Введение к работе
Актуальность темы и . Компьютерное моделирование - одно из эффективнейших средств, позволяющих проникнуть в суть природных явлений и предсказать последствия воздействия деятельности человека на окружающую среду. Наряду с детерминированными моделями всё больший вес в научных исследованиях приобретают стохастические модели. В последнее время активно разрабатываются общие методы численного моделирования случайных процессов, а также стремительно расширяется область применения стохастических моделей (см., например, работы В.В.Быкова, А.В.Войтишека, О.Ю.Воробьева, В.В.Губарева, Я.П.Драгана, О.А.Курбанмурадова, А.С.Марченко, Г.А.Михайлова, В.А.Огородникова, Ю.И.Палагина, З.А.Гшранашвили, Ю.Г.Полляка, В.А.Рожкова, К.К.Сабельфельда, А.Ф.Сизовой, В.Г.Сраговича, Г.А.Титова, Т.М.Товстик, Ю.А.Трапезникова, Г.П.Хамитова, А.С.Шалыгина, Б.И.Шкурского, J.N.Franklin, Y.Hoffman, R.Н.Kraichnan, E.Ribak и многих других). По сути дела, совокупность результатов, полученных в области численного моделирования случайных функций, можно выделить в самостоятельный раздел теории методов Монте-Карло.
Для моделирования гауссовских случайных процессов и полей традиционными являются методы линейного преобразования, авторегрессии, скользящего суммирования, канонических представлений и др. Новый подход к численному моделированию однородных гауссовских полей на основе разбиения и рандомизации спектра предложен Г.А.Михайловым (см. Докл. АН СССР, 1978, Т.238, Ы). Этот подход обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами и позволяет создавать эффективные алгоритмы моделирования различных классов гауссовских однородных полей: изотропных, пространственно-временных, векторных и т.д. Спектральные модели являются предметом исследования первых двух глав диссертации.
В третьей главе исследуется проблема построения моделей случайных процессов по заданным ковариациям и одномерным распределениям. В принципе эта проблема может не иметь решений (если корреляционная функция и одномерные распределения несовместимы) или, наоборот, решение может быть неединственным. Ряд необходимых и достаточных условий совместимости ковариаций и одномерных распределений представлен в этой главе. Кроме того, в третьей главе исследуется метод обратной функции распределения - один из наиболее универсальных методов моделирования случайных процессов и полей по заданной корреляционной функции и маргинальным распределениям, а также ряд других негауссовских моделей.
Изучение сходимости методов численного моделирования случайных процессов и полей позволяет обосновать корректность и оценить погрешность той или иной приближенной стохастической модели. Основным аппаратом исследований здесь служат соответствующие результаты теории вероятностей и, в частности, теория слабой сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах. В четвертой главе получены простые и эффективные достаточные условия слабой сходимости в пространствах непрерывно дифференцируемых и интегрируемых функций для некоторых методов численного моделирования случайных процессов и полей, в том числе, для спектральных моделей и для моделей на стационарных точечных потоках.
Численное моделирование случайных . процессов и полей широко используется при решении различных прикладных задач. Одна из областей применения моделей случайных полей -решение задач переноса излучения в стохастических средах. Пятая глава диссертации посвящена построению алгоритмов статистического моделирования переноса излучения в облачной атмосфере на основе имитации полей кучевой облачности. В шестой главе разработана численная модель поверхности морского ветрового волнения и исследуются оптические
свойства морской поверхности методом Монте-Карло. Имитационные модели, используемые в пятой и шестой главах диссертации (кучевая облачность, поверхность морского волнения ), строятся на основе рандомизированных спектральных моделей гауссовских случайных полей.
Оценки, предназначенные для вычисления функциональных зависимостей методом Монте-Карло, представляют собой случайные поля специального вида. Принципиальной проблемой является изучение сходимости и уменьшение трудоемкости функциональных оценок статистического моделирования. Этим вопросам посвящена последняя, седьмая, глава диссертации.'В этой главе получены новые критерии сходимости и реализованы новые подходы для поиска оптимальных оценок.
