Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор состояния проблемы и основные подходы математического моделирования процессов разделения гетерогенных сред с твердой фазой в химической технологии . 17
1.1. Современные подходы к описанию гидродинамики ге терогенных сред 18
1.2. Контактная дисперсная система и фильтрационное течение гетерогенных сред 28
1.3. Моделирование процессов промывки осадков 31
1.4. Задачи, возникающие при расчете гидромеханических процессов разделения гетерогенных сред и методы их решения 35
Выводы 48
Глава 2. Математическое моделирование гидродинамики гетерогенных сред с твердой фазой на проницаемых поверхностях 50
2.1. Развитие метода поверхностей равных расходов для расчета течений многофазных сред по проницаемым поверхностям 50
2.2. Течение и фильтрование гетерогенных сред без образования осадка 60
2.3. Расчет фильтрования гетерогенных сред с образованием осадка уу
2.4. Учет расслоения среды при расчете течения многофазной СИСТеМЫ од
Выводы 97
Глава 3. Гидродинамика гетерогенных сред с твердой фазой на вращающихся проницаемых поверхностях 99
3.1. Развитие метода поверхностей равных расходов для расчета осесимметричных течений по вращающимся проницаемым поверхностям 100
3.2. Математическое моделирование процесса сгущения гетерогенных сред 109
3.3. Расчет процесса фильтрования среды с образованием осадка 131
Выводы 137
Глава 4. Гидродинамика гетерогенных сред с твердой фазой в криволинейных каналах и цилиндрических трубах с.проницаемыми стенками 139
4.1. Развитие метода поверхностей равных расходов для расчета напорных течений в проницаемых каналах и трубах 140
4.2. Математическое моделирование процесса сгущения гетерогенных сред в проницаемых каналах и трубах 46
4.3. Расчет процессов течения и фильтрования гетерогенных сред с образованием осадка 2 62
Выводы 178
Глава 5. Метод расчета движения дисперсной фазы в произвольной ортогональной системе координат при совместном использовании эйлеровых и лагранжевых подходов 179
5.1. Совместное использование эйлеровых и лагранжевых подходов в моделировании движения дисперсных частиц 180
5.2. Метод поверхностей равных расходов jpi
5.3. Расчет траектории частиц при разделении дисперсных сред под действием массовых сил 194
Выводы 208
Глава 6. Гидродинамика жидкостных тарельчатых сепараторов для осветления суспензий 209
6.1. Метод расчета гидродинамики потока в осесимметричной вращающейся щели, образованной поверхностями вращения 210
6.2. Расчет гидродинамики межтарелочного зазора сепаратора-осветлителя с учетом сложного реологического состояния осадка 218
6.3. Анализ полученных результатов с целью выбора оптимальных параметров процесса разделения 232
Выводы 238
Глава 7. Разработка метода расчета процесса разделения суспензии на барабанном вакуум-фильтре со сходящей рабочей лентой 240
7.1. Расчет процесса формирования слоя осадка твердой фазы на наружной поверхности вращающегося барабана 240
7.2. Промывка выделенного слоя осадка на сходящей рабочей ленте 252
7.3. Расчет движения жидкой пленки жидкости по поверхности вращающегося барабана, покрытый слоем пористого осадка 258
Выводы 264
Глава 8. Методика расчета и оптимизация процессов разделения суспензий, рекомендации по практической реализации результатов исследований 265
8.1. Рекомендации по расчету процессов разделения гетерогенных сред под действием разности давления на границе раздела и массовых сил 268
8.2. Оптимизация работы барабанного вакуум-фильтра со сходящей рабочей лентой 274
Выводы 285
Заключение 286
Литература 290
Приложение
- Контактная дисперсная система и фильтрационное течение гетерогенных сред
- Течение и фильтрование гетерогенных сред без образования осадка
- Математическое моделирование процесса сгущения гетерогенных сред
- Математическое моделирование процесса сгущения гетерогенных сред в проницаемых каналах и трубах
Введение к работе
Гетерогенные системы являются рабочими средами для многих процессов в химической, нефтехимической, пищевой и других отраслях промышленности. Технологический цикл, связанный с получением, переработкой и применением гетерогенных сред, как правило, включает в себя гидромеханические процессы разделения [1-6].
