Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные направления и методы получения робастных алгоритмов управления 11
1.1. Методы построения управления с априорным заданием корней характеристического полинома замкнутой системы 11
1.2. Методы синтеза обратной связи при помощи аппарата функций Ляпунова 22
Глава 2. Синтез робастного управления для неопределенных линейных интервальных динамических систем 33
2.1. Общий подход при построении алгоритмов управления интервальными линейными объектами на основе второго
метода Ляпунова 33
2.2. Управление линейными интервальными объектами с использованием всех координат вектора состояния 39
2.3. Синтез алгоритмов управления для линейных интервальных динамических систем при неполной информации о векторе пространства состояния и наличии внешних возмущающих воздействий 41
Глава 3. Анализ промышленного процесса получения каучука как объекта автоматического управления 51
3.1. Общее описание технологии процесса 51
3.2. Идентификация каналов управления 54
3.3. Анализ свойств алгоритма, необходимого для управления промышленным процессом получения синтетического каучука 63
Глава 4. Робастное управление промышленным объектом и сопоставление результатов управления 67
4.1. Допустимое упрощение первичной модели 67
4.2. Синтез наблюдателя 76
4.3. Синтез закона управления на основе второго метода Ляпунова 83
4.4. Поиск оптимальных значений параметров настройки для ПИД-алгоритма и алгоритма, полученного на основе второго метода Ляпунова 92
4.5. Сравнительный анализ робастной устойчивости ПИД-алгоритма и алгоритма управления, полученного на основе второго метода Ляпунова 103
Заключение 114
Библиографический список 116
Приложения 127
- Методы построения управления с априорным заданием корней характеристического полинома замкнутой системы
- Синтез алгоритмов управления для линейных интервальных динамических систем при неполной информации о векторе пространства состояния и наличии внешних возмущающих воздействий
- Анализ свойств алгоритма, необходимого для управления промышленным процессом получения синтетического каучука
- Поиск оптимальных значений параметров настройки для ПИД-алгоритма и алгоритма, полученного на основе второго метода Ляпунова
Введение к работе
Актуальность темы. К числу основных проблем современной теории управления относится разработка новых методов синтеза алгоритмов управления для объектов, параметры которых неопределенны, но содержатся внутри известных интервалов.
В ходе решения этой проблемы образовалось несколько основных направлений.
Системы автоматического управления с переменной структурой (СПС) [34,38,39,80,87], работающие в скользящем режиме, были разработаны одними из первых. Они оказались во многих случаях малочувствительны к возмущающим воздействиям и к вариациям динамических свойств объекта. Режим скольжения достигается тем, что на объект подается разрывное управление, удерживающее его в пространстве состояния на гиперплоскости переключения. СПС могут быть использованы тогда, когда сравнительно частое переключение управляющей величины не оказывает негативного воздействия, например, при управлении электрическими приводами с использованием мощной полупроводниковой техники. Но применение СПС бывает ограничено возможностями исполнительных механизмов, которые из-за конструктивных особенностей от частого переключения выходят из строя, нарушая, тем самым, нормальный ход управляемого процесса.
Другим направлением стало изучение бинарных систем управления (БСУ) [37,41]. БСУ избавились от недостатков СПС, и с их помощью появилась возможность получать алгоритмы с непрерывным управляющим воздействием на исполнительное устройство. Но для БСУ понадобилась информация о высших производных регулируемой величины, что на практике не всегда выполнимо.
Еще один подход основан на получении алгоритмов автоматического управления, устойчивых при бесконечно больших коэффициентах усиления [67,68,69,70,71]. Но применение такого метода ограничивается возможностями его технической реализации, так как возрастает влияние помех, к тому же значения коэффициентов усиления зависят от конечных ограничений на величину управления.
Параллельно стали развиваться адаптивные системы (АС) [32,54,73,77,89,94,95], позволяющие изменяться параметрам объекта в очень широких пределах. Но применение АС невозможно в тех случаях, когда в новой сложившейся ситуации нет времени на адаптацию.
