Вырожденные системы линейных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений Бояринцев Юрий Еремеевич

(34)

*As-f

_{' E о}

_{(В, о}

J-/ о *?

_{, A =}

/"

ЗО =

_{' В" I}

*As*

Я₃1 \ О 01 \ Jdj О/

Все другие комбинации также приводят к (34), так что системы автоматического регулирования (32),(33) - это системы типа (2). Примеры применения результатов данной работы к решению задач об управляемости и наблюдаемости систем (32),(33) тлеются в монографии [бО].

Пример 8. Системы типа (I) ,(2) возникают также при анализе .линейных электрических цепей. Дело в том, что уравнения, описывающие электрическую цепь выводятся на основании двух законов Кирхгофа для токов и напряжений, из которых первый дает .линейные алгебраические связи между токами, а второй линейные интегродифференциальные связи между токами и напряжениями. На этот счет в [60J рассмотрен один пример.

Пример 9. Системы с ограничениями в виде неравенств, рассматриваемые, например, в теории оптимального управления, могут быть записаны как системы с особенной матрицей при производных. Правда, эти системы оказываются нелинейными. И хотя эта диссертация посвящена только линейным уравнениям, имеют ся уже соображения и о способах решения нелинейных вырожденных систем. Эти соображения навеяны, естественно, линейной теорией.

Приведем простейший пример.

В системе

cb = Лес +J¹,

(35)

заменим неравенство на равенство а? -и , введя новую неизвестную^ . Тогда для системы (35) выписывается эквива-

лентная система

Следующая серия примеров показывает, как системы типа (I), (2) возникают в самой математике.

Пример 10. Введем обозначения сс₀ =$с, cc_f=cb, сс_г=іх Тогда уравнение второго порядка

асе +всс +ссс =^ представится системой

+

типа (2) (но не (I)!).

Пример II. Решения так называемых "жестких" систем вдали от начальной точки ведут себя как решения систем с вы-

рожденной матрицей при производных. Это показано, например, в монографии [60]. Поэтому анализ и построение численных алгоритмов для решения "жестких" систем могут базироваться на развитой в следующих главах теории (о "жестких" системах можно прочитать, например, в [3],[23]). Обратно, методы решения "жестких" систем применимы также и для решения систем с вырожденной матрицей при производных, как это показано в монографии [60]. Дело в том, что решение системы Асе'= Вес+^ при определенных условиях мало отличается от решения системы

(А-іїЗ)сс''= Все + ^ , когда Т>0 мало (см. об этом

подробные исследования в [60], с.103-128, 166-170).

Отметим еще, что при исследовании и решении систем с малым параметром при производной

С ІС^ ~ J^21 З'ї ~^ -^22 *^2

часто полезно предварительно рассмотреть свойства предельной системы (Є = О )

// ^{= B}njft ^+В<*&**

^{= В}*#< + ^B2Z*f₂

Пример 12. Задачу численного дифференцирования функции J можно свести к задаче численного решения системы

_{(»)(i) -(:)-(/')}

типа (I).

На этом завершим список примеров. Нетрудно быть уверенным в том, что этот список может быть продолжен. Но уже этот небольшой список позволяет судить о важности изучения систем вида (I),(2) и разработки численных методов для их решения. В .литературе (см., например, [4] ) есть свидетельства о малой изученности методов интегрирования алгебро-дифференциальных уравнений, к которым сводится моделирование переходных процессов в устройствах автоматического управления и в сложных электронных или электроэнергетических системах. В упомянутой работе предлагается метод решения нелинейных алгебро-дифференциальных систем, состоящий в сведении исходной системы к системе, тлеющей форму Коши, но обоснования метода

24 не приводится. В беседе с моим сотрудником В.Ф.Чистяковым выяснилось, что в случае систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами этот метод дает решение только в том случае, если каноническая форма (см.[8], с.331 ) пары матриц системы не содержит нилъпотентных блоков типа Н^ , имеющих порядок выше второго.

Настоящая диссертация является плодом размышлений о том, как строить численные (в том числе разностные и основанные на расщеплении [40]) методы решения систем вида (I) и (2), частным случаем которых являются алгебро-дифференциальные системы. При этом оказалось, что теория таких систем для целей конструирования численных алгоритмов недостаточно разработана. В предлагаемой диссертации дается вариант такой теории, основанный на использовании различных обобщенных обратных матриц. Автор лелеет надежду, что ему удалось описать весь класс уравнений (I), (2), которые допускают явное представление решения,и указать путь конструирования численных алгоритмов.

