Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ОСРЕДНЕНИЕ НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Г5
I. Формальное осреднение неполной системы уравнений Максвелла с гладкими коэффициентами .15
2. Конечность скорости распространения возмущений для осредненной системы Максвелла 20
3. Обоснование осреднения системы уравнений Максвелла с гладкими коэффициентами 26
4. Постановка задачи в случае негладких коэффициентов 35
5. Формальное осреднение системы уравнений Максвелла с негладкими коэффициентами 38
6. 0 дифференцируемости решений осредненной системы 45
7. Обоснование осреднения системы уравнений
Максвелла с негладкими коэффициентами .51
Глава II. ФОРМАЛЬНОЕ ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ 58
I. Постановка задачи ...58
2. Некоторые вспомогательные предложения 61
3. Построение асимптотик ...67
Глава III. ОБОСНОВАНИЕ ОСРЕДНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 82
I. Об одной оценке решения уравнения переноса .82
2. Обоснование осреднения для периодической задачи ... .,92
3. Обоснование осреднения для краевой задачи Ю2
4. Сравнение численных расчетов с теоретическими результатами
ЛИТЕРАТУРА 115
- Формальное осреднение неполной системы уравнений Максвелла с гладкими коэффициентами
- Построение асимптотик
- Об одной оценке решения уравнения переноса
Введение к работе
Во многих областях современной техники широко применяются материалы, имеющие периодическую структуру. Процессы, протекающие в таких материалах, как правило, описываются уравнениями с быстрооспиллируюшими коэффициентами. Всвязи с этим численное решение возникающих задач чрезвычайно трудоемко; возникает необходимость выбирать сетку с мелким шагом, чтобы на каждую ячейку периодичности (размера порядка В «i ) попало хотя бы несколько узлов. Это приводит к системам уравнений с крайне большим числом неизвестных, решение которых на ЭВМ часто бывает практически невозможным.
Развитая в последнее время методика осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами (см., например, [1-4 , 23—25Ц ) позволяет получать осредненные уравнения с постоянными или слабо меняющимися коэффициентами. Однако в ряде случаев вопрос о близости решений исходной и осредненной задач остается открытым.
В диссертации выведены оценки близости указанных решений для уравнений Максвелла; также получены уравнения, которым удовлетворяют главные члены асимптотических разложений по малому параметру решений односкоростного стационарного уравнения переноса частиц. В случае периодической и краевой задач для уравнения переноса доказаны оценки близости найденной асимптотики и решения исходной задачи.
Полученные асимптотики дают возможность качественного исследования решений уравнения переноса в тех или иных случаях. Оценки близости, доказанные в работе, позволяют получить численное реше- ние данной задачи электродинамики или задачи теории переноса частиц с быстроосциллирутощими коэффициентами с требуемой степенью точности. При этом решаемая на ЭВМ задача существенно проще исходной (например, можно брать крупную сетку, в ряде случаев происходит изменение типа уравнения и т.д.).
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе рассмотрены различные вопросы, связанные с гомогенизацией (осреднением) неполной системы уравнений Максвелла, а также с обоснованием полученных осредненных уравнений для задачи Коши. Пусть Е и Н - трехмерные векторы напряженности электрического и магнитного поля. Рассмотрим следующие соотношения, связывающие указанные векторы: 2 +* -^" ~,
Написанные уравнения дополняются обычно условием dorjiiH -О.
Считая (2) выполненным в некоторый начальный момент времени -Ь0 , из второго уравнения (I) следует, что указанное соотношение справедливо при всех ~Ь>~Ь0 , т.е. оно имеет характер начального условия. Всюду далее рассматриваются лишь уравнения (I), которые для кратности будем называть системой Максвелла. Предполагается, что коэффициенты 2 , f* , б есть 1-периодические функции "быстрых" переменных J ' 2 — УС?) » М~М(Ю » ^ = 6^Г) » где |rt. —OCi/S- (I =J*Z,2>) В начальный момент времени -Lo—0 считаем выполненными условия причем функции Є- и ги от переменных у не зависят и обладают достаточной гладкостью (например, принадлежат Соболевскому пространству Т^Ч^-з) ). Делая замену переменных в =В -г, И = и -I, запишем получившуюся систему уравнений (черточку над Е и П опускаем):
2If +*Е '^tH -F> здесь F = Ffaz^)=&-4*l, Ь=вг(-6,х,%)=-Ъ>е;
Е(о,ъ)=0, Н(о,эс)^о. (4)
Будет рассматриваться задача (3),(4) с правыми частями F , 6г , не зависящими от переменных ц что связано лишь с большей компактностью изложения. Все рассуждения переносятся на случай і* —1 a где cC'L , fcj - [[-периодические функции
Осредненная система уравнений для (3),(4) в случае достаточно гладких коэффициентов , /4 , & при & —О была получена в [ 25 J , при б' -ф О -в [26 J . Ее особенностью (при фО ) является наличие интегрального члена, характеризующего "память" материала. Разрешимость полученной системы ин-тегродифференциальных уравнений доказана в [27J . В 26J также доказано, что ЕР Н -*" (^о/^ {Н0/ (обозначим так решение ос-редненной системы) при 8,-+0 * - слабо в пространстве Lf^CPyT' (Ь&(Яз)) ) Более сильных результатов относительно близости решений исходной и осредненной систем Максвелла автору диссертации известно не было.
Следуя методике осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами, представим векторы Е и /7 асимптотическими рядами по степеням малого параметра , причем, как обычно принято, члены разложения нулевого порядка считаем не зависящими от переменных jf : El Р Hi (l=-jZj...J I-периодичны no Jf ; Подставляя (5) в (3) и приравнивая коэффициенты при 8 нулю, получаем, что ІІІГ + *Во - ъЬ<Но - ЪЩН< = ЕР ґьі~{ \ 6)
Значок ОС или 5 указывает по каким переменным действует соответствующий оператор. Применив к (6) операцию взятия "среднего по *Щ ": / У У
О О О имеем соотношения <2>|| -/-<^>Е0 -^АУв =/=,
В общем случае было бы неверным, однако, считать уравнения (7) искомым осреднением системы (3). Действительно, применяемая методика осреднения предполагает возможным получение всех членов разложений (5). В данном случае, зная векторы Е0 » А/# » не удается решить уравнений (7) относительно Fy , А/у . Чтобы проверить это, вычтем соотношения (7) из (6):
ЪН0 <8)
ЧоЬхА ~((4-
Система уравнений (8) в общем случае неразрешима, поскольку, например, eUcr^Xot^Ei^O , но с^((^-<^})^) = = ,^гг ' —г і что не обязано равняться нулю (по повторя-ющимся индексам здесь и далее предполагается суммирование в пре- делах -/^1^3 ). Таким образом, недопустимо в разложениях (5) не учитывать зависимость Е0 и И0 от 5
Параграфы 1-3 главы I диссертации служат для наглядности последующего изложения (в случае измеримых функций 2 »Л' » ^ ) В I приведены основные моменты осреднения системы уравнений (3) с гладкими коэффициентами Y) t f* , & Для полученной осредненной системы VlJ 4i>J + №<»* = *i с ы - <> ^> ^ установлена симметрия матриц (2у) > (/*#) » (^і/) и положительность соответствующих им квадратичных форм.
В 2 для осредненной системы (9) доказывается конечность скорости распространения возмущений.
Параграф 3 логически завершает два предшествующих. Основным его результатом является теорема 2, устанавливающая близость решений задачи Коши для уравнений (3) с гладкими быстроосциллиру-ющими коэффициентами и осредненных уравнений (9). Справедливо неравенство \\Е-Ео\\1 +ЦН-Н0Ц% <с с(і)Є, do) Pj(4^) ' %j (Ж) * fyjfe&) " Решения некоторых "задач на ячейке периодичности".
В параграфах 4-7 результаты 1-3 переносятся на случай измеримых ограниченных сверху и снизу коэффициентов { * I4 і В 7, завершающем главу, доказывается теорема 2' , аналогичная теореме 2 из 3: в случае измеримых ограниченных сверху и снизу коэффициентов 2 » Л » ^ справедлива оценка (10).
В главе П проводится формальное осреднение односкоростного стационарного уравнения переноса частиц, записываемого в виде \ (п)
Функции Ь , 21 , т являются 1-периодическими по переменным ^г =^х/5 , длина свободного пробега частиц L X В (здесь и далее значок X означает, что величины одного порядка). , 2L являются величинами порядка I, В случае /С = / , )^ & осреднение (II) с помощью теоретико-вероятностного подхода было проведено в [28J . В [5] осреднение для случая, рассмотренного в 28J , проведено с помощью методики \_lj ; получено также математически обоснованное осредненное уравнение для (II) при К - О
В I главы П диссертации определяется класс рассматриваемых задач. Предполагается, что Є - Jz(/4o)d^ >0.
