Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Синтез систем автоматического управления для объектов с запаздыванием и с изменяющимися динамическими свойствами 12
1.1. Основные подходы к синтезу систем автоматического управления для объектов с изменяющимися динамическими свойствами 12
1.2. Робастньгй подход к синтезу систем автоматического управления 16
1.2.1. Задача минимизации интегральной квадратичной ошибки при действии помехи ограниченной энергии 19
1.2.2. Синтез робастно —устойчивой замкнутой системы 22
1.2.3. Описание неопределенности модели и спецификация возмущений.25
1.2.4. Проблема робастной эффективности 28
1.2.5. Стандартная постановка задачи Нж - оптимизации 29
1.2.6. Инструментальные средства робастного синтеза 31
1.2.7. Общая оценка методов робастного синтеза 32
1.3. Проектирование систем автоматического регулирования по критерию максимума степени устойчивости 34
1.4. Явление запаздывания в технологических процессах 45
1.5. Подходы к регулированию объектов с запаздыванием 49
1.6. Подходы к автоматизации противоточных теплообменных аппаратов 56
1.7. Постановка задачи исследования , 63
Глава 2. Системы автоматического регулирования максимальной степени устойчивости 65
2.1. Методика расчета оптимальных настроек регуляторов 65
2.1.1. Основные допущения, используемые при выводе расчетных соотношений 65
2.1.2. Вывод расчетных соотношений для нахождения оптимальных настроек регуляторов 68
2.1.3. Примеры расчета систем регулирования и свойство апериодичности оптимальной степени устойчивости . 71
2.2. Рекомендуемые формулы для расчета оптимальных настроек типовых регуляторов максимальной степени устойчивости 75
2.3. Исследование робастной устойчивости систем регулирования с регуляторами максимальной степени устойчивости 83
2.3.1. Система регулирования с пропорциональным регулятором 85
2.3.2. Система регулирования с пропорционально - интегральным регулятором 91
2.4. Выбор оптимальных параметров регуляторов для объектов с нестационарной динамикой 100
Глава 3. Выбор схем регулирования и параметров регуляторов для термодинамически оптимальных теплообменных аппаратов 104
3.1. Термодинамическое совершенство теплообменных аппаратов и условия термодинамической согласованности.. 104
3.1.1. Задача минимизации диссипации процесса теплообмена 107
3.1.2. Условия термодинамической согласованности.., 111
3.2. Динамические свойства противоточных теплообменных аппаратов, как объектов регулирования . 112
3.3. Системы регулирования, поддерживающие условия термодинамической согласованности 125
3.4. Аналитический расчет систем регулирования противоточных теплообменных аппаратов 132
3.4.1. Расчет пропорционально - интегрального регулятора 135
3.4.2. Расчет пропорционально-интегрально - дифференциального регулятора „136
3.5. Алгоритм коррекции параметров регуляторов в АСР 1 и АСР 2 для противоточных теплообменников с изменяющейся динамикой 141
Глава 4. Исследование качества функционирования систем автоматического регулирования для объектов с переменной нагрузкой 145
4.1. Качество функционирования систем автоматического регулирования для типового промышленного объекта с переменной нагрузкой 145
4.2. Качество функционирования систем автоматического регулирования противоточным теплообменным аппаратом при переменной нагрузке. 161
4.3. Качество функционирования систем автоматического регулирования, поддерживающих условия термодинамической согласованности в противоточном теплообменном аппарате Л 73
4.4. Общие выводы 180
Основные результаты работы 183
Литература 184
Приложения 194
- Проектирование систем автоматического регулирования по критерию максимума степени устойчивости
- Примеры расчета систем регулирования и свойство апериодичности оптимальной степени устойчивости
- Динамические свойства противоточных теплообменных аппаратов, как объектов регулирования
- Качество функционирования систем автоматического регулирования для типового промышленного объекта с переменной нагрузкой
Введение к работе
Объекты с изменяющимися динамическими свойствами в промышленной технологии широко распространены. Основными источниками изменения динамики объектов являются: медленное изменение нагрузки объектов, периодичность протекающих в них процессов, изменение собственных характеристик объектов с изменением длительности их эксплуатации.