Понятно, что в случае постоянных матрице, и3 теория систем (I), (2) может быть легко построена на основании приводимости произвольного пучка матриц к каноническому віщу Кро-некера - Вейерштрасса (см., например,[8]). Но эта теория не будет конструктивной (как это понимается в современной вычислительной математике)-

Наш путь использования различных обобщенных обращений особенных и прямоугольных матриц позволяет сводить системы (1),(2) к системам с единичной матрицей при производных (для таких систем в настоящее время имеется весьма полная теория).

Насколько известно автору, литература, посвященная изуче-

нию систем вида (1),(2) с произвольными матрицами, в настоящее время невелика. Конечно, это заявление не относится к случаю различных сингулярностей, связанных с вырождением коэффициентов в отдельных изолированных точках: литература по этим вопросам весьма обширна, а история изучения случаев вырождения в изолированных точках чрезвычайно продолжительна. Но моя диссертация этому не посвящена. В ней речь идет о системах, пара матриц (А,В) которых имеет постоянную каноническую структуру на всем промежутке, на котором ведется исследование или решение системы, хотя результаты оказывается иногда применимы и для случая вырождения в точке.

Среди работ, так или иначе связанных с постоянством структуры пары матриц (А,В), прежде всего отметим книгу Ф.Р.Гант-махера[8], в которой на основании теории элементарных делителей для случая постоянных матриц построено общее решение системы (I). Системам типа (I) с переменными матрицами посвящены следующие работы.

В статье [44] рассматривается система A($t) с=В()сс+/&,
в которой A fa) , В() , cf f) - голоморфны, и иссле
дуются алгоритмы понижения порядка этой системы. Показывается,
что в области, в которой det А (<) = О , решение

системы - либо алгеброидная функция либо фундаментальная сріс-тема решений определяется системой меньшего порядка, чем исходная.

В работе Ю.Д.Шлапака [38] рассматривается система
P(t)x = A(t)x , где P(t) , A(t) являются

периодическими, а матрица Р(Ь) имеет неизменную структуру по нулям для t є (-о, <х>) . Доказывается, что исходную систему невырожденной заменой переменных можно привести

к виду Р₀ и = В₀ (VJ у , где

_{, \ і о, а, о}

\ Е О

_{Е =}

ос/'^{1 а =}

\ / \ ''-о

&i - 0 или I для всех t Є (- <=><=> , cx=> J .

В статье [39] того же автора рассматривается тот же вопрос и даются признаки, когда матрица P(t) имеет неизменную структуру при всех Ь є (- <=> , &*=>) .

В работе В.А.Еременко [12] рассматривается система

P(t)x = А(Ь)х +^(1}), 0<*Ъ<сх>,

в которой Р, А, / - также периодические, причем tccnk Р(Ь)
не зависит от t , и доказывается, что существует ортогональ
ная матрица V такая, что ТУ'РТУ = [ ₀ ) при всех

t є (- &*=>, сх=> ) , и даются достаточные условия для того, чтобы порядок системы

_{fy {%)' '[і}

полученной из исходной после подстановки CV * 2Уи , можно было понизить так, чтобы система меньшего порядка обладала теми же свойствами, что и исходная система, или матрица при производных в ней была неособенной

В работе [46] с точки зрения обобщенной задачи на собственные значения Я А и = В и исследуется однородная система А X' =Вх.

В статье В.П.Скрипника [26] изучается система (Ая)' = B(t)x+J,

ее (О) =сс₀ , te [а, в] ,

в которой А - постоянная симметричная ( п*п )-матрица ранга п - / . При некоторых предположениях о спектре симметричной части матрицы, в частности, обеспечивающих неособенность В($)-> доказывается существование решения исследуемой системы (решение определяется особым образом). Далее рассматривается система, зависящая от малого параметра S и формулируются условия, при которых решение системы при — О стремится к решению вырожденной системы. Из перечисленных выше работ эта работа больше всего примыкает к нашим исследованиям: это так называемый регулярный случай (в главе 5 он подробно рассмотрен при значительно менее жестких ограничениях).

