Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дискретные периодические сплайны с векторными коэффициентами 13
1. Основные понятия дискретного гармонического анализа . 13
2. Дискретные периодические сплайны с векторными коэффициентами 17
3. Вычисление значений дискретных периодических сплайнов 23
4. Предельные кривые для дискретных периодических сплайнов 28
5. Аналог эрмитовой сплайн-интерполяции в дискретном периодическом случае 38
6. Предельные кривые для дискретного аналога эрмитовой сплайн-интерполяции 46
Глава II. Поверхности Кунса 65
7. Билинейные и бикубические поверхности Кунса 65
8. Обобщённые поверхности Кунса 77
9. Дискретные поверхности Кунса 81
10. Экстремальное свойство обобщённой поверхности Кунса. 87
11. Предел дискретных поверхностей Кунса 100
Литература 109
- Дискретные периодические сплайны с векторными коэффициентами
- Аналог эрмитовой сплайн-интерполяции в дискретном периодическом случае
- Дискретные поверхности Кунса
- Предел дискретных поверхностей Кунса
Введение к работе
Область прикладной математики, называемая геометрическим моделированием (компьютерная геометрия, Computer Aided Geometric Design, CAGD), активно развивается с середины 20-го века (см. [27]). В этой области изучаются способы построения кривых, поверхностей и тел, а также компьютерная реализация различных операции, производимых с ними. Геометрическому моделированию посвящены несколько книг и монографий, из которых можно выделить следующие [1, 2, 28, 36, 42, 45]. Кроме того, эта область является темой множества статей, часть из которых выходит в специализированных журналах (Computer Aided Geometric Design, Computers & Graphics, Computer Graphics and Image Processing).
Обычно в геометрическом моделировании кривая определяется как множество значений непрерывной вектор-функции, заданной на отрезке вещественной оси. Например, для построения замкнутых кривых можно использовать тригонометрические полиномы (см. [40, 43]). Однако реально используются значения вектор-функции только в некотором конечном числе точек. Поэтому можно с самого начала определять кривую при помощи вектор-функции, заданной на дискретном множестве. В случае замкнутой кривой для этой цели можно применить дискретные периодические сплайны [9], которые были введены для нужд дискретного гармонического анализа. Если в гармоническом анализе рассматривались сплайны с комплексными коэффициентами, то в геометрическом моделировании естественно использовать вещественные векторные коэффициенты. При этом свойства дискретных сплайнов можно распростра-
нить на получаемые кривые. Особенно важно свойство минимальной нормы, которое гарантирует, что построенные кривые не будут иметь нежелательных осцилляции.
Поверхность в геометрическом моделировании определяется вектор-функцией от двух параметров, заданных на прямоугольной или треугольной области. Существуют различные подходы к построению поверхностей. Один из способов предложил Стивен Куне (Steven Coons) в работе [26]. Он указал формулу поверхности, границей которой является заданный криволинейный четырёхугольник. Поверхности такого вида называются теперь билинейными поверхностями Кунса. В работе [26] вводится также бикубическая поверхность Кунса, которая интерполирует не только значения, но и производные на границе четырёхугольной области. Описание поверхностей Кунса в более простых обозначениях приведено в [29].
Часто для получения поверхности нужной формы недостаточно задать её граничные кривые. В таких случаях определяют сеть из пересекающихся кривых, через которые должна проходить поверхность. Требуемую поверхность можно составить из нескольких бикубических поверхностей Кунса, но для обеспечения гладкости необходимо согласовывать значения производных на кривых и в узлах сетки. Чтобы избежать связанных с этим трудностей, Уильям Гордон (William Gordon) предложил в [31] способ, позволяющий задать всю поверхность одной формулой. Построенная поверхность проходит через все кривые и обладает требуемой гладкостью. Поверхности такого вида называются поверхностями Гордона.
Идеи Кунса применимы не только для получения поверхностей с четырёхугольной областью определения параметров. В статье [24] пока-
зано, как построить поверхность, границей которой является заданный криволинейный треугольник. В отличие от поверхностей Кунса на четырёхугольнике, для треугольников существуют различные способы решения этой задачи (см. [33, 38]). Дальнейшие исследования привели к построению поверхности, заполняющей внутренность криволинейного пятиугольника [25] и, в общем случае, п-угольника [34, 35].
Изначально поверхности Кунса были получены как наиболее простые поверхности, удовлетворяющие заданным граничным условиям. При этом существует бесконечное множество других поверхностей, удовлетворяющих тем же условиям. Оказалось, что для некоторых видов граничных условий можно определить целевой функционал таким образом, что соответствующая поверхность Кунса будет доставлять минимум этому функционалу на множестве всех поверхностей, удовлетворяющих заданным условиям (см. [31, 37, 39]). Это свойство называется свойством минимальной нормы.