В связи с тем, что в промышленной технологии объекты управления могут характеризоваться существенно изменяющейся динамикой, необходимо применение специальных алгоритмов управления такими объектами. Разработка алгоритмов управления может базироваться на двух основных подходах к проектированию автоматизированных систем управления (АСУ) для таких объектов: адаптивном подходе , когда осуществляется подстройка параметров контура управления на основании текущей изме рительной информации, и робастном подходе, позволяющем априори га рантировать сохранение существенных свойств (устойчивости и эффек тивности функционирования) замкнутой системы при ограниченном изме нении динамических характеристик объекта. Применение робастного под хода позволяет существенно упростить применяемое в АСУ аппаратное и программное обеспечение по сравнению с адаптивными системами. Воз можность априорного выбора структуры и параметров регуляторов снижа ет затраты на наладку и обслуживание АСУ. Однако, строгие математиче ские методы робастного синтеза малопригодны для решения конкретных инженерных задач. Это обусловлено большой сложностью применяемых вычислительных процедур, высоким порядком получаемых регуляторов и малопригодностью этих методов для объектов с запаздыванием, очень час то встречающихся в промышленной практике. В такой ситуации весьма • перспективной является разработка простых методов синтеза робастных систем. Одним из таких методов, в определенной степени обеспечивающим ро-бастную устойчивость АСР, может служить вычисление параметров регуляторов по критерию максимальной степени устойчивости (МСУ). Расчет АСР по критерию МСУ обладает рядом существенных достоинств: Критерий МСУ является универсальным, его значение не зависит от типа возмущающих и управляющих воздействий, а определяется собственными свойствами замкнутой системы. Он хорошо применим для расчета систем стабилизации и программного управления. S Он применим для расчета АСР большинства объектов с запаздыванием и без запаздывания, особенно для объектов с сильным изменением динамики (периодические процессы, процессы со значительным изменением нагрузки и др.), а также для случаев, когда требуется обеспечить апериодический характер переходных процессов (процессы стерилизации, биотехнологические процессы и пр.) J Прямой и быстрый расчет настроек АСР. Для многих типовых моделей промышленных объектов параметры стандартных регуляторов могут быть выражены через параметры объектов При проектировании АСР по критерию МСУ обеспечивается определенный запас устойчивости синтезированной системы. Указанные преимущества привели к возникновению значительного числа работ, посвященных синтезу регуляторов максимальной степени устойчивости (далее регуляторов МСУ). Однако в этих работах пока не получены условия оптимальности для расчета АСР с объектами произвольной структуры и при произвольной структуре и кратностях ближайших корней оптимальной замкнутой системы. Задача исследования робастной устойчивости и робастного качества функционирования АСР с регуляторами МСУ является весьма важной, однако, практически никем не рассматривалась к настоящему времени. Кроме того, задача нахождения простых формул для вычисления параметров регуляторов МСУ, выраженных через параметры объектов, не достаточно освещена в литературе. Задача автоматизации противоточных теплообменных аппаратов является весьма важной вследствие существенной энергоемкости теплообменников и их широкой распространенности в промышленной практике. Вследствие энергоемкости теплообменников следует уделить особое внимание оптимальной организации процессов теплообмена. Задача повышения эффективности процесса теплообмена в теплообменниках рассматривается во многих работах. Однако, как правило, эта задача решается только на этапе его проектирования, хотя в общем случае эффективность зависит как от конструктивных и расчетных технологических, так и текущих технологических параметров теплообменников.
Одним из существенных показателей эффективности функционирования теплообменника является степень необратимости процессов теплопе-реноса при их заданной интенсивности. Показателем необратимости служит производство энтропии (диссипация). Минимизация диссипации позволяет повысить энергетическую ценность передаваемого тепла. Методы термодинамики при конечном времени позволяют найти оптимальные соотношения между параметрами потоков, соответствующие минимуму диссипации. Такие оптимальные статические соотношения между параметрами потоков найдены для различных типов теплообменников. При этом показано, что наилучшие условия теплообмена достигаются в противоточных теплообменниках.
В существующих АСР противоточными теплообменниками не решается задача обеспечения оптимального теплообмена в динамике. При этом, как правило, ограничиваются задачей стабилизации выходной температуры одного из потоков. Таким образом, задача построения и исследования динамических характеристик АСР, поддерживающей в динамике условия термодинамически оптимального теплообмена, является весьма актуальной для противоточного теплообменного аппарата.
Анализ процедуры расчета контуров регулирования противоточного теплообменника показывает ее недостаточную автоматизированность. На
s практике динамические характеристики противоточных теплообменников определяются по экспериментальным переходным кривым или приближенным передаточным функциям. Из этого следует невысокая точность настроек регуляторов, найденных известными методами. Полученные с помощью этих методов оптимальные настройки регуляторов невозможно выразить через конструктивные и технологические параметры теплообменников. Задача регулирования теплообменников усложняется еще и тем, что динамические характеристики последних могут меняться с течением времени вследствие медленного изменения нагрузки (расходов).