Отношение к нашей работе имеет также статья [4-І], в которой для решения системы (I) применяется обратная матрица Дразина [43J к матрице А, но лишь в случае системы с постоянными (квадратными) матрицами, приводимой, как легко показать к регулярной системе.

л* В предлагаемой диссертации обратная матрица Дразина Л

считается ассоциированной с единичной матрицей Е , что приводит к обобщению: вместо матрицы А применяется матрица А= (В~А)" В' , где В - некоторая полуобратная матрица к матрице В, и это позволяет получить общие результаты относительно систем (I), (2) с переменными и прямоугольными матрицами.

Следующая группа статей выполнена моими сотрудниками, с которыми я бок о бок работалили работаю на протяжении ряда лет. Некоторые из этих статей написаны в соавторстве со мной.

Прежде всего отметим статью Ю.Е.Бояринцеваи В.М.Корсуко-ва [47], содержащую обоснование неявного метода Эйлера для численного решения системы (І) в случае, когда для некоторо-

го с det (А-сВ)ф О , а матрицы А и В постоянны. Отметим еще работу тех же авторов [48], в которой для решения системы (I) (с произвольными постоянными матрицами А и В) использована, как ив [41], обратная матрица Дразина [43] и получены более общие результаты, чем результаты работы [41].

Статьи В.Ф.Чистякова [35]-[37] посвящены различным аспек
там приближенного решения системы (І). В статье [35] показы
вается, что. если каноническая форма пучка А Я-В не содержит
нильпотентных блоков в матрице А, то существует константа К
такая, что из неравенства // Ах ~Вх -^//, < 5
следует неравенство //а:- -ее*//² < К* , где .2?*- неко-

торое решение системы (I) с постоянными матрицами (^%.и х* удовлетворяют одному и тому же начальному условию). Исследуется один вариант градиентного спуска.

Работа [36] посвящена изучению метода исключения для реше
ния системы (I) с постоянными {jnm )-матрицами А,В. Здесь ис
следуется вопрос о понижении порядка системы и доказывается,
что если т =п и существует Л, такое, что
det (А Л, - В) Ф О , то общее решение системы

записывается в виде ее ft) = Ф(і) /5 + V (t) , где Ф(й) - (гп*в) - матрица, a- произвольный постоянный вектор, ао- степень многочлена det (А Я -В) . Кроме того, показывается, что равенство kez(A7l₀ -В)=0 влечет отсутствие произвольных функций в общем решении.

Работа [37] содержит исследования системы (I) с переменными матрицами. В ней показывается, что если zeenfe Aft) = = const = k и для некоторой точки t„ степень многочлена det [A(t_Q) Л - B(t₀)] равна k , то существует ок -рестность точки t₀ , на которой решение системы существует и

имеет вид се ft) = ф(1))₀/і> + Wft) , где /0-вектор

произвольных постоянных, а Ф{)-{?г xk) - матрица. Кроме того, даются условия, при которых из малости невязки следует, что отклонение приближенного решения от точного мало и в этой части работа [37] примыкает к работе [35].

В статьях Ю.Е.Бояринцева и В.А.Данилова [49], [50] исследовалась возможность понижения порядков алгебраических систем вида ее. = Асе -f-J . Впоследствие было понято [60], что рассмотренные в этих статьях алгоритмы, тесно связаны со свойствами обратных матриц Дразина, а это позволило сформулировать алгоритмы понижения порядков также и для вырожденных дифференциальных систем, имеющих вид Асе = ее +J (см. [60], с.52-55, 100-101).

В связи с разработками пакета программ опубликованы статьи [51](Ю.Е.БояринцеВ; А.А.Логинов) и [52](Ю.Е.Бояринцев, А.А.Логинов , В. Ф.Чис тяков).

Что касается различных обобщенных обратных матриц, которые широко используются в диссертации, то здесь можно было бы представить чрезвычайно большой список. Упомянем лишь книгу [45], в которой приведена обширная библиография, а также книгу С.Л.Соболева [28], первая глава которой посвящена полуобратным матрицам.

Предлагаемая вниманию диссертация написана по материалам работ [53]-[64]. Она является итогом моих собственных исследований. Результаты совместных работ в ней не излагаются. Необходимые заимствования из других источников отмечены ссылками и приводятся без доказательства (за исключением тех редких случаев, когда доказательства были мной придуманы в про-

цессе написания диссертации).

