Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные задачи и типы алгоритмов управления в химической промышленности 25
1.1 Позиционное регулирование 25
1.2. Автоматические системы с линейными законами регулирования 30
1.3. Системы с нелинейными алгоритмами управления 35
1.4. Использование методов декомпозиции при управлении динамическими технологическими объектами 46
1.5. Робастное управление 51
1.6. Постановка основных задач диссертационной работы 66
ГЛАВА 2. Синтез линейных систем управления 73
2.1. Расширение математического описания динамики объекта при помощи опорных траекторий 74
2.2. Расширенное математическое описание линейного объекта управления 81
2.3. Синтез дискретной системы управления по расширенной модели объекта 87
2.4. Реализация дискретной структурно-устойчивой системы управления 93
2.5. Постановка задачи синтеза регулятора стабилизации для непрерывной системы 98
2.6. Управление объектом первого порядка с запаздыванием 106
2.7. Управление произвольным инерционным устойчивым и минималь-нофазовым объектом с запаздыванием 113
2.8. Компенсация запаздывания. Синтез системы для объекта с произвольной динамикой 118
2.9 Обсуждение полученных результатов 125
ГЛАВА 3. Синтез систем управления линейным объектом на основе взаимной компенсации движений расширенной модели 129
3.1 Постановка задачи синтеза робастной дискретной системы 130
3.2 Постановка задачи синтеза робастной непрерывной системы 140
3.3 Синтез оптимальной робастной дискретной системы регулирования 145
3.4 Робастное управление непрерывным линейным объектом 156
3.5 Робастное управление непрерывным линейным объектом с одним входом и одним выходом 165
3.6 Сравнение качества робастных систем 180
3.7 Обсуждение полученных результатов 191
ГЛАВА 4. Управление нелинейными объектами 196
4.1. Постановка задачи стабилизации для нелинейного объекта 196
4.2 Расширение математической модели и линеаризация нелинейного объекта относительно опорных траекторий 201
4.3 Синтез робастного регулятора стабилизации для нелинейного объекта 216
4.4 Синтез нелинейного робастного регулятора для потенциально опасного объекта 225
4.5 Управление процессом сухого помола с рециркуляцией 236
4.6 Управление процессом производства реактива Гриньяра 244
4.7 Обсуждение полученных результатов 254
ГЛАВА 5. Управление тепловыми процессами 257
5.1 Управление процессами теплопередачи 257
5.2. Задача стабилизации температуры при производстве заготовок для волоконно-оптических линий связи по MCVD-методу 262
5.3. Постановка задачи управления и структурная оптимизаций системы стабилизации теплового режима 268
5.4. Субоптимальное по быстродействию управление процессом теплопередачи 276
5.5. Робастная стабилизации теплового режима процесса 281
5.6. Обсуждение полученных результатов 285
ГЛАВА 6. Использование скорости перемещения материала в реакторе в качестве управляющего воздействия 288
6.1 Постановка задачи управления 289
6.2 Управление по каналу изменения скорости 295
6.3. Управление процессом производства стеклопироуглеродной ткани 304
6.4 Управление процессом сушки в конвейерной сушилке 311
6.5 Обсуждение полученных результатов 318
ГЛАВА 7. Управление некоторыми технологическими процессами 321
7.1 Управление процессом плавления кварцевого стекла 321
7.2 Управление процессом нейтрализации сточных вод 327
7.3. Управление стадией полимеризации низкомолекулярного силоксано-вого каучука 339
7.4. Управление массой бумажного полотна 351
7.5 Обсуждение полученных результатов 360
Выводы 362
Литература 367
- Использование методов декомпозиции при управлении динамическими технологическими объектами
- Управление произвольным инерционным устойчивым и минималь-нофазовым объектом с запаздыванием
- Робастное управление непрерывным линейным объектом с одним входом и одним выходом
- Постановка задачи управления и структурная оптимизаций системы стабилизации теплового режима
Введение к работе
Одним из перспективных направлений при проектировании систем управления технологическими процессами является создание робастных систем, которые используются в тех случаях, когда математическая модель технологического процесса содержит неизвестные коэффициенты или другие виды неопределенности и на объект действуют возмущения. Эта ситуация при проектировании встречается наиболее часто и для ее разрешения в принципе могут быть использованы различные методы современной теории такие как: идентификация динамической модели объекта и возмущений, теория стохастических систем управления, использование теории нечетких множеств для управления, использование неиросетевых методов управления, использование методов адаптивного управления и теория робастных систем.
В зависимости от конкретных условий (вида модели, возмущений, ограничений) и от задачи системы управления может быть выбрано то или иное направление при проектировании, а иногда и несколько направлений. Большое значение при выборе направления исследования имеют также сложившиеся традиции. В диссертационной работе изучаются методы робастного управления линейными и нелинейными объектами в химической промышленности.
Остановимся вначале немного подробнее на процедуре проектирования АСР. Начало процедуры проектирования всегда совпадает с исследованием объекта управления. В литературе[1, 2] технологические объекты химической промышленности обычно разделяют на следующие классы: гидромеханические, где основное влияние оказывает перемещение и перемешивание жидкостей и газов; тепловые, где основным механизмом является нагрев и охлаждение; массообменные — такие как ректификация, абсорбция, адсорбция, сушка, экстракция; механические — измельчение, дозирование, классификация, перемешивание твердых материалов; химические, где основное влияние оказывает протекающие химические реакции — окисление, восстановление, синтез, нейтрализация и т. д.
Отнесение объекта управления к тому или другому классу позволяет перейти к следующему этапу проектирования — построению математической модели объекта управления. Процесс построения математической модели включает в себя следующие стадии [3, 4]: определение структуры модели, то есть определение топологической структуры потоков, построение графовой модели, анализ геометрических моделей аппаратов, исследование механизмов химических реакций и структуры межфазовых переходов; далее рассматривают функциональные модели, которые включают в себя модель кинетики, модель массопередачи между фазами, уравнения материальных и тепловых балансов; заканчивается моделирование уточнением эмпирических данных относительно плотности, теплоемкости, факторов активности компонентов реакций, а также относительно растворимости, коэффициентов распределения компонентов между фазами, кинетических констант и т. д. В результате получается математическая модель объекта управления, построенная по модульному принципу, причем эта модель не обязательно включает в себя все перечисленные модули.
Следует заметить, что математическая модель объекта управления может не совпадать с математическою моделью технологического процесса, то есть модель, которой пользуется технолог, и модель, используемая для синтеза АСР могут не совпадать. Это возникает из-за того, что модель, с одной стороны, связана с особенностями технологического процесса, с другой стороны, должна соответствовать последующему этапу проектирования — синтезу системы управления. Кроме того, часто на практике модель динамики объекта у технологов просто отсутствует и при проектировании системы управления ее приходится создавать с той или иной степенью детализации и точности.