Гидромеханические процессы разделения неоднородных сред производятся с помощью различных отстойников, фильтров и центробежных аппаратов [1, 7-29]. Оптимальное проектирование, модернизация и расширение функциональных возможностей этих аппаратов, а также повышение эффективности их работы возможны только при наличии надежных, научно-обоснованных методов расчета.
Расчет и проектирование разделительного оборудования связаны с решением внутренних и внешних гидродинамических задач с гетерогенными рабочими средами. Важной особенностью этих задач является наличие многообразия сложных явлений, такие как, неньютоновское реологическое состояние среды, переменность концентрации дисперсных включений, расслоение составляющих фаз, фильтрация несущей фазы через стенку. Решение гидродинамической задачи с учетом вышеназванных явлений вызывает большие трудности. Анализ имеющейся литературы показывает, что, несмотря на большое количество работ отечественных и зарубежных авторов, посвященных исследованию гидромеханических процессов разделения неоднородных сред в различных аппаратах, данная проблема остается не до конца изученной.
Недостаточное развитие теоретической базы расчетов процессов фильтрования и центрифугирования препятствует дальнейшей модернизации имеющихся аппаратов, разработке новых конструктивных решений и выбору наилучших геометрических характеристик и технологических параметров. Поэтому разработка научно-обоснованных методов расчета гидромеханических процессов разделения гетерогенных сред с твердой фазой с привлечением современных методов вычислительной гидродинамики является актуальной задачей.
Дальнейшее развитие теоретических основ и научно-обоснованных методов расчета гидромеханических процессов разделения должно быть направлено, прежде всего, на изыскание конкурентоспособных ресурсо- и энергосберегающих процессов и оптимальной аппаратуры для их реализации [2]. На современном этапе развития теории химической технологии основным инструментом решения данной проблемы являются методы математического моделирования [2-6].
Математическое моделирование на основе сочетания вычислительного и натурного экспериментов дает возможность изучения влияния гидродинамики на интенсивность разделения в широком диапазоне изменения параметров потока и установления роли различных факторов. Применение методов вычислительной гидродинамики позволяет углубить понимание работы соответствующих аппаратов и выбрать наилучшие конструкции, геометрические формы и размеры. Использование этого метода особенно эффективно для многофазных гетерогенных систем и аппаратов со сложной геометрией [5].
Математическое моделирование включает в себя три основных элементов: модель - алгоритм - программа. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости и возможности, всех звеньев этой триады [5]. Дальнейшее уточнение модели процесса разделения может быть направлено на учет многофазности (многофракционности) гетерогенной среды, нелинейности реологического состояния, переменности концентрации и расслоения составляющих фаз, а также на учет инерционных эффектов и наличия гидродинамического входного участка. Нелинейность соответствующих дифференциальных уравнений сохранения не позволяет получить их точные решения, за исключением некоторых частных случаев. Поэтому требуется разработка алгоритмов расчета, позволяющих численно реализовать разработанные математические модели.
Работа выполнялась в рамках координационного плана АН СССР "Теоретические основы химической технологии" на 1986-1990 г.г. п.2.27.1.4.4 и 2.27.4.1.4, плана приоритетных фундаментальных и прикладных исследований АН РТ по теме «Перспективные ресурсо- и энергосберегающие химические технологии», фундаментальной научно-исследовательской работы Минобразования РФ по теме 1.2.00 "Математическое моделирование процессов переработки гетерогенных сред" на 2000-2004 г.г., программы развития приоритетных направлений науки в РТ на 2001-2005 г.г. по теме «Информационные технологии оптимального проектирования химико-технологических процессов с гетерогенными рабочими средами».
Цель работы
Основной целью работы является развитие теоретических основ и разработка с единых позиций научно-обоснованных методов расчета гидромеханических процессов при фильтровании и центрифугировании суспензий с ньютоновской и неньютоновской реологией для широкого класса разделительного оборудования. Для достижения этой цели решается проблема, связанная с расчетом течения гетерогенных сред с твердой фазой. Эта проблема включает в себя ряд крупных задач, таких как:
• разработка методов расчета процессов фильтрационного разделения гетерогенных сред с образованием и без образования осадка в рабочих узлах разделительного оборудования с проницаемыми поверхностями и с учетом начального участка;
• исследование основных закономерностей движения дисперсных включений при течении гетерогенной среды с расслоением фаз под действием массовых сил;
• разработка и исследование особенностей методов расчета процессов разделения гетерогенной среды с учетом нелинейности ее реологического состояния и начального участка.