Несмотря на то, что диссертация написана на основе материалов монографии [60], от указанной монографии она резко отличается: в диссертацию введено значительное количество новых результатов и, вместе с тем, некоторые результаты из монографии [60] в диссертацию вообще не вошли (в частности, ради экономии места опущено описание метода возмущения [60], с.103-128; этот метод в [60] описан достаточно подробно). Кроме того, изменен сам стиль изложения: алгебраические, дифференциальные и разностные уравнения рассматриваются с общих позиции.

Диссертация состоит из настоящего введения и из шести глав.

Первая глава самая большая по объему. И это не случайно: в ней подробно изложены почти все основные идеи, на основании которых, строятся обшде решения вырожденных систем дифференциальных и разностных уравнений и приведены необходимые для этого результаты исследований различных свойств обобщенных обратных матриц.

Основной результат этой главы состоит в том, что системы вида

КАх =Boc+J, А(Асс) = Всс +J, (36)

в которых А,Б - прямоугольные матрицы, а Л - число либо дифференциальный или разностный оператор, с помощью обобщенных обратных матриц могут быть сведены к другим (эквивалентным) системам, решения и условия совместности которых при определенных условиях выписываются явно.

Чтобы эти условия представить компактно, в главе I вводится ряд полезных понятий. А именно, даются определения 1 вполне совершенной пары матриц,

2 совершенной пары матриц,

3 подусовершенной пары матриц и

4 разрешающей пары матриц ( А , Y ), соответствующей данной паре матриц (А,В).

Вполне совершенная пара матриц (А.В) по определению обладает тем свойством, что матричное уравнение АХ = В разрешимо относительно X. В главе I показано, что решение первой . из систем (36) (и, в частности, системы (I)) легко представляется в явном виде, если пара матриц (А,В) вполне совершенна, и приведен алгоритм, с помощью которого первой из систем (36) можно поставить в соответствие эквивалентную систему, пара матриц (А.В) которой вполне совершенна.

Совершенство и полусовершенство пары матриц - более сложные понятия. Наличие этих свойств у пары матриц также приводят к явным решениям. В случае постоянства матриц А,В совершенство пары (А,В) эквивалентно выполнению при всех комплексных оС неравенства

varnk А > tank (В-оСА),

а полусовершенство означает, что в каноническом представлении пары матриц (А.В) матрица А не содержит нильпотентных блоков порядка выше первого.

Понятие разрешающей пары матриц возникло в результате попытки обобщить определение обратной матрицы Дразина на слу-

чай прямоугольных матриц. В разрешающей паре матриц ( A , Y ), соответствующей паре матриц (А,В), матрица Y является решением системы

(E-BY)(AY)**o, (YAf(E-YB) = o, ₍₃₇)

_BYB-B,

32 а матрица Л определяется по формуле

A-(YAf7,

где (YA) - обратная матрица Дразина [43] к матрице УА. Очевидно, что если В = Е , то А = А . Использование разрешающей пары матриц позволило свести системы (36) к таким эквивалентным системам, анализ которых дает возможность выделить из всех дифференциальных и разностных систем те системы, которые допускают простое явное решение, и выписать для них условия совместности. Кроме того, применение разрешающей пары матриц позволило понять, что' такое регулярные системы (ом.гл.5). В главе I для подготовки к изучению регулярных систем приводится ряд признаков, наличие которых обеспечивает существование такого числа Я, при котором def (В-АА) = 0.

Отметим еще, что для доказательства конструктивности построений, связанных с разрешающей парой, в 16 главы I приводится и подробно обосновывается алгоритм получения разрешающей пары в случае, если пара матриц (В,А) является совершенной.

Полуобратные матрицы и матричные уравнения

С помощью полуобратных матриц компактно записываются условия совместности и общее решение матричного уравнения АХВ = С, (D где А - {тхп )-матрица, В - {р ср )-матрица и С - (/ )-. матрица. Справедливы следующие .леммы. Лемма I. Для того чтобы уравнение (I) было разрешимо (относительное ), необходимо и достаточно, чтобы были выполнены равенства (Е-АА )С = 0 , С(Е-В В)=0. (2)

Необходимость. Пусть матрица Х1» есть решение уравнения (I). Тогда, умножив слева равенство АХ,В =С на матрицу ( Е АА ), приняв при этом во внимание свойство (I.II), получим первое из равенств (2). Аналогично, умножив справа равенство AXfB=C на матрицу ( Е В В ), получим второе из равенств (2).