В зависимости от использования предполагаемого в дальнейшем метода синтеза системы управления процесс моделирования может быть более про стым и грубым или более точным. Соответственно меняется степень адекватности модели и объекта.
Если, например, предполагается синтезировать регулятор при помощи теории нечетких множеств, то в качестве модели достаточно использовать граф причинно-следственных связей, устанавливающий логические связи в объекте между входными, промежуточными и выходными переменными, а также указать степень связи между отдельными вершинами графа при помощи экспертного оценивания. Здесь требования к математической модели минимальны.
Если предполагается использование адаптивного и робастного управления, то здесь при построении модели можно рассмотреть две возможных ситуации: известна структура модели, но существует неопределенность при задании параметров (коэффициентов модели); существует одновременно структурная, функциональная и параметрическая неопределенность модели объекта.
Сравнивая этот случай с предыдущим, видим, что здесь математическая модель является уже более сложной, а степень приближения ее к объекту должна быть более полной. Для случая параметрической неопределенности структура модели должна быть такой, чтобы она позволяла при правильной настройке параметров получить необходимую степень адекватности модели и объекта.
Если используется стохастическая теория управления, то необходимо задать вероятностные характеристики возмущений в объекте. Если, например, предполагается использовать теорию оптимальных систем (детерминированных), то модель должна быть задана полностью.
Таким образом, полнота описания математической модели динамики зависит также и от метода синтеза системы регулирования. В этом проявляется системный подход при проектировании. Операции моделирования объекта управления и синтеза системы регулирования должны рассматриваться совместно с учетом их взаимного влияния друг на друга в конкретных условиях, спе цифических для проведения данного технологического процесса или производства.
Следующим этапом проектирования АСР является этап синтеза. На этом этапе в той или иной форме получают алгоритм управления процессом. Для этого используют какой-либо из разделов теории управления. Обычно рассматривается система уравнений, описывающая поведение объекта, полученная на предыдущем этапе проектирования, а также критерий качества функционирования АСР и система ограничений на переменные системы и управления. Все перечисленные составляющие зависят от типа технологического процесса и в большинстве случаев они известны [5, 6, 7-18, 19-30].
Формирование алгоритма управления происходит с учетом возможностей его последующей технической реализации. В этом также проявляется системный подход при проектировании.
После синтеза регулятора следует этап анализа полученной АСР. Этот этап проводят либо на имитационной модели управляемой системы, либо на макетном образце, либо на промышленной установке. При этом происходит доработка алгоритма управления, уточняются величины параметров алгоритма. При необходимости процесс проектирования может носить итерационный характер. Тогда после этапа анализа спроектированной АСР проектировщик вновь возвращается к этапам моделирования и синтеза.
Диссертационная работа посвящена разработке методов синтеза систем на нижнем уровне иерархии в системе управления химическим производством. Здесь рассматриваются локальные системы управления многомерными технологическими объектами. Предполагается, что для управления используются цифровые методы, реализуемые на современной вычислительной технике.
Для таких систем актуальное значение приобретает разработка простых научно обоснованных методов синтеза робастных систем управления техноло гическими процессами, способных эффективно функционировать в условиях неопределенности.
Цель работы состоит в создании теоретических основ управления, методологии синтеза и проектировании конкретных алгоритмов управления технологическими процессами, работающими в условиях неопределенности, которые могут быть описаны обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями с запаздыванием, полученных в результате вложения исходной математической модели объекта в более сложную динамическую модель. Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:
— разработка теоретических основ и методологии процедур синтеза ро-бастных систем на основе использования расширенных математических моделей линейных и нелинейных объектов управления при наличии неопределенности.
— разработка методов расширения математической модели для линейных и нелинейных объектов управления, работающих в дискретном и непрерывном времени.
— разработка метода линеаризации нелинейной динамической модели объекта управления в окрестности семейства опорных траекторий, снимаемых в реальном времени объекта.
— разработка методов робастного управления для следующих классов технологических процессов: теплообменные процессы, потенциально опасные процессы, процессы, где в качестве управления используется скорость перемещения материала в реакторе.
В работе рассматривается специальный метод синтеза АСР, который отличается от традиционного подхода тем, что в рассмотрение вместе с вектором состояния объекта дополнительно вводится также ряд опорных траекторий. Эти опорные траектории вычисляются эмпирически в реальном времени рабо ты системы регулирования и используются для улучшения свойств проектируемой АСР. При этом не происходит отказа от известных методов синтеза. Наоборот, известные методы синтеза дополняются новым подходом.
Получение опорных траекторий происходит в результате пропускания вектора состояния объекта через систему фильтров, соединенных последовательно. В дальнейшем при синтезе системы уже рассматривается совокупность, состоящая из исходного объекта регулирования и системы фильтров. Эта совокупность устройств имеет расширенное математическое описание относительно исходного вектора состояния объекта и введенных искусственно опорных траекторий.
При введении опорных траекторий происходит разделение движений в системе. Идея разделения движений в системе на быструю и медленную составляющие известна давно. Она широко используется при решении дифференциальных уравнений. Применение метода возмущений (метода малого параметра) является традиционным для теории дифференциальных уравнений. Этим обусловлено его широкое применение также для решения оптимальных задач в теории регулирования.
В представленной здесь работе развивается несколько отличный подход к синтезу систем, также связанный с разделением движений в объекте. Основные отличия заключаются в следующем. Во-первых, рассматривается разделение движения не на две составляющие, а на произвольное количество составляющих, которые в сумме дают исходное движение. Во-вторых, рассматривается принудительное разделение движений объекта за счет использования системы фильтров, через которые пропускается выходной сигнал или вектор состояния объекта. В отличие от этого в приведенных выше работах рассмотрен случай естественного разделения движений исходя из динамических свойств самого объекта регулирования.
Введение системы фильтров изменяет только динамику объекта, но не увеличивает информации о регулируемом процессе. Поэтому вместо исходной динамической модели управляемого объекта здесь рассматривается его расширенная динамическая модель, которая в информационном отношении эквивалентна исходной модели объекта. Эта расширенная модель в общем случае включает в себя вектор состояния исходного объекта, систему опорных траекторий, которые получаются пропусканием вектора состояния объекта через систему последовательно соединенных фильтров, и ряд векторных сигналов рассогласования между смежными опорными траекториями.