Научная новизна
• Развит метод поверхностей равных расходов применительно к расчету широкого класса течений гетерогенных сред с твердой фазой на проницаемых поверхностях с учетом начального участка.
• Разработана математическая модель и проведены численные расчеты процесса фильтрования гетерогенных сред с образованием и без образования осадка при ее тонкослойном течении по проницаемым поверхностям произвольной формы с учетом начального участка.
• Разработана математическая модель и проведены численные расчеты процесса фильтрования гетерогенных сред с образованием и без образования осадка при ее тонкослойном течении по вращающимся проницаемым поверхностям произвольной формы с учетом отставания среды и начального участка.
• Развит метод поверхностей равных расходов и установлены особенности его применения для напорных течений с учетом фильтрации. Разработана математическая модель и проведены численные расчеты течения и фильтрования гетерогенных сред с образованием и без образования осадка в различных каналах и трубах с проницаемыми стенками.
• Разработан метод расчета движения дисперсной фазы под действием массовых сил в произвольной ортогональной системе координат при совместном использовании эйлеровых и лагранжевых подходов.
• Разработана математическая модель гидродинамики потока в осе-симметричной вращающейся щели переменной толщины, образованной поверхностями вращения произвольной формы. Разработан метод расчета процесса разделения суспензии неньютоновского поведения в межтарелочном зазоре жидкостного тарельчатого сепаратора-осветлителя при наличии движущегося слоя осадка.
• Построены математические модели процессов разделения суспензий на барабанном вакуум-фильтре и промывки сформированного слоя осадка. В многокритериальной постановке решена задача оптимизации работы барабанного вакуум-фильтра со сходящей рабочей лентой.
Практическая ценность
Разработанные математические модели процессов сгущения и расслоения гетерогенных сред позволяют устанавливать основные закономерности исследуемого процесса, прогнозировать производительность и эффективность работы разнообразных фильтров и центрифуг и давать рекомендации для практической реализации. Результаты исследований, полученные зависимости, предложенные рекомендации составляют основу инженерного метода расчета широкого класса разделительного оборудования и позволяют выбрать рациональные технологические и конструктивные параметры. Результаты диссертационной работы приняты к внедрению в ФГУП "ГосНИ-ИХП" (г. Казань), ОАО "Казанькомпрессормаш" (г. Казань), ОАО "КамАЗ-Автоагрегат" (г. Заинек), ОАО "СМП-Нефтегаз" (г. Альметьевск), ДОАО "ЦКБ Нефтеаппаратуры" (г. Подольск), ОАО "НИУИФ" (г. Москва).
Достоверность полученных результатов
Достоверность полученных результатов диссертации подтверждается использованием общепринятых подходов к моделированию процессов и аппаратов химической технологии, корректностью постановки задач на основе фундаментальных уравнений сохранения, применением для их решения современных методов вычислительной гидродинамики, а также сравнением полученных данных с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.
Апробация работы
Основные научные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, форумах и съездах:
• IV и V Всесоюзных научных конференциях «Механика сыпучих материалов» (Одесса, 1980 и 1991).
• Республиканской научно-технической конференции «Механика сплошных сред» (Набережные Челны, 1982).
• Межвузовской научно-технической конференции «Разработка молодых ученых, специалистов и студентов - производству» (Казань, 1983).
• III Всесоюзной научной конференции «Современные машины и аппараты химических производств. Химтехника - 83» (Ташкент, 1983).
• Всесоюзной научной конференции «Совершенствование и повышение эффективности процессов и аппаратов химической технологии» (Харьков, 1985).
• Научно-техническом семинаре «Совершенствование и автоматизация технологии утилизации отходов, очистки сточных вод и газовых выбросов химических производств» (Черкассы, 1987).
• Всесоюзной научной конференции «Математическое моделирование сложных химико-технологических систем» (Казань, 1988).
• III и V Всесоюзных научных конференциях «Методы кибернетики химико-технологических процессов» (Москва, 1989; Казань, 1999).
• Международных научных конференциях «Математические методы в химии и химической технологии» (Тула, 1996; Новомосковск, 1997).
• Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Владимир, 1998; Великий Новгород, 1999; Санкт-Петербург, 2000 и 2003; Смоленск, 2001; Тамбов, 2002; Кострома, 2004; Казань, 2005).