Достаточность. Если равенства (2) справедливы, то с помощью непосредотвенной подстановки можно убедиться, что Х =А СВ является решением уравнения (I). Лемма 2. Если матричное уравнение АХВ=С (3) разрешимо, то его общее решение представляется в виде I = A CB + (Е-А А)їЧ (E BB ), (4) где А", В - .любые полуобратные матрицы к матрицам А, В , а U и - произвольные матрицы подходящих размеров.

Доказательство. С учетом условий разрешимости (2) и равенства (I.II) легко показывается, что матрица, имеющая вид (4), удовлетворяет уравнению (3). Обратно, пусть выполнены условия разрешимости (2) и X удовлетворяет уравнению (3). Тогда X представляется в виде (4) при Х= И и 2? = Л АХ - А С В . Лемма доказана.

Замечание I. Нетрудно понять, что первое слагаемое в равенстве (4) есть частное решение уравнения (3), а сумма второго и третьего - общее решение однородного уравнения АХВ=О .

Для частного случая алгебраической системы А я? = у , когда матрица В в уравнении (3) одноэлементная ( В = (1) , В = (1) ), а «я? и-/ - векторы, из лемм I и 2 получается следствие I. Следствие I. Линейная алгебраическая система А&=/ (5) разрешима в том и только в том случае, если (Е-АА )/=о, (6) а если она разрешима, то ее общее решение представляется в виде сс= А (/ +(Е-А А)гс-, (7) гдеЛ - .любая полуобратная матрица к матрице А, а го -произ вольный вектор. В дальнейшем важным является случай, когда элементы матрицы алгераической системы суть некоторые функции. На этот счет приведем следующие три .леммы. Лем м а 3. Пусть матрица cMft) удовлетворяет включению (М(ії)є 7Z . Любое постоянное решение 7/ системы JcM (s)cM(S)tT=0 (8) о является решением системы cM(t)W=0 , 0 t 1 . (9) Обратно, .любое постоянное решение системы (9) является решением системы (8).

Доказательство. Заметим сначала, что для .любой матрицы А матрица А А - положительно полуопределенная и из А А = 0 следует А = О .В самом деле, для .любого вектора имеем (А Асе, ее) = (Асе, Асе) = //Асе//2. (ю)

Поэтому, если А А = О , то из цепочки (10) получается, что //Асе//= О . Следовательно, при .любом векторе ее выполнено равенство Асе =0 .Но это значит, что А = О . Пусть теперь W- постоянное решение уравнения (8). Умножим (8) на матрицу Р слева. Тогда получим fW Jl (s)cM(s)7/ds = 0 . (И)

Поскольку подынтегральная функция в (Ц) непрерывна, из (II) следует, что она тождественно равна нулю. Но тогда в силу сделанного выше замечания oU(t)V= О для всех t = [о, і]. Второе утверждение леммы очевидно. Лемма 4. Пусть в системе cM(t)% = M(t), o t f, (i2) для матрицей Жвыполнены включения

O классах пар матриц, обладающих свойством Q

Очевидно, что все пары (А,В) постоянных матриц, для которых пара матриц (В,А) является совершенной, обладают всеми тремя свойствами S2. Другой более широкий класс пар матриц, обладающих свойствамиQ , можно получить, если ограничиться рассмотрением только таких пар матриц, структура канонической формы которых (см. (1.5.4), (1.5.5)) постоянна на всем отрезке [0,1].

Итак, пусть в каноническом представлении количество канонических блоков в матрицах А, и Bf, а также типы и размеры этих блоков, не меняются на протяжении всего отрезка [ОД]. В таком случае, как легко видеть, матрица Bf постоянна, а в матрице А с изменением t є [О, 1] может меняться только неособенный блок С/ . В качестве матрицы Y в разрешающей паре матриц (А = = можно взять специальную полуооратную матрицу к матрице В (см. (1.6.10)), т.е. матрицу Y-QB1 Р при этом и следующие матрицы оказываются постоянными.