Были описаны различные способы обобщения поверхностей Кунса. В [30] показано, как обобщить формулу поверхности Кунса со случая двух переменных на случай произвольного количества переменных. Работа [41] посвящена рассмотрению вида зависимости внутренних точек поверхности Кунса от точек на границе. Например, каждая точка билинейной поверхности Кунса является линейной комбинацией восьми граничных точек. В общем случае зависимость может выражаться суммой граничных точек с некоторыми коэффициентами или даже интегралом по границе с некоторым весом. В статье [44] условия для поверхности Кунса задаются не граничными кривыми, а граничными поверхностями. Это позволяет строить поверхности Кунса, гладким образом заполняющие отверстия различной формы.
Целью диссертационной работы является:
Построение замкнутых кривых при помощи дискретных периодических сплайнов с векторными коэффициентами и исследование свойств таких кривых.
Обобщение поверхностей Кунса, позволяющее определять замкнутые поверхности на базе дискретных периодических сплайнов.
Установление свойств минимальной нормы для получаемых кривых и поверхностей.
Приведём краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из двух глав, разбитых на одиннадцать параграфов, тридцати девяти рисунков и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная. Ссылки на формулы и теоремы образуются из номера параграфа и номера формулы или теоремы в параграфе.
Первая глава посвящена построению кривых при помощи дискретных периодических сплайнов с векторными коэффициентами.
В первом параграфе изложены необходимые сведения из дискретного гармонического анализа. Даются определения дискретной периодической функции Бернулли, дискретного периодического Б-сплайна и дискретного периодического сплайна. Приводятся формулы для коэффициентов сплайна, являющегося решением интерполяционной задачи, и описывается свойство минимальной нормы для интерполяционного сплайна.
Во втором параграфе вводятся дискретные периодические сплайны с векторными коэффициентами. Метод решения интерполяционной задачи и свойство минимальной нормы распространяется с комплексного на векторный случай. Приводятся примеры кривых, построенных при помощи дискретных периодических сплайнов с векторными коэффици-
ентами. Исследуется изменение кривой при увеличении количества точек сплайна и порядка сплайна. Даются примеры построения замкнутой кривой сложной формы и кривых с острыми углами.
Быстрому вычислению значений дискретных периодических сплайнов посвящен третий параграф. Приведён эффективный алгоритм вычисления значений дискретного периодического сплайна произвольного порядка.
Пусть фиксированы т точек интерполяции. В четвёртом параграфе рассматривается последовательность дискретных гап-периодических сплайнов с векторными коэффициентами, проходящих через заданные точки. Доказывается, что при неограниченном увеличении п множества значений сплайнов сходятся к множеству значений полиномиального периодического сплайна от вещественной переменной. Приводятся рисунки, иллюстрирующие геометрический смысл доказанного предельного соотношения. Устанавливается свойство минимальной нормы для предельного сплайна (это свойство можно также получить как следствие более общей теоремы из [10]).
В пятом параграфе рассматривается интерполяционная задача для дискретных периодических функций, в которой кроме значений функции заданы также направления в точках интерполяции. Вводится пространство функций, в котором поставленная задача имеет единственное решение. Для этого решения доказывается свойство минимальной нормы. Приводятся примеры построения замкнутых кривых, проходящих через заданные точки и имеющих в этих точках заданные направления.
Шестой параграф посвящен предельным свойствам интерполяционных функций, введённых в предыдущем параграфе. Рассматривается последовательность тп-периодических вектор-функций, проходящих че-
рез фиксированные т точек и имеющих в них заданные направления. Устанавливается, что в пределе при п стремящемся к бесконечности множества значений интерполяционных вектор-функций сходятся к множеству значений некоторого полиномиального периодического сплайна от вещественной переменной. Для предельного сплайна доказывается свойство минимальной нормы.
Вторая часть диссертации посвящена поверхностям Кунса и их обобщениям.
В седьмом параграфе рассматриваются билинейные и бикубические поверхности Кунса. Поверхности Кунса определяются заданными граничными условиями и некоторыми вспомогательными функциями, которые называются смешивающими. Вводятся обозначения, позволяющие упростить запись условий согласования на граничные функции и запись ограничений, накладываемых на смешивающие функции. В частности, в этих обозначениях можно записать одной формулой все 16 условий согласования на граничные функции бикубической поверхности Кунса. Приводятся примеры построения билинейной и бикубической поверхностей Кунса. Показывается, как построить поверхность тора при помощи поверхностей Кунса со специальным образом заданными смешивающими функциями.
В восьмом параграфе показано, как можно обобщить понятие поверхности Кунса. В обобщённом случае области определения функций могут быть множествами любой природы, граничные условия задаются произвольными линейными операторами. Приводятся ограничения на смешивающие функции и условия согласования на граничные функции. Даётся формула обобщённой поверхности Кунса. Билинейные и бикубические поверхности Кунса, а также поверхности Гордона оказываются частны-
ми случаями обобщённой поверхности.