Основной текст диссертации дополнен приложениями, где рассматриваются вопросы, связанные с погрешностью, вносимой приближенными моделями случайных полей при решении некоторых задач атмосферной оптики, разрабатываются численные методы решения краевых задач для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений, и представлен список вычислительных алгоритмов, реализованных автором для моделирования случайных полей и для решения ряда прикладных задач.
Цель диссертационной работы - разработка и исследование методов численного моделирования случайных процессов и полей, изучение условий сходимости и оптимизация функциональных оценок и моделей в методе Монте-Карло, построение алгоритмов статистического моделирования для решения некоторых стохастических задач оптики атмосферы и океана.
. Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получен ряд новых результатов в области численного моделирования случайных процессов и полей. Исследован широкий спектр численных моделей случайных функций, построены новые гауссовские и негауссовские модели. Впервые
разработаны алгоритмы для решения некоторых стохастических задач оптики атмосферы и океана. Предложены принципиально новые подходы к оптимизации функциональных оценок статистического моделирования и на их основе построены оптимальные оценки. Доказаны эффективные критерии сходимости функциональных оценок и моделей, используемых в методах Монте-Карло.
Разработанные в диссертации методы и алгоритмы статистического моделирования могут быть использованы для численного моделирования широкого класса случайных процессов и полей, а также для решения задач переноса излучения в системе океан-атмосфера с учетом стохастической структуры облачности и поверхности морского волнения.
Результаты в области сходимости и оптимизации стохастических моделей дают новые средства для обоснования, исследования погрешности и построения новых, более эффективных алгоритмов статистического моделирования.
Апробация. Результаты, включенные в диссертацию, обсуждались:
- на Пятой Международной Вильнюсской конференции по теории
вероятностей и математической статистике (секция
"стохастическое моделирование") (1989 г.);
на Международной молодежной научной школе "Численные методы Монте-Карло и параллельные алгоритмы" (Приморско, НРБ, 1989 г. );
на Международной конференции "Applied modelling and simulation" (Львов, 30 сентября - 2 октября, 1993 г. );
на 5-ом совещании научной группы arm (Сан-Диего, Калифорния, март, 1995);
на Международной конференции "Advanced mathematics: computations and applications" (Новосибирск, 20-24 июня, 1995 );
на 2-ой международной школе-семинаре по моделированию (Санкт-Петербург, 18-21 июня, 1996 г. );
6 і
на Всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987 и 1990 год);
на viii Всесоюзном совещании "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике (Новосибирск, 1991 );
на iv Всесоюзной конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов" (Петрозаводск, 10-12 сентября, 1991);
на 2 межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1995);
на 33 семинаре I рабочей группы СПКОР по теме ."Сравнение спутниковых и наземных данных об облачности и радиации" (Баку, 1989 г. );
на региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств" (Новосибирск, 1988 г. );
на школе-семинаре "Актуальные проблемы теории статистического моделирования и ее приложения" (Ташкент, 1989 г. );
- на киевском городском семинаре по гауссовским случайным
процессам (апрель 1989 года );
- на xxi Дальневосточной математической школе-семинаре
"Математическое моделирование и численный анализ" (сентябрь,
1994 г, );
на специализированном семинаре Института оптики атмосферы СО РАН (г. Томск)
- на конференциях молодых ученых ВЦ СО РАН 1987-1989 годов
и неоднократно на семинаре ВЦ СО РАН "Методы Монте-Карло в
вычислительной математике и математической физике".
Публикации. По материалам диссертации опубликовано более 70 работ, в том числе 2 монографии. Основные результаты представлены в работах [1-44].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, трех приложений и заключения. Объем -313 страниц, рисунков - 27, таблиц - 12. Список литературы содержит 190 наименований.
Научными консультантами диссертационной работы являются член-корреспондент РАН, профессор Г.А.Михайлов и доктор физико-математических наук, профессор Б.А.Каргин.