Введение опорных траекторий в процесс исследования поведения объекта сильно увеличивает размерность вектора состояния для расширенного описания объекта. Так, если N — количество опорных траекторий, то происходит увеличение размерности вектора состояния в N+1 раз. Это является большим недостатком такого подхода к проектированию. Обычно число N невелико (\ N 3) и это в первую очередь связано с увеличением размерности вектора состояния.
С другой стороны, введение в рассмотрение опорных траекторий создает целый ряд преимуществ при анализе математической модели объекта и синтезе АСР, о которых речь будет идти ниже.
В первой главе рассмотрены основные законы управления, которые традиционно используются при автоматизации технологических процессов. Каждому типу управления сопоставляется одна или несколько оптимальных задач, решением которых являются рассматриваемые законы управления. Это позволяет классифицировать различные типы законов управления и выделить то множество алгоритмов, для которого возможна модификация в соответствии с методологией синтеза, разрабатываемой в диссертации. Здесь также изложена специфика задач управления технологическими процессами и сформулированы основные положения, которые являются предметом диссертационной работы.
Использование частотной декомпозиции движения объекта за счет введения опорных траекторий позволяет по-новому поставить задачу синтеза регулятора. Здесь можно рассмотреть два основных подхода. Первый подход состоит в замене одной задачи стабилизации исходного объекта на несколько независимых задач стабилизации для отдельных составляющих расширенного вектора состояния. Под задачей стабилизации будем понимать задачу получения управления, способного перевести вектор состояния объекта из заданного начального положения в начало координат в пространстве состояний объекта.
Так как все составляющие расширенного вектора состояния объекта в сумме равны вектору состояния исходного объекта в любой момент времени, то решение всех частных задач стабилизации является также решением исходной задачи стабилизации. С другой стороны, очевидно, что введение в описание объекта системы фильтров вносит дополнительные фазовые сдвиги сигналов и увеличивает порядок расширенной модели объекта. Поэтому физически ясно, что описанная процедура замены исходной задачи стабилизации на ряд частных подзадач стабилизации с последующим их решением в конечном итоге не позволит синтезировать регулятор с лучшими динамическими свойствами, чем регулятор, синтезированный для исходного объекта. Но все же в рамках такого подхода при некоторых условиях можно получить систему с такими же динамическими свойствами, обладающую дополнительными преимуществами, связанными с робастностью.
Второй подход заключается в совместном решении частных задач стабилизации при дополнительном условии, что отдельные составляющие расширенного вектора состояния во время переходного процесса должны компенсировать друг друга. Причем их взаимная компенсация должна быть по возможности максимальна в каждый момент времени при сохранении устойчивости системы. На этом пути можно попытаться создать робастную систему, которая будет мало зависеть от неопределенности в модели объекта и действия возму щений, так как эти факторы влияют на все компоненты расширенного вектора состояния. Соответственно при взаимной компенсации составляющих расширенного вектора состояния будут также компенсироваться нежелательные последствия действий этих факторов. Так как разные составляющие расширенного вектора состояния не в одинаковой степени зависят от факторов возмущения и неопределенности, то это должно быть учтено при постановке задачи синтеза.
В работе рассматриваются оба изложенных подхода. В рамках первого подхода во второй главе решается задача синтеза оптимального регулятора в классе дискретных систем с квадратичным функционалом, который не содержит управления. Известно, что решение такой оптимальной задачи приводит к системе регулирования с бесконечной степенью устойчивости с апериодическим регулятором состояния. В работе показано, что оптимальное решение реализуется при разделении движения на две составляющие при предельных значениях параметра фильтра, когда одна из составляющих движения вычисляется как неопределенность типа оо • о, а задача оптимизации становится сингулярной. При этом для ограниченного класса объектов обеспечивается устойчивость системы при любых значениях параметрической неопределенности модели объекта.
Далее рассматривается эквивалентный регулятор в классе непрерывных систем. Эквивалентность дискретного и непрерывного регуляторов понимается как одинаковость их воздействия на непрерывный объект. В качестве объекта здесь рассмотрено инерционное звено первого порядка. Такая постановка задачи синтеза обусловлена желанием определить класс непрерывных регуляторов, а также оптимальные значения параметров этих регуляторов, позволяющие осуществить эквивалентность в указанном выше смысле непрерывной и дискретной системы. Это интересно, так как соответствующая дискретная система имеет бесконечную степень устойчивости.
В работе показано, что соответствующий непрерывный регулятор является ПИ регулятором, а его настройки должны выбираться по критерию апериодической устойчивости, когда ближайшим к мнимой оси характеристическим числом замкнутой системы является действительный корень с максимальной кратностью. Такая система имеет максимальную степень устойчивости и наибольшее быстродействие среди систем с действительными характеристическими числами.
Используя метод динамической компенсации [31], полученные результаты распространяются сначала на объекты с запаздыванием, имеющие динамическую часть первого порядка. Затем на объекты с произвольной устойчивой и минимально фазовой динамикой, а после на объекты с запаздыванием, у которых динамическая часть может быть неустойчива или находится на границе устойчивости, или с не минимально фазовой динамикой. Для всех рассмотренных случаев получены формулы для определения передаточных функций регуляторов, параметры которых аналитически связаны с параметрами передаточных функций объекта. В частных случаях, когда динамика объекта с запаздыванием описывается уравнениями первого и второго порядков, эти формулы сводятся к ПИ и ПИД законам регулирования. Параметры настроек вычисляются аналитически по номинальным значениям параметров передаточных функций объектов.
Второй подход к синтезу регулятора, также связанный с частотной декомпозицией вектора состояния исходного объекта, излагается в третьей главе и предполагает решение задачи проектирования в три этапа. На первом этапе происходит расширение математической модели, как это было описано выше, на втором — решение задачи получения оптимального закона управления, который позволяет реализовать частичную взаимную компенсацию составляющих расширенного вектора состояния, а на третьем этапе — .алгоритмическая реализация робастных алгоритмов на основании оптимальных параметров, за дачи полученных на втором этапе. В частном случае третий этап может быть опущен. Тогда в качестве управления используется оптимальный алгоритм, полученный на втором этапе.
Задача второго этапа решается как задача оптимального управления со специально выбранным квадратичным функционалом на бесконечном интервале управления. Причем чем меньше получается значение функционала, тем лучше и полнее взаимная компенсация и тем грубее синтезированная система к действию возмущений и влиянию неопределенности модели объекта.
Оптимальность понимается как минимизация функционала качества системы в функциональном пространстве L2. Известно, что при минимизации нормы ошибки системы в пространстве Я00 достигается одновременно робаст-ное и оптимальное решение задачи стабилизации. Но при этом #°°— оптимизация часто приводит к регуляторам высокого порядка даже в тех случаях, когда объект регулирования имеет низкий порядок. При этом коэффициенты регулятора могут иметь очень большой разброс значений (на несколько порядков). Если при практической реализации системы эти коэффициенты несколько варьируются, то регулятор очень быстро теряет не только оптимальность, но и вообще перестает стабилизировать систему [32].