Следовательно, весьма важной является разработка простой методики синтеза регуляторов для противоточных теплообменников, учитывающей возможные изменения их динамических характеристик. При этом искомые формулы для настроек должны выражаться через конструктивные и технологические параметры теплообменников.
Это объясняется тем, что очень многие объекты в промышленности имеют распределенные характеристики или обладают запаздыванием. Эти факторы приводят к трансцендентности соответствующих передаточных функций. При этом точность описания этих объектов типовыми моделями с запаздыванием часто оказывается удовлетворительной. Вследствие нестационарности объектов параметры этих типовых моделей могут медленно меняться с течением времени.
В главе 1 рассматриваются строгие методики робастного синтеза автоматических систем управления для объектов с изменяющимися динамическими свойствами, проводится сравнительный анализ их достоинств и недостатков. Показывается необходимость применения простых методов робастного синтеза. Рассматриваются методы расчета регуляторов по критерию максимальной степени устойчивости. Излагаются подходы к регулированию объектов с запаздыванием, которые весьма распространены в технологических процессах. Рассматриваются подходы к автоматизации противоточных теплообменников. На основе проведенного анализа формулируются цели настоящей работы.
В главе 2 выводятся расчетные соотношения, позволяющие вычислить оптимальные параметры регуляторов по критерию максимума степени устойчивости для объектов произвольного вида и при произвольной структуре и кратностях ближайших корней оптимальной замкнутой системы. На нескольких примерах расчета типовых АСР показана корректность предложенного подхода. Путем аппроксимации имеющихся аналитических зависимостей получены простые формулы для расчета настроек ПИ и ПИД-регуляторов для типового объекта с запаздыванием. Исследована робаст-ная устойчивость стандартных регуляторов максимальной степени устойчивости путем построения областей устойчивости соответствующих замкнутых систем в плоскости параметров типового объекта с запаздыванием.
В главе 3 рассматривается процесс термодинамически оптимального теплообмена в противоточных тештообменных аппаратах. Предложены системы автоматического регулирования, поддерживающие условия термодинамической согласованности процесса теплообмена, пригодные для различных технологических условий. Проведен сравнительный анализ работы этих систем. Для этих систем получены удобные аналитические формулы для расчета настроек стандартных регуляторов по критерию максимальной степени устойчивости. Приведен алгоритм коррекции параметров регуляторов для противоточных теплообменников с изменяющейся динамикой.
В главе 4 проведена проверка применимости рекомендуемых формул для расчета регуляторов МСУ путем моделирования переходных процессов в АСР с двумя объектами: типовой модели промышленного объекта с запаздыванием и противоточным теплообменником. При этом исследуется робастное качество регулирования в АСР с регуляторами, рассчитываемыми по предложенным формулам, при действии на параметры объектов типового фактора нестационарности - низкочастотного изменения нагрузки. Сделаны выводы о применимости конкретного типа АСР с регуляторами МСУ в зависимости от уровня возмущения по нагрузке. Проведен анализ работы систем регулирования, предложенных в главе 3, и поддерживающих условия термодинамической согласованности и даны рекомендации по их применению в зависимости от конкретных технологических условий.
Основные положения диссертации изложены в публикациях [1-7]. Научная новизна.
1. Предложены расчетные соотношения для вычисления параметров регуляторов максимальной степени устойчивости в АСР с объектами произвольного вида и для произвольной структуры и кратностях ближайших к мнимой оси «левых» корней оптимальной замкнутой системы (далее «ближайших корней»).
2. Найдены простые аналитические зависимости для параметров стандартных регуляторов максимальной степени устойчивости, выраженных через параметры объектов: типового апериодического промышленного объекта с запаздыванием и противоточного теплообменника.
3. Исследованы робастные характеристики АСР со стандартными регуляторами максимальной степени устойчивости путем:
- построения областей устойчивости оптимальных замкнутых систем в плоскости параметров типового объекта с запаздыванием;
- моделирования переходных процессов для различных типов АСР с типовым
объектом с запаздыванием и с противоточным теплообменником при действии типового фактора нестационарности - низкочастотного изменения нагрузки.
4. Предложены АСР для противоточного теплообменника, поддерживающие в динамике условия термодинамически - оптимального теплообмена.
Практическая ценность.
