Введение к работе
Актуальность темы.
Конечно-элементная аппроксимация широко применяется при решении задач математической физики и задач приближения. Ряд практически важных вопросов электротехники, радиотехники и механики непосредственно сводится к решению упомянутых математических задач.
В мировой литературе имеется большое количество работ по конечно-элементной аппроксимации. Отметим в этой связи работы С.Г. Мих-лина, Ф. Сиарле, Г. Стрэнга, Дж. Фикса. К таким аппроксимациям примыкают аппроксимации сплайнами. В 1952 г. В.С.Рябенький впервые построил сплайны с локальным интерполяционным базисом. Дж.Гоэл (19G8 г.) и С.Г.Михлин (1971 г.) получили базисные функции из аппроксимационных соотношений. Ю.К.Демьянович модифицировал эти соотношения и получил так называемые обобщенные минимальные сплайны.
Важными аспектами в изучении обобщенной конечно-элементной аппроксимации являются получение эффективных констант аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами, нахождение оценок трудоемкости использования соответствующих аппроксимаций при решении задач математической физики, а также вопросы, связанные с построением конечно-элементной аппроксимации на многообразии. Исследование свойств обобщенной конечно-элементной аппроксимации может позволить в значительной степени оптимизировать вычислительную работу при решении задач приближения и задач математической физики.
Оснопная цель работы. Получить эффективные константы аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами, оценить трудоемкость их использования при численном решении краевых задач методом конечных элементов без распараллеливания и с распараллеливанием. В связи с построением конечно-элементной аппроксимации на многообразии, изучить свойства абстрактных А-отрезков, обобщающих понятие отрезка геодезической, построить алгоритмы их приближенного отыскания, дать оценки скорости сходимости, а
также разработать алгоритм глубокого измельчения триангуляции поверхности.
Общая методика исследования. В диссертации использованы методы построения и исследования обобщенных минимальных сплайнов, а также методы построения аппроксимаций функций, заданных на многообразии.
Научная новизна. Получены новые эффективные оценки погрешности аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами. Выяснена возможная степень распараллеливания МКЭ с использованием упомянутых сплайнов в качестве базисных функций для различных типов ЭВМ. Изучены свойства абстрактных А-отрезков, обобщающих понятие отрезка геодезической на случай произвольного дифференцируемого многообразия. Получены итерационные методы приближенного отыскания А-отрезков и даны оценки скорости сходимости. Установлено, что существуют атласы, для которых абстрактные А-отрезки представляют собой простые незамкнутые кривые. Разработан алгоритм глубокого измельчения триангуляции поверхности. Создан пакет программ аппроксимации функций, заданных на сфере и на сфере с вырезом.
Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, могут найти применение при решении задач интерполяции и аппроксимации, при численном решении задач математической физики с: использованием параллельных вычислений, а также при построении аппроксимаций функций, заданных на многообразии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывачись на Городском семинаре "Всплески и их приложения" и на заседаниях кафедры Вычислительной математики СПбГУ. Работа была поддержана грантом РФФИ, а также грантом для молодых ученых правительства Санкт-Петербурга (1996-1998).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано б работ [1-6]. Пакеты программ, переданные в ГФАП, опубликованы в [1], й-
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы. Объем работы 142 страницы. Библиография содержит 31 наименование. Приложение I