Введённое обобщение поверхностей Кунса позволяет использовать функции целочисленного аргумента в качестве граничных условий и смешивающих функций. В девятом параграфе исследуются дискретные поверхности Кунса, в которых смешивающими функциями являются фундаментальные дискретные периодические сплайны. Строго говоря, построенные вектор-функции не задают поверхность, так как множество их значений — дискретный набор точек в пространстве. Однако, соединяя точки треугольными гранями, можно получить замкнутую многогранную поверхность, проходящую через заданные кривые. Доказывается, что дискретная поверхность Кунса обладает свойством минимальной нормы.
В десятом параграфе рассматривается аналог свойства минимальной нормы для обобщённой поверхности Кунса. Устанавливается, что если смешивающие функции обобщённой поверхности являются единственными решениями экстремальных задач определённого вида, то при некоторых дополнительных условиях можно описать экстремальную задачу, единственным решением которой будет обобщённая поверхность Кунса. Свойства минимальной нормы для билинейной, бикубической и дискретной поверхностей оказываются частными случаями доказанной теоремы.
Пусть опорные кривые для дискретной поверхности Кунса получаются при помощи дискретизации вектор-функций вещественного аргумента. В одиннадцатом параграфе показано, что при стремлении шага дискретизации к нулю дискретные поверхности Кунса сходятся к некоторой замкнутой поверхности. Устанавливается, что предельная поверхность является частным случаем обобщённой поверхности Кунса. Кроме того, доказывается, что предельная поверхность обладает свойством ми-
нимальной нормы.
Иллюстрации были получены при помощи разработанной автором программной системы, при реализации которой использовались работы [3, 23, 32].
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Предложен способ построения замкнутых кривых при помощи дискретных периодических сплайнов с векторными коэффициентами.
Найдены предельные кривые для интерполяционных дискретных периодических сплайнов.
Разработан способ построения замкнутых кривых, проходящих через заданные точки и имеющих в них зада,нные направления. Исследованы экстремальные и предельные свойства этих кривых.
4- Предложен способ обобщения поверхностей Кунса, позволяющий строить замкнутые поверхности на базе дискретных периодических сплайнов с векторными коэффициентами.
Установлено свойство минимальной нормы для обобщённой поверх? юсти Кунса.
Найден предел дискретных поверхностей Кунса при уменьшении шага дискретизации и доказано свойство минимальной нормы для предельной поверхности.
Основные результаты опубликованы в работах [12, 13, 16, 17, 21, 22]. Предварительные результаты обсуждались на семинаре «Дискретный гармонический анализ и геометрическое моделирование» ([18-20]). По результатам работы были сделаны доклады на международной научной
конференции «Космос, астрономия и программирование» (Лавровские чтения) [11] и на семинарах кафедры вычислительной математики и кафедры исследования операций математико-механического факультета СПбГУ.
Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору В. Н. Малозёмову за постановку интересных задач, обсуждение полученных результатов и постоянное внимание в процессе работы над диссертацией. Также автор благодарен О. В. Просекову и М. И. Григорьеву за советы по оформлению текстов, формул и рисунков в издательской системе ВД^Х.
Дискретные периодические сплайны с векторными коэффициентами
Для сокращения записи будем опускать индекс п в обозначении Qr,n, если п фиксировано. Дискретным N-периодическим сплайном порядка г с векторными коэффициентами, называется вектор-функция вида где ар = (а ,..., ар1) Є Жй. Считаем, что коэффициенты ар продолжены т-периодически на все целые р. В частности, аш = ао. 2.2. Пусть фиксирован порядок г. Рассмотрим задачу векторной сплайн-интерполяции где x(Z) = (a;1(Z),.T2(Z),... ,xrf(Z)) 6ld- заданные векторы. Она распадается на d независимых скалярных подзадач Решение каждой подзадачи (при фиксированном а) может быть найдено по формуле (1.11). Так как точки интерполяции ха(1) вещественны, то полученные коэффициенты 2р также будут вещественны. Следовательно, векторные коэффициенты ар принадлежат пространству M.d. Из предложения 1.4 следует, что интерполяционный сплайн с векторными коэффициентами также обладает свойством минимальной нормы. среди всех дискретных iV-периодических вектор-функций f(j), удовлетворяющих ограничениям Здесь и далее под нормой вектора понимается евклидова норма. можно использовать в геометрическом моделировании для построения замкнутых кривых. Чтобы пояснить это, перепишем формулу (2.4) в виде При фиксированном j числа Qr(j — рп), р Є 0 : m — 1, неотрицательны и в сумме равны единице, так что S(j) есть выпуклая комбинация векторов а . В геометрическом моделировании векторы ар называются полюсами. Соединим отрезками пары соседних точек S(j), S(j + 1) для j — О,1,..., N — 1. Получим замкнутую ломаную в пространстве Rd, содержащуюся в выпуклой оболочке полюсов. Положим г — 2, га = 8, п = 10. На рис. 2.1 изображены полюсы ао, ai,..., a-j и значения построенного по ним дискретного периодического сплайна. Замкнутая ломаная, полученная путём соединения соседних точек сплайна отрезками, показана на рис. 2.2. са изменится только локальный участок ломаной, задаваемой сплайном. На рис. 2.3 пунктирной кривой показан сплайн, получающийся при замене полюса аз на а3. Порядок расположения полюсов оказывает существенное влияние на вид сплайна. На рис. 2.4 пунктирной линией изображён сплайн, получающийся при перестановке полюсов а3 и а4. 2.5. Используя интерполяционные сплайны, можно строить замкнутые ломаные, проходящие через заданные точки. При этом число п определяет количество отрезков ломаной, лежащих между двумя соседними точками интерполяции. Увеличивая п, можно получить «более гладкую» ломаную, проходящую через те же точки интерполяции.
