Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор некоторых методов синтеза нелинейного управления 13
1.1 Метод функций Ляпунова 13
1.2 Геометрический подход 17
1.3 Пассивность и пассификация 19
1.4 Бэкстеппинг 22
1.5 Выводы 25
2 Математическая модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза 26
2.1 Принцип работы самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза 26
2.2 Построение математической модели объекта 30
2.3 Упрощенная модель объекта 39
2.4 Выводы 50
3 Синтез нелинейного управления на основе метода линеаризации обратной связью 52
3.1 Требования к качеству системы управления электрогидравлическим тормозом 52
3.2 Преобразование координат и линеаризация по входу-выходу упрощенной модели объекта 57
3.3 Синтез управления для линеаризованной модели объекта 64
3.4 Робастность замкнутой системы управления 69
3.5 Выводы 75
4 Имитационное моделирование объекта управления 77
4.1 Использование системы Maple для синтеза нелинейного управления 78
4.1.1 Особенности системы Maple 78
4.1.2 Синтез управления нелинейной структуры 79
4.2 Имитационное моделирование объекта управления в системе MATLAB 87
4.2.1 Особенности системы MATLAB/Simulink 87
4.2.2 Имитационное моделирование системы управления с пропорциональным регулятором 90
4.2.3 Имитационное моделирование системы управления с нелинейным регулятором 97
4.3 Имитационное моделирование в системе DSHplus 101
4.3.1 Особенности специализированной системы DSHplus 101
4.3.2 Имитационное моделирование объекта управления в системе DSUplus 104
4.4 Использование результатов работы 109
4.4.1 Опытный образец SEHB 109
4.4.2 Автоматизированный трибологический комплекс ТК-2 112
4.5 Выводы 115
Заключение 116
Литература 118
Приложение
- Метод функций Ляпунова
- Принцип работы самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза
- Требования к качеству системы управления электрогидравлическим тормозом
- Использование системы Maple для синтеза нелинейного управления
Введение к работе
Актуальность проблемы. Теория нелинейных систем является чрезвычайно важной и активно развивающейся областью науки во всем мире. В общем случае физические системы, и технические системы в частности, являются, как правило, нелинейными и характеризуются многомерностью, нестационарностью, большой размерностью и неопределенностью математической модели. Синтез законов управления для таких систем часто связан со значительными трудностями как теоретического, так и вычислительного характера, что приводит к сложности их инженерной реализации.
В последние десятилетия разработан ряд эффективных методов синтеза управления нелинейными объектами. Значительный вклад в их развитие внесли российские ученые Б.Р. Андриевский, А.А. Бобцов, А.А. Красовский, П.Д. Крутько, И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.Л. Фрадков, ЯЗ. Цыпкин, В.А. Якубович и др., а также зарубежные ученые D.J. Hill, Р.А. Ioannou, А. Isidori, I. Kanellakopoulos, Н.К. Khalil, P.V. Kokotovic, M. Krstic, R. Marino, K.S. Narendra, P. Tomei, S.S. Sastry, E.D. Sontag и др.
Ввиду сложности нелинейных систем, особую роль играют преобразования к линейной форме (методы линеаризации), которые предоставляют возможность использования известных инструментов анализа и синтеза линейной теории.
В настоящее время для решения проблем линеаризации применяется несколько методов. Например, в гидро- и пневмосистемах с дроссельным регулированием для линеаризации нелинейного уравнения расхода рабочей среды через проходное сечение традиционно используется метод линейной аппроксимации. Основное ограничение метода заключается в том, что линеаризация осуществляется в достаточно малой окрестности рабочей точки. Однако, как известно, во многих ситуациях динамика системы существенно меняется при изменении рабочих режимов, что должно учитываться инженером при синтезе регулятора. В связи с этим более перспективным представляется
метод линеаризации обратной связью, который допускает практически полную формализацию процесса построения закона управления.
Ввиду вышеизложенного актуальным является применение данного метода для разработки алгоритма синтеза регулятора системы управления сложным динамическим объектом, что и послужило мотивацией для проведения исследований, представленных в работе.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритма синтеза нелинейного регулятора для динамического объекта - самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза, характеризующегося высоким порядком, нелинейностью и интервальной параметрической неопределенностью.