Взаимная компенсация составляющих расширенного вектора состояния объекта позволяет решать оптимальную задачу в Z.2 в том числе и для не минимально фазового объекта. Процедура поиска оптимального решения в L2 несравнимо легче, чем решение задачи в Ям, так как она опирается на методы оптимизации, которые стали уже классическими в теории управления. Простота и эффективность таких методов синтеза робастных оптимальных алгоритмов управления создают возможности для их применения в практических задачах при автоматизации технологических процессов.
В третьей главе показано, что для реализации частичной взаимной компенсации составляющих расширенного вектора состояния объекта движение в системе должно осуществляться вблизи пересечения заданного числа гиперплоскостей специального вида в расширенном пространстве состояний. Это является основой для постановки задачи синтеза третьего этапа. Минимальное число гиперплоскостей равно единице, когда задача компенсации рассматривается только для выходной величины объекта. Максимальное число гиперплоскостей равно порядку исходного объекта, когда задача компенсации рассматривается для всего вектора состояния исходного объекта. При этом интегральная кривая системы в расширенном пространстве состояний не обязательно принадлежит пересечению этих гиперплоскостей. Достаточно, чтобы движение системы происходило в некоторой окрестности их пересечения.
Вид гиперплоскостей зависит от решения задачи оптимального управления второго этапа с квадратичным критерием. Задача решается в пространстве функций суммируемых или интегрируемых с квадратом для линейного номинального объекта с известными параметрами и без возмущений. Решение такой задачи хорошо известно. Когда вид гиперплоскостей установлен, то выбор управления, позволяющего системе двигаться в некоторой окрестности их пересечения, может быть сделан многими способами. В частности может быть использовано и полученное оптимальное управление.
В работе рассматриваются такие методы управления для дискретных и непрерывных объектов с запаздыванием, что вполне соответствует наиболее часто встречающимся моделям объектов управления в химической промышленности. Эти задачи решались автором методами оптимального управления, методами, использующими функции Ляпунова, методами модального управления, традиционными методами с использованием логарифмических частотных характеристик. В диссертации подробно изложены метод модального управления, позволяющий рассматривать максимальное число гиперплоскостей, равное порядку объекта, и метод логарифмических характеристик с одной гиперплоскостью относительно регулируемой величины. При реализации частичной взаимной компенсации составляющих вектора состояния расширенной модели объекта все эти методы позволяют получить робастные системы регулирования. Таким образом, использование идеи разделения движений в объекте позволяет как в рамках первого, так и в рамках второго подходов получить новые результаты для решения задачи синтеза регулятора для линейного объекта.
При синтезе нелинейных систем в четвертой главе используется линеаризация и одновременное расширение модели нелинейного объекта в окрестности нескольких опорных траекторий. В результате получается линейная модель с переменными параметрами, которая описывает движение во всем пространстве состояний. Линеаризация нелинейной динамической модели объекта относительно нескольких опорных траекторий, снимаемых эмпирически, позволяет значительно увеличить точность модели по сравнению с линеаризацией относительно заданного режима. Такая процедура линеаризации во многих случаях оказывается и более корректной, так как часто желаемое движение известно не полностью (не для всех координат объекта).
Иногда при проектировании возникают ситуации, когда желаемое движение системы заранее не известно. Например, в задаче интенсификации режима работы потенциально опасного перерабатывающего объекта с экстремальной характеристикой, неустойчивой в области справа от экстремума. Здесь требуется создать такой регулятор стабилизации, который способен максимально увеличить область устойчивости нелинейного объекта в окрестности экстремума. Причем задающее воздействие для системы стабилизации и желаемое состояние равновесия заранее не известны. Они изменяются в процессе поиска экстремума по производительности.
Другим важным преимуществом модели, линеаризованной относительно опорных траекторий является ее глобальность в отличии от обычной линеаризации, которая имеет локальный характер и справедлива в окрестности некоторого желаемого движения в пространстве состояний. При линеаризации отно сительно опорных траекторий модель также строится в окрестности опорной траектории и в этом смысле она локальна, но опорная траектория, в отличии от зафиксированного желаемого движения, всегда подвижна и изменяет положение в пространстве состояний вместе с движением объекта. Поэтому она описывает процесс глобально во всем пространстве состояний с заданной степенью приближения. Недостатком является то, что коэффициенты разложения всегда зависят от опорных траекторий и могут существенно изменяться во времени.
Закон управления для линейной системы с переменными параметрами обычно ищется в виде линейной обратной связи по вектору состояния, матрица которой зависит от времени. В силу глобальности линеаризованной на опорных траекториях модели такая форма представления закона управления становится адекватной расширенной нелинейной модели объекта во всем пространстве.
Еще одним достоинством этого подхода является то, что здесь можно отдельно рассматривать линеаризацию объекта в динамике и статике. Например, можно создать модель, которая в динамике является линеаризованной моделью, а в окрестности статического режима совпадает с исходной нелинейной моделью объекта. Это позволяет использовать линеаризованную модель для описания движения объекта в окрестности экстремума.
В полученной таким образом линеаризованной модели переменные коэффициенты значительно изменяются за время переходного процесса. Это вызывает необходимость разработки специальных методов синтеза. В работе рассматриваются несколько подходов. Во-первых, используется решение задачи синтеза робастного регулятора стабилизации для расширенного линейного объекта при условии, что переменные значения параметров модели объекта заменяются их средними значениями за время регулирования. Такой подход позволяет получить линейную стационарную стратегию управления, когда вариа ции параметров относительно их средних отнесены к параметрической неопределенности модели. Этот же подход может быть использован в условиях, когда весь интервал времени регулирования разбивается на несколько диапазонов, в каждом из которых используются свои средние значения параметров. Это позволяет получить свою линейную стационарную стратегию для данного диапазона регулирования.
Во-вторых, рассматривается переход к новым переменным состояния, включающим в себя изменения параметров собственной матрицы объекта, которые считаются известными, относительно средних значений. Показано, что для этих переменных также может быть использован полученный ранее линейный робастный закон регулирования. Но поскольку новые переменные вычисляются с учетом изменения параметров, то этот закон должен быть отнесен к классу линейных нестационарных алгоритмов управления.
В-третьих, рассматривается решение этой задачи синтеза в классе нечетких регуляторов. Лингвистическое описание закона управления получено на основании линейного робастного алгоритма, а для фаззификации использованы новые переменные, которые вычисляются с учетом вариаций параметров объекта относительно их средних значений. Это дает нелинейную и нестационарную стратегию управления.