• Найденные простые аналитические формулы для вычисления параметров стандартных регуляторов выражены через параметры (конструктивные, технологические, обобщенные) промышленных объектов. Так как формулы получены в результате расчета по критерию максимальной степени устойчивости, то синтезируемые АСР обладают определенным запасом устойчивости при изменении динамических характеристик объектов. Все это позволяет существенно упростить проектирование и наладку АСР для технологических объектов с изменяющимися динамическими свойствами. Это может быть актуально для АСР теплообменников, характеризующихся сильным изменением нагрузки, отложением осадка на трубах и др.
• Предложенные АСР для теплообменников, поддерживающие условия термодинамической согласованности, позволяют повысить энергетическую ценность передаваемого тепла. Это позволяет уменьшить энергетические затраты на нагрев (охлаждение) основного технологического потока и приводит к общей экономии энергоресурсов. Такие системы регулирования могут быть полезны практически во всех отраслях народного хозяйства и особенно важны для тех прикладных задач, где вопросы энергосбережения играют ведущую роль (криогенная техника, жилищно - коммунальное хозяйство и др.).
Проектирование систем автоматического регулирования по критерию максимума степени устойчивости
Методом, в определенной степени обеспечивающим робастную устойчивость АСР, может служить вычисление параметров регуляторов по условию максимальной степени устойчивости, т. е. путем такого выбора их параметров, чтобы при некоторых средних характеристиках объекта степень устойчивости замкнутой системы г} была максимальна.
Расчет АСР по критерию максимума степени устойчивости (МСУ) обладает рядом существенных достоинств;
1. Критерий МСУ является универсальным, его значение не зависит от типа возмущающих и управляющих воздействий, а определяется собственными свойствами замкнутой системы.
2. Он применим для расчета АСР большинства объектов с запаздыванием и без запаздывания, особенно для объектов с сильным изменением динамики (периодические процессы, процессы со значительным изменениєм нагрузки и др.), а также для случаев, когда требуется обеспечить апериодический характер переходных процессов (процессы стерилизации, биотехнологические процессы и пр.) [62, 63].
3. Прямой и быстрый расчет настроек АСР. Для многих типовых моделей промышленных объектов параметры стандартных регуляторов могут быть выражены через параметры объектов [62 - 64].
4. При проектировании АСР по критерию МСУ обеспечивается определенный запас устойчивости синтезированной системы.
Расчет параметров регуляторов на основе критерия максимума степени устойчивости относится к области исследований, связанных с синтезом АСР на основе корневых методов, рассматривавшихся, в частности, в работах [65 - 68]. В этих работах указанная задача решалась с помощью процедур случайного поиска, методами прямого решения минимаксной задачи максимизации минимального расстояния корней характеристических полиномов от мнимой оси, методом D - разбиения. Были попытки решения задачи в общем случае, где оценивалось при заданном управлении максимальное количество корней, которые нужным образом можно разместить на комплексной плоскости [69, 70].
Из цитированных работ не следует достаточно конструктивной, инженерной методики синтеза систем управления при ограниченной информации о фазовом состоянии объекта.
Понятие степени устойчивости линейной системы было впервые введено Я. 3. Цыпкиным [71]. Им же было впервые указано на целесообразность выбора параметров регуляторов по условию максимизации степени устойчивости [72]. Им была исследована простейшая АСР давления с П-регулятором. АСР описывается следующей системой уравнений: Здесь: «2 — отклонение величины давления от номинала; щ - перестановка исполнительного механизма; Та - постоянная времени объекта; zi -коэффициент нагрузки; а - выключающее действие. Были введены безразмерные величины: y=a/zi; T=tzi/Ta.
Установлено: 1). Область устойчивости замкнутой системы разбивается на области апериодической и колебательной устойчивости; 2). При T=const и увеличении у или при y=const и увеличении Т, степень устойчивости сначала увеличивается, достигает максимума, затем уменьшается. 3). Максимальные значения степени устойчивости достигаются при значениях параметров, соответствующих границе апериодической и колебательной устойчивости, а именно:
В работе [73] Я. 3. Цыпкиным была найдена верхняя граница степени устойчивости одноконтурных систем автоматического регулирования, состоящих из любого числа инерционных и колебательных звеньев, а также одного интегрирующего звена и для случая, когда имеется воздействие по производной.
В его основополагающей работе [74] была впервые осуществлена оценка степени устойчивости дискретных систем. Я. 3. Цыпкиным была осуществлена оценка степени устойчивости нелинейных импульсных систем [75]. В нашей работе мы рассматриваем непрерывные системы, поэтому содержание указанных работ здесь не излагается.