Для достижения указанной цели поставлены следующие основные задачи, требующие решения:
анализ неопределенности параметров самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза и построение его математической модели;
постановка задачи управления объектом и формирование требований к качеству управления;
разработка алгоритма синтеза нелинейного регулятора;
исследование системы управления при наличии неопределенности модели объекта;
имитационное моделирование системы управления в вычислительной среде MATLAB/Simulink;
доказательство работоспособности и эффективности разработанного алгоритма нелинейного регулятора в специализированной вычислительной системе DSHplus.
Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использованы методы теории автоматического управления, аппарат линейной
алгебры и дифференциальных уравнений. Математическое и имитационное моделирование выполнено в вычислительных системах Maple, MATLAB/Simulink и DSHplus.
Научная новизна. Научная новизна заключается в следующем:
построена редуцированная математическая модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза, являющаяся более приемлемой для применения методов синтеза по сравнению с исходной моделью объекта высокого порядка;
разработан алгоритм синтеза нелинейного регулятора, обеспечивающий получение монотонного переходного процесса выходной переменной аффинной системы с гладкими нелинейностями;
синтезирован нелинейный регулятор, гарантирующий монотонность тормозного усилия самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза в заданных границах величины тормозной силы и обладающий нечувствительностью к изменениям коэффициента затухания плунжера золотникового распределителя.
Практическая ценность результатов работы состоит в следующем:
разработана имитационная модель самовозбуждающегося электро
гидравлического тормоза в вычислительной системе
MATLAB/Simulink и S-функция, реализующая алгоритм нелинейно
го регулятора;
в виде дополнительной компоненты специализированной вычисли
тельной среды DSHphts на языке программирования C++ разработан
программный модуль, выполняющий функции синтезированного
нелинейного регулятора.
Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов работы подтверждается математическим обоснованием разработанных моделей, сопоставимостью результатов теоретических исследований с сущест-
вующими положениями теории автоматического управления, сравнением результатов имитационного моделирования и экспериментальных исследований в специализированной вычислительной среде DSHplus.
Реализация результатов работы. Основные результаты работы получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ и немецкой службы академических обменов DAAD (грант 7.375.С 2007).
Результаты исследований используются в настоящее время для испытаний опытных образцов самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза в лаборатории института гидропривода и управления Аахенского технического университета (IFAS RWTH Aachen University, Germany) и для модернизации алгоритмов и программного обеспечения автоматизированного трибологического комплекса ТК-2 (ООО фирма «Техносинтез», г. Томск), а также в учебном процессе Томского политехнического университета.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной научно-технической конференции «Электромеханические преобразователи энергии» (г. Томск, 2007); научном семинаре стипендиатов DAAD программы «Михаил Ломоносов» 2007/08 (г. Москва, 2008); научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Инновации в атомной отрасли: проблемы и решения» (г. Северск, 2008); научно-техническом семинаре кафедры Электропривода и электрооборудования ЭЛТИ ТПУ (г. Томск, 2008).
Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в 8 печатных работах, которые включают в себя 2 статьи в журналах, рекомендуемых ВАК, тезисы 5-ти докладов на международных и всероссийских конференциях, и авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
К)
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из предисловия, введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 128 страниц, в том числе рисунков - 34, таблиц - 9, список литературы из 65 наименований, приложение на 5 страницах.
В главе 1 дается краткий обзор некоторых современных методов синтеза нелинейного управления. Рассматривается метод функций Ляпунова, вводятся понятия относительной степени и нуль-динамики нелинейной системы, описывается идея метода линеаризации обратной связью и процедуры пошагового синтеза (бэкстеппинг), приводится определение пассивной системы и рассматривается задача пассификации нелинейного объекта.
В главе 2 представлена новая концепция самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза для колесной пары железнодорожной тележки, предложенная в институте гидропривода и управления Аахенского технического университета (IFAS RWTH Aachen University, Germany). Проводится построение исходной математической модели объекта. В связи с тем, что высокий порядок исходной модели делает ее малопригодной для применения методов синтеза, строится редуцированная модель объекта.