В связи с этим, каноническая форма .любой пары матриц с неменяющейся структурой обладает всеми тремя свойствами 2 . Наличие же свойств Q у исходной пары матриц (А,В) обусловлено в-этом случае какими-то свойствами приводящих матриц Р и GL в (I) и степенью гладкости матриц Af и Af , которые имеют вид (1.5.4 ), где (в (3) показано только по одному блоку каждого типа; это не ограничивает общности, а служит лишь облегчению записи (для произвольных матриц некоторых типов блоков в (3) может не быть вообще)).

Основываясь на постоянстве матриц (2) и канонических формах (3), можно высказать ряд очевидных утверждений, например,

1 если матрицы Р и Q в (I) постоянны и выполнены вклю чения У є ffl , С? є 1% , то пара матриц (А,В) об ладает левым свойством ъо (конечно, при условии, что пара матриц (В,А) совершенна, но это здесь и далее предполагается),

2 если матрицы Р и GL в (I) постоянны и выполнено включение У є &Z , то пара матриц (А,В) обладает правым свойством Q (заметим, что в силу постоянства канонической структуры матрица С/ ни в одной точке отрезка [0,1] не может стать особенной, поэтому из С?є 17Z следует У є tfZ (см, в связи с этим также 1)),

3 если матрицы Р и Q в (I) постоянны и выполнены включения У s (X , Ґ є С% , то пара матриц (А,Б) обладает свойством Ь? .

Все эти утверждения доказываются с помощью подстановки равенств (I) и Y- О. Ві Р в матрицы, фигурирующие в определениях 1,2,3. При этом должны быть учтены структура канонической формы (1.5.4), (1.5.5) и лемма І.ІІ.І.

Дальнейшее расширение класса пар матриц, имеющих постоянную структуру и обладающих свойствами Q , осуществляется следующим образом:

Если, например, пара матриц (А,В) обладает левым свойством Q , то в силу определения I матрицы (Е -A A) YA и (В-BY)А постоянны. Ясно, что если, например, четверка матриц СГ, Р , 1С,Р удовлетворяет включениям и является решением системы (10),(11), то, во-первых, В СРІЛУ (9) справедливы включения Q, є & , Рє С% , а во-вторых, матрицы (E-A A)YA , (E-3Y)А , где А и

В подсчитаїш по формулам (I), постоянны. Но тогда при условии, что СУ є ffl, , (7 є № (см. (3)), оказывается, что все требования определения I выполнены. Таким образом, доказано более сильное утверждение, чем утверждение 1, а именно: 4 если матрицы Р , Q , СУ , СУ" f из (I) и (3) удовлетворяют включениям Р Є С% , Q Є (% , С? Є ТУ , и существуют две матрицы та кие, что четверка матриц Р , (2 , 1У, 1У является решением системы (10),(11), то пара матриц (А,В) обладает левым свойством

Совершенные тройки переменных матриц

Верно и обратное: если UsftiJeTL является решением системы (10)-(12), ас- решением системы (15), то пара (zs, и), в которой вектор и (tj подсчитан по формулам (16), (17), есть решение задачи (1)-(4). Это доказьшается так же, как в случае задачи I (см. 2).

Так как решение задачи П связано с решением задачи (1)-(4) формулой (5), то справедливы следующие теоремы.

Теорема I. Если задача П тлеет решение, то ее общее решение записывается в виде (5),(16),(17), где t0- произвольная фиксированная точка отрезка 0,1 , и,(ґ) & 1?Z - произвольное решение системы (10)-(12), а вектор С- произвольное решение системы (15).

Теорема 2. Задача П имеет решение в том и только в том случае, если система (10)-(12) имеет решение itetfZ .

Для того чтобы сформулирвать теорему о единственности решения задачи П, заметим, что представление (5) решения задачи П единственно. В самом деле, пусть решение ее задачи П имеет два представления где пары ( ,, щ ), {г иг являются решениями задачи (I)-(4). Тогда Умножив (18) на матрицу А, в силу (2),(3) получим tsf = uz и, следовательно, zr = и,г .

Из доказанной единственности легко следует, что однородная задача П имеет только нулевое решение тогда и только тогда, когда однородная задача (1)-(4) также имеет лишь нулевое реше 200 ние. Но вопрос о единственности нулевого решения задачи (1)-(4) решается совершенно аналогично тому, как это делалось при доказательстве георемы 2.3. Поэтому можно сформулировать окончательный результат.