Примеры расчета систем регулирования и свойство апериодичности оптимальной степени устойчивости
В качестве примеров рассчитаем системы регулирования, состоящие из типового объекта в виде апериодического звена с запаздыванием и одного из стандартных регуляторов (П, И или ПИ). Покажем, что предельная степень устойчивости в этих случаях будет апериодической. Этот случай является весьма важным, так как при этом обычно расчетные формулы для определения оптимальных настроек регуляторов сильно упрощаются. При этом мы имеем апериодические переходные процессы без перерегулирования с минимальной длительностью среди аналогичных переходных процессов. Общая схема расчета такова. Исходным является предположение о комплексности ближайших корней. Для этого случая записываются соответствующие соотношения (2.4) и (2.5). Затем, на основании анализа полученных уравнений, показывается апериодичность оптимального решения.В работах [63, 64] приводится таблица с формулами для расчета параметров типовых регуляторов по условию максимальной степени устойчивости для различных объектов с запаздыванием (она соответствует табл. 1.1). Однако, для апериодического звена с запаздыванием и ПИ, ПИД-регуляторов, описываемых следующими передаточными функциями формулы для оптимальных регуляторов оказываются весьма громоздкими и неудобными для практического применения (эти формулы приводятся в таблице 2.1). Таким образом, возникает необходимость поиска удобных приближающих зависимостей для настроек регулятора, пригодных для практики. Эта задача является важной, так как в первой главе показано, что с помощью типовой модели объекта (2.18) можно описать очень широкий круг объектов в промышленности. Перед тем, как искать аппроксимирующие зависимости для точных формул, перейдем к безразмерным величинам, т. е. разделим Wo(p) на к, примем г за единицу масштаба преобразования Лапласа и перейдем к безразмерному преобразованию. Тогда уравнения (2.18) запишутся в виде:
Т0р +1 р р
где через p =-rj +ia =-rjz+ia T=pT и То—Т/г обозначены, соответственно, переменная безразмерного преобразования Лапласа и безразмерная постоянная времени. Найденные для приведенного объекта из (2.19) значения si , so и s2 легко пересчитать на систему (2.18) с объектом общего вида путем замены:
S[=sj /к, So—so /(кт), S2-S2 г/к. (2.20)
Аналогично, исходные формулы для расчета настроек, показанные в таблице 2.1, также приводились к безразмерному виду. После исследова ния формул оказалось, что зависимости параметров Sj от безразмерной постоянной времени То для объекта (2.19) имеют простой вид (рис. 2.2 — 2.6). Все они стремятся к линейной асимптоте при TQ—ХЮ, а разность между текущим значением и асимптотой хорошо описывается убывающей экспонентой. Указанные особенности позволяют искать аппроксимирующие зависимости для настроек в следующем виде: = ,+ 0+ - , / = 0..2,
в диапазоне То є{0, ос] Здесь as и bf являются коэффициентами асимптоты и находятся по известным формулам:
Ь, = Ш Ч а, = 1іт(л (7;)-ад, ,- = 0..2,
а СІ - из условия совпадения точной и приближенной зависимостей при TQ 0: s i(0)=s nnp(0)=aj+Ci. Коэффициенты г, находились из условия минимизации «среднего» отклонения аппроксимирующей кривой от точной:
j2 = ї % -J тр)2 4— . =-2 гое [.т"ръ
.1=1 л ІІ где: п - размер выборки; т0а"пр - диапазон аппроксимации и наибольшего различия кривых; s tj и s jfnnp соответственно, точные и приближенные значения настроек / -го параметра для j -й точки.
Величину Хоппр для ПИ и П ИД-регуляторов определим из условия, что при To To"wp разность между точной кривой и асимптотой становится менее 1% для всех настроек:
В результате графического решения этих условий было получено значение Тоаппр=Ю для ПИД-регулятора и Т()аппр=10 для ПИ-регулятора. Вид весовых коэффициентов (I/s ij) выбирался так, чтобы обеспечить примерно одинаковую относительную погрешность аппроксимации на всем диапазоне изменения То. Указанные зависимости с достаточной точностью (значение критериев J2 менее 0.1% в диапазоне [0; То" ] наибольшего различия кривых) аппроксимируют точные формулы. Переходные процессы в оптимальной замкнутой системе с параметрами регулятора, выбранными по упрощенным формулам, практически совпадают с процессами для параметров, вычисленным по точным формулам. Результаты аппроксимации точных формул после пересчета параметров регулятора по формулам (2.20) для объекта общего вида (2.18) сведены в таблицу 2.2.
