Введение к работе
Актуальность темы. Одной из фундаментальных проблем небесной механики является поиск и исследование устойчивых решений рассматриваемых задач. Такие решения представляют огромный практический интерес для изучения и освоения космического пространства. Многие научные результаты (Н.Г.Четаев, А.М.Молчанов, МОвенден, А.Рой, Т.Фиджин, О.Графф, Дж.Хиллс и другие) показывают, что среди устойчивых орбит в небесной механике очень много резонансных (в том числе периодических и условно-периодических) орбит. Большое число резонансных соотношений в движениях больших планет, астероидов, спутников планет и частий колец Сатурна в Солнечной системе свидетельствует об их исключительной роли в судьбе последней.
Важной прикладной задачей небесной механики является планетная задача многих тел. За несколько столетий в общем случае задачи многих тел аналитически проинтегрированы только задача двух тел (И.Ньютон) и задача двух неподвижных центров (Л.Эш.ер). Поэтому первым шагом качественного исследования задачи многих тел обычно является процедура осреднения исходных систем дифференциальных уравнений по быстрым переменным, которая может упростить исходную систему и понизить ее размерность. Однако в резонансном случае классические асимптотические методы интегрирования задач небесной механики сталкиваются с трудно преодолимой проблемой "малых знаменателей" (А.Н.Колмогоров, В.ИАрнольд, Ю.Мозер, А.ІШейштадт, ЕА.Гребеников, ЮА.Рябов и другие), связанных с острой соизмеримостью средних движений небесных тел.
С другой стороны, число известных аналитически интегрируемых вариантов осредненной задачи треч тел даже з нерезонансном случае исчисляется единицами (ЖЛагранж, Г.Хилл, НД.Моисеев, Е.П.Аксенов, МЛ.Вашковьяк и другие). Еще сложнее обстоит дело с резонансными случаями осредненных задач трех и многих тел. В настоящее время среди них наиболее подробно изучен резонансный случай осредненной ограниченной круговой задачи трех тел (S.Ferraz-Mello, J.Henrarci, A.Lemaitre, ИА.Герасимов и другие). Резонансный случай осредненных
неограниченной и ограниченной эллиптической задач трех тел аналитически исследован значительно меньше.
Пока основными методами исследования резонансного случая осреднснной задачи многих тел служат численные методы, так как общего аналитического метода построения их решений неизвестно. Однако применение численных методов в резонансном случае на большом интервале времени малоэффективно из-за наличия быстрых (в том числе резонансных) и медленных (вековых) переменных, которое приводит к быстрому нарастанию погрешности численного счета со временем, к необходимости выбора маленького шага интегрирования и к Оче:,'ь большому времени счета. Поэтому исключительно важными в небесной механике являются проблема обоснования процедуры осреднения многочастотных гамильтоновых систем при резонансе, проблема поиска их устойчивых резонансных, решений и проблема построения новых интегрируемых случаев осредненной задачи многих тел при резонансе.
Вышесказанное и определяет чрезвычайную актуальность обсуждаемых в диссертационной работе проблем.
Цель работы состоит в построении осредненных уравнений движения в задачах небесной механики вблизи резонансной поверхности; в поиске, аналитическом и численном исследовании свойств их устойчивых резонансных решений.
Объект и метолы исследования. Объектом исследования работы являются задачи небесной механики, описывающие поступательное и вращательное движение небесных тел - задачи движения спутника относительно центра масс, движущегося вблизи точки либрации задачи трех тел; задачи трех тел при двухчастотном резонансе первого и второго порядков и задачи многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка.
Методы исследования состоят в использовании экстремальных свойств функций Ляпунова, постоянных на решениях исходной системы уравнений, условно-периодическим образом зависящих от времени и периодических по части переменных, для поиска устойчивых резонансных
решений; в использовании канонических замен переменных для вывода осредненных уравнений движения тел вблизи резонансной поверхности; в использовании аналитических методов интегрирования нелинейных систем дифференциальных уравнений, имеющих дополнительные первые интегралы движения.
Научная новизна и практическая ценность. Научная новизна работы состоит в аналитическом обосновании нового метода построения устойчивых резонансных решений с помощью их экстремальных свойств; в обосновании процедуры осреднения многочастотных гамильтоновых систем при резонансе с помощью метода Хори-Депри; в выводе и аналитическом интегрировании новых осредненных уравнений движения в задаче трех тел вблизи резонансной поверхности при двухчастотных резонансах первого и второго порядков и в задаче многих тел при трехчастотном резонансе нулевого порядка.
Практическая ценность работы состоит в реальной возможности использования полученных новых методов поиска устойчивых резонансных решений и аналитических результатов по оценке их области устойчивости при выборе траектории в различных космических проектах по изучению движения и физических свойств больших планет Солнечной системы, спутников планет, кольца астероидов и колец Сатурна.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам _ в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979); на конференциях молодых ученых ф-та вычислительной математики и кибернетики Моск. госуд. ун-та им. М.ВЛомоносова (1979-1982); на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981); на всесоюзной конференции "Методы малого параметра и их приложение" (Минск, 1982); на IX Школе- по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь, 1984); на VI всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986); на III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988); на всесоюзной конференции "Устойчивость и управление сложных систем"
(Казань, 1988); на республиканском научно-техническом семинаре "Машинные методы в задачах механики, устойчивости и управления" (Казань, 1990); на научном семинаре проф. М.М.Хапаева (ф-т ВМК МГУ, 1979-1991); на научном семинаре проф. ЕА.Гребеникова (ВЦ МГУ, 1979); на научном семинаре проф. САЛомова (МЭИ, 1980); на научном семинаре проф. А.П.Маркеева (МАИ, 1976); на научных семинарах Института физико-технических проблем (1980-1991); на научном семинаре
проф.. В.В.Козлова (мех.-мат. ф-т МГУ, 1991-1992); на научном семинаре проф. В.ГуЦемина (мех.-мат. ф-т МГУ, 1991); на совете по небесной механике в ГАИШ им. П.К.Штернберга (1991-1992).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных статьях [1-16].
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы (221 наименование), содержит 199 страниц машинописного текста, в том числе'17 рисунков.