Теорема 3. Решение задачи П единственно в том и только в том случае, если выполнены два условия: I) среди вектор-функций zee 0Z лишь только нулевая удовлетворяет системе (10)-(12), в которой положено Ґ/=& , ее = О ; 2) матрица 7 (см.(13),(15)) неособенна. Замечание I. Если матрицы А,Б в системе (2.1.3), (2.1.4) таковы, что [Е -A (s)A-(s)]X(s)X (t)B(f )№ -А ШАШ] = о, , тп1 (19) а матрица C(s) имеет представление CfyJ = Cf(s)A(s) , (20) причем выполнено равенство Cf (s)X(s)X-f(t?)B(t)[E-A-(t)A(t)] = o , (21) О S 4 і О 4 & 1, то уравнения (10),(11) не содержат вектора и, и представляют собой "чистые" условия совместности. Такие тройки матриц А,В,С мы назовем совершенными справа (ср. с замечанием 2.1).

Анализ формулировок задач П и Ш позволяет заключить, что задачу Ш можно решить тем же методом, что и задачу П. При этом получаются теоремы, совпадающие по форме с теоремами 3.1-3.3.

201 Отличия появляются в выражениях для W ft; -и) и Г (см. обозначения к (3.8) л (3.9), в которых вместо матрицы С А должна стоять матрица С, а второй интеграл в выражении для Vу (t; и) должен пропасть. Кроме того, в случае задачи Ш, в формулировках теорем 3.1-3.3 включение и є Z нужно заменить на включение и є Hi . Что касается замечания 3.1, то речь в нем должна идти о совершенной справа тройке матриц А,В,СА. Следующие .леммы (4 и 6) показывают независимость определений I и 2 от конкретного выбора палуобратной матрицы А Лемма 4. Если система тождеств (I) ,(3), в которой X1(t) является решением задачи (4), тлеет место при какой-либо одной полуобратной матрице Ае?Ъ к матрице А, то она имеет место и при заглене в (1)-(4) матрицы А на любую другую полуобратную матрицу Ye ft к матрице А.

Некоторое описание множества совершенных троек матриц дает лемма 5. Лемма 5. Для того, чтобы тройка матриц (A(t) ,В(І})} С (і/)) была совершенной справа, необходимо и достаточно, чтобы тройка матриц ( А (Ь) , В(Ь), О ) ,в которой 0 есть нулевая матрица, была совершенной справа, а матрица C(t) представлялась по формуле C(t) = 2(t)(E -RKT)X (t)A (і), (24) где (tj - некоторая матрица, R = /P(s)Piffs)asJ о PCs) =X (S)B(S)[E-JL(S)A (s)], J(s) есть решение задачи (4), R - полуобратная к матрице R .

Если тройка матриц (А,В,С) совершенна справа, то, очевидно, тройка матриц (А.В.О) также совершенна справа (для нее (2),(3) выполняются автоматически). Далее, применив леммы 1.3.4 и 1.3.5 к транспонированному тождеству (3), предварительно зафиксировав в нем t , получим, что матрица C (t) Xi (t) удовлетворяет равенству Ci(t)-Xi ( &) R= О из которого следует, что при некоторой матрице (t)

Общее решение задачи

Регулярная (регулярная слева, регулярная справа) пара переменных матриц, определенных на отрезке [0,IJ, по нашему определению есть пара (A(t), В(Ы) , для которой существует такое комплексное число с, при котором матрица В с (t) = =B(t)-cA(t) при всех Ьє[0,1] является неособенной, а пара матриц (A (t), Ве (t)) обладает свойством Q (.левым свойством Q , правым свойством ). Ввиду того, что в связи с неособенностью матрицы _5 с разрешающая пара матриц (А =(ВС А) В соответствуй паре матриц ( А , Вс ), опре-деляется однозначно и часть требовании, содержащихся в определениях свойств Q , выполняются автоматически (в частности, пара матриц ( Вс, А ) является совершенной), целесообразно ввести самостоятельные определения регулярных пар матриц. Вот эти определения:

Определение I. Будем говорить, что пара матриц (Aft) , В (і)) , определенных на отрезке [0,1], является регулярной слева, если А є ЯЪ, В є Л, и существует такое комплексное число С, при котором матрица Вс ft) = В ft)-С Aft) обратима при всех fie [о, і J , причем относительно матриц разрешающей пары (А = СВ А) Вс , Y= Вс ), соответствующей паре матриц (А,ВС), выполнены требования: матрица (В-А3А) В А является постоянной и имеют место включения АвєП, ABAG Qt, , СЕ-А0А)В- є П.