В настоящее время при управлении аппаратами, работающими в различных агрессивных средах под радиационным и термическим воздействием, потребовались алгоритмы, не нуждающиеся во времени на адаптацию, не допускающие быстрых колебаний управляющей величины, имеющие невысокую размерность и не требующие знания высших производных.
В середине тридцатых годов прошлого столетия в работах А.А. Андронова, Л.С. Понтрягина [4] была дана характеристика систем, сохраняющих устойчивость при малых изменениях параметров и, в связи с этим, получивших название "грубые". Дальнейшие исследования, проводимые в этом русле, сформировались в самостоятельное научное направление, изучающее так называемые "робастные" алгоритмы, особенности проектирования которых позволяют заведомо задавать возможные изменения динамических свойств объекта управления. Математическая модель объекта управления в этом случае представляет собой совокупность линейных дифференциальных уравнений с постоянными, но неопределенными пара 6 метрами, о которых известно лишь их возможное максимальное и минимальное значения. Подобное описание процессов и объектов управления, обладая якобы линейной структурой, благодаря неопределенности параметров, способно достаточно эффективно учитывать различного рода нелинейные характеристики и имеет в научной литературе аббревиатуру ЛИДС, что означает линейные интервальные динамические системы. Именно робастные алгоритмы автоматического управления способны удовлетворить требованиям современной науки и техники.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с одним из основных научных направлений Воронежского государственного университета - "Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках".
Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка и практическая апробация робастных алгоритмов управления для неопределенных объектов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
изучить основные направления получения робастных алгоритмов управления и выбрать из них наиболее перспективное;
на основе выбранного направления, предложить и обосновать метод синтеза робастных алгоритмов управления;
рассмотреть в качестве многоканального объекта автоматического управления реальный технологический процесс, показав универсальность применения робастного алгоритма управления на производстве; на примере рассмотренного технологического процесса обосновать практическую целесообразность, предлагаемого в работе, метода синтеза робастных алгоритмов управления.
Методы исследования. В диссертационной работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, математического анализа, теории устойчивости и теории автоматического управления.
Научная новизна. В диссертации получены и выносятся на защиту следующие, отнесенные автором к разряду новых, результаты:
обоснован подход, применимый при построении функций Ляпунова для линейных систем, сводящийся, в сравнении с известным, к матричным уравнениям меньшей размерности;
выявлена зависимость, дающая возможность исключать неизвестные переменные и позволяющая использовать второй метод Ляпунова для получения реализуемых алгоритмов управления по выходу;
получен метод синтеза робастных алгоритмов управления, основанный на применении теории наблюдателей и аппарата функций Ляпунова;
разработан метод, позволяющий на основе функций Ляпунова (синтезированных в соответствии с изложенным в работе подходом) получать необходимые и достаточные условия устойчивости для ЛИДС.
Практическая значимость и результаты внедрения. Практическая ценность работы, по мнению автора, заключается в следующем:
на основе предложенного метода разработана методика синтеза робастных алгоритмов управления;
использование робастных алгоритмов, полученных по предлагаемой методике, позволяет сделать управляемый процесс устойчивым к различ 8
ного рода возмущающим воздействиям, к изменениям условий эксплуатации и режима работы объекта управления;
изложенная в работе методика синтеза робастных алгоритмов может быть применена для автоматизации большинства объектов промышленного процесса получения каучука;
практические разработки диссертационной работы, ориентированные на нефтехимическую промышленность, имеют широкую направленность и могут быть использованы во многих других отраслях производства.