В главе 3 формулируются основные требования к качеству управления объектом исходя из недостатков системы управления SEHB с пропорциональным регулятором. Разрабатывается алгоритм синтеза нелинейного регулятора на основе метода линеаризации обратной связью. Исследуется роба-стность системы управления с синтезированным регулятором относительно неопределенностей модели объекта.
Метод функций Ляпунова
Метод функций Ляпунова, или прямой метод Ляпунова, изначально использовавшийся в качестве инструмента анализа устойчивости динамических систем, является также эффективным средством при построении алгоритмов управления. Большое количество методов синтеза управления нелинейными системами основывается на идее построения обратной связи и(х) таким образом, чтобы специально выбранная функция V(x), называемая функцией Ляпунова, или более точно, производная этой функции V(x), имела определенные свойства, которые гарантируют ограниченность траекторий системы или сходимость к положению равновесия. Рассмотрим нелинейную аффинную систему x = f(x) + g(x)u, (1.1) где хєЛ" - вектор состояния, /()»#() - функции, определенные на соответствующих множествах. Функция V(x) является функцией Ляпунова, если для всех х Ф 0 выполняется inf V{x,u) = mf[L,V(x) + LV{x) и] 0 (1.2)
И обратно, если система (1.1) стабилизируема, то существует функция Ляпунова. Из выражения (1.2) можно увидеть, что если LgV(x) = 0, то для невозмущенной системы выполняется LfV(x) 0, где LfV, Ly - производные Ли от функции V вдоль векторного поля /и векторного поля g соответственно. Однако, если LfV(x) 0, когда LgV(x) = 0, то функция V(x) не является функцией Ляпунова и не может быть использована для синтеза стабилизирующего управления.
Прямому методу Ляпунова, а также вопросам использования аппарата функций Ляпунова при решении задач управления посвящена обширная литература. Лишь малую ее часть составляют работы [2, 12, 13, 21, 28, 40, 41, 44, 60, 62].
Когда функция Ляпунова найдена, могут быть построены различные законы управления, для которых функция V(x,u(x)) отрицательно определена. Одним из таких законов является формула Зонтага и предложенные на ее основе различные модификации, в том числе адаптивного управления [43, 47, 61].
Построение функции Ляпунова является сложной задачей, которая решена только для отдельных классов систем. Например, если нелинейная сис тема линеаризуется с помощью обратной связи, то мы можем построить функцию Ляпунова в координатах линеаризованной системы (см. раздел 3.4).
Робастная стабилизация. В большинстве практических случаев математическая модель динамической системы известна лишь с определенной степенью точности. Для прикладных задач теории управления наибольший интерес представляет вопрос сохранения некоторых желаемых свойств (в первую очередь - устойчивости) динамических систем при вариациях их математических моделей. Такие задачи решаются с помощью метода, который в англоязычной литературе носит название Lyapunov redesign [13, 44]. Метод основан на использовании функции Ляпунова номинальной системы при синтезе дополнительной компоненты управления, обеспечивающей робаст-ность к классу неопределенностей.
Данный подход лежит в основе методов синтеза адаптивного и адаптив-но-робастного управления, использующие так называемый npumfun непосредственной компенсации (в англоязычной литературе — certainty equivalence design). Идея методов заключается в компенсации неопределенного члена (5(-), т.е. дополнительный сигнал ищется в виде оценки неопределен ности u = -S(t,x,u) и соответственно управляющее воздействие принимает вид u=y/{t,x)-8{t,x,u) . Более подробное описание методов может быть найдено в работах [3, 5, 6, 13,15, 27, 37, 58, 63]. Неопределенный член () удовлетворяет важному структурному свойству, а именно, он входит в уравнение состояния (1.3) вместе с сигналом управления и. При этом говорят, что неопределенный член удовлетворяет условию согласования (в англоязычной литературе - matching condition). Нарушение условий согласования, однако, не означает, что задача управления не может быть решена. В этом случае необходимо использовать более сложные методы. Примером таких методов является рекурсивная (пошаговая) процедура синтеза управляющих воздействий, получившая название бэкс-теппинг (англ. backstepping) (см. раздел 1.4).