Положим г — 2, т — 16. На рис. 2.5 и рис. 2.6 изображены интерполяционные сплайны для одного и того же набора векторов х(0),х(1),... ,х(15), показанных кружками. При этом сплайн на рис. 2.5 построен при п = 4, а на рис. 2.6 — при п — 10. Порядок сплайна г тоже влияет на вид получающейся ломаной. На рис. 2.7, кроме сплайна «Петли» порядка 2 (рис. 2.6) пунктирной линией 2.6. Дискретные периодические сплайны позволяют строить замкнутые кривые с острыми углами. На рис. 2.9 представлен интерполяционный сплайн с тремя острыми углами. Можно получить ещё два о коэффициенты ар принадлежат пространству M.d. Из предложения 1.4 следует, что интерполяционный сплайн с векторными коэффициентами также обладает свойством минимальной нормы. среди всех дискретных iV-периодических вектор-функций f(j), удовлетворяющих ограничениям Здесь и далее под нормой вектора понимается евклидова норма. можно использовать в геометрическом моделировании для построения замкнутых кривых. Чтобы пояснить это, перепишем формулу (2.4) в виде При фиксированном j числа Qr(j — рп), р Є 0 : m — 1, неотрицательны и в сумме равны единице, так что S(j) есть выпуклая комбинация векторов а . В геометрическом моделировании векторы ар называются полюсами.
Соединим отрезками пары соседних точек S(j), S(j + 1) для j — О,1,..., N — 1. Получим замкнутую ломаную в пространстве Rd, содержащуюся в выпуклой оболочке полюсов. Положим г — 2, га = 8, п = 10. На рис. 2.1 изображены полюсы ао, ai,..., a-j и значения построенного по ним дискретного периодического сплайна. Замкнутая ломаная, полученная путём соединения соседних точек сплайна стрых угла, если перемещать точку b вправо. Петли а и с сначала становятся уже (рис. 2.10), а затем переходят в острые углы (рис. 2.11). Аналогичным образом можно получить сплайн с ещё более острым углом, а также сплайн, в котором вершина угла не является точкой интерполяции (см. рис. 2.12). При І Є 0 : m — 2 равенство (3.3) следует из (3.2) при к — 0. При Z = га— 1 имеем Si(iV) = Si(0) = ао = аш, что соответствует (3.3). Это замечание позволяет утверждать, что наряду с (3.2) справедлива формула Si(Zn+ + 1) = + 1 Да/, Ає0:п-1, Z Є 0 : га - 1. (3.4)
Аналог эрмитовой сплайн-интерполяции в дискретном периодическом случае
Пусть N — тп, где m, п — натуральные числа, отличные от единицы. Пусть также задано натуральное число г. Определим функцию ta для а Є Z по формуле г ( 77П+/)а а;, T«m = I Е q=om{l) N что и требовалось. П ЛЕММА 5.2. Справедливы соотношения 71(0)+7 (0)-2 (0) 0, То(02 - ТЭД Г_і(0 0, / Є 1 : т - 1. Доказательство. Используя предыдущую лемму, получаем Г1(0) + Г.1(0) - 2Т0(0) = . -,.2 = (-!) , 2cos f-2 U (2sinf)2r Все слагаемые в последней сумме отрицательны, поэтому вся сумма отрицательна. Значит, Хї(0) + Г_і(0) — 2То(0) Ф 0. Далее, при / Є 1 : т — 1 имеем -. 71—1 -. П—1 .. ад2 - w) г_1(о = g Е (2sinlW- 1 п-1 рт+1 п-\ -qm-l __ J_\ ___ N V N = P=Q q=o sin sin # j Ясно, что Re(l — ojP q) 0, причём равенство достигается только при р = q. Так как п 2, то в сумме будут слагаемые с р ф q. Поэтому вещественная часть суммы положительна, что гарантирует выполнение требуемого неравенства. D 5.2. Обозначим через Drn множество вектор-функций целочисленного аргумента вида т—1 т—1 S(j) = Co + Ci(p)b2r, (j-pn + r) + C2(p)b2r,iv(j-pn + r-l), (5.1) где с0, ci(p), Сг(р) — векторные коэффициенты из Rd, удовлетворяющие соотношению т—1 (С1(р) + с2(р))=0. (5.2) Ясно, что Т г,п является линейным пространством. Рассмотрим в пространстве Т Г)П интерполяционную задачу S(Zn)=x(Z), ІЄ0:т-1, (5.3) AS(Zn) - y(Z), / Є 0 : т - 1, где х(), у(1) — произвольные векторы из Rd. ТЕОРЕМА 5.1.