Асимптотики решения уравнения (II) строятся при следующих величинах L : п. L х Е"/ь (к =Vi;,**;
Ш. L X (^ =U ? t^ t (множитель у правой части выбирается из тех соображений, чтобы получающиеся главные члены асимптотических разложений решений по малому параметру имели неотрицательный порядок); іу. /.^г**(*= V*) ,4 а е1^; у. L * * (к =л), 4 а/.
Случай I (при /С —О )9 как уже было сказано, исследован Н.С.Бахваловым в работе [5] ; там же получены осредненные уравнения в случае Ш,С (см. ниже).
Для уравнения переноса (II), записанного для случаев ЇЇ-У, разбираются следующие три возможности, различающиеся соотношением величин <оі и j/Licttf (где
СО Ьо , A. 0 -frod(T>o ; SL SI SI
В 2 доказана разрешимость некоторых встречающихся в 3 типов уравнений. Здесь и далее ^ и Z - измеримые ограниченные сверху и снизу функции
О <бт <6 &ж< оо ^ О <ТТ ^ Z ^ Zjr^ о.
В 3 строятся асимптотики решения уравнения (її) в случаях П-У. Получены следующие главные члены разложений:
П, А. у7 ^Jz fife?&)+... t где у?/ является решением урав- нения
Ш, А. ІУ А. р ~ *У,(x^icr)+...-y ff0ty-fotydcr^40 d -?Ks л. y> A- tf~exYz (x,1f, 0-)+.... &0fy -fctfyJ*'^ ;
Формальное осреднение неполной системы уравнений Максвелла с гладкими коэффициентами
Во многих областях современной техники широко применяются материалы, имеющие периодическую структуру. Процессы, протекающие в таких материалах, как правило, описываются уравнениями с быстрооспиллируюшими коэффициентами. Всвязи с этим численное решение возникающих задач чрезвычайно трудоемко; возникает необходимость выбирать сетку с мелким шагом, чтобы на каждую ячейку периодичности (размера порядка В «i попало хотя бы несколько узлов. Это приводит к системам уравнений с крайне большим числом неизвестных, решение которых на ЭВМ часто бывает практически невозможным.
Развитая в последнее время методика осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами (см., например, [1-4 , 23—25Ц ) позволяет получать осредненные уравнения с постоянными или слабо меняющимися коэффициентами. Однако в ряде случаев вопрос о близости решений исходной и осредненной задач остается открытым.
В диссертации выведены оценки близости указанных решений для уравнений Максвелла; также получены уравнения, которым удовлетворяют главные члены асимптотических разложений по малому параметру решений односкоростного стационарного уравнения переноса частиц. В случае периодической и краевой задач для уравнения переноса доказаны оценки близости найденной асимптотики и решения исходной задачи.
Построение асимптотик
Полученные асимптотики дают возможность качественного исследования решений уравнения переноса в тех или иных случаях. Оценки близости, доказанные в работе, позволяют получить численное реше ние данной задачи электродинамики или задачи теории переноса частиц с быстроосциллирутощими коэффициентами с требуемой степенью точности. При этом решаемая на ЭВМ задача существенно проще исходной (например, можно брать крупную сетку, в ряде случаев происходит изменение типа уравнения и т.д.).
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе рассмотрены различные вопросы, связанные с гомогенизацией (осреднением) неполной системы уравнений Максвелла, а также с обоснованием полученных осредненных уравнений для задачи Коши. Пусть Е и Н - трехмерные векторы напряженности электрического и магнитного поля.
Об одной оценке решения уравнения переноса
Осредненная система уравнений для (3),(4) в случае достаточно гладких коэффициентов , /4 , & при & —О была получена в [ 25 J , при б -ф О -в [26 J . Ее особенностью (при фО ) является наличие интегрального члена, характеризующего "память" материала. Разрешимость полученной системы ин-тегродифференциальных уравнений доказана в [27J . В 26J также доказано, что ЕР Н - " ( о/ {Н0/ (обозначим так решение ос-редненной системы) при 8,-+0 - слабо в пространстве Lf CPyT (Ь&(Яз)) ) Более сильных результатов относительно близости решений исходной и осредненной систем Максвелла автору диссертации известно не было.
Следуя методике осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами, представим векторы Е и /7 асимптотическими рядами по степеням малого параметра , причем, как обычно принято, члены разложения нулевого порядка считаем не зависящими от переменных.