Применение описанных ранее подходов к построению робастных линейных систем и линеаризация модели объекта относительно ансамбля опорных траекторий в пространстве состояний, а также использование известных нелинейных робастных алгоритмов создает новые предпосылки для проектирования нелинейных систем управления классом потенциально-опасных процессов химических производств. Целью такого проектирования является создание системы управления, которая позволяет в наибольшей степени расширить область устойчивости нелинейного объекта, склонного к аварийным состояниям, в пространстве состояний и в пространстве изменения параметров модели объ екта. Это в свою очередь позволит вести технологический процесс с максимальной эффективностью и значительно снизить, а может быть и исключить, необходимость вмешательства в управляемый процесс дополнительных систем защиты.
Здесь особую роль играют нелинейные робастные алгоритмы стабилизации. При синтезе линейного робастного управления для линейного объекта обычно предполагается, что при действии неопределенности не происходит потери устойчивости объекта. Для потенциально опасных процессов это предположение может не выполняться, так как аварийная ситуация чаще всего формализуется как потеря устойчивости объектом.
Поэтому использование линейных алгоритмов стабилизации не позволяет полностью решить задачу управления потенциально опасным процессом в нормальном режиме. Для таких объектов лучше использовать нелинейные робастные алгоритмы стабилизации, для которых обычное предположение об устойчивости может не выполняться. Такие алгоритмы рассматриваются в работе.
В качестве примеров потенциально опасных процессов рассмотрены процесс сухого помола в замкнутом цикле и процесс производства реактива Гриньяра. На примере процесса измельчения проведено сравнение точности метода линеаризации относительно опорных траекторий с обычной линеаризацией, а также получен ряд решений задачи управления в классе линейных ро-бастных систем вместе с системой защиты и в классе нелинейных робастных систем. Для этого процесса получены нелинейные алгоритмы управления, позволяющие обеспечить устойчивость системы стабилизации в целом. На примере процесса производства реактива Гриньяра получены решения задачи стабилизации в классах линейных, нечетких и нелинейных дискретных робастных алгоритмов управления, позволяющие расширить область устойчивости системы.
Второй класс химико-технологических объектов, рассмотренных в пятой главе, представляют собой процессы теплопередачи. Для них рассмотрена задача максимального быстродействия для разогрева реагента до заданной температуры в условиях параметрической неопределенности модели теплового баланса, из-за которой заранее неизвестны температура стенки, необходимая для поддержания заданной температуры реагента, и мощность на нагрев. Эта задача решена с использованием системы с переменной структурой и с использованием модальной линейной робастной системы. В качестве примера рассмотрен процесс стабилизации температуры реагента при производстве заготовок для волоконно-оптических линий связи по MCVD методу.
В качестве третьего класса задач управления в шестой главе рассмотрены задачи стабилизации технологических процессов, у которых роль управляющего воздействия играет скорость перемещения материала в реакторном пространстве. Показано, что эти процессы имеют ряд специфических особенностей, которые позволяют выделить их из всего множества технологических процессов. Для них получен ряд результатов по робастной стабилизации. В качестве примеров рассмотрены задачи управления процессами производства стеклопироуглеродной ткани и сушки в конвейерной сушилке.
Кроме этого в седьмой главе с целью иллюстрации разработанных методов синтеза получены алгоритмы управления процессом наплавлення блоков кварцевого стекла, процессом нейтрализации сточных вод, процессом полимеризации низкомолекулярного силоксанового каучука, процессом производства бумаги.
На примере управления процессом наплавлення кварцевых блоков решена задача синтеза системы в условиях, когда модель объекта управления практически отсутствует. После разделения движения объекта на быструю и медленную составляющие для них по отдельности строится регулятор ситуационного управления для быстрого движения и регулятор адаптивного управления для медленного движения. На примере управления процессом нейтрализации решена задача построения непрерывной робастной комбинированной системы управления, позволяющей минимизировать величины проскоков кислоты и реагента на выходе объекта при наличии инерционности и запаздывания в дозирующем устройстве. На примере управления процессом полимеризации решена задача построения алгоритмического обеспечения импульсной робастной системы управления, необходимой для осуществления перехода с периодической на непрерывную технологию. На примере управления процессом производства бумаги решена задача синтеза робастной системы объектом с векторным управлением большой размерности.
Основными положениями, выносимыми автором на защиту, являются следующие:
1. Разработанный новый класс робастных систем управления технологическими процессами, синтез которых основан на использовании расширенных математических моделей объекта управления, построенных с использованием частотной декомпозиции исходной модели при помощи опорных траекторий, снимаемых в реальном времени.
2. Полученные математические модели для аналитического описания расширенного объекта с принудительным разделением движения на отдельные составляющие.
3. Разработанный новый метод решения задачи робастной стабилизации для дискретных и непрерывных линейных и нелинейных систем, использующий идею частичной взаимной компенсации составляющих движения расширенной модели во время переходного процесса.
4. Разработанный метод линеаризации нелинейной динамической модели в окрестности нескольких опорных траекторий, позволяющий получить линеаризованное описание процесса, свойства которого отличаются от свойств модели, линеаризованной относительно заранее заданного движения.
5. Разработанный метод синтеза робастных регуляторов для линейных объектов с быстроизменяющимися параметрами, позволяющий последовательно решать задачу в классах линейных стационарных и нестационарных стратегий, а также в классе нелинейных и нестационарных стратегий управления.
6. Разработанный метод синтеза субоптимальных по критерию апериодической устойчивости алгоритмов управления для динамического объекта с запаздыванием.
7. Полученные новые формулы для настройки ПИ и ПИД законов регулирования объектом с запаздыванием, позволяющие рассчитать параметры регуляторов непосредственно по параметрам передаточной функции объекта.
8. Предложенные методы синтеза робастных алгоритмов управления для следующих классов химико-технологических процессов: процессы теплообмена, потенциально опасные процессы, процессы, стабилизируемые при помощи изменения скорости перемещения материала в реакционном пространстве.
Таким образом, диссертационная работа посвящена разработке методов синтеза систем управления с применением опорных траекторий в пространстве состояний, полученных в реальном времени работы системы. При этом разработаны новые подходы к синтезу систем управления и получен целый ряд новых алгоритмов управления, которые легко могут быть реализованы при помощи современных программно-технических комплексов, широко используемых при автоматизации в химической промышленности. Кроме того, введение опорных траекторий позволило видоизменить традиционную постановку задачи синтеза и за счет этого получить новые формулы для настройки параметров ПИ и ПИД законов регулирования непосредственно по заданной передаточной функции объекта. Все теоретические подходы иллюстрируются практическими примерами синтеза систем управления в химической промышленности.