Оптимальные значения критериев J2 и значения максимальных отклонений аппроксимирующих кривых от точных 6t=rm\s\-s "ap\ і = 0..1.
приведены в таблице 2.4. На рис. 2.2 - 2.6 показаны зависимости параметров настройки so(To) и их аппроксимаций soannp(T0) (і=0..2) от безразмерной постоянной времени То для ПИ и ПИД-регуляторов.
Заметим, что для больших значений Тц=Т/т рекомендуемые приближенные формулы для настроек можно еще более упростить, пренебрегая в них слагаемым с экспонентой. Примем, что слагаемым с,ехр(-Г1То) можно пренебречь, если, начиная с некоторого значения То, выполняется условие К ехР(-г,г0) 1%Й, + ь,Тп\, (2.21) где i=0..2 для ПИД и 1=0..7 для ПИ регуляторов. Найдем наименьшее значение Т0мп, которое одновременно удовлетворяет всем условиям (2.21). Для этого сначала необходимо найти предельные значения ТУ (j=0..4), при которых неравенства (2.21) переходят в равенст ва:
Динамические свойства противоточных теплообменных аппаратов, как объектов регулирования
Поддержание условий термодинамической согласованности, описанных в п. 3.1, сводится к следящей стабилизации температур теплоносителей согласно соотношениям (3.12) — (3.14). Для противоточных теплообменников для теплоносителей с неизменяемым агрегатным состоянием, регулирование выходных температур теплоносителей обычно осуществляется путем изменения расхода одного из них. Однако, к настоящему времени известно очень мало работ [93, 111, 112], посвященных динамическим характеристикам теплообменников, где рассматривается их реакция на изменение расхода. Теоретическое решение этого вопроса является исключительно сложной задачей, так как при увеличении расхода меняется как коэффициент теплопередачи, так и температурный напор. Такое положение дел заставило искать простые модели, позволяющие приближенно описать динамические свойства теплообменных аппаратов.
В модели, предложенной Мозли [111], тепловые емкости обоих теплоносителей рассматриваются как сосредоточенные, а тепловые емкости стенки и межтрубного пространства не учитываются. Кроме этого, принято, что общий коэффициент теплопередачи не зависит от изменения расхода. Тогда изменение выходной температуры второго потока при изменении расхода по прямому и перекрестному каналам описывается следующими передаточными функциями:
Здесь обозначены: Z, - общая масса / - го теплоносителя в аппарате, а -общий коэффициент теплопередачи, А - площадь поверхности теплопередачи, Cf, 0-,, gi - соответственно, теплоемкость, входная температура, массовый расход і - го потока, р - оператор преобразования Лапласа по времени. Черта над символом величин обозначает их средние значения.
К сожалению, в данной работе не была осуществлена проверка корректности использования данных передаточных функций путем снятия экспериментальных частотных или переходных характеристик и сравнения их с соответствующими характеристиками, полученных из передаточных функций (3.15). Подобная процедура была проделана только для передаточных функций, полученных по каналам "входная температура і — го потока — выходная температура 7 - го потока". Между тем, распределенность свойств системы проявляется в гораздо большей степени при изменении расхода. Поэтому вывод передаточных функций (3.15) на основе сведения системы с распределенными параметрами, которой является противоточ-ный теплообменник, к системе с сосредоточенными параметрами, является не вполне обоснованным. Если рассмотреть случаи прямотока и противотока, то передаточные функции (3.15), описывающие изменение выходных температур, для обоих случаев будут теми же самыми, хотя известно, что динамика теплообменника для этих случаев различна.
В [93, 98] на основании известных экспериментальных данных в качестве первого приближения предлагается представить динамику противоточ-ного аппарата в виде двухъемкостного объекта:
Здесь: L - длина аппарата, подстрочный индекс w относится к стенкам труб, а остальные обозначения те же, что и в (3.15).
Модель динамики (3.16), как отмечается в [93], является достаточно грубой. Представление передаточных функций по каналам расход - выходная температура в виде двухъемкостного звена недостаточно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными (в частности, не учитывается явление резонанса). Таким образом, актуальной является задача адекватного описания динамики противоточного теплообменника.
Динамические характеристики противоточных теплообменных аппаратов в общем случае описываются системой теплового баланса для обоих потоков, а также внутренней и наружной стенок труб, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Точное аналитическое решение этой системы уравнений получено в целом ряде исследований (например, в [117]), однако практическое использование этого решения для получения численных значений связано с очень трудоемкими расчетами. Для вывода аналитического решения, пригодного для практического использования, сделаем следующие допущения [62, 112, 118]:
1. Гидродинамика потоков описывается моделью идеального вытеснения.