Интерполяционная задача (5.3) имеет решение и оно единственно. Доказательство. Условия (5.3) можно переписать в виде S(/n) =х(0, S(Zn+l)=x(0+y(0 Подставляя выражение для S(j) из формулы (5.1), получаем т— 1 т—1 С0 + ]Р Ci(p) &2г(Ь - р77, + Г) + С2(р) 62г(/п - рп + Г - 1) = x(Z), т—1 c0 + s2cl(p)b2r(ln-pn + r + l)+ (5.4) тп—1 Р=0 Воспользовавшись функциями to, t_i и t\, перепишем полученные уравнения в виде т—\ т—\ со + 5Z Cl(Р) tQ(l рї + 5Z 2(Р) 1 ) = х№ р=0 р=0 т—1 тп—1 со + ]Г ci(p) ti(/ - р) + ]Г с2(р) 0( - р) = x(Z) + y(Z), р=0 р=0 или, с использованием векторной циклической свёртки, со + сі t0 + с2 -1 = х, С0 + Сі ti + с2 to = х + у. При переходе в спектральную область уравнения примут вид mco 6m(l) + Сі(0 Го(0 + С2(0 Г_!(0 = Х(0, , ч (5.5) тс0 5m(l) + Ci(0 Ti(Z) + C2(Q Го(/) = Х(0 + Y(Z), где Сі = Лд(сі), С2 = Тт(с2), X = J"m(x), Y = 7"т(у). Запишем уравнения (5.5) при I = 0: mc0 + Сі(0) Т0(0) + С2(0) Т_х(0) = Х(0), mco + Сх (0)71(0) + С2(0)Т0(0) = Х(0) + Y(0). Из условия (5.2) следует, что Сі(0) + С2(0) — 0. Подставляя — Сч(0) вместо С2(0) и вычитая из второго уравнения первое, приходим к равенству Сі(0)(Гі(0)+Г_і(0)-2Г0(0)) = Y(0). В силу леммы 5.2 из этого равенства однозначно определяется Сі(0), а, следовательно — значения С2(0) и Со При / Є 1 : т — 1 система (5.5) принимает вид CI(OTO(0 + C2(Z)T_I(O = X(0, d(Z) Тг(1) + C2(0 Г0(Ц = X(0 + Y(l), то есть является системой двух линейных уравнений, причём определитель матрицы этой системы равен To(l)2 — Ti(l)T-i(l). Он отличен от нуля по лемме 5.2. Таким образом, значения Со, Са(7) и Сг(/) при І Є 0 : т — 1 определя ются однозначно. Применяя обратное преобразование Фурье, найдём век торные коэффициенты сі (р) и С2 (р) для р Є О : т — 1. Полученные векто ры являются единственным решением системы уравнений (5.4). Так как все коэффициенты системы (5.4) вещественны, то и координаты получен ных векторов также вещественны. Следовательно, вектор-функция S(j) действительно принадлежит пространству Т)г,п- ТЕОРЕМА 5.2. Если ES У(0 = то решение S(j) интерполяционной задачи (5.3) представимо в виде где Si и S2 — дискретные периодические сплайны порядка г с векторными коэффициентами. Доказательство.