Излагаемые в работе результаты были внедрены на Воронежском ОАО "Воронежсинтезкаучук" в системах автоматизированного управления процессом полимеризации эмульсионного каучука в контурах стабилизации температуры реакции полимеризации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах. В том числе: на семинарах кафедры "Высшая математика" (ВГТА, 1998, 1999), кафедры "Автоматизированные системы управления" (ВГТА, 1999), а также кафедры "Технической кибернетики и автоматического регулирования" (ВГУ, 1997, 2001); на XXXII научной конференции (Воронеж, ВГТА, 1993); XXXIV научной конференции (Воронеж, ВГТА, 1994); Международной научной конференции "Современные методы в теории краевых задач" (Понтрягинские чтения, Воронеж, ВГУ, 1998); XXXVIII отчетной научной конференции (Воронеж, ВГТА, 1999); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, ВГУ, 2000).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка из 111 наименований и двух приложений. Материал диссертации изложен на 114 страницах; работа содержит 10 рисунков.
Краткое содержание работы
Для более эффективного решения выбранной научной проблемы, необходимо иметь наиболее полное представление о намеченном пути исследования. Поэтому первая глава посвящена изучению основных направлений синтеза робастных систем регулирования: подробно рассмотрены методы построения алгоритмов управления с априорным заданием числовых значений корней характеристического полинома замкнутой системы, а также методы, основанные на использовании аппарата функций Ляпунова, так как, именно на стыке этих двух направлений, был произведен, изложенный в этой работе, научный поиск.
Во второй главе предложена методика синтеза робастных алгоритмов для ЛИДС. Основой изложенного метода стала теория наблюдателей, позволяющая строить регуляторы с априорным заданием числовых значений корней характеристического полинома замкнутой системы, а также второй метод Ляпунова, при помощи которого оказалось возможным увеличение робастности регулятора, полученного на основе наблюдателя. Одним из основных критериев, определяющих ценность того или иного научного результата, является возможность его широкого практического применения. Для оценки возможностей предлагаемой методики, в третьей главе рассмотрен промышленный процесс получения каучуков. Представляя собой сложный многоканальный и многосвязный объект автоматического управления, он был структурно разделен на множество звеньев. Анализ каждого такого звена позволил судить о том, что весь процесс возможно автоматизировать при помощи множества типовых алгоритмов, оказавшихся эффективными по отношению к одному из каналов управления.
В четвертой главе, по предлагаемому в работе методу, был получен алгоритм стабилизации температуры реакции полимеризации эмульсионного каучука изменением расхода хладагента в охладительный контур реактора. В результате проведенного сравнительного анализа уровня робастной устойчивости предлагаемого алгоритма и, используемого в этом случае на практике, ПИД-алгоритма, оказалось, что новый закон управления обладает более высокой робастной устойчивостью. Учитывая этот факт и выводы третьей главы, можно утверждать, что предложенный метод синтеза робастных алгоритмов управления позволит эффективно автоматизировать производственный процесс получения каучука, что подтверждает научную и практическую важность проведенных при выполнении этой работы исследований.
Методы построения управления с априорным заданием корней характеристического полинома замкнутой системы
В последнее время пристальное внимание как инженеров, так и математиков привлекает проблема анализа поведения линейных систем, параметры которых неизвестны, но известны накладываемые на них ограничения. При проектировании таких систем должен быть обеспечен высокий уровень робастности, позволяющий варьировать параметры объекта в широких пределах, сохраняя при этом устойчивость и качество управления.
Фактически, интервальная модель динамической системы отражает реальную ситуацию с информацией о значениях ее параметров, когда априорно известны только границы диапазонов изменения тех или иных величин.
Далее изложен обзор проблематики методов и результатов исследования линейных интервальных динамических систем, а также основных направлений и методов получения робастных алгоритмов управления.
1.1. Методы построения управления с априорным заданием корней характеристического полинома замкнутой системы
Методы, рассматривающие синтез модального управления для линейных интервальных динамических систем, применяются в двух основных направлениях: с одной стороны учитывается неопределенность параметров объекта, с другой следует определить приемлимые допуски на параметры регулятора. Достаточно часто оба направления используются совместно.