Практическая значимость и реализация результатов работы. Практическая значимость работы заключается в разработке алгоритмов управления и создании программного обеспечения для решения задач стабилизации в условиях неопределенности для следующих классов технологических процессов: процессов теплопередачи; процессов, где в качестве управления используется скорость перемещения материала в реакторе; потенциально опасных процессов. Разработан комплекс компьютерных программ, позволяющих решать задачи синтеза и имитационного исследования систем управления.
Новизна и значимость технических решений подтверждается пятью авторскими свидетельствами на изобретение и публикациями в научных изданиях.
Разработанные в диссертации способы, алгоритмы и программные средства использованы при создании системы управления и контроля производства блочного кварцевого стекла, а также системы управления процессом MCVD в ГосНИИ кварцевого стекла (Санкт-Петербург), системы управления производством стеклопироуглеродной ткани в ПО «Светлана» (Санкт-Петербург), системы управления процессами теплопередачи при производстве пероксида водорода на ОАО «Химпром» (Новочебоксарск) и ОАО «Синтез» (Дзержинск), системы стабилизации массы бумажного полотна на ЗАО НІШ «Фильтровальные материалы» (Санкт-Петербург).
Научные аспекты исследований используются при преподавании в Санкт-Петербургском государственном институте (Техническом университете).
Использование методов декомпозиции при управлении динамическими технологическими объектами
Под декомпозицией обычно понимают расчленение сложной исходной задачи на ряд независимых более простых задач. Декомпозиция является основным приемом исследования сложных систем и широко применяется в практике проектирования химико-технологических систем особенно при решении статических задач оптимизации [11, 12, 17, 18]. Нас в данном случае будет интересовать, как используются методы декомпозиции при решении оптимальных задач для динамических объектов. Наряду с декомпозицией часто рассматривается сходный прием, который называется агрегированием [162]. Под агрегированием понимают замену какой-либо группы переменных, характеризующих состояние системы, одной переменной, именуемой агрегатом.
Как правило, точное решение задачи декомпозиции, состоящее в полной эквивалентности исходной и преобразованной задачи делают процедуру преобразования сравнимой по сложности с непосредственным решением исходной задачи, либо это возможно в очень ограниченном классе ситуаций. Поэтому при решении практических задач автоматизации обычен отказ от полной эквивалентности. При этом в динамических задачах естественно использование метода малого параметра, то есть теории возмущений [54, 163-176] в качестве формальной базы для декомпозиции. Основная идея метода возмущений заключается в разделении описания сложной системы на основную структуру и детализирующую, более тонкую, структуру. Детализация рассматривается, как возмущение основной структуры (порождающей структуры) путем введения малого параметра є 0. Выделение основной структуры происходит эвристически, но схемы теории возмущений позволяют оценить эффективность эвристических построений и уточнить полученные результаты.
Применение метода возмущений (метода малого параметра) является традиционным для теории дифференциальных уравнений. Этим обусловлено его широкое применение для решения оптимальных задач. Основным эвристическим приемом в теории динамических систем является частотное разделение движений на быстрое и медленное. Этот подход связан с приемами агрегирования и декомпозиции, так как разделение на быстрые и медленные движения позволяет по отдельности рассматривать систему медленных движений при є = 0, имеющую меньшую размерность вектора состояния, и систему быстрых движений, которые протекают в окрестности уже найденного медленного движения, с различной степенью точности при є 0.
Параметр є введен так, чтобы порождающая задача при є = 0, относилась к классу эффективно разрешимых аналитически или численно. Целью теории является точное или приближенное (со строго оцениваемой точностью) построение семейства решений х (г,є) для некоторой окрестности є =0. Успех ее применения к конкретной задаче зависит от удачного выбора описания, позволяющего ввести є в окрестность и получить желаемую точность.
Порождающая задача должна быть более простой, чем возмущенная либо «по классу сложности», либо по размерности. В качестве более «простых по классу» можно рассматривать линейные системы по сравнению с нелинейными. Особенно просты задачи с квадратичным или линейным критерием. Поэтому большой интерес представляет исследование задач с малыми нелинейными возмущениями. Также целесообразно выделить класс сложных систем, где интенсивность связей между подсистемами достаточно мала. Например в [162] рассматривается управление непрерывным технологическим комплексом, состоящим из нескольких агрегатов непрерывного действия, связанных между собой через промежуточные емкости, предназначенные для хранения сырья, полупродуктов и конечной продукции, раздельно по каждому из видов ингредиентов, циркулирующих в системе. Режим работы каждого агрегата зависит от его загрузки (расхода затрачиваемых ингредиентов), а также технологического управления (подачи топлива, электроэнергии, воздуха и т.п.). Запасы ингредиентов, сохраняемые в емкостях, изменяются только благодаря небалансу между их затратами на обеспечение работы агрегатов.
Скорость изменения внутренних процессов в агрегатах обычно существенно выше скорости изменения запасов (при больших емкостях хранения), что и создает предпосылки для разделения движений в системе на «медленную» и «быструю» составляющие, а соответствующая оптимизационная задача оказывается близкой к непосредственно декомпозируемым задачам.
Такая же ситуация возникает, когда порождающая задача имеет непосредственно агрегируемую структуру. Ее решение полностью определяется решением агрегированной задачи.
Специфика декомпозиции динамических задач на «медленные» и «быстрые» составляющие зависит от учета малых постоянных времени при описании модели объекта управления. Для любого технологического объекта возможно сколь угодно большое повышение порядка модели путем учета более тонких физических явлений. С другой стороны методы теории оптимального управления всегда жестко привязаны к заданному порядку модели. Поэтому является актуальной проблема грубости полученных регуляторов к изменению порядка математической модели. Путь решения этой проблемы заключается в принятии физически оправданной гипотезы о том, что повышение порядка модели связано с учетом все более и более быстропротекающих процессов. С этой проблемой сталкиваются в классической теории, например при проектировании систем методом логарифмических характеристик. Практика показывает, что при расчетах нецелесообразно учитывать быстрозатухающие процессы, которым отвечают малые постоянные времени в передаточной функции объекта. Также нет необходимости в совместном рассмотрении подсистем, сильно связанных между собой, но резко различающихся по скоростям протекания процессов [164, 167].
Сложность исследования систем с разномасштабными скоростями протекания процессов проявляется также при численном анализе, что приводит к созданию целой группы методов численного интегрирования, известных под названием «теории жестких систем» [171, 172]. При изучении задач оптимизации трудности, связанные с разномасштабностью еще существеннее.