Развитие нелинейных геометрических методов является выдающимся достижением 80-х годов прошлого столетия [45]. Данный подход был представлен в работах [42, 44, 54] и развит в многочисленных статьях того времени. Ключевыми концепциями геометрических инструментов синтеза являются относительная степень и нуль-динамика системы. Эти важнейшие понятия делают понятной вход-выход структуру нелинейных динамических систем.
Относительная степень и нуль-динамика не могут изменяться обратной связью. По этой причине, системы с неустойчивой нуль-динамикой, или неминимально-фазовые системы, являются более сложными в управлении, чем минимально-фазовые системы, в которых нуль-динамика имеет асимптотически устойчивый характер. Рассмотренный метод, называемый методом линеаризации обратной связью, предоставляет прекрасные возможности для эффективного решения целого ряда нелинейных проблем управления с использованием стандартных методов теории линейных систем.
Принцип работы самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза
Рассмотрим новую концепцию электрогидравлического тормоза для пассажирских поездов, англоязычное название которого - self-energising electro-hydraulic brake (SEHB) [23, 49-53]. Так как в русскоязычной литературе подобная терминология пока не установилась, то автор позволил себе использовать термин самовозбуждающийся электрогидравлический тормоз. Концепция SEHB была предложена в институте гидропривода и управления Аа-хенского технического университета (IFAS RWTH Aachen University, Germany), где автору удалось провести научную стажировку , и в настоящее время продолжает развиваться в рамках исследовательского проекта, основанного Немецкой научной организацией (DFG) в апреле 2006 г. Впервые идея SEHB была опубликована в [51].
Принцип работы самовозбуждающихся тормозов заключается в использовании лишь инерции ходовой части движущегося средства для получения
1 Научные исследования выполнены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ и немецкой службы академических обменов DAAD (шифр работы 7.375.С 2007). желаемого тормозного усилия. Это становится возможным благодаря принципу самовозбуждения, который кратко можно охарактеризовать как неустойчивый в отсутствии обратной связи тормозной процесс. Более подробно исследование данного вопроса приводится в работе [49].
Рассматриваемый объект является фрикционным тормозом, который использует тормозную силу в качестве источника энергии для генерирования нового тормозного усилия посредством передачи электрогидравлической энергии. В отличие от традиционных тормозов, где суппорт плотно скреплен с ходовой частью, в SEHB он подвижно направлен по касательной к фрикционному контакту. Таким образом, использование SEHB с каждой колесной парой подвижного состава приводит к децентрализации энергоснабжения ходовой части, что является одним из главных преимуществ такой концепции торможения.
Принципиальная схема SEHB Гидравлический цилиндр двойного действия, который будем называть опорным цилиндром (англ. - supporting cylinder), связывает суппорт тормоза с конструкцией тележки, фиксируя поршень гидроцилиндра между двумя столбцами жидкости. В случае торможения сила трения действует на поршень опорного цилиндра, вызывая изменение давления жидкости в его полостях. Независимо от того, в какой из камер гидроцилиндра увеличивается давление жидкости, а в какой уменьшается, конфигурация из четырех обратных клапанов гарантирует, что жидкость в изображенной на рис. 2.1 нижней гидролинии имеет высокое давление, а жидкость в верхней гидролинии — низкое давление. Давление жидкости в верхней гидролинии практически не меняется из-за установленного расширительного бачка, объем которого много больше, чем совокупный объем линии и полости опорного цилиндра. Поэтому эту гидролинию будем называть линией слива, а нижнюю гидролинию — опорной линией.
Золотниковый распределитель связывает гидролинии с полостями гидродвигателя (англ. - brake actuator). Если активно прямое соединение гидролиний (Случай А), то происходит нагнетание жидкости в поршневую полость гидродвигателя, тогда как штоковая его полость соединяется с линией слива. При этом выбранное отношение между полной и кольцевой площадями поршня дифференциального цилиндра приводит к само возбуждающемуся процессу увеличения тормозной силы [49]. Если действует обратное соединение гидролиний (Случай Б), то поршневая полость гидродвигателя соединяется с линией слива, а в штоковую полость поступает жидкость из опорной линии.