• 13h, 14h and 16h International Congress of Chemical and Process Engineering (Czech Republic, Praha, 1998, 2000 and 2004).
• Международной конференции «Теория и практика фильтрования» (Иваново, 1998).
• IV и V Международных форумах по тепломассообмену (Минск, 2000 и 2004).
• Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и их приложения» (Казань, 1999).
• Международной научной конференции «Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения» (Казань, 2000).
• Научно-технической конференции «Водоснабжение на рубеже столетий» (Уфа, 2001).
• Научно-практической конференции «Актуальные проблемы жилищно-коммунального хозяйства и социальной сферы города» (Казань, 2001).
• VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001).
• XVII Менделеевском съезде по общей и прикладной химии (Казань, 2003).
• 4h European Congress of Chemical Engineering "Chemical Engineering a tool for progress" (Spain, Granada, 2003).
• IV Международном симпозиуме "Ресурсоэффективность и энергосбережение в современных условиях хозяйствования" (Казань, 2003).
• 9h World Filtration Congress (USA, New Orleans, 2004).
• Международной научной конференции «Энергоресурсосберегающие технологии и оборудование, экологически безопасные производства» (Иваново, 2004).
• Второй Российской конференции «Тепломассообмен в закрученных потоках» (Москва, 2005).
• Ежегодных итоговых научных конференциях Казанского государственного архитектурно-строительного университета (Казань, 1987-2005).
Публикации
По теме диссертации опубликованы 72 работы, включая статьи, труды и тезисы научных конференций.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы из 428 наименований и приложения. Содержание работы изложено на 340 страницах машинописного текста, включая 82 рисунка и 2 таблицы.
Автор выражает благодарность действительному члену Российской и Международной инженерных академий, Международной академии информатизации и Нью-Йоркской академии наук, доктору технических наук, профессору Холпанову Леониду Петровичу за ценные практические советы и рекомендации в процессе выполнения данной работы.
Контактная дисперсная система и фильтрационное течение гетерогенных сред
Если твердая фаза представляет собой плотную упаковку дисперсных частиц, то в ней может происходить перенос импульса за счет непосредственного взаимодействия между частицами. Этот перенос описывается приведенным тензором напряжений т2. Приведенное напряжение в дисперсной фазе определяется через непосредственно измеряемые величины - полное напряжение в смеси и давление жидкости в порах. При наличии контактов между дисперсными частицами гетерогенная система называется контактной дисперсной средой.
Когда возникают значительные касательные напряжения, в упаковке дисперсных частиц может наблюдаться явление макродеформации (сдвига, движения). Это связана с тем, что даже если материал зерен недеформируем, макродеформация зернистого скелета может иметь место за счет смещений зерен друг относительно друга.
Рассмотрим другую двухфазную структуру, состоящую из пористой среды, насыщенной жидкостью, которая занимает поры в виде каналов. Такая структура может рассматриваться как предельный случай дисперсной структуры с наиболее полными контактами между частицами твердой фазы, когда площадь межзеренных контактов сравнима с поверхностью зерен. Эту предельную структуру с порами в виде каналов будем называть «канальной структурой». Для такой неподвижной структуры тензор т2 не имеет смысла, а напряжение в жидкой фазе определяется давлением. При этом уравнение (1.14) описывает фильтрационное движение жидкости в порах пористой структуры, а уравнение (1.15) исчезает.
Значение проницаемости аналитически может быть вычислено только для определенных моделей контактной дисперсной среды, например, в случае упаковки монодисперсных сферических частиц. В общем случае проницаемость определяется экспериментально. Если коэффициент проницаемости представить в виде к = {av8 + у) х, то (1.17) дает, так называемое, основное уравнение фильтрования с образованием осадка [15, 18].
Исследование фильтрационных систем, в которых сама фильтрующаяся жидкость проявляет свойства, отличные от ньютоновских жидкостей, имеет важное значение для технологических процессов, встречающихся на практике. Однако в настоящее время течение нелинейных жидкостей в пористых средах достаточно хорошо изучено только для решения вопросов нефтедобычи, то есть когда фильтрация осуществляется в больших массивах [10, 161-165]. Фильтрация неньютоновских жидкостей в малых пористых объемах, с которыми приходится сталкиваться в химической промышленности, остается мало изученной. Различные нелинейные эффекты при фильтрации жидкостей в пористой среде ив зернистом слое рассматривались в работах [10,159-181].