По построению интерполяционной вектор-функции имеем d(0) - Y(0)/(7i(0) + Г_і(0) - 2Г0(0)), где Y = Тт{у). Но Y(0) - ЕГо1 У(0 = поэтому Сх(0) = 0 и С2(0) = = — Ci(0) = 0. Следовательно, 771—1 771 — 1 Y,ci(p) = Сх(0) = 0, J2с2(Р) = С2() = -Положим Si(i) = со + Х Cl W b2rti -Рп + г) р=0 m— 1 S2(j) = X! C2(P) b2r Pn + r)-p=0 Ясно, что S(j) — Si(j) + S2(j — 1). Из формулы (1.9) следует, что Si и S2 являются дискретными периодическими сплайнами с векторными коэффициентами, что и требовалось. 5.3. Рассмотрим экстремальную задачу N-1 G(f): = X;iArfW2- min, i(ln) =х(1), Іє0:т — 1, /-56) Af(Zn) = у(0, Ie0:m-1, f U + АГ) = f(і), j є Z. ЛЕММА 5.3. Пусть S — вектор-функция из Drin, f — произвольная N-периодическая вектор-функция целочисленного аргумента. Тогда N-1 ш-1 (A -S(i), AT(j)) = (-l)r X)((ciW.fM + ЫР)АРП+ 1) ). j=0 p=0 Доказательство. Из свойств (1.1) и (1.2) следует, что ArMj - Pn + Т) = brti -рп-\- г) = (-l)r Ъг{рп - j), Аг 2г(І - pn + г - 1) = 6r(j -pn + r — l) = (-l)r 6r(pn + 1 - j). Следовательно, X(A -S(j),Arf(j) = N-lm-l = ЫУ X E(ci ) b n - fi+C2 w 6 +2 - л ArfУ) = i=0 p=0 m-1 ЛГ-1 = (-1) E(ci (p). E 6-(p - і)дгад) + m-1 N-l + (-1У (c2(p), 6r(pn + 1 - j)A4(j)). p=0 j=0 Согласно предложению 1.3 JV-l E him - j )Arf (j) = f (pn) - e, /V-l E br(pn + 1 - j)Arf (j) = f(pn + 1) - e, где e - JV-1 Ef o1 f О)- Значит, N-l m-1 (ArS(j), Arf(;) = (-i)r E( CI(P) fW) + ЫР), ПРП +1))) m—1 -(-іГ(Е(сіМ + с2(р)),е). Осталось заметить, что Z o (CI(P) + СЛР)) — О- О ТЕОРЕМА 5.3. Единственным решением задачи (5.6) является интерполяционная вектор-функция S ш Drn. Доказательство. Пусть f — произвольная вектор-функция, удовлетворяющая ограничениям задачи (5.6). Положим rj — f — S . Ясно, что Tj(ln) = rj(ln + 1) = 0 при І Є 0 : т — 1. В силу линейности конечной разности r-го порядка имеем ЛГ-1 G(f) = G(S + ту) = EH АГЗД) + АГ 0 )І2 = JV—1 = G(S.) + G(r7) + 2 E(ArS (j), Ar r,(j)). 3=0 По лемме 5.3
Дискретные поверхности Кунса
В рассмотренных в 8 случаях в качестве множеств Du и Dv использовались отрезки вещественной оси. Однако в определении обобщённой поверхности Кунса природа этих множеств никак не ограничена. В частности, можно использовать в качестве Du и Dv множество целых чисел. В таком случае обобщённая поверхность Кунса не будет поверхностью в обычном смысле этого слова, а будет представлять собой дискретный набор точек в пространстве Шй. Эти точки можно соединить рёбрами и гранями, и полученную многогранную поверхность рассматривать как геометрическую интерпретацию вектор-функции с(и, v). Покажем, как построить дискретную поверхность Кунса, используя в качестве смешивающих функций дискретные периодические сплайны. Пусть Ni = mini, N2 = 1П2П2, где mi, щ и 77, п2 — натуральные числа, отличные от единицы. Положим Du = Dv = Z. Определим пространство Ти как множество всех TVi-периодических, a Tv — как множество всех ІУг-периодических вещественных функцрій над Z. Зададим функционалы Lf и L?- формулами Пусть гі, т2 — натуральные числа. Возьмём в качестве смешивающей функции Щ интерполяционный сплайн порядка г\, удовлетворяющий условиям а в качестве Щ — интерполяционный сплайн порядка г% удовлетворяющий условиям Остальные смешивающие функции определим при помощи сдвига: Все функции 77f являются дискретными периодическими сплайнами порядка гі, а все функции Щ — дискретными периодическими сплайнами порядка г2
Проверим, что справедливы равенства (8.1): Аналогичным образом проверяются соотношения (8.2). Пусть заданы наборы вектор-функций где вектор-функции fj — А -периодические, gj — Л -периодические. Условия согласования (8.3) сведутся к равенствам ВДгс2) = gj(mi), г Є 0 : ггц - 1, j Є 0 : m2 - 1. (9.1) Формула (8.4) в этом случае примет вид Построенная по ней вектор-функция с(г , и) будет удовлетворять соотношениям Ясно, что вектор-функция c(u, г ) периодична с периодом Ni по первому аргументу и с периодом N2 — по второму. 9.2. Обратимся к геометрической интерпретации вектор-функции c(u,v) при d — 3. Опорные вектор-функции fj и gy задают два набо ра замкнутых ломаных в пространстве R3. Условия согласования (9.1) означают, что каждая из ломаных первого набора пересекается с каждой ломаной второго набора, образуя сетку. Пример сетки опорных кривых приведён на рис. 9.1. В этом примере ті = 4, 77 = 2. Вектор-функции fo; fi, $2 и f3 задают замкнутые ломаные, полученные из одной ломаной последовательными поворотами на угол 90 вокруг вертикальной оси. Вектор-функции go и gi задают замкнутые ломаные, лежащие в гори зонтальной плоскости. Точки пересесений ломаных отмечены кружками. Значения щ и щ равны 20, поэтому ломаные fj состоят из 40 отрезков, а ломаные gj — из 80 отрезков. Вектор-функция c(u,v) задаёт набор точек в R3. Построим замкнутую многогранную поверхность, состоящую из треугольных граней с вершинами и для всех пар и и v. Согласно условиям (9.3) полученная поверхность будет проходить через все опорные ломаные. На рис. 9.2 показана дискретная поверхность Кунса, построенная по опорным кривым, изображённым на рис. 9.1 для параметров г\ = r i = 3. «Диагональные» рёбра вида [с(и + 1, г ), c(it, v + 1)] скрыты для упрощения рисунка. са. Пусть Tuv — пространство всех d-мерных вектор-функций от двух целочисленных аргументов, имеющих период N\ по первому аргументу Таким образом, выполняется равенство Рассмотрим экстремальную задачу ТЕОРЕМА 9.1. Вектор-функция c(u,v), задаваемая формулой (9.2), является единственным решением экстремальной задачи (9.7). Доказательство. Пусть а( ,г ) — произвольная вектор-функция, удовлетворяющая ограничениям задачи (9.7), a c(u,v) — вектор-функция, построенная по формуле (9.2). Положим TJ(U,V) = a(w,f) — c(u,v). Ясно, что /f(i ), g(it) будем обозначать координаты с индексом а векторов c(w, и), rj(u,v), ft(f) и gj(u) соответственно.