В обоих случаях приходится иметь дело с интервальным характеристическим полиномом замкнутой системы [91,92]. Желаемый интервальный характеристический полином замкнутой системы может быть выбран исходя из различных соображений: расположение корней замкнутой системы на комплексной плоскости внутри определенной замкнутой области; приближение коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы к коэффициентам желаемого полинома.
Рассмотрим алгоритм синтеза модального управления, изложенного в [93]. Постановка задачи имеет следующий вид:
Определяемые величины kj должны гарантировать, что коэффициенты характеристического полинома линейной интервальной динамической системы не будут выходить за соответствующие интервалы для коэффициентов желаемого интервального характеристического полинома замкнутой системы. Характеристическое уравнение системы с рассматриваемым регулятором имеет вид:
-К- abj(Is - А)Ъ+ d(s), где S - переменная Лапласа, abj(Is — А) - присоединенная к (Is-А) матрица, d(s) - характеристический полином объекта. Если представить вектор А из коэффициентов 4 e[A;mm,A/max], іє{1,п}, желаемого интервального характеристического полинома замкнутой системы A (s) = sn + А 1 + A2sn 2+...+An, то приближение коэффициентов характеристического полинома системы к А (,у) будет обеспечено в результате решения системы PKT + d = A, где Р - матрица, элементы которой зависят от А,Ь и коэффициентов вектора d - характеристического полинома объекта. Необходимо определить максимально возможные допуски на параметры регулятора (т.е. сумма всех интервалов для ki максимальна).
Синтез алгоритмов управления для линейных интервальных динамических систем при неполной информации о векторе пространства состояния и наличии внешних возмущающих воздействий
При управлении реальными системами чаще всего всей информацией о состоянии объекта располагать невозможно, в этом случае приходится применять наблюдатель [см. 50,55,57,62,63,64], который по измеряемым величинам полностью восстанавливает вектор пространства состояния. Далее изложен метод, основанный на применении наблюдателя, который дает возможность получить новый алгоритм для систем с неполной информацией о векторе пространства состояния и использовать, изложенную выше, методику для реальных объектов автоматического управления. Рассмотрим систему dx
X ER ,у Є R - вектор состояния и вектор выхода системы;
АА Є R - матрица с неопределенными параметрами, характеризующая (2.18) как линейную интервальную динамическую систему;
/(0 Є R - внешнее неизмеряемое возмущающее воздействие;
Щ Є R - управляющее воздействие.
Система (2.18) описывает линейный объект, параметры которого постоянны, но точно неизвестны. Роль неопределенности в этой системе
AatJ
, которая задана интервально, то есть из пхп
играет матрица м
вестны границы
mm A //-max (2.19)
внутри которых заключены значения ее элементов Д х,. Такое представ ление объекта управления вполне актуально, так как во многих случаях большинство параметров могут быть постоянными или медленно меняющимися неизвестными величинами, тогда в этом случае известны лишь границы (2.19), внутри которых они заключены.
Положим, что при система (2.18) управляема и наблюдае ма.
Если на объект воздействует неизмеряемое возмущающее воздействие волновой структуры /(0 ( /(0 — непрерывная функция), то оно может быть представлено в виде полинома 1-й степени, коэффициенты которого определяются автоматически. Такой полином подчинен системе линейных дифференциальных уравнений
Система уравнений (2.20) описывает целый класс полиномов, поэтому для любой функции f(t) найдется соответствующий полином, который наиболее точно среди полиномов заданной степени / аппроксимирует данную функцию. Если эта точность будет недостаточна, то ее можно увеличить за счет увеличения степени /.
Таким образом, рассматривая внешнее возмущающее воздействие как полином 1-й степени, а само внешнее возмущение и / его производных как новые дополнительные переменные, являющиеся координатами вектора z, систему (2.18) можно представить в виде:
UQ = Rx - управляющее воздействие, формируемое наблюдателем (2.23) для системы (2.22);
X - вектор состояния наблюдателя, который служит оценкой вектора состояния X;
у - вектор выхода наблюдателя; g = g(t) - задающее воздействие.
