Введение к работе
Актуальность темы. Теория приближения функций берет начало от работ П. Л. Чебышева ''2. В этих работах им было введено понятие наилучшего приближения функции / рациональными функциями порядка не выше (п, т), ее величины ії„іт(/), и получен ряд результатов о наилучших приближениях. Следующим шагом в развитии этой теоріш была теорема К. Вейер-штрасса 3, согласно которой каждую непрерывную функцию на отрезке Д можно приблизить в равномерной метрике как угодно хорошо алгебраическими полиномами достаточно высокой степени: En(f) = i?„,o(/) -> 0 при п -+ со и / Є С(Д).
С. Н. Бернштейн 4 доказал характеристическое свойство последовательностей E„(f) для / Є С(Д) (которое позднее 5 было обобщено на аппроксимации элементов любого банахова пространства X его подпространствами полиномов Р п при условии, что Р = li0 Р„ всюду плотно в X): для любой невозрастающей бесконечно малой последовательности чисел { ап }~0 в пространстве С(Д) существует функция / с величинами полиномиальных
^ЕБЫШЕВ П. Л., Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Полное собрание сочинений, Т. 2 Математический анализ, М.-Л.: Издательство АН СССР, 1947. С. 23-52.
2Чебышев П. Л., Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функции // Полное собрание сочинений, Т. 2 Математический анализ, М.-Л.: Издательство АН СССР, 1947. С. 151-235.
3Weierstrass К., Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkiirlicher Funktionen einer reellen Veranderlichen. Sitzungsberichte der Acad, zu Berlin (1885), 633-639; 789-805.
4 Бернштейн С. II., Об обратной задаче теории наилучшего приближения непрерывных функций // Собрание сочинений, Т. 2 Конструктивная теория функций (1931-1953], Издательство АН СССР, 1954. С. 292-294.
5Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М: 1960.
приближений
En{f)=a„, n = 0, 1, 2, ....
В 1994 году А. А. Пекарским 6 в случае рациональных приближений в пространстве комплекснозначных непрерывных на отрезке функций с равномерной нормой была получена следующая теорема: для любой строго убывающей к нулю последовательности { ап }_0 существует функция / такая, что
Rn,n{f) =а„, п = 0, 1, 2, ....
Этот результат справедлив в СЛ — пространстве функций комплексного переменного z, непрерывных в замкнутом круге |z| < 1 и аналитических внутри, с равномерной нормой (теорема 17). Б. Боэм г установил, что равенства
„(/)= Яп.п(Я, г» = 1,2,....
в С(Д) выполняются тогда и только тогда, когда функция / имеет вид f(x) = а+ЬТк(х), где оиб — константы, а Т* — многочлен Чебышева, приведенный к отрезку Д. Позднее А. Л. Левин и В. М. Тихомиров 8 получили аналогичный результат в пространстве СЛ. В той же работе ими было показано, что выполнение соотношений
*_!(/) > Ek(f) = En(f) > En+1(/)
6 Пекарский А. А., Существование функции с заданными наилучшими равномерными рациональными приближениями // Известия АН Белоруссии. 1994. Т. 1. С. 23-26.
7Военм В., Functions, whose best rational Chebyshew approximations are polinomials // Numer. Math. 1964. Bd. 6. Heft 3. P. 235-242.
8Левин А. Л., Тихомиров В. M., О приближении аналитических функций рациональными // Доклады АН СССР. 1967. Т. 174(2). С. 279-282.
при заданной функции / из СЛ и фиксированных индексах п > к >\ влечет строгое неравенство
Вд)>л„,„(/).
В пространстве СР(Х) (суммируемых в р-ой степени, р > 1, функций на ограниченном измеримом множестве X действительной оси) с обычной системой рациональных функций справедлив следующий результат Н. С. Вячеславова и А. К. Рамазанова 9: если при некоторых натуральных т и к выполняется условие Ek(f) = Rk,m(f), то Ek{f) = Ek+m{f). При аппроксимации рациональными функциями с фиксированным знаменателем аналоги результатов9 были получены X. М. Махмудовым ш в СР(Х), где множество X расположено на прямой или на плоскости. Теоремы 1-4 являются обобщениями соответствующих результатов работ 7_12.