При решении уравнений механики гетерогенных сред необходимо корректно учитывать граничные условия на внешних границах и на поверхностях разрыва. Эти вопросы подробно обсуждены в работах [19, 24, 30-32, 182-187].
Течение и фильтрование гетерогенных сред без образования осадка
При течении гетерогенных сред по проницаемым поверхностям сплошная фаза просачивается через стенку, а дисперсная фаза задерживается в рабочей зоне. В условиях высоких касательных напряжений на стенке, создаваемых потоком разделяемой среды и массовыми силами, задержанные на поверхности частицы, увлекаются потоком. В этом случае происходит фильтрование без образования осадка, или сгущение разделяемой среды с изменением средней концентрации по длине аппарата [409-410].
При описании процесса сгущения смеси на основе модели мгновенного перемешивания по толщине слоя можно использовать квазигомогенное приближение. В квазигомогенном приближении поверхности равных расходов вводятся вполне однозначно для некоторой эффективной среды с переменными по продольной координате характеристиками р{а2{хх)), т(а2(хх)). 1. Для заданной геометрии задачи выбирается удобная ортогональная система координат и подбирается удовлетворяющая граничным условиям базисная функция для разложения сеточного решения. 2. Выбирается распределение положений поверхностей равных расходов ук и профиль скоростей Uk на входном сечении х, = хХн. 3. При известных ук, Uk из системы алгебраических уравнений N Ах + T,Aj(xl)4/j(xi,yk) = Uk определяются коэффициенты разложе ния А,. Далее, используя разложение (2.20), вычисляются значения вязкого члена уравнения движения на соответствующих линиях тока. 4. Из решения уравнений (2.28) находится скорость фильтрации сплошной фазы на данном сечении. 5. Используя процедуры прогонки для вычисления правых частей, одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений из (2.22), (2.23), (2.26) находятся искомые функции yk,Uk,a2 на следующем шаге интегрирования. 6. Процедура 3-5 повторяется.
Предположим, что по наружной или внутренней поверхности горизонтально расположенного проницаемого цилиндра происходит тонкослойное течение дисперсной системы.
Течение по внутренней поверхности вращающегося конического ротора Построенные дифференциальные уравнения были решены численно после перехода к безразмерным переменным для различных поверхностей течения. Для случая непроницаемой поверхности использовался метод Рун-ге-Кутты с автоматическим выбором шага. Характерный вид зависимости толщины поверхностей равных расходов от продольный координаты показан на рис. 2.2. Кривые одного семейства, приведенные на отдельных рисунках, отличаются только начальными координатами, которые задаются формулой У к = ч7 (к = 1,7). При стекании среды по плоской пластины толщина пленки выходит на постоянную величину. Результаты расчетов при различных значениях отношения чисел Рейнольдса и Фруда показаны на рис. 2.3.
В случае течения по проницаемой поверхности объем среды под нижней поверхностью тока будет убывать из-за фильтрации жидкости. Когда нижняя поверхность тока достигнет проницаемую стенку (у2 =У\), происходит уменьшение степени разложения в ряд сеточного решения (2.20). Изменение аппроксимации скорости вносит возмущение в числовое значение тензора вязкого напряжения и, следовательно, в вязкостный член уравнения сохранения импульсов. Резкое изменение отдельных членов уравнения сохранения импульсов уравновешивается изменением гидродинамических параметров. В результате этого числовое решение yN (х) терпит локальное искривление. Причем, чем меньше остается количество введенных поверхностей равных расходов, тем заметнее становится локальное возмущение решения. Расчеты показывали, что одношаговый метод Рунге-Кутты как правило не в состоянии преодолевать такие пикообразные участки. Для преодоления этой особенности был применен метод Гира, предназначенный для решения жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Математическое моделирование процесса сгущения гетерогенных сред
На начальной стадии процесса разделения суспензий в фильтрующих центрифугах осуществляется напорное фильтрование без образования осадка [21]. Далее образуется осадок и соответственно растет сопротивление при фильтровании. Предположим, что физико-химические параметры среды, интенсивность массовых сил и гидродинамическая обстановка обеспечивают течение без образования осадка. Для описания процессов течения и сгущения разделяемой суспензии с изменением средней концентрации дисперсной фазы по длине аппарата может быть использована квазигомогенная модель. В квазигомогенном приближении поверхности равных расходов вводятся однозначно для некоторой среды с переменными по
Следует отметить, что начальное условие для скорости отставания зависит от типа устройства подачи суспензии. Условие (3.29в) для окружной скорости соответствует случаю, когда устройство подачи обеспечивает в начале течения вращение исходной суспензии со скоростью вращения ротора. Если суспензия на поверхность ротора подается с нулевой окружной скоростью, начальное условие следует брать в виде W(xH ) = corH.