2. Теплоемкостью разделяющей и наружной стенок можно пренебречь.
3. Потери тепла в окружающую среду отсутствуют.
4. Коэффициент теплопередачи не зависит от расходов потоков. Допущение 2 основано на том, что интегральная теплоемкость (равная
CvMw) металлических стенок, по крайней мере, на порядок ниже, интегральной теплоемкости жидкости в аппарате [118]. Кроме того, учет постоянных времени перегородок для противотока является менее существенным, чем для прямотока [62]. Допущение о постоянстве коэффициента теплопередачи а не является грубым. Известно [93], что процентное изменение а всегда меньше, чем процентное изменение расхода. В работе [112] были получены передаточные функции по каналам «изменение расхода потока - изменение выходной температуры потока» как для случая постоянства а, так и с учетом его изменения вследствие изменения расходов. При сравнении полученных теоретических частотных характеристик с реальными оказалось, что учет вариации а слабо сказывается на точности полученных решений.
Качество функционирования систем автоматического регулирования для типового промышленного объекта с переменной нагрузкой
В главе проводится проверка применимости рекомендуемых формул для расчета регуляторов максимальной степени устойчивости и исследуется робастное качество регулирования путем моделирования переходных процессов для трех типов АСР (с коррекцией по расходу, робастной, обычной) и для двух объектов: типовой модели промышленного объекта с запаздыванием и противоточного теплообменника. Также проводится сравнительный анализ динамических характеристик АСР 1 и АСР 2 противоточного теплообменника, предложенных в третьей главе, поддерживающих условия термодинамической согласованности. Моделирование проводится при изменениях динамических характеристик объектов, вызванных типовым фактором нестационарности - низкочастотным изменением нагрузки объектов.
Важной особенностью технологических объектов регулирования, существенно отличающей нх от других технических объектов, состоит в том, что них несравненно более сильно проявляется возможность действия целого ряда возмущений. Одним из наиболее важных воздействий является возмущение по нагрузке. Под нагрузкой объекта регулирования будем понимать расход материальных потоков, проходящих через объект. Медленное изменение нагрузки является типовым фактором изменения динамических характеристик объекта. При изменении динамических характеристик объекта важной задачей является задача обеспечения робастного качества процесса регулирования
Следует подчеркнуть, что вследствие инерционности технологических объектов, на их динамику влияние оказывает только низкочастотное возмущение по нагрузке (тренд). Поэтому, под текущим значением нагрузки далее будем понимать ее трендовое (сглаженное) значение.
Рассмотрим динамические характеристики АСР с регулятором максимальной степени устойчивости (МСУ) и типовым объектом (1.40) W„(p) кехр(-рт)/(Тр+1) с переменной нагрузкой. Выясним сначала, как изменение нагрузки влияет на параметры этого объекта.
Если г имеет смысл времени пребывания технологического вещества в объекте, то изменение массового расхода g приводит к пропорциональному изменению г. Покажем это. Обозначим через z=g/gH относительное изменение расхода g по отношению к его номинальному значению gH К Тогда /i UvH-LpF/gHi T= =L/v=LpF/g и t=f/z- Здесь через р, F и v обозначены, соответственно, плотность, площадь «живого сечения» и скорость потока; L - длина аппарата.
Аналогично этому на нескольких примерах покажем, что увеличение массового расхода приводит часто к пропорциональному уменьшению наибольшей постоянной времени объекта Т=Тн/г относительно ее номинального значения 7й:
а). В [93] показано, что наибольшая постоянная времени Г для одной ступени разделения дистилляционной колонны примерно равна общей емкости колонны УКОЯ, деленной на объемный расход питания [шт (при условии,
1 Здесь и далее надстрочный индекс "н" означает номинальное значение параметра. что наклон кривой фазового равновесия близок к единице):
Г = ,/Л№ = Кк и.Тогда T -V pfgL.- и 7-=7.
Исследуем качество регулирования АСР с регулятором MCV и объектом (4.1) при изменении нагрузки. Структурная схема такой АСР показана на рис. 4.1. На рисунке обозначены: - выходной сигнал объекта; уг$- задание регулятору; е - сигнал рассогласования; и - сигнал управления; х -входной сигнал объекта; X - входное возмущение. Относительное возмущение по расходу 2 действует на параметры объекта и не действует в данном случае наХ Оно может влиять на настройки регулятора.