Для смещения изображенного на рис. 2.1 плунжера 4/3-позиционного золотникового распределителя [59] требуется лишь слабый электрический сигнал. Однако отметим, что прямое соединение гидролиний не является достаточным для инициирования процесса самовозбуждения. Поэтому, для первоначального сжатия тормозных колодок с диском, в гидродвигателе используется предварительно нагруженная пружина. Чтобы после завершения тормозного процесса установить зазор между тормозными колодками и диском требуется дополнительная энергия. С этой целью в опорной линии используется гидроаккумулятор, который всегда содержит достаточное количество сдавленной жидкости, поступающей в него в течение тормозной операции.
Очевидно, что в процессе торможения поршень опорного цилиндра немного сдвигается. Чтобы вернуть его в среднюю позицию в гидроцилиндре используются центрирующие пружины (см. рис. 2.1). Открывая связь между полостями опорного цилиндра, его поршень двигается обратно к начальному положению.
Так как в отсутствие обратной связи прямое соединение гидролиний (Случай А) приводит к постоянному увеличению тормозной силы, то для SEHB необходимо формирование замкнутой системы управления, которая бы возвращала гидрораспределитель в нейтральную позицию при достижении заданного значения силы торможения, т.е. управляющим воздействием электрогидравлической тормозной системы является входное напряжение золотника.
Одним из достоинств рассматриваемого объекта является то, что он позволяет непосредственно управлять фактической тормозной силой Fbrake , независимо от значений коэффициента трения р.. Давление нагрузки psup опорного цилиндра, также как и давление нагрузки рь гидродвигателя, может рассматриваться в качестве регулируемой переменной замкнутой системы управления электрогидравлическим тормозом. Так как давление р и непосредственно связаны с силой трения, то это дает возможность управлять фактическим моментом замедления тормозного диска. Такая возможность SEHB является явным преимуществом над традиционными фрикционными тормозами, которые позволяют управлять только перпендикулярным усилием [49]. С учетом вышеизложенного построим математическую модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза.
Требования к качеству системы управления электрогидравлическим тормозом
Тормоз является главным средством обеспечения безопасности движения поезда. Процесс торможения представляет собой гашение кинетической энергии, т.е. превращения ее в тепловую в местах трения с помощью тормозных сил. Тормозные силы, являющиеся внешними по отношению к поезду, играют роль искусственных сил сопротивления его движения, управляя которыми осуществляется уменьшение скорости поезда вплоть до его остановки на заданной длине тормозного пути. При этом основными факторами, характеризующими качество тормозного процесса, являются: скорость его протекания; гладкость, т.е. торможение без рывков и колебаний; точность.
Одним из показателей, использующимся для оценки эффективности действия тормозов служит величина замедления adec, реализованного при торможении поезда с учетом сил сопротивления движению [9]. Конструирование самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза осуществляется таким образом, чтобы пассажирский поезд со следующими характеристиками [49, 50, 52]: каждый вагон имеет 2 колесных пары, 4 тормозных диска; максимальный вес вагона т = 13.6 т; максимальная скорость L 0 = 120 км/ч; диаметр колеса dwheel = 920 мм; радиус трения г, = 245 мм; максимальное замедление adec = 1.2 м/с2 ; имел бы максимальный тормозной путь 500 м на спуске 5 = 4%.
Для сравнения, согласно инструкции МПС РФ по эксплуатации тормозов подвижного состава железных дорог (№ЦТ-1ДЪ-ЦЛ-ВНИИЖТ-277) [7], тормозной путь при электропневматическом торможении пассажирского поезда, движущегося со скоростью и0 = 120 км/ч на спуске s = 1.6 %, должен составлять от 3672 до 2344 м для значений коэффициента трения тормозных колодок от 0.3 до 0.4 соответственно (значения тормозного пути для склонов большей величины в инструкции не приводятся).