Определение 2. Будем говорить, что пара матриц (Aft), В ft)) , определенных на отрезке [ОД], является регулярной справа, если А є ІЇЇ, , В є Z и существует такое комплексное число С, при котором матрица Вс ft) = В ft)-с A ft) обратима при всех t є [о, 1 ] , причем относительно матриц разрешающей пары (А , В ), соответствующей паре матриц ( А, Вс ) выполнены требования: матрица (Е-А А )АВ постоянна и имеют место включения Вс є % , А А є (X.

Определение 3. Будем говорить, что пара матриц (A (t) , В (t)) , определенных на отрезке [0,lj, является регулярной, если Ає Осг В є U и существует такое комплексное число с , при котором матрица Вс ft)= В ft)- с A ft) -обратима при всех te [о, 1] , причем относительно матриц раз в —1 решающей пары ( А , В. ), соответствующей паре, матриц {А,ВГ ) выполнены требования: матрицы (Е-АВА)В А и (В-А А) Вс ростоянны и имеет место включение А є(%. Определения 1-3 являются обобщениями (на случай переменных матриц), известного определения регулярной пары постоянных матриц, сформулированного в книге [8], с.332, в котором для регулярности пары матриц требуется лишь наличие числа с , обеспечивающего справедливость неравенства rtet (В-сА) Ф О.

Теперь заметим, что если пара матриц (А,В) в системах, для которых сформулированы задачи ІУ-УІ, является регулярной (регулярной слева, справа), то сделав замену ее = и , где с есть та самая константа, о которой идет речь в определениях регулярности, относительно # получим новые задачи ІУ-УІ с матрицами А, Вс=В-сА, Cc=ectC. При этом матрица Вс оказывается неособенной, а пара матриц {А, Вс) - обладающей соответствующим свойством Q. Но тогда новые задачи ІУ-УІ (относительно и ) допускают решение с помощью теорем, сформулированных в предыдущей главе, а решение исходных задач получается по формуле ее = Є и.

В дальнейшем, чтобы не вводить новых обозначений, будем считать, что подстановка сс= иъ задачах ІУ-УІ уже сделана и поэтому матрица В неособенна, а пара матриц (А,В) удовлетворяет условию регулярности (регулярности слева, справа) при с = 0.

Очевидно, что когда матрица В неособенна, теоремы предыдущей главы заметно упрощаются. В частности, в силу того, что и=о, первые уравнения из (4.1.20), (4.3.2) превращаются в "чистые" условия совместности, а условия совместности (4.1.5), (4.3.4) исчезают. С учетом этого замечания в следующих параграфах будут даны формулировки результатов главы 4 применительно к задачам ІУ-УІ с регулярными парами матриц

Похожие диссертации на Вырожденные системы линейных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений

Осреднение системы уравнений трехмерной теории упругости в тонком неоднородном стержнеСоловейчик, Мария Викторовна

Конечноэлементное решение стационарной системы уравнений Максвелла с разрывными коэффициентамиКремер, Игорь Альбертович

Блочно-линеаризационный подход к решению систем нелинейных уравненийСедельникова Анна Владимировна

Алгоритмы вычисления многомерных степенных сумм корней систем трансцендентных уравненийКачаева Татьяна Ивановна

Метод свободных групповых итераций для решения систем линейных уравненийМалеев, Анатолий Александрович

Некоторые алгоритмы точной и приближеннойфакторизации решения систем линейныхалгебраических уравнении с разреженными матрицамиЛарин, Максим Рудольфович

Разностные схемы высокго порядка точности для систем дифференциальных уравнений второго порядка с вырождениемХамраев, Юнус Юлдашевич

Параллельные методы решения систем линейных уравнений с симметричными положительно-определенными матрицами на основе аддитивного разложения с перекрытиямиКоньшин Игорь Николаевич

Компьютерное решение систем линейных уравнений с предельной точностьюКирилюк, Олег Петрович

Численные методы решения различных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа Эль-Намури Ахмед Реда Мустафа