Качество процесса регулирования в АСР с типовым объектом (4.1) и с объектом - противоточным теплообменником - будем оценивать по величине, которую назовем критерием робастного качества АСР 1 " . Он представляет собой наихудшее для всех значений нагрузки z значение модульного интегрального критерия lm:
ч I Г mod
где e(t) - сигнал рассогласования; 7 - интервал моделирования.
Система регулирования, у которой значение критерия робастности ІЛ4 6 является наименьшим, обладает лучшим гарантированным значением модульного критерия. Следовательно, такая АСР будет обладать лучшей ро-бастностью с точки зрения качества процесса регулирования. Из всех критериев качества модульный интегральный критерий был выбран из следующих соображений:
1. Обычно ухудшение качества регулирования является линейной функцией ошибки регулирования [93].
2. Этот критерий часто используется для оценки качества регулирования объектов с запаздыванием. Тогда он является наиболее подходящим для оценки качества регулирования АСР с типовым объектом (4.1).
3. Для контуров, поддерживающих условие термодинамической согласованности процесса теплообмена противоточного теплообменника: &2Е/&ІВ &2В/ОІГ (СМ, АСР 1 и АСР 2, рассмотренных в третьей главе), энергетические потери, вследствие несоблюдения этого условия в динамике, прямо пропорциональны площади под кривой рассогласования
A(t)-&2E(t)/iB(t)-@2B(t)/@iref- Следовательно, энергетические потери в динамике прямо пропорциональны значению модульного критерия качества и критерий /„/ позволяет эффективно оценить робастное качество регулирования в контурах стабилизации условий термодинамической согласованности. Рассмотрим процессы регулирования для трех типов АСР:
1. Корректирующая АСР. Для этой АСР в общем случае периодически измеряется трендовое значение расхода g(t) и по нему находятся значения z, и параметры объекта Тіл ТІЛ пересчитываются параметры регулятора по формулам из табл. 2.2, где вместо г и Г подставляются значения f/z и Т/г. 2. Обычная АСР. В режиме нормальной эксплуатации трендовое значение расхода g не измеряется. Регулятор всегда рассчитывается на номинальные значения расхода gH и параметров Т и /, т.е. naz-1.
3. Робастная АСР. В режиме нормальной эксплуатации трендовое значение расхода g(t) не измеряется. Регулятор рассчитывается робастно, т.е. на наихудшее сочетание параметров г и Г и соответствующее им значение нагрузки, при котором максимальная степень устойчивости - минимальна. Из раздела 4 главы 2 следует, что наихудшим сочетанием являются максимальные значения этих параметров: 7=7 =T/zmn и 7=/ =/./г""". Тогда настройки регулятора надо рассчитывать на ми , mm нимальную нагрузку г .
Общая схема моделирования
Сравниваются три переходных процесса: а). Переходный процесс при номинальном значении нагрузки г=г"=1; б). Переходные процессы при минимальной и максимальной нагрузках: z=zmm и z z""1 . Нагрузка z скачком меняется в момент времени t-О и одновременно пересчитываются параметры объекта (4Л). Параметры корректирующей АСР в момент t=0 рассчитываются на текущую нагрузку z по формулам из табл. 2.2, где вместо г и Г подставляются значения т/z и T/z, Параметры обычной АСР всегда рассчитываются на номинальное значение нагрузки z" и параметров Т и / по формулам табл. 2.2. Параметры робасгаой АСР всегда рассчитываются на минимальное значение нагрузки zmm по формулам из табл. 2.2, где вместо г и Г подставляются значения t"/zm,n и T/zmn. Возмущение на входе объекта полагается ступенчатое: Х=1 и задание регулятору - нулевое:
Для сравнения качества регулирования при переменной нагрузке с помощью ПИД-регулятора МСУ и с помощью ПИД-регуляторов, рассчитанных известными методами Циглера - Никольса и РЧХ, смоделируем также переходные процессы в замкнутой системе с этими регуляторами. Оптимальным решением был бы робастный расчет настроек регуляторов, т. е. рассчитывать регуляторы на такую нагрузку, при которой соответствующий критерий качества был бы минимальным. Однако, метод Циглера -Никольса является эмпирическим методом расчета, который не минимизирует какой - либо критерий качества, а при расчете по методу РЧХ отсутствует аналитическая связь между значением минимизируемого интегрального квадратичного критерия качества и параметрами объекта. Вследствие этого, настройки регуляторов будем рассчитывать на номинальную нагрузку (это соответствует «обычной АСР»). Численные значения параметров регуляторов приведены в таблице 4.1.