Для всех рассмотренных поверхностей нахождение производных от функций sin Д cos/? не составляет труда. Что касается вычисления интеграла в уравнение (3.45), то его не всегда удается найти аналитически. В таком случае уравнение (3.45) решается численно. На практике по заданной координате х требуется вычислить соответствующий радиус течения. Область поиска численного решения такой задачи ограничивается условием х2 r2 + f2(r), которое вытекает из теоремы Пифагора. В случае конической поверхности это неравенство переходит в равенство.
Перечисления всевозможных форм поверхностей вращения можно продолжить. Однако важно то, что система уравнений (3.33)-(3.35), (3.37), построенная на основе метода поверхностей равных расходов, не зависит от выбора формы насадки. Алгоритм, использующий процедуру прогонки (3.40), (3.41) и систему уравнений (3.39), позволяет решать целый класс задач о движении текучих сред со сложной реологией в поле центробежной силы.
Система уравнений (3.35), (3.37), (3.39) с начальными условиями (3.38) была решена численно согласно алгоритма А3.1 для различных поверхностей вращения. Результаты численных расчетов для конической поверхности представлены в виде графических зависимостей соответствующих безразмерных величин. Режим течения характеризуются отношением Re„/Frw во входном сечение. Анализ полученных результатов показывает, что характер течения во всех случаях имеет общие черты.
Во всех случаях профиль радиальной скорости развивался до некоторого установившегося вида, который не зависит от выбора начального профиля. Характерные виды зависимостей толщины поверхностей равных расходов, радиальной и тангенциальной скоростей от продольной координаты показаны на рис. 3.3-3.8. Кривые одного семейства, приведенные на отдельных рисунках, отличаются только начальными координатами, которые задаются формулой ун\к=к/7 (к = 1,7). На рис. 3.6-3.8 скорость фильтрации мала, поэтому на данном участке все линии тока сохранились. На начальном участке течения линии тока имеют искривление, степень которого зависит от скорости отставания среды (эта хорошо видно на рис. 3.4, 3.5, 3.7, 3.8). Сравнение радиальных (рис. 3.7, 3.7) и тангенциальных (рис. 3.5, 3.8) скоростей, а также сопоставление скоростей с положениями линий тока ук показывает, что отставание среды уменьшает центробежный эффект. При увеличении отставания среды центробежная сила и, следовательно, радиальная скорость уменьшаются, что в свою очередь вызывает рост толщины поверхностей равных расходов. Причем степень влияния отставания среды на гидродинамику течения изменяется как по толщине слоя, так и по продольной координате.
Наличие фильтрации дисперсионной (сплошной) фазы через стенку несколько сглаживает указанные нелинейности. Это связана с тем, что при наличии фильтрации, во-первых, растет эффективная вязкость среды, а, во-вторых, быстрее уменьшается толщина пленки.
Картина течения с учетом и без учета отставания среды от поверхности вращения показана на рис. 3.9-3.11. Линии 1 соответствуют течению без учета отставания. Линии 2, которые соответствуют течению с учетом отставания, откланяются от линий 1 только на начальном участке. Далее они асимптотически стремятся к линиям 1, так как при уменьшении толщины пленки тангенциальные скорости плавно стремятся к нулю (рис. 3.5, 3.8).
На рис. 3.12-3.14 показано влияние вязкости среды на гидродинамику течения. Как и ожидалось, при увеличении вязкости толщина слоя растет, а скорость падает. При увеличении скорости вращения ротора наблюдается обратная картина: толщина слоя уменьшается (рис. 3.15), а продольная скорость растет (рис. 3.16).