В качестве алгоритма управления SEHB специалистами IFAS RWTH Aachen University был выбран пропорциональный регулятор [49], который довольно часто предлагает приемлемое решение задачи слежения для гидравлического объекта с золотниковым регулированием жидкости. Результаты моделирования системы управления SEHB с пропорциональным регулятором представлены на рис. 3.1 и рис. 3.2. Моделирование проводилось для различных значений неопределенных параметров объекта. Коэффициент передачи KR пропорционального регулятора взят равным 1.5ІСҐиР/Н [49].
На рис. 3.1 изображены переходные процессы опорного давления psup в системе с коэффициентом трения тормозных колодок \i = 0.35 и параметром затухания золотникового плунжера Dv ={0.4,0.6,0.8,1.0} . Так как из-за меньшей сжимаемости жидкости гидравлические системы обладают большей жесткостью по сравнению с пневматическими системами, то использование для SEHB золотникового распределителя с меньшим параметром затухания ведет к повышению5колебательности давления, а:значит, и тормозной силы [49]; Поэтому значения Z)v 0.4 в данной работе рассматриваться не будут.
Из рисунка видно, что в целом, для замкнутой системы характерно увеличение колебаний, опорного давления psup при возрастании тормозной силы (больших значений сигнала задания). Помимо этого колебательное поведение давления- /7sup усиливается для-1 меньших значений коэффициента демпфирования D (см. табл. 4). Амплитуда»колебаний увеличивается вплоть, до 6.55 % от заданного значения, что при слежении загмаксимальным значением-, опорного давлениясоответствует тормозной силе 716 П.
Очевидно, что колебательный характер торможения поезда не является предпочтительным, так как приводит к рывкам и ударам в механической части тормоза. Исходя из этого, основное требование к качеству системы управления SEHB может быть сформулировано, как получение монотонного тор-мозного процесса независимо от заданного значения тормозной силы. Кроме того, желаемым свойством системы управления является ее нечувствительность к неопределенности параметра затухания Dv и коэффициента трения \х.
Монотонный переходной процесс выходной переменной гарантировано может быть получен лишь для определенного класса линейных систем, на пример, с помощью размещения полюсов замкнутой системы [17, 21, 65]. Это означает, что полученная в главе 2 редуцированная модель (2.43), (2.44) SEHB должна быть линеаризована. Из рассмотренных в главе 1 методов синтеза нелинейного управления такая проблема может быть решена только с использованием метода линеаризации обратной связью.
В данной ситуации может быть решена задача линеаризации по входу-выходу (в англоязычной литературе - input-output linearization) [44]. Это означает, что управление (3.10) преобразовывает нелинейную модель (3.1), (3.2) электрогидравлического тормоза к модели, связь входной и выходной переменных которой может быть представлена в виде (3.11), (3.12). Дополнительно, к новым переменным z должна быть добавлена еще одна переменная т] = Т(х). В соответствии с Теоремой 4.1.3 [42], всегда можно найти такую функцию, что матрица Якоби отображения является невырожденной в некоторой точке X = X . Для рассматриваемого объекта управления в качестве дополнительной координаты было выбрано давление нагрузки pL гидродвигателя, т.е.
Таким образом, можем заключить, что синтез регулятора на основе метода линеаризации обратной связью для самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза условно разбивается на следующие шаги. Во-первых, определяем сигнал управления v для линейной модели (3.11), (3.12), которая описывает связь входной и выходной переменных нелинейной модели (3.1), (3.2). Затем берем в рассмотрение внутреннюю динамику объекта, описываемую уравнением (3.15), которая не оказывает влияния на выход линейной модели. Наконец, формируем управляющее воздействие и для нелинейной модели 4-го порядка путем нелинейного преобразования сигнала .
Использование системы Maple для синтеза нелинейного управления
Особое значение имеет программное обеспечение, позволяющее проводить расчеты в символьной форме. Одним из лидеров среди систем символьной математики является система компьютерной алгебры Maple от компании Maplesoft. Maple — это мощная вычислительная система, предназначенная для выполнения сложных вычислений как аналитическими так и численными методами. Она содержит проверенные, надежные и эффективные символьные и численные алгоритмы для решения огромного спектра математических задач [19, 20].