Далее будет положено, что git) = О, то есть задача управления будет сведена к задаче стабилизации, но известно, что, спроектированная при помощи наблюдателя, система стабилизации с таким же успехом будет функционировать и в режиме управления igit) Ф 0) [см. 50].
Вычитая из системы (2.22) систему (2.23), приходим к системе
ех = ІА- К1С)є1 + Вє2 - Нхщ + ААІє} + х),
Є2 = І-К2С)ЄХ + Рє2 - Н2Щ, (2.24)
(у-у) = СєІ9 определяющей динамику отклонения переменных наблюдателя (2.23) от переменных наблюдаемой математической модели (2.22), где 6Х = X — X,
Є2 = Z — Z .
Объединение (2.24) с уравнением наблюдателя
х = (К1С)є1 +(А + BR)x + Нхщ
позволяет получить обобщенную систему
sx ={А- К1С)є1 + Вє2 - Нхщ + AA(sY + х),
Є2 = (-К2С)є1 + Рє2 - Н2Щ,
(2.24а)
х = (К1С)є1+(А + ВК)х + Н1и1,
из асимптотической устойчивости нулевого решения которой следует асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (2.18), это легко понять, вспомнив о том, что при 1 — 0 и І — 0 переменная X — О (так как X = Єх + X)
Анализ свойств алгоритма, необходимого для управления промышленным процессом получения синтетического каучука
Проанализируем возможные подходы и классы регуляторов в плане их приемлемости и применимости для рассматриваемых нами объектов. Вследствие погрешностей измерений, а также из-за изменений в условиях протекания технологического процесса, параметры исследуемых объектов управления известны с точностью до интервалов, внутри которых они могут находиться. Математическую модель, отражающую динамику такого процесса, следует считать в этом смысле интервально-неопределенной.
Следовательно, для управления процессом полимеризации эмульсионного каучука по всем его каналам нужен алгоритм, прежде всего устойчивый к возмущениям параметров объекта, а поэтому далее будут рассмотрены и проанализированы основные классы алгоритмов обладающих такими свойствами.
Системы автоматического управления с переменной структурой (СПС), работающие в скользящем режиме, малочувствительны к вариациям параметров объекта, но управляющий сигнал для СПС скачкообразно и с высокой частотой меняет свое значение, что несовместимо с конструкцией регулирующего органа, в данном случае клапана, и приводит к его быстрому износу.
Бинарные системы автоматического управления генерируют непрерывное управляющее воздействие, но требуют знания высших производных, что в условиях реального объекта неприемлемо из-за наличия высокочастотных помех. Сравнительно большая размерность таких систем влечет за собой сложности, связанные с ограниченностью физических параметров устройств, реализующих алгоритм управления, в частности малым объемом оперативной памяти контроллера.
Адаптивные системы позволяют параметрам объекта изменяться в широких пределах, но в новой сложившейся ситуации требуют времени на перенастройку, что приводит к ухудшению качества температурного режи ма и точности дозировок компонент реакции, а следовательно, и качества конечного продукта.
При управлении промышленными объектами, наиболее распространенными аналоговыми регулирующими устройствами являются линейные ПИД-регуляторы, которые имеют три варьируемых параметра настройки. Оптимальная настройка линейных промышленных регуляторов является многошаговой процедурой и, как любой другой поиск в динамической системе, весьма трудоемка. Именно поэтому, как показали исследования, проведенные американской фирмой FOXBORO (работы Ф. Шински), в США 80% линейных регуляторов, обслуживающих промышленность, настроены неоптимально.
Кроме того, к недостаткам можно отнести и низкий уровень робаст-ности, что не позволяет параметрам объекта менять свои значения в широких пределах. При возникновении большого количества высокочастотных помех дифференцирующее звено ПИД-регулятора приходится исключать и использовать, лишь, ПИ-регулятор. В малоинерционных каналах управления, при наличии сравнительно большого запаздывания, необходимо исключить и интегрирующий модуль, используя только П-составляющую.