В силу линейности оператора ЛГьГ2 имеем где Зафиксируем произвольное v. Из (9.8) следует, что A0,r2rja(ini,v) = О для всех г Є 0 : rri\ — 1. Принимая во внимание, что if" является дискретным периодическим сплайном порядка гі, по теореме 3.2 из [7, с. 20] получаем Зафиксируем произвольное и. Из (9.8) следует, что Ariir)a(u,jn2) = 0 для всех j Є 0 : 777,2 — 1- Принимая во внимание, что Щ является дискретным периодическим сплайном порядка Г2, получаем Значит, 1а(Щ(у)д?(и)) = 0. Итак, отображение Iа обращается в ноль на всех слагаемых выражения (9.9). А так как Iа линейно, то Р(са) также равно нулю. Значит, F(a) = F(c) + F(rj). Отсюда следует неравенство F(a) F(c), что гарантирует оптимальность плана c(u:v) в задаче (9.7). Проверим единственность решения. Допустим, что F(a) = F(c). То гда F(?7) = 0, что влечёт А Ч,Г2 т](и, v) = 0. Зафиксируем произвольное и и положим fj,(v) = АГь77(г , v). Имеем А7 2 /л(у) = 0 и, согласно (9.8), д(0) = 0. Значит, n(v) = 0, то есть AVl, rj(u,v) = 0 для всех и и v. Теперь зафиксируем произвольное v. Так как 77(0, v) = 0, то rj(u, v) = 0. Из последнего тождества следует равенство а = с. Таким образом, един ственность решения доказана.
Предел дискретных поверхностей Кунса
Пусть mi,m2 — натуральные числа, отличные от единицы, и задан набор непрерывных тг-периодических J-мерных вектор-функций fo, fi,..., fmi-i и набор непрерывных ггіі-периодических d-мерных вектор-функций go, gi,..., gm2-i- Предположим, что выполняются равенства Ш = giW, і Є 0 : mi - 1, J Є 0 : 7712 - 1. (ИЛ) При натуральных П\ и пг, отличных от единицы, проведём дискретизацию BeKTOp-фуНКЦИЙ ff, gj! W ): = 5() гЄ0:ті-1, veZ; ej,ni(u): gj( ), je0:m2-l, и Є Z. Из (ИЛ) следует, что fi,n2(№) =gj,n1(«ni), і Є 0 : mi - 1, j Є 0 : га2 - 1. (11.2) Положим N\ = mini, N2 — ГП2П2. Ясно, что вектор-функции fj)Tl2 периодические с периодом А 2, а вектор-функции gJ)Tll периодические с периодом Л . Равенства (11.2) совпадают с условиями согласования (9.1). Поэтому по вектор-функциям fi}„2, gj,ni можно построить дискретную поверхность Кунса (9.2). Приведём необходимые обозначения из 9 и включим в них индексы пі и П2, так как они будут изменяться. Пусть г і, ті — натуральные числа. Определим Щп как дискретный iVi-периодический сплайн порядка Г\, удовлетворяющий интерполяционным условиям Ho,ni(kni) = &тЛк) fe Є 0 : mi - 1, а ЩПп — как дискретный Л -периодический сплайн порядка г2, удовлетворяющий интерполяционным условиям Щп2(кп2) = W 0 к Є 0 : т2 - 1.