Управление произвольным инерционным устойчивым и минималь-нофазовым объектом с запаздыванием
В этом параграфе будет рассмотрен целый класс алгоритмов стабилизации [258, 276] для устойчивых инерционных минимальнофазовых линейных объектов с запаздыванием, который может быть образован на основании закона регулирования (2.98) и метода динамической компенсации [31].
Если воспользоваться алгоритмом управления (2.98), то видно, что после компенсации динамики знаменателя передаточной функции объекта (2.63), получим передаточную функцию разомкнутой системы вида (2.93)
wXp)=wMwoip) = -— p, (2.102)
где wc = 0.343/т 0 — частота среза (2.93) при k0 = k.
Передаточная функция (2.102) является желаемой передаточной функцией разомкнутой системы в методе компенсации [31]. На основании (2.102) нетрудно получить также и желаемую передаточную функцию замкнутой системы по известной формуле (&z{p)=Wz{p)[{\.- rWz{p))- Далее, воспользовавшись формулой (2.102), можно распространить изложенный подход для более широкого класса объектов управления с устойчивой и минимально фазовой передаточной функцией с запаздыванием
0{р)=к0 Ще-"\ (2.103)
где Вт (р), Ап (р) — устойчивые полиномы степени т, п соответственно
(т п,Вт(0)=Ап(0) = 1).
Поставим задачу компенсации динамики Вт(р)/Ап(р) объекта (2.103) при
помощи выбора соответствующей передаточной функции регулятора так, чтобы в результате получить передаточную функцию разомкнутой системы (2.102). При этом существенно используется минимальная фазовость и устойчивость (2.103). Передаточная функция регулятора полученного на основании метода динамической компенсации может быть записана в виде
w (п\= 4(Р) с(ТсР + О" "" = тос 4,0?) Г2 104Ї
рКР, КвМ p(TtP + if" 2 к ор в.Шт.Р + іУ" Ей соответствует желаемая передаточная функция замкнутой системы Ф2 [р)=— -2 _ п , _, , Tz — малая постоянная времени.
p{Ttp + \f"-i+Tzc.e -{Tzp + \)" Из (2.104) видно, что Ф20 ) имеет минимально возможный порядок числителя п + т-\ [31, 270] и с точностью до малых постоянных времени повторяет желаемую передаточную функцию замкнутой системы (2.101). При этом вместо (2.102) для номинальной системы получим
WZ(J,)=WP(P)W0(P)= " - (2Л05)
Видно, что передаточная функция (2.105) отличается от передаточной функции (2.102) наличием малых постоянных времени ТЕ, которые изменяют логарифмические характеристики на высоких частотах, но почти не изменяют их на средних частотах (в окрестности частоты среза) и низких частотах, что обуславливает устойчивость системы (2.103), (2.104). Кроме этого на основании (2.105) нетрудно видеть, что полученная система регулирования имеет астатизм первого порядка.
Класс передаточных функций объекта (2.103) ограничен условием устойчивости полиномов Вт{р\ Ап(р). Это связано с условием применимости метода компенсации [31]. Такой подход не применим непосредственно к неустойчивым и не минимально фазовым объектам вида (2.103). Это же касается и объектов, которые находятся на границе устойчивости. Для управления в этих случаях обычно используют двухконтурные системы [31], но это может оказаться сложнее, чем традиционная настройка ПИД закона регулирования.
Основным преимуществом предложенного метода синтеза системы регулирования является отсутствие процедуры настройки параметров регулятора, так как все коэффициенты передаточной функции регулятора (2.104) определяются по коэффициентам передаточной функции объекта (2.103).
При помощи передаточной функции (2.104) задается класс линейных регуляторов более широкий, чем множество ПИД законов регулирования, так как формула (1.5) для ПИД регулятора с реальным дифференцирующим устройством является частным случаем формулы (2.104). Из сравнения (2.104) и (1.5) видно, что ПИД закон регулирования получается, если в (2.104) п = 2, т = 0. В этом частном случае получим
Так как полином второго порядка А2(р), присутствующий в знаменателе передаточной функции объекта и в числителе передаточной функции регулятора (2.106) может иметь либо пару вещественных, либо пару комплексно сопряженных корней, то рассмотрим эти два случая по отдельности. Пусть вначале А2{р)=(т3р + \\тлр + \), то есть динамика объекта регулирования описывается апериодическим звеном второго порядка
Робастное управление непрерывным линейным объектом с одним входом и одним выходом
В этом параграфе рассмотрим решение задачи робастного управления при помощи метода логарифмических характеристик. Это позволит, с одной стороны, получить еще одно решение, а с другой стороны, даст возможность рассмотреть полученные результаты с позиций классической теории управления. Робастное управление будет получено при помощи применения метода частичной взаимной компенсации для расширенной выходной величины объекта. Таким образом это частная задача, когда требуется осуществить движение относительно только одной гиперплоскости, так как в общем виде этот метод применяется к вектору состояния объекта и требует стабилизации относительно пересечения нескольких гиперплоскостей.
Рассмотрим задачу стабилизации выхода системы в соответствии со структурной схемой на рис. 3.1.
Как видно из приведенной структурной схемы, на вход регулятора с передаточной функцией W (р) подается не сигнал ошибки є , как это имело бы
место в обычной системе стабилизации, а сигнал относительного движения є". Для получения этого сигнала необходимо знать параметры гиперплоскости (3.11) dx,d2 и постоянную времени фильтра Гф1.
(3.78)
Как видно из рис. 3.1, регулятор W p{p) получает информацию об отклонении относительно гиперплоскости (3.77) в расширенном пространстве (Дє є,), которая формируется при помощи передаточной функции (3.76). С этой точки зрения естественна следующая постановка задачи синтеза регулятора
1. Для расширенной передаточной функции номинального объекта (3.78) требуется синтезировать регулятор с передаточной функцией W p{p) так, чтобы система удовлетворяла заданным требованиям по наличию запаса устойчивости и точности. Существенным в этой постановке является то, что здесь рассматривается не передаточная функция исходного объекта, а расширенная передаточная функция (3.78). После этого передаточная функция регулятора, связывающая сигнал ошибки є с управлением и, имеет вид
Wp(p)=K(p)Wp(p). (3.79)
При обычном подходе передаточная функция разомкнутой системы, которая не является робастной, имеет вид
W{p) = KbM- (3-80)
Она отличается от (3.75) отсутствием элемента расширения модели объекта с передаточной функцией (3.76). При этом требуется так выбрать передаточную функцию регулятора W p(p), чтобы в области средних частот обеспечить
заданный запас устойчивости системы по фазе и амплитуде ф, h. Также ставятся требования по точности в низкочастотной области и требования по фильтрации возмущений в высокочастотной области. Но здесь они не будут рассматриваться для простоты.