Д. Браесс 13 доказал, что в пространстве г[—1, 1] множество рациональных функций наилучшего приближения степени (к, 1) может состоять только из изолированных точек и существует функция с заранее заданными в любом количестве локальными аппроксимантами (при выполнении некоторых ограничений на
9 Вячеславов Н. С, Рамазанов А. К., Рациональные функции наилучшего приближения в весовых пространствах // Всесоюзная школа-конференция "Современные проблемы теории функций" (19-29 мая 1989 г.). Тезисы докладов. Баку, 1989, С. 27-29.
10Махмудов X. М-, О рациональных аппроксимациях функций комплексного переменного в интегральных метриках // Дисс. канд. М., 1989.
llCHENEY Е. W. and Goldstein A. A., Mean-square approximation by generalized rational functions. II Math. Z. 1967. V. 95. P. 232-241.
12Левин А. Л., Расположение полюсов рациональных функций наилучшего приближения и смежные вопросы // Матем. сб. 1969. Т. 80(2). С. 281-289.
13 Braess D., On rational 2-approximation // J. Approxim. Theory. 1976. 18(2). P. 136-151.
их вид). Однако, вопрос о величине уклонения этих рациональных функции от исходной не исследовался. В этой же работе им была поставлена следующая задача: возможно ли построить такую функцию, что бы она имела по крайней мере 3 различные рациональные функции наилучшего приближения какой-нибудь степени?
В пространстве Харди % предъявлены такие функции, что множество всех рациональных функций наилучшего приближения является континуумом, а точки полюсов этих рациональных функций на комплексной плоскости образуют окружность (следствие 14.1). Кроме того, конструктивно построены примеры функций с наилучшим локальным неглобальным рациональным приближением порядка (к, 1) (теорема 15), а также функций с 4-мя различными наилучшими рациональными аппрокснмантами (теорема 13).
Известно, что в У.2 интерполяционные условия Дж. Уолша 14 полностью определяют рациональную функцию наилучшего приближения с фиксированным знаменателем. При аппроксимации без ограничений на полюсы необходимые интерполяционные условия на рациональную функцию наилучшего приближения были получены в работах 15,12,16. Однако эти условия не являются достаточными для определения рациональной функции
мУолш Дж. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961г.
15 Ерохин В, Д., О наилучшем приближении аналитических функций посредством раци
ональных дробей со свободными полюсами // Доклады АН СССР. 1959. Т. 128(1). С. 29-32
16 Вячеславов И. С, Рамазанов А. К., Интерполяционные свойства рациональных
функций наилучшего приближения в среднем квадратическом па окружности и в круге //
Матем. заметки. 1995. 57(2). 228-239.
наилучшего приближения со свободными полюсами (теорема 9).
Целью работы является изучение условий, обеспечивающих равенства или различия величин определенных элементов таблицы Чебышева в линейном пространстве с выпуклым функционалом; исследование общих свойств рациональных приближений с одним свободным полюсом в пространстве Харди И? и частичное решение обратной задачи теории рациональных аппроксимаций в пространстве СЛ.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного и функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Получены обобщения ряда известных результатов о величинах наилучших приближений при аппроксимации в линейных пространствах с выпуклым функционалом и, в частности, в нормированных пространствах.
-
В пространстве % конструктивно построены примеры функций с новыми свойствами их величин наименьших уклонений или определенными требованиями на множество элементов наилучшего приближения.
-
Получено решение обратной задачи теории рациональных аппроксимаций в пространстве СЛ для случая строгого убывания членов исходной последовательности.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит
теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории приближений и приложениях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений в 1994 и 1996 годах, на Воронежской зимней математической школе в 1995 году, на научных семинарах механико-математического факультета МГУ: по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корреспондента РАН, профессора П. Л. Ульянова, профессора М. К. Потапова и профессора М. И. Дьяченко в 1995-1996 годах, по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством профессора Е. П. Долженко и профессора Е. А. Севастьянова в 1993-1996 годах, по теории сплайнов под руководством профессора С. Б. Стечкина в 1994 году, по избранным вопросам теории функций под руководством д. ф.-м. н. А. И. Аптекарева, доцента В. В. Вавилова, доцента В. Н. Сорокина, к. ф.-м. н. В. С. Буярова в 1993 году; на семинаре по вычислительной математике под руководством профессора Е. П. Жидкова в 1993-1996 годах.
Публикации. По теме диссертации опубликованы научные работы (список публикаций в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включащих в себя 16 параграфов, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем работы — 126 страниц.