Система Maple выполняет сложные алгебраические преобразования и упрощения над полем комплексных чисел, находит конечные и бесконечные суммы, произведения, пределы и интегралы, решает как в символьном виде, так и численно системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, а также уравнений в частных производных, находит корни многочленов. Систему Maple можно использовать для интегральных преобразований, таких как преобразование Лапласа, z-преобразование, преобразование Фурье. Вычислительная система Maple имеет также множество эффективных инструментальных средств для вычисления выражений с одной и несколькими переменными.
Важным достоинством системы является ее способность выполнять арифметические действия. При работе с дробями и корнями они не приводятся в процессе вычисления к десятичному виду, что позволяет избежать ошибок при округлении. При необходимости работы с десятичными эквивалентами в Maple имеется команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой.
Maple - интегрированная система. Это означает, что она объединяет в себе следующее: ориентированный на сложные математические расчеты мощный язык программирования, который также является входным языком для интерактивного общения с системой; редактор для подготовки и редактирования документов и программ; современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме; удобную справочную систему; ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений; программные численный и символьный процессоры с системой диагностики; обширные библиотеки встроенных и дополнительных функций; мощные графические возможности, решающие задачи наглядной визуализации математических расчетов.
Далее покажем, как описанные функциональные возможности системы символьной математики Maple могут быть использованы для получения аналитического выражения закона управления, синтезированного на основе метода линеаризации обратной связью.
Так как линеаризация по входу-выходу упрощенной нелинейной модели (2.43), (2.44) самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза процедурно имеет одинаковый вид для разных случаев торможения, то будем рас сматривать только случай положительного перемещения плунжера золотни-кового распределителя (Случай А).
Чтобы выполнить преобразование переменных JC упрощенной модели (2.43) с выходом (2.44), который обозначим у = psup = h(x), необходимо определить относительную степень модели (см. 3.2). Для этого продифферен- цируем уравнение выхода у такое количество раз, чтобы сигнал управления и и г -ая производная уи) выходной переменной появились в одном уравнении, что, в свою очередь, возможно лишь в том случае, если сомножитель при управлении и отличен от нуля. Тогда по определению из [42], относительная степень упрощенной модели SEHB равна і. Соответствующий программный код записывается в виде X Подкоренное выражение имеет минимальное значение в момент, когда между тормозным диском и тормозными колодками имеется зазор, т.е. торможения не происходит. При этом давление psup и р1р в камерах опорного цилиндра одинаковое и, следовательно, разность /?sup - ар1р 0. Давление нагрузки pL гидродвигателя можно считать равным нулю по той причине, что инициирование торможения в начале каждой тормозной операции происхо дит за счет силы F5 , создаваемой предварительно сжатой пружиной (см. главу 2). Поэтому, можем заключить, что сомножитель L 1}Мх) отличен от нуля для всех х из множества рабочих точек объекта и, следовательно, относительная степень упрощенной модели (2.43), (2.44) электрогидравлического тормоза равна 3.
В соответствии с процедурой, описанной в 3.2, в качестве новых переменных состояния z = H(x) , описываемых уравнением (3.8), выбираются производные выходной переменной у. Однако тот факт, что относительная степень упрощенной модели SEHB меньше ее размерности п - 4, говорит о присутствии в модели нуль-динамики, которая должна быть рассмотрена при построении эквивалентной модели в новых координатах z. Это означает, что необходимо выбрать дополнительную переменную Tj - Т(х) , являющуюся переменной состояния модели нуль-динамики. Тогда преобразование координат будет иметь вид
Главным требованием, предъявляемым к выбору переменной состояния модели нуль-динамики, является то, что определитель матрицы Якоби отображения Ф(х) должен быть отличен от нуля в точке JC , в окрестности которой выполняется линеаризация по входу-выходу нелинейной модели объекта [42]. Это, в свою очередь, означает, что отображение Ф(х) является диффеоморфизмом и, следовательно, модель в новых координатах z вместе с моделью нуль-динамики эквивалентна упрощенной модели SEHB (2.43), (2.44) в координатах х.