Наличие фильтрации сплошной фазы приводит к сгущению среды. Влияние вязкости на изменение концентрации дисперсной фазы показано на рис. 3.17. С увеличением вязкости концентрация дисперсной фазы растет медленнее вследствие уменьшения скорости фильтрации. На рис. 3.18 показано влияние скорости вращения ротора. С ростом скорости вращения растет скорость фильтрации, что приводит к увеличению интенсивности роста концентрации. На интенсивность процесса сгущения сильно влияет проницаемость вращающегося ротора. Увеличение коэффициента проницаемости приводит к росту концентрации твердых включений (рис. 3.19).
Математическое моделирование процесса сгущения гетерогенных сред в проницаемых каналах и трубах
При фильтрации сплошной фазы через стенку дисперсные частицы задерживаются в рабочей зоне. В условиях высоких касательных напряжений на стенке, создаваемых течением суспензии, задержанные на поверхности частицы увлекаются потоком. В этом случае происходит фильтрование без образования осадка или сгущение разделяемой среды с изменением средней концентрации по длине аппарата. При недостаточном касательном напряжении у стенки происходит фильтрование с образованием осадка. Причем такие разные режимы фильтрования могут иметь место в отдельных участках одного и того же канала [348].
Для режима фильтрования без образования осадка построим уравнение изменения концентрации. 5. По соотношениям (4.14), (4.15) вычисляются прогоночные коэффициенты и градиент давления Р . Обратной прогонкой (4.13) вычисляются значения правых частей дифференциального уравнения (4.11). Аналогично находятся значения правых частей уравнений (4.10) и (4.16) 6. Одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений находятся искомые функции rk,Uk,a2, а также давление Р на следующем шаге интегрирования. 7. По найденному распределению давления, решая систему уравнений (4.17), (4.18), вычисляются скорости оттока сплошной фазы Vmk\ , k = luN. 8. Процедура 4-7 повторяется. Рассмотрим несколько примеров течения суспензии с переменной концентрации по конкретным каналам и трубам.
Пусть течение суспензии происходит в пространстве между соосными цилиндрами с проницаемыми стенками из пористого материала. Толщины стенок цилиндров и их проницаемости считаются разными. Выберем цилиндрическую систему координат xx=z, х2=у, х3 = (р с коэффициентами Ляме Нх = Н2=\, Нъ=г. Геометрия задачи представлена на рис. 4.1.
В случае течения в кольцевом зазоре при обезразмеровании уравнений в качестве характерного линейного размера можно принять расстояние между соосными цилиндрами. Рассмотренные примеры показывают, что конкретизация построенных уравнений (4.7), (4.8), (4.16)-(4.18) после выбора геометрии канала и системы координат не представляет труда. Система уравнений (4.7), (4.8), (4.16) вместе с начальными условиями (4.19в) с учетом построенных аналитических решений уравнений фильтрации (4.17)-(4.18) представляет замкнутую систему уравнений, решение которой можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Некоторые результаты численных расчетов течения суспензии с переменной концентрации в круглой цилиндрической трубе представлены на рис. 4.3-4.9. Расчеты выполнены в безразмерных переменных согласно алгоритма А4.1.
При выполнении численных расчетов на входном сечении задается распределение поверхностей равных расходов и значения скоростей на них. Начальные безразмерные координаты поверхностей равных расходов задаются формулой rk{zH) = {k-\)/(N-V), k = \,N. Характерный вид поверхностей равных расходов показан на рис. 4.3. На начальном участке происходит развитие течения от заданного начального профиля до параболического. При расчетах были использованы различные виды начального профиля: равномерный, треугольный, параболический. Во всех случаях профиль развивался до некоторого установившегося вида, который не зависит от выбора начального профиля. На рис. 4.3-4.4 отчетливо видно изменение гидродинамики течения на начальном участке при развитии плоского профиля до параболического. В начале течения скорость пристенной зоне замедляется, а в центре трубы, наоборот, разгоняется. Поэтому на начальном участке линии тока прижимаются к оси трубы (рис. 4.3). Отношение скорости на оси симметрии трубы к средней скорости UІ/V ср , начиная с единицы, асимптотически выходит на значение 2 (рис. 4.4). В дальнейшем из-за фильтрации жидкости линии тока стремятся к стенке и поочередно исчезают. Результаты расчетов при различных значениях проницаемости стенки и вязкости показаны на рис. 4.5-4.6.
