Введение к работе
Актуальность темы. Спектральные задачи для несимметричных матриц и пучков представляют собой один из наиболее важных разделов современной теории матричных вычислений. Необходимость развития методов решения этих задач обусловлена потребностями многих приложений математики. Достаточно упомянуть только проблемы устойчивости и проектирование автоматических систем управления.
Наиболее выдающимся методом решения несимметричных спектральных задач является QR-алгоритм Френсиса-Кублановской. Большой вклад в развитие этого метода внесли также В.В. Воеводин, Б. Парлетт, П. Стюарт, Дж. Уилкинсон и др. В настоящее время можно утверждать, что глубоко развито обширное направление методов типа QR-алгоритма (в англоязычной литературе часто называемых шуровскими методами), включающее такие методы как QZ, АВ и др. Успешно применяются шуровские методы и в спектральных задачах для сингулярных матричных пучков. Новые результаты для шуровских методов получили также П. вал Доорен, Дж. Деммел, Б. Когстрем.
Наряду с методами типа QR-алгоритма активно развивается метод матричной сигнум-функции, который необычайно популярен среди специалистов по численному решению задач автоматического контроля и устойчивости. Одним из первооткрывателей этого метода является А.А. Абрамов. В последнее время метод матричной сигнум-функции активно развивает А. Лауб с коллегами, который, в частности, отмечает очень высокую эффективность метода при его реализации на современных параллельных компьютерах.
В работах С.К. Годунова и А.Я. Булгакова за последний десяток лет развиты понятия и их свойства для задачи о дихотомии спектра матрицы замкнутым контуром. Частным случаем этой задачи является задача о дихотомии спектра несимметричной матрицы мнимой осью. Метод матричной сигнум-функции, как раз, решает эту последнюю задачу. Главным достижением работ С.К. Годунова и А.Я. Булгакова является разработка чисел обусловленности для задач о дихотомии спектра матрицы и
теория возмущений спектральных понятий в терминах этих обусловленностей. Важно также отметить, что в этих работах продемонстрированы зависимость скорости сходимости для ряда численных методов решения задач о дихотомии спектра матриц от выработанных чисел обусловленности и возможность получения эффективных оценок точности вычисленных спектральных характеристик в терминах этих обусловленностей.
Вопросы же теории задач о дихотомии спектра пучков матриц и эффективных численных методов их решения до последнего времени оставались открытыми.
К задаче о дихотомии спектра матриц или матричных пучков сводятся такие проблемы матричных вычислений как решение матричного уравнения Риккати, возникающее, например, в теории автоматического управления, и разложение матричных полиномов на множители. Последняя из этих задач трудна даже в плане теоретического выявления условий разложимости на множители. Что касается методов численного решения задачи о факторизации матричных полиномов, то количество публикаций по этой тематике крайне ограничено, хотя эта задача весьма важна, например, в теории автоматического контроля и обработки сигналов.
Цель работы. Построение понятий и методов решения задачи о дихотомии спектра регулярных пучков несимметричных матриц, обобщенной спектральной проблемы. Применение полученных результатов к решению задачи о разложении матричных полиномов на множители и ряда других задач.
Общая методика исследования. В диссертационной работе развиваются идеи и методы вычислительной линейной алгебры, устойчивости по Ляпунову дифференциальных и разностных операторов, теории возмущения спектра линейных операторов, анализа ошибок округления при вычислениях на ЭВМ. Особенность этих исследований обусловлена, в частности, тем, что в большинстве случаев используются спектральные матричные последовательности, порожденные функциями Грина специальных разностных или дифференциальных операторов, а также канонический вид регулярных матричных пучков, связанный с этими спектральными последовательностями.
Разработанные в диссертации численные методы основаны на систематическом применении ортогональных преобразований, что обусловило высокую устойчивость этих методов к ошибкам округления и наличие определенных свойств инвариантности.
Научная новизна. В диссертации построена теория задачи о дихотомии спектра регулярных матричных пучков, включающая разработку новых спектральных характеристик и детальную теорию их возмущений, разработан новый устойчивый эффективный алгоритм решения таких задач, допускающий получение ответа с гарантированной точностью, предложен новый устойчивый алгоритм решения задачи о факторизации матричных полиномов, также с гарантией точности результата.
Теоретическая и практическая ценность. В диссертации всесторонне разработаны теоретические и практические аспекты решения задач о дихотомии спектра регулярных пучков матриц на ЭВМ, включающих как частный случай задачи о спектральной дихотомии матриц. Даны применения к решению матричного уравнения Риккати и задачи о факторизации матричных полиномов.
На основе разработанных в диссертации методов написаны программы библитеки LINA, предназначенные для решения задач о дихотомии спектра [7]. В [8] исследованы возможности эффективной реализации на параллельных и векторных ЭВМ алгоритмов решения задачи о дихотомии спектра, и представлены результаты численных экспериментов на ALLIANT FX/4, показавшие высокую эффективность разработанных алгоритмов для векторных и параллельных компьютеров с общей памятью.
Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинарах С.К. Годунова в Институте математики СО РАН.
Результаты диссертации докладывались на семинаре ЛОМИ АН СССР (руководители - чл.-корр. АН СССР Д.К. Фаддеев, проф. В.Н. Кублановская), на семинаре ВЦ СО АН СССР (руководитель - чл.-корр. РАН А.Н. Коновалов), на международном симпозиуме "Алгоритм-89" (апрель 1989 г., Высокие Татры, Чехословакия), на второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы чи-
. елейного анализа" (сентябрь 1989 г., Тбилиси), на международном семинаре по численному анализу (май 1990 г., ВЦ СО АН СССР), на международном семинаре по численному анализу (июнь 1990 г., ОВМ АН СССР), на международном симпозиуме IMACS "Итерационные методы в линейной алгебре" (апрель 1991 г., Брюссель), на международных симпозиумах по вычислительной математике и матричным вычислениям (май 1991 г., Центр по математике и информатике, Амстердам), на семинарах INRIA-IRJSA (осень
-
г., Ренн, Франция), на семинаре университета в Хагене (май
-
г., ФРГ, руководитель - проф. К. Веселич).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 184 страницах и состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 70 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