Смешивающие функции определим формулами Я"п» = Яу П1(и - mi), г Є 0 : mi - 1, и Є Z, Щп2М = Щ,П2(У - №), З Є 0 : т2 - 1, ; Є Z. Все функции Я"Пі являются дискретными периодическими сплайнами порядка гі, а все функции НП2 — дискретными периодическими сплайнами порядка г2 Дискретная поверхность Кунса задаётся формулой ГПі —1 7712-1 м, , 3= ("-з) піі-ітг-1 ч г=0 j=0 Так как для остовных функций выполнено условие согласования (11.2), то вектор-функция сП1,П2(и,у) удовлетворяет соотношениям cni,n2{ujn2) = gj,m(w), j Є 0 : m2 - 1, и Є Z, Сп1П2(«П1,и) = fif„2(v), г Є 0 : mi - 1, v Є Z. Для каждой пары натуральных Пі и П2, отличных от единицы, значения вектор-функции сПиП2(и,у) образуют множество из iViiV точек в пространстве Ed. Покажем, как найти предел этого множества при неограниченном возрастании п\ и п . 11.2. Воспользуемся предельным соотношением для дискретных периодических сплайнов, полученным в 4. Согласно теореме 4.1, найдётся сплайн S\(t) такой, что ль»-ад -» 0 равномерно по и. П\-їоо (11.4) Аналогично, найдётся сплайн %() такой, что -» 0 равномерно по г . 7І2— 00 Д5п,М- Ш Из предложения 4.1 следует, что S\ Є C2ri 2, 5 2 Є С2г2 2. ЛЕММА 11.1. Справедливы предельные соотношения Щ [\хп\\) Si(x) равномерно по х Є R, #Jn (h/n2J) 2 (у) равномерно по у Є R. Доказательство. Докажем первое соотношение. Так как функция Si непрерывна, то она равномерно непрерывна на любом отрезке. Из периодичности следует, что она равномерно непрерывна и на всей вещественной оси. Для х Є Ш положим и = [хщ\. Имеем ЧпЛіІ) -ЗД \\Щ,П1Ы -Si(%)\\ + й() -ЗД Первое слагаемое в правой части стремится к нулю равномерно поив силу (11.4). Второе слагаемое также стремится к нулю равномерно по х в силу того, что 5і равномерно непрерывна и выполняется неравенство и Пі — X \хпі\ — хщ Пі с 1_ Пі Второе предельное соотношение доказывается аналогичным образом. Определим вектор-функцию с: Ж2 — M.d формулой ті — 1 m2-l ф, /) := Y Si(x-i)fi(y)+ ]Г S2(y j)ej(x) (11.5) i=0 j=0 mi—1 rri2—1 E &( " ) ЗД-Л giW i=0 j =0 ТЕОРЕМА 11.1.
Справедливо предельное соотношение cni,n2(L nil) !_?/п2І) c(x,у) равномерно no x,у Є Ж. Доказательство. Согласно формуле (11.3) имеем 77І1 —1 СПиГ)2([хщ\, [УП2\) = Y1 Щт(ІХПі\) Іі,п2(ІУП2І) + г=0 77І2 —1 + Е Я ДЇ -І) «j,ni(L iJ) - (п-в) i=o mi—1 тг —1 t=0 i=0 Рассмотрим слагаемые выражения (11.6) по отдельности. Используя лемму 11.1, получаем (L iJ) = КпМх - WJ) s,(x - І), П2— 00 Вектор-функции її непрерывны и периодичны, поэтому они равномерно непрерывны на R. Кроме того, справедливо неравенство L2/W2J У п2 П2 Следовательно, ц )-т - 0 равномерно по у. Пт— Приходим к требуемому предельному соотношению кп2(ІУп2І) = ( ) ЧУ) равномерно по у. 2 П2— 00 Аналогичным образом можно показать, что SJ I (L niJ) j(x) равномерно по х. Заметим, что g ni(mi) = gj(z). Таким образом, все слагаемые выражения (11.6) сходятся к соответствующим слагаемым правой части (11.5). Теорема доказана. ПРИМЕР. Пусть ті = 2, т2 = 3, r\ = r2 = 2. На рис. 11.1 синим цветом изображены кривые fo и fi, зелёным цветом — кривые go, gi и g2, а кружками выделены точки пересечений. На рис. 11.2 приведена дискретная поверхность Кунса для значений щ = 4 и п2 — 25, а на рис. 11.3 — для значений щ = 6, п2 = 50, при этом синим цветом выделены остовные кривые fi Tl2, а зелёным — кривые gJjni. Предельная поверхность представлена на рис. 11.4. 11.3. Покажем, что предельная поверхность (11.5) является частным случаем обобщённой поверхности Кунса. Пусть Du = Dv = Е, Ти — множество непрерывных mi-периодических функций, Tv — множество НепрерЫВНЫХ 777,2-ПЄрИОДИЧЄСКИХ фуНКЦИЙ. ПОЛОЖИМ Ц(0) = 0(0» г Є 0 : mi - 1, ЩП