Выше было показано, что промышленный процесс получения низкотемпературных бутадиен-стирольных каучуков является многоканальным многосвязным объектом автоматического управления. Среди всего многообразия предлагаемых алгоритмов для рассматриваемого нами процесса на практике применяются ПИД-законы управления.
Из всего сказанного можно сделать вывод о том, что для управления рассматриваемым многоканальным многосвязным объектом необходим алгоритм, не нуждающийся во времени на адаптацию, не допускающий быстрых скачков управляющей величины, имеющий невысокую размер 66 ность и не требующий знания высших производных. При этом, в сравнении с ПИД-алгоритмом, он должен быть, при прочих равных условиях, более устойчив к вариациям параметров объекта, то есть должен обладать более высоким уровнем робастности.
Кроме того, необходимость в новых робастных алгоритмах продиктована широким кругом нестационарных производственных процессов, который все расширяется по мере совершенствования технологии и появления новых перспективных высокоэффективных технологических процессов.
Поиск оптимальных значений параметров настройки для ПИД-алгоритма и алгоритма, полученного на основе второго метода Ляпунова
Новый алгоритм управления, как это уже отмечалось, по своим характеристикам должен быть не хуже, чем широко используемый ПИД-алгоритм, ведь только в этом случае его практическое применение будет целесообразным.
В третьей главе было показано, что промышленный процесс получения каучука, с точки зрения автоматического управления, представляет собой многоканальную систему и может быть структурирован в виде множества взаимосвязанных объектов, поведение каждого из которых моделируется при помощи инерционного звена первого порядка с запаздыванием. Следовательно, показав преимущества предлагаемого алгоритма управления на одном из объектов, относящихся к производству каучука, удастся обосновать его эффективность по отношению ко всему рассматриваемому нефтехимическому процессу.
Система автоматического управления, состоящая из объекта и регулятора, должна быть устойчива к неизмеряемым внешним возмущающим воздействиям. В нашем случае это выглядит как стабильность температурного режима внутри реактора при изменении внешних факторов, например, температуры окружающей среды, режима нагрузки или вида сырья.
Робастность - это свойство регулятора сохранять работоспособность в условиях значительного изменения динамических параметров объекта управления по сравнению с их первоначальными расчетными значениями.
В нашем случае динамику рассматриваемого процесса характеризуют, входящие в модель (3.1), величины К,Т,т. Способность сохранения устойчивости и качества управления при изменении именно этих трех параметров будет являться характеристикой уровня робастности сравниваемых алгоритмов управления.
После возникновения внешнего возмущающего воздействия замкнутая система выходит из положения равновесия. В нашем случае, например, изменение температуры окружающей среды ведет к изменению температуры внутри реактора. При возникновении рассогласования между заданной и текущей температурами, благодаря системе автоматического управления, работающей по заложенному в нее алгоритму, формируется управляющее воздействие на клапан подачи хладагента в охладительный контур, что приводит температуру внутри реактора к заданному значению. Поведение температуры внутри реактора после отклонения из-за возникновения внешнего возмущающего воздействия от заданного температурного режима и до ее возвращения к первоначальному значению называют переходным процессом. Его необходимо охарактеризовать при помощи численного критерия качества, на основе которого, при нормированном экспериментальном внешнем возмущающем воздействии, становится возможным сравнивать один переходный процесс с другим.
Для сравнения старого и нового регуляторов необходимо добиться одинакового качества переходного процесса при номинальных значениях динамических параметров, а затем сравнить их с точки зрения робастной устойчивости, то есть рассмотреть их способность сохранять стабильность температурного режима при изменении параметров управляемого процесса К,Т,т. Именно такая последовательность операций поставит оба регулятора в одинаковые условия и позволит провести адекватный сравнительный анализ их робастной устойчивости.