Будем считать, что регулятор W p(p) выбран так, что система с передаточной функцией (3.80) имеет заданную частоту среза тас и заданные величины запаса по фазе и запаса по амплитуде. Теперь перейдем к передаточной функции разомкнутой робастной системы (3.75) при 0 d2 l,d1 l. Введение в передаточную функцию разомкнутой системы коэффициента передачи d2 1 опускает логарифмическую амплитудную характеристику относительно ее положения в передаточной функции (3.80). При этом частота среза тис смешается влево в область низких частот и становится равной тзС1 тас, а запас по фазе не изменяется. Если передаточная функция регулятора W p{p) выбрана правильно, то в системе с передаточной функцией (3.80) амплитудная логарифмическая характеристика пересекает ось абсцисс при та = шс с наклоном -20дБ/дек и этот участок имеет продолжительность не меньше одной декады (для минимально фазового объекта). Поэтому можно предположить, что после введения в передаточную функцию (3.80) коэффициента передачи d2 1, новая частота среза таС1
будет также находится на участке с наклоном -20дБ/дек. Поэтому в области частоты среза амплитудная характеристика может быть описана выражением 201птос/та и после введения сомножителя d2 станет 201п і2тас/та . Поэтому новая частота среза таС1 = d2xzc. Это показано на рис. 3.2 (линия Ъ - Ъ).
Логарифмическая амплитудная характеристика для передаточной функции (3.80) показана при помощи линии а-а, имеющий наклон -20дБ/дек. После введения коэффициента передачи d2 она смещается вниз и занимает положение Ъ-Ъ. Фазовые характеристики на рис. 3.2 не приводятся для простоты, так как для минимально фазовых звеньев они однозначно определяются видом амплитудных характеристик. Так как в (3.76) djd2 1, то на первой сопрягающей частоте та, =\/(T0]di/d2) асимптотическая логарифмическая характеристика претерпевает изменение наклона на 20дБ/дек в положительном направлении. На второй сопрягающей частоте та2 =1/Гф, та, она претерпевает изменение наклона на -20дБ/дек в отрицательном направлении. Соответственно изменяется и фазовая частотная характеристика системы. В области та, она претерпевает сдвиг по фазе в положительном направлении на угол не превосходящий п/2, а в области та2 — сдвиг по фазе в отрицательном направлении на такой же угол.
Постановка задачи управления и структурная оптимизаций системы стабилизации теплового режима
Задача управления тепловым режимом для конкретных процессов в принципе была рассмотрена в 5.1 и 5.2. В этом параграфе будут сделаны необходимые уточнения в постановке этой задачи управления.
Из рассмотренных примеров ясно, что задача управления должна быть сформулирована как задача максимального быстродействия. Это связано в первую очередь с увеличением производительности. Действительно, чем быстрее система управления обеспечит заданный тепловой режим реагента (см. 5.2) при запланированном скачкообразном изменении расходов G02, GB, тем меньше время простоя горелки перед очередным проходом, необходимое для стабилизации температуры реагента, и больше производительность. Если такая задержка не производится, то из-за несоответствия температуры реагента заданному значению в MCVD заготовке появится бракованный слой. В этом случае уменьшение времени регулирования улучшает качество продукции. Также при горячем прессовании (см. 5.1) переход от одной детали к другой связан с уменьшением температуры пресс-формы и, чем быстрее система управления обеспечит необходимый тепловой режим, тем больше производительность технологического процесса.
Как известно из литературы [31, 34-37, 66, 72, 85, 90, 94, 101, 104, 108], решение задачи максимального быстродействия достигается при релейном управлении, когда управляющее воздействие принимает крайние возможные значения. Основная трудность состоит в определении момента переключения управления из одного крайнего положения в другое. Для рассмотренных тепловых процессов такая задача может быть решена на основании полученных моделей для отклонения температур (5.1), (5.2) при условии, что все коэффициенты модели точно известны и отсутствует возмущение.
Поскольку тепловые процессы из рассматриваемого класса описываются двумя уравнениями первого порядка и не имеют комплексно-сопряженных ха 269
рактеристических чисел, то решение такой задачи по т. Фельдбаума [34] достигается за счет одного переключения управления. Задача обычно решается на фазовой плоскости. Для номинальной модели (5.6) фазовые траектории изображены на рис. 5.7..
К первой из указанных асимптот стягиваются интегральные траектории, соответствующие максимальной вариации управления oTJj = 1508.55Вт, что соответствует подаче полной мощности 2000 Вт на нагреватель. Ко второй асимптоте стягиваются интегральные траектории, соответствующие минимальной возможной вариации управления 8U2 =-491.45Вт, что соответствует отсутствию нагрева U=0. Линия переключения получается в результате состыковки двух интегральных траекторий, соответствующих предельным вариациям мощности 81 и 8U2, которые проходят через начало координат фазовой плоскости. Линия переключения управления показана на рис. 5.8. Здесь для удобства дальнейшего изложения оси координат Sj, є2 переставлены местами.
0 выходе нелинейности имеем сигнал є2, который соответствует ординате линии переключения управления. Далее во внутреннем контуре значение є2 сравнивается с текущим значением ошибки є2 = 9С - 9С ив зависимости от того, где находится изображающая точка, выше (є2 є2) или ниже (є2 є2) кривой переключения, в регуляторе внутреннего контура вырабатывается одно из двух крайних значений управления 5 U. В результате такого управления изображающая точка с течением времени попадает на кривую переключения ф(єі)=є2. При этом сигнал рассогласования 2=г2 Е2=- В это время происходит переключение управляющего воздействия 8 U на противоположное крайнее значение и начинается фаза торможения, которая заканчивается приведением изображающей точки в начало координат.
Структурная схема системы максимального быстродействия Но так бывает только в идеальном случае. В реальной системе после переключения управления на одну из ветвей кривой Е2 =Ф (Ej), изображающая точка не попадает на интегральную кривую, которая проходит через начало ко-ординат и в результате попадает на другую ветвь кривой Е2=Ф (SJ), где происходит следующее переключение управления 8 U и т. д.
Из рис. 5.9 видно, что полученная оптимальная в смысле быстродействия система имеет структуру каскадной системы регулирования. Двухпозиционное оптимальное управление формируется во внутреннем контуре, а во внешнем контуре происходит определение места нахождения изображающей точки относительно линии переключения и вырабатывается сигнал Є2 = Є2-Є2 0, если точка ниже линии переключения, и сигнал 82= 2- если точка выше линии переключения.
