так и некоторые другие особенности изотонического расслабления реальной мышцы, включая характерную (близкую к линейной) связь между постнагрузкой и максимальной скоростью растяжения мышцы [172, 186] и куполообразную связь между постнагрузкой и максимальной скоростью падения силы после завершения постнагрузочной фазы расслабления (т.е. после возврата мышцы на исходную длину) [133, 156]. Кроме того, адекватность этих численных экспериментов дает основания предсказать на основе анализа модели, как вязкость может модулировать основные инотропные и лузитропные характеристики сердечной мышцы (связи сила-скорость и длина-сила сокращения и расслабления, индекс грузозависимости расслабления и т.п.) Эти модельные предсказания также будут приведены в данной главе.
Важно подчеркнуть, что мы не ставили задачу разработать адекватную математическую модель пассивных механических свойств миокарда в целом, и его вязких свойств в частности. Наша модель сфокусирована именно на активной механике сердечной мышцы. Поэтому и представленная реологическая схема модели, и введенные в нее вязкие элементы настолько просты, насколько позволяют решаемые задачи активной механики. Тем не менее, эта модель позволяет адекватно воспроизводить также и наиболее популярные эксперименты, демонстрирующие вязкие свойства пассивного миокарда (см. раздел 3.2.2). Существенно, что опубликованные другими авторами математические модели, включающие вязкие компоненты, напротив, ориентированы главным образом на имитацию пассивных механических свойств миокардиальной ткани [51, 52, 68, 70, 79, 80, 122, 123, 171] и не помогают оценить вклад вязкости в активное механическое поведение миокарда. Представленные в данной главе результаты в какой-то мере восполняют этот пробел.
Все физиологические эксперименты, результаты которых приводятся на рисунках в этой главе, были выполнены нашими французскими соавторами (Yves Lecarpentier, Denis Chemla, Catherine Coirault). Экспериментальная методика изложена в нашей совместной публикации [100], и здесь нет смысла ее повторять. Следует лишь обратить внимание на одно обстоятельство: в этой статье, в частности, разъясняется подход, позволивший при регистрации длин саркомеров методом лазерной дифракции осуществить отбор препаратов, обладающих большой внутренней однородностью. Поэтому в своем исследовании мы a priori исключили неоднородность в качестве возможной причины моделируемых здесь явлений.
Численные эксперименты: имитация нормальной и ослабленной функции Na+-K+-Hacoca. Анализ вклада механических факторов в нарушения ритма
Кооперативность первого типа является ключевым механизмом, лежащим в основе большей части исследованных в работе эффектов, связанных с регуляцией сократительной активности миокарда. Поэтому естественным является стремление оценить в рамках модели существующие варианты представлений об этом механизме.
В частности, твердо установленным является факт изменения сродства ТпС к Са вследствие прикрепления поперечных мостиков к тонкой нити. Однако это изменение может быть результатом влияния поперечных мостиков на процесс связывания комплексов СаТпС и/или на процесс распада комплексов СаТпС. Еще при разработке первой версии модели, описанной в главе 1, нами было установлено, что проявления этого механизма в цикле сокращение-расслабление позволяют считать правильным второй вариант, поскольку при имитации быстрых циклических деформаций в модели наиболее сильные эффекты в этом случае возникали, если деформация наносилась незадолго до или после пика изометрического сокращения, что соответствует данным реальных экспериментов. Если же влияние поперечных мостиков распространялось в модели на константу связывания комплексов СаТпС, то наиболее сильными эффекты быстрых циклических деформаций естественно оказывались вблизи пика кальциевого перехода, т.е. в начальной стадии изометрического сокращения, что не совпадало с реальными экспериментальными данными.
Другое теоретически возможное различие между вариантами этой кооперативности сформулировали в своем обзоре механизмов мышечной активации Gordon с соавторами [83]. А именно, прикрепление поперечного мостика в одной регуляторной единице AyTmTn увеличивает сродство ТпС к Са2+ либо только в пределах самой этой регуляторной единицы, либо в ее окрестности. Напомним, что регуляторная единица (функциональная группа) A7TmTn включает последовательность из семи глобулярных мономеров актина, тропомиозин и один тропониновый комплекс TnC+Tnl+TnT.
Все изложенные выше результаты моделирования были получены, исходя из заложенного в модель постулата о том, что кооперативность первого типа действует не только в пределах одной регуляторной единицы, но и в ее окрестности. Однако в модели необходимо оценить альтернативную гипотезу о локальном влиянии поперечных мостиков только внутри AyTmTn.
В качестве критерия оценки нами используется феномен грузозависимого расслабления. Иначе говоря, мы проверим, можно ли имитировать этот феномен в модели, исходя из представления о локальном характере кооперативности первого типа.
Для этого уравнения модели, включающие описание процессов прикрепления-открепления поперечных мостиков и описание кинетики образования и распада кальций-тропониновых комплексов должны быть модифицированы (при сохранении всех остальных уравнений, в том числе уравнений, соответствующих реологической схеме, представленной на нижней панели рисунка 3.2). При этом следует учитывать, что в пределах одной функциональной группы A7TmTn в прикрепленном состоянии могут одновременно находиться от одного до трех поперечных мостиков, поскольку нить актина в миофибрилле окружена тремя миозиновыми нитями [4]. Следовательно, в модели должна быть реализована следующая кинетическая схема: {TnC + (i-l)-Xb} или {СаТпС + (І-1)-ХЬ} (где /=1, 2, 3, 4) обозначает совокупность тропонинов С или кальций-тропониновых комплексов, которым в пределах соответствующей регуляторной единицы АтТтТп на тонкой нити соответствует (І-1) прикрепившихся поперечных мостиков. Обозначим концентрации: [ТпС + (і -1) Xb] = yt и [СаТпС + (і -1) Xb] = zt
В этих обозначениях концентрация А = [СаТпС] представлена суммой: Л — / , ч i=l Соответственно, для концентрации поперечных мостиков N = [Xb] справедливо 4 соотношение: N = (/ — 1) {у{ + Z). i=l Скорость прикрепления поперечного мостика во всех случаях пропорциональна одной и той же совокупной величине точно так же, как это было определено выше для уравнения (3.1).
Вместо зависящей от N константы скорости распада СаТпС, которая используется в основной версии модели для описания кооперативности первого типа, в показанной выше кинетической схеме задаются 4 не зависящие от чего бы то ни было константы a0ff ь aoff2 aoff3 и d0ff4, которые альтернативно используются в соответствии с количеством поперечных мостиков, прикрепившихся в пределах функциональной группы AyTmTn. При этом обязательно должно выполняться следующее неравенство: a0ff / a0ff 2 aoff i floff4-, которое и составляет суть локальной кооперативности первого типа.
Приведенных соотношений достаточно для построения требуемых новых дифференциальных уравнений, описывающих процессы прикрепления-открепления поперечных мостиков и образование-распад кальций-тропониновых комплексов. Мы опускаем здесь запись этих уравнений в связи с тем, что она является очень громоздкой (при отсутствии каких-либо серьезных проблем, связанных с построением этих уравнений). Перейдем непосредственно к изложению основных результатов, полученных на этой версии модели.
Похожие диссертации на Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии
