Введение к работе
Актуальность темы. Методу фиктивных областей решения линейных эллиптических уравнений посвящено большое количество работ. Мы здесь назовем авторов только некоторых из них: Саулъев В.К., Лебедев В.И., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А., Коновалов А.Н., Копченой В.Д., Бугров А.Н., Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Князев А.В., Glowinski R., Periaux J.. Широкое распостранепие метода фиктивных областей в вычислительной практике связано прежде всего с такими его преимуществами, как независимость объема вычислительной работы от геометрии области и простота настройки алгоритма на нужную форму области. В последнее время возрос интерес к методу фиктивных областей в качестве предобуславливателя для различных алгоритмов решения дифференциальных уравпений в частных производных. Поэтому перенесение метода фиктивных областей на нелинейные эллиптические задачи с сохранением всех его положительных качеств является весьма актуальной проблемой. Для ее разрешения, в частности, необходимо научиться решать нелинейные эллиптические уравнения с большим перепадом коэффициентов с эффективностью, не зависящей от этого перепада. Эта проблема представляет самостоятельный интерес из-за распостраненности таких задач и ее решению для линейных уравнений посвящена обширная литература, среди которой здесь отметим работы Лебедева В.И., Марчука Г.И., Кузнецова Ю.А., в которых возникла плодотворная идея итерационных методов в подпространствах, а также работыБахваловаН.С, Князева А.В.,КобельковаГ.М., где она получила свое развитие применительно к задачам метода фиктивных областей.
Целью диссертационной работы является перенесение метода фиктивных областей на квазилинейные эллиптические уравнения (с первым, вторым и смешанным краевым условием) и построение эффективных алгоритмов решения возникающих в этом методе задач.
Научная новизна работы. В диссертации дано обоснование метода фиктивных областей для первой, второй и смешанной краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Также предложены и обоснованы алгоритмы решения квазилинейных эллиптических уравнений с быстроменяющимися коэффициентами, сингулярно зависящими от одного или двух параметров, скорость сходимости которых не зависит от перепада коэффициентов, задаваемого этими параметрами. При этом предложенный в диссертации алгоритм для случая коэффициентов уравнения, зависящих от двух параметров различных порядков, не имеет аналога даже для линейных задач.
Практическая значимость. Предложенный в диссертации подход позволяет решать первую, вторую и смешанную краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с эффективностью, не зависящей от сложности геометрии области, в которой решается уравнение. Применение предложенных алгоритмов решения квазилинейных эллиптических уравнений с быстроменяющимися коэффициентами оказывается также весьма эффективным при вычислении осредненных характеристик композиционных материалов с резко меняющимися свойствами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико-математи-
ческого факультета МГУ, научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН, научно-исследовательском семинаре кафедры прикладной математики Московского Энергетического Института.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в двух работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который включает 20 наименований. Общий объем работы 101 страница.